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线性代数模拟试题及答案(三套)

第一套线性代数模拟试题解答

一、填空题(每小题4分，共24分)

1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12

i j =

=。

令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =

(1)n D

- 。

即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D

-。

3、设1101A ??=

, 则100A =110001?? ???。 2

111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ?????????????

可得

4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =

5n +。

由矩阵的行列式运算法则可知：1

555

n A A +==。

5、A 为n 阶方阵,T

AA E =且=+

由已知条件：2

11,1T T T

AA E AA A A A E A A =?====?=±?=-，

而：0T T

A E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+?+=。

6、设三阶方阵2000023A x y ?? ?

= ? ???

可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。

可逆，则行列式不等于零：200

2(32)032023

A x y x y x y ==?-≠?≠。

二、单项选择题(每小题4分，共24分)

7、设0

232221131211

≠=M a a a a a a

a a a ，则行列式=---------23

222133323113

11222222222a a a a a a a a a A 。

A ．M 8

B ．M 2

C ．M 2-

D ．M 8-

由于

()()111213

111213111213

31323331323321

222321

232122

2331

22222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---

8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。

A ．n D 中有两行(或列)元素对应成比例

B ．n D 中有一行(或列)元素全为零

C ．n

D 中各列元素之和为零 D ．以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 9、对任意同阶方阵,A B ，下列说法正确的是 C 。 A .111

)

(---=B A AB B .B A B A +=+ C . T T T A B AB =)( D .AB BA =

10、设,A B 为同阶可逆矩阵，0λ≠为数，则下列命题中不正确的是 B 。 A .11()A A --= B .11()A A λλ--= C .111()AB B A ---= D .11()()T T A A --= 由运算法则，就有1

()

A A λλ

--=

。

11、设A 为n 阶方阵，且0A a =≠，则A *

= C 。

A ．a

B ．

C ．1n a -

D ．n a 因为1

111n n n A

A A A A A A A A A

--*

-*--=?===?=。

12、矩阵12103102122a ??

?- ? ?--??

的秩为2，则a = D 。

A . 2

B . 3

C .4

D .5

通过初等变换，由秩为2可得：12101210310207321220500a a ???? ? ?--- ? ? ? ?---????

三、计算题(每小题7分，共42分)

13、计算行列式：

41111

411

11411114

。

解：34

11171

1111

111

411741114110300========7=====7=73=18911417141114100301114711411140003

?各列加到第一列提第一行乘-1到外面第一列上加到各行上。 14、计算行列式：

3322110

00000

00a b a b b a b a 。解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：

33221

000a b a b b a b a =2222

133

331414232344

1()()a b a b a b a b b a a a b b a a b b a b -=--。 15、问λ取何值时，齐次线性方程组12312312

3(1)2402(3)0(1)0

x x x x x x x x x λλλ--+=??

+-+=??++-=?有非零解。

解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零：

()()23

1232(1)124034(1)0=2

31=====011+232,0,2,31

1r r r r λλ

λλλ

λλλλλλλλ

-----------=---?===-- 16、设矩阵2011,3125A B -????==

? ?????

，计算2211

()B A B A ---。

解：因为2,7A B ==-，所以都可逆，有

22112212311152()()1425919B A B A B A A B B AB B A B -----??????

-=-=-=-==

??? ?-??????

。

17、解矩阵方程AX B X +=，求X ，其中A =???

? ??--=????? ??---350211,101111010B 。

解：1

()()AX B X A E X B X A E B -+=?-=-?=--,

102313()1231301313A E ---?? ??-=--? ? ?-?? 131()2011X A E B --?? ?=--= ?

?-??

。

18、设5

2002

100001200

11A ??

?= ?

- ? ??

，利用分块矩阵计算1

A -。

解：

11221

1120521212123,0

212511131120025000001230001313A A A A A A A A ---------??????????=?==== ? ? ? ? ?--????????

??-?? ?-?? ?== ? ???

? ?-??

四、证明题(每小题5分，共10分)

19、设n 阶方阵A 满足()3

0A E +=，证明矩阵A 可逆，并写出A 逆矩阵的表达式。

证明：因为()3

2330

(33)A E A A A E A A A E E +=+++=?

