中考数学专题复习教学案
分类讨论题
类型之一直线型中的分类讨论
直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.
例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）
A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°
【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°.
答案：D .
同步测试：
1.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处，
(1)求证：B′E=BF；
(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
类型之二圆中的分类讨论
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（?湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．
【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。
【答案】 3＜r≤4或r＝2.4
同步测试：
3.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，
3
cos
5
B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，
那么线段AO的长等于．
4.（?威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
类型之三方程、函数中的分类讨论
方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．
（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE 的长．
【解析】建立函数关系实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以A N D ，，为顶点的三角形与
BME △相似”
，一定要注意分类讨论。 【答案】（1）取AB 中点H ，联结MH ， M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2
MH BE AD =+． 又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥．
12ABM S AB MH ∴=
△，得12(0)2y x x =+>； （2）由已知得．
以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，
1122MH AB DE ∴=
+， 即． 解得43x =，即线段BE 的长为43
； （3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，
又易证得DAM EBM ∠=∠．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，
ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．
DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；
②当时，AD BE ∥，
ADB DBE ∴∠=∠．
DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，
BED MEB ∴△∽△．
DE BE BE EM ∴
=，即2BE EM DE =， 得2222212(4)2(4)2x x x =+-+- 解得12x =，（舍去）．即线段BE 的长为2．
综上所述，所求线段BE 的长为8或2．
同步测试：
5.（·福州市)如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．
（1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．
于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
同步测试答案：
1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm ，底边长是6cm 时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm ，地边长是3cm 时能组成三角形．
【答案】D
2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，从而可求得B ′E=BF ；第(2)小题要注意分类讨论.
【答案】（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，
在矩形ABCD 中，AD BC ∥，B EF BFE '∴∠=∠，
B FE B EF ''∴∠=∠，
B F B E ''∴=．B E BF '∴=．
（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．
证：连结BE ，则BE B E '=．
由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．
在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=．
AE a =，AB b =，222a b c ∴+=．
（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>．
证：连结BE ，则BE B E '=．
由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．
在ABE △中，AE AB BE +>，
a b c ∴+>．
3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，3cos 5
B =，可得B
C 边上的高A
D 为4，圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则AO=3，若O 在BC 下方，则AO=5。
【答案】3或5．
4.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.
【答案】解：（1）当0≤t ≤5.5时，函数表达式为d ＝11-2t ；
当t ＞5.5时，函数表达式为d ＝2t -11．
（2）两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3；
②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝3
11； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11；
④当两圆第二次外切，由题意，可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13．
所以，点A 出发后3秒、311秒、11秒、13秒两圆相切． 5.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．
【答案】（1）(31)E ，；(12)F ，．
（2）在Rt EBF △中，90B ∠=，
2222125EF EB BF ∴=+=+=．
设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，
顶点(12)F ，，
∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．
①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，
221(2)5n ∴+-=．
解得10n =（舍去）；24n =．
(04)P ∴，．
24(01)2a ∴=-+．
解得2a =．
∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+
②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，
22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）． ③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是2
2(1)2y x =-+．
（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．
如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，
作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．
(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．
43BF BE ''∴==，．
FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=．
又5EF =
∴5FN NM ME EF +++=，此时四边形MNFE 的周长最小值是5
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