++=-，

从而212(33)33A A A E E

A A A E ----=-?=---。

20、若矩阵T

A A =-，则称矩阵A 为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩

矩阵。

证明：设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则

(1)0T

T n T A A

A A A A

A =-?

=-=-=-?=，

所以A 不可逆，即A 不是满秩矩阵。

第二套线性代数模拟试题解答

一、填空题(每小题4分，共24分)

1、 A 为3阶方阵,且2,A =-*

A 是A 的伴随矩阵,则1*4A A -+= -4 。

因为：11

111112442284A A A A A A A A A A *---*----==-?+=-===-。

2、A 为5×3矩阵,秩(A )=3,B = ???

? ??300020201,则秩(AB )= 3 。

因为B 可逆，AB 相当于对A 作列初等变换，不改变A 的秩。

3、12123,,,,ααβββ均为4维列向量，1123(,,,)A αβββ=，2123(,,,)B αβββ=，

1A =，4B = ，则A B += 40 。

()12123121231212311232123(,2,2,2)(,2,2,2)

8,,,)8,,,,,,8(14)40

A B A B ααβββααβββααβββαβββαβββ+=+?+=+=+=+=+=。

4、121α?? ?= ? ???，32t β??

?= ? ???，且4T

αβ=，则t = -4 。

()121362442T

t t t αβ??

?==++=?=- ? ???

。

5、如果n 元非齐次线性方程组AX B =有解，()R A r =，则当 n 时有唯一解；

当 < n 时有无穷多解。

非齐次线性方程组有解的定义。

6、设四元方程组AX B =的3个解是123,,ααα。其中1231213

,1415ααα???? ? ? ? ?=+= ? ? ? ? ? ?????

，如

()3R A =，则方程组AX B =

的通解是01112131k ????

? ? ? ?+ ? ? ? ?

? ?????

。

因为()3R A =，所以0AX =的基础解系含4-3=1个解向量；又2131,αααα--

都是0AX =的解，相加也是0AX =的解，从而可得0AX =的一个解为：

()()()2131231210311

22412513ξααααααα?????? ? ? ? ? ? ?=-+-=+-=-= ? ? ? ? ? ? ? ? ???????，

于是AX B =的通解为：10111

2131X k k ξα???? ? ? ? ?=+=+ ? ? ? ? ? ?????

。

二、单项选择题(每小题4分，共24分)

7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。 A .互换两行 B .非零数乘某一行

C .某行某列互换

D .非零数乘某一行加到另外一行

8、n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 为单位矩阵，则必有 D 。 A .ACB E = B .CBA E = C .BAC E = D .BCA E =

矩阵乘法不满足变换律，而D 中1

ABC E A ABCA A EA BCA E --=?=?=。

9、矩阵12103

1021122t ?? ?

- ? ?---??

的秩为2，则t = D A . 3 B . 4 C .5 D .6

通过初等变换，由秩为2可得：121012103102073211220600t t ???? ? ?--- ? ? ? ?----????

。

10、若方阵n n A ?不可逆，则A 的列向量中 C 。

A . 必有一个向量为零向量

B . 必有二个向量对应分量成比例

C . 必有一个向量是其余向量的线性组合

D . 任一列向量是其余列向量的线性组合方阵n n A ?不可逆，则A 的列向量线性相关，，由定义可得。 11、若r 维向量组m ααα 21,线性相关，α为任一r 维向量，则 A 。 A . αααα,,21m 线性相关 B . αααα,,21m 线性无关

C . αααα,,21m 线性相关性不定

D . m ααα 21,中一定有零向量由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。 12、若矩阵54?A 有一个3阶子式为0，则 C 。

A .秩(A )≤2

B . 秩(A )≤3

C . 秩(A )≤4

D . 秩(A )≤5 由矩阵秩的性质可知：()45min{4,5}R A ?≤，而有一个3阶子式为0，不排除

4阶子式不为0。

三、计算题(每小题7分，共42分)

13、计算行列式

100

0011001

a b c d

---。解：1

101011101

101111011

011

0010

11(1)(1)1

11a

ab a ab a ab a ad b b c

c c

d c c

d d

ab ad

ab cd ad abcd ab cd ad cd

+++--==-=

-+------+=

=+++=++++-+

14、设100021011A ?? ?=- ? ?-??，123120C ??

= ? ?

，1223B ??= ???，AYB C =，求矩阵Y 。

解：11

03211311121122053Y A CB --??????-?? ??? ?==-=- ? ??? ?-?? ??? ?--??????

。 15、已知三阶方阵A =111011001-??

? ? ?-??

，且2

A A

B E -=，计算矩阵B 。

解：

||1,111112021 011011000001001000

A A A

B A E B A A -=-=-?

---??????

? ? ?

=-=-= ?

? ? ? ? ?--??????可逆，

16、求矩阵321312131370518---?? ?-- ?

?--??

的秩，并找出一个最高阶非零子式。

解：321311344213442134422131321313071197071197705187051802133272200001---------????????

? ? ? ?--------- ? ? ? ? ? ? ? ?-------????????

()3R A =，最高阶非零子式是125,,ααα。

17、写出方程组123412341234

2223x x x x x x x x x x x x +-+=??

++-=??+++=?的通解。

解：211111121310334100311211201121011210103011213015150063600111-????????

? ? ? ?-------- ? ? ? ? ? ? ? ?-------????????

3321321

32032()121121

10x x X c c R x -????

+? ? ??

? ???=+∈? ? ?-?+ ? ?? ? ?????

123

x =-x =x =- 18、已知R 3中的向量组321,,ααα 线性无关，向量组112223,b k b αααα=-=+，

331b k αα=+线性相关，求k 值。

解：

()()()()()()11223311222333

131122233

0b b b k k k k λλλλααλααλααλλαλλαλλα++=-++++=++-+++=，

由321,,ααα 线性无关，得131122233010010000

11k k k k

λλλλλλλλλ+=?????

???

-+=?-=? ????

???+=?????

，

因为123,,b b b 相关，所以123,,λλλ有非零解，故系数行列式=0，得1±=k 。

四、证明题(每小题5分，共10分)

19、设,A B 为n 阶方阵，若0AB =，则秩()A +秩()B n ≤。

证明：因为线性方程组0=Ax ，当秩r A =时，基础解系为r n -个，由

0),,,(),,,(2121===n n Ab Ab Ab b b b A AB

则有),,2,1(0n j Ab j ==，即B 的列均为0=Ax 的解，这些列的极大线性无关组的向量个数≤,r n -即秩(r n B -≤)，从而秩n B A ≤+)()(秩。

20、如果1234,,,αααα线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不

为零的数1234,,,k k k k ，使得112233440k k k k αααα+++=。

证明：因为1234,,,αααα线性相关，所以存在一组“ 不全为零”的数1234,,,k k k k ，

使得 112233440k k k k αααα+++=，如果10k =，则

2233440k k k ααα++=，且由于 234,,k k k 不全为零，所以234,,ααα

线性无关，与题设矛盾，所以10k ≠；

同理，可证明2340,0,0k k k ≠≠≠。

第三套线性代数模拟试题解答

一、填空题(每小题4分，共24分)

1、已知三阶行列式123

456789

D =，ij A 表示它的元素ij a 的代数余子式，则与

212223aA bA cA ++对应的三阶行列式为

1237

a b c 。

由行列式按行按列展开定理可得。 2、,A B 均为n 阶方阵，3A B ==，则

AB -=1()2n 。

由于： 1111111()()()2222

n n n AB A B A B ---===。

3、A = 300140003??

? ? ???，则1(2)A E --=10012120001?? ?- ? ???

。

由于

3001001001

0014020101201120003001001001--?????????? ? ? ? ? ?-==- ? ? ? ? ?

? ? ? ? ??

?????????。 4、向量组123(1,2,3),(1,2,1),(2,0,5)ααα==--=线性无关。

因为：112

211

2000

4041031504

----=-=--≠--。 5、设6阶方阵A 的秩为5，,αβ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不相等的解，则

Ax b = 的通解为()X k βαα=-+。

由于()5R A =，所以0Ax =的基础解系只含一个向量：βα-，故有上通解。

6、已知111x ?? ?

= ? ?

-??

为2125

312A a b -??

?= ? ?--??的特征向量，则3;0

a b =-=。

21211115

31123121110Ax x a a a b b b λλλλλλ--=-????????????

??? ? ? ?=?=?+=?=-? ??? ? ? ?? ??? ? ? ?----+-=???????????

。

二、单项选择题(每小题4分，共24分)

7、11

121321

2223

222311

13131

333111

3212

3313010,,1

00001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ??????

? ?=== ? ? ? ? ? ?+++??????

， ???

??=1010100012P ，则 D 。

A ．

B P AP =21 B ．B P AP =12

C ．B A P P =12

D ．B A P P =21

对A 作行变换，先作2P ，将第一行加到第三行上，再作1P ，交换一二行。

8、n 元齐次线性方程组0AX =有非零解的充分必要条件是 B 。

A ．()R A n ≤

B ．()R A n <

C ．()R A n ≥

D ．()R A n > 齐次线性方程组0AX =有非零解的定理。 9、已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,

αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k

为任意常数，则方程组0AX =的通解为 D 。

A ．1k α

B ．2k α

C ．12()k αα+

D ．12()k αα-

基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D 可保证不等于零。 10、矩阵A 与B 相似,则下列说法不正确的是 B 。

A .秩(A )=秩(

B ) B . A =B

C . B A =

D . A 与B 有相同的特征值相似不是相等。

11、若n 阶方阵A 的两个不同的特征值12,

λλ所对应的特征向量分别是1x 和2x ，则 B 。

A . 1x 和2x 线性相关

B . 1x 和2x 线性无关

C . 1x 和2x 正交

D . 1x 和2x 的内积等于零特征值，特征向量的定理保证。

12、n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角矩阵相似的 C 条件。

A .充分条件

B . 必要条件

C . 充分必要条件

D . 既不充分也不必要矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42分)

13、设A 与B 均为3阶方阵，E 为3阶单位矩阵，2AB E A B +=+，且201020101A -

?? ?= ? ??

；求B 。

解：因为AB+E=A 2+B ))(()(E A E A B E A +-=-?

???

? ??-=?????

?----=-00

010

110

10120

1012E A ， , 1=-E A E A -可逆所以E A B +=????

?-=20

1030

103

。 14、k 满足什么条件时，方程组???

??=++=++-=++0

2223221

2321321x k x x k kx x x k x x x 有唯一解，无解，有无穷多解？

解：????

??+++---????? ??--+--????? ??-k k k k k k k k k k k k k k k k k k )3()3)(2(0021

0211~2410210211~012212112

2222 当2≠k 且3-≠k 时，方程组有惟一解。当2=k 时方程组无解。

当0)3(=+k k 时方程组),()(B r A r =当0=k 时???

??????? ??020*********~001200210211

这时方程组只有零解。

当3-=k 时，???

? ??-????? ??---????? ??-000065103211~65106510321

1~0912********这时方程组有无

穷多解。

15、向量组1234(1,3,2,0),(7,0,14,3),(2,1,0,1),(5,1,6,2),T

αααα===-=

5(2,1,4,1)T α=-，

（1）计算该向量组的秩，（2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

解：12345(,,,,)3R ααααα=， 123,,ααα为一个极大无关组，

412321

αααα=++，512311033αααα=-++

16、设矩阵01001

000 0010012A y ??

= ?

???

的一个特征值为3，求y 。

解：31001300

|3|8 (20 2.00310011

A E y y y ---==-=?=--），

17、计算矩阵110430102-?? ?- ? ???

的特征值与特征向量。解：()2110

||430(2)(1)(3)4(2)(1)1

2A E λ

λλ

λλλλλλ

---=

--=----+=---，所以得：特征值12 1 λλ==，解方程组()0A E X -=，

只得一个对应特征向量为：()1,2,1T

--；

3 2λ=，解方程组()20A E X -=，可得特征向量为()0,0,1T

。

18、当t 为何值时，3231212

3222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？

解：21114210;

40;4

4t t f t

t t

-??

???>=-> ? ?-?

()2221111

42042123(2)2(2)(1)01240

t t t t t t t t t t

--=-+=--+=+->-+ 解不等式：240(2)(1)021t t t t ->∧+->?-<<。

四、证明题(每小题5分，共10分)

19、设向量b 能由321,,ααα这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组321,,ααα线

性无关。

证明：（反证法）如果321,,a a a 线性相关，则有一组不全为0的系数321,,λλλ使

332211a a a λλλ++= （1）

，由已知设332211αβαβαβ++=b ，结合（1）式得 333222111)()()(0a a a b b λβλβλβ+++++==+ （2）

由于321,,λλλ不完全为零，则11λβ+，22λβ+，33λβ+必与321,,βββ不同，这样b 已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。

20、设321,,ααα是n 阶方阵A 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123βααα=++，

证明β不是A 的特征向量。证明：假设()12312311223

3A A A A A A βλβ

βααααααλαλαλα=?=++=++=++，又：12311223

3A λβλαλαλαβλαλαλα=++==++ 从而：()()()1122330λλαλλαλλα-+-+-=，由于特征值各不相等，所以

321,,ααα线性无关，所以的1231230λλλλλλλλλλ-=-=-=?===，矛盾。

2015年武汉大学线性代数考研真题

2015年线性代数一、 ①证明?? ????-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若??????-C B C A A 可逆，求出?? ????-C B C A A 的逆。二、r b A r A r b ==≠),()(,0，b Ax =的所有解集合为S,证明： ①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。 ②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i ， 111=∑+-=r n i i k ，使得 ∑+-==1 1r n i i i k ηξ 三、已知A 为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P ，使得 21cos ,cos sin 0sin cos 00 01 332211'-++=??????????-=a a a AP P θθθθθ 其中。四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。（1）、若)()(B r A r =，则()()* *B r A r = （2）、若())(B r AB r =，则)()(BC r ABC r = （3）、)()('AA r A r = （4）、若一个对称矩阵的秩为r ，则有一个非0 的r 阶主子式。五、A 是n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是q p ,， AX X x f ')(=，记{} n f R x x f x N ∈==,0)(|，证明：（1）、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n - （2）、若w 是n R 的一个线性子空间，将二次型限定w 在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有q q p p ≤≤11,。

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶性如何？解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ，故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的

值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ，其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式：解： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r

武汉大学2014年线性代数真题解答

武汉大学２０１４年线性代数真题解答一．由12001 30000 20 010A ?? ? ?= ? ? -?? ，且1 1[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算011121 211n n n n n n s s s s s s x D s s s x -+-= ，其中12k k k k n s x x x =++ .

三．有121,,,,s s αααα+ ，且1 ,1,,i i i s t i s βαα+=+= ，证明如果12,,,s βββ 线性无关，则121,,,s ααα+ 必定线性无关.

四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即 (3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=； (4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=. 证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=. 五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明

2dim(())1n sl F n =- . 六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间； (2)(,')k Hom V V 的维数为mn ．七．已知013210 1010101n n n c c F c c c ----?? ?- ? ? = ?- ? ?- ? ?-? ? ，（１）求F 的的特征多项式()f x 与最小的项式()m x ；（２）求所有与F 可交换的矩阵．

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

武汉大学2005-2006线性代数试题(工科54学时)

武汉大学数学与统计学院 2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用）学院专业学号姓名注所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。一、计算题（每题5分，6题共30分）： 1．设111111111-?? ?=-- ? ?--?? A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算n A . 2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232 ，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩. 4．已知阶矩阵 (2)n ≥，且非奇异，求** ()A . 5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足 0+==E A E A -，计算A I 323+. 6. 设n 阶向量T x x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x . 二、解答题（3题共45分，每题15分） 1．设10102016A a ?? ? = ? ??? ，且()2R A =，满足，求a 和 . 2．已知2222 54245λλλ--?? ?=-- ? ?---??A ,121λ?? ? = ? ?--?? b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解. 3、设二次型222 123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x , (1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1 -成为对角阵; (3).计算m A (m 是正整数). 三、证明题和讨论题（2题共25分）： 1.（10分）设是阶实方阵， (1).当为奇数且I AA T =及时, 证明：0=-A I . (2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆. 2.（15分）对线性空间3 R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题： (1).向量组B 是否能成为3 R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到 123,,βββ的过渡矩阵P ,其中 1100α?? ?= ? ??? 2110α?? ?= ? ??? 3111α?? ?= ? ???；111β?? ?= ? ???a 2112β?? ?= ? ?-??a 3110β-?? ?= ? ??? ，且a 为实数. (2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，（a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；

线性代数习题参考答案

第一章行列式 §1 行列式的概念 1．填空 (1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。 (2) i = ，j = 时，排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。 (4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a 的项的符号为，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为。 2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。 3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）?? ??????? ???711 00251020214214；（2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12；（3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

武汉大学2002-2003线性代数试题(54工)

备用试题武汉大学数学与统计学院2002-2003学年第2学期《线性代数》试题 (工科54学时) 姓名学号班号专业成绩说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。一、设四阶行列式D = 1 0370121 34031 2 2 1 －－－－ 1）、求D 的代数余子式A 12； 2）、求A 11－2A 12＋2A 13－A 14 。二、求满足A 2＝A 的一切二阶矩阵。三、设A ＝ 111212122212 ...................... n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ????? ???? ? ? ?????? ，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 四、已知向量组1α，2α，3α线性无关，令1123βααα=-+，21232βααα=++， 312323βααα=-+，讨论向量组123, , βββ的线性相关性。五、设线性方程组为 2 3112131 23 1222322 31323 3323 1 42434 x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=? ++=?? ++=??++=? ， 1) 如果1234, , , a a a a 两两不相等，问所给方程组是否有解？ 2) 如果1324, (0)a a k a a k k ==-≠＝＝，且已知12ββ，是该方程组的两个特解，其中： T T 12(1, 1, 1)(1, 1, 1)ββ==-－，，试写出此方程组的通解。六、设三阶方阵A 的三个特征值为1,0,1321-=λ=λ=λ，A 的属于321,,λλλ的特征向量依次为 ???? ? ??=????? ??=????? ??=520,210,002321ααα，求方阵A 。七、已知二次型123(, , )f x x x ＝22 2312132343448x x x x x x x x -+-+ 1) 写出二次型f 的矩阵A ； 2）用正交变换把二次型f 化为标准型。八、证明三个平面123:, :, :x cy bz y az cx z bx ay πππ=+=+=+相交于一直线的充要条件为 2 2 2 21a b c abc +++= 九、给定3R 的基?????===.)1,1,1(,)0,1,2(,)1,0,1(3 21ξξξ 和 ??? ??--=-=-=). 1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ, 试求： 1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ξξξ的变换矩阵A 。

线性代数齐次方程组解法

D =) () ()(0)()() (001 11112 132 3122211331221 1 312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------ 按第一列展开，再将各列的公因子提出来 D = ) ()()() () () (121323122211331221131 2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------ =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1) 22322 32 111 ---k k k k k a a a a a a 得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为 ∏≤<≤-k i j j i a a 2)( 于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1) ∏≤<≤-k i j j i a a 2)(= ∏≤<≤-k i j j i a a 1)( 因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。证毕例1.14 计算n 阶三对角行列式： D n = 2 1 120000 021000 12 1000 12------ 解由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得

D n = 2100 12000002100 120 00011----- +2 1 1200000 21000 12 1 00011------ 第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得 D n =D n －1+ 1 110000 01000 110 00011 ---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到 D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1 例1.15 计算n 阶行列式 D n = n a b b b a b b b a 21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。 D n =n a b b b a b b b a b b b 000121 第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

《线性代数》线性方程组部分练习题

一，填空题 1 已知四维向量α，β满足3α+4β＝()2112T ，2α+3β＝()12 31T -，则向量α＝________，β＝_____ 2 有三维列向两组1α＝()100T ，()2110αT ＝，()3111αT ＝，()123βT ＝，且有112233βχαχαχα++＝，则123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____ 3.若向量组123,,ααα线性无关，则向量组122331,,αααααα+++是线性____。 4若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵。 5若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________。 6若向量组)()()()( 12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______。 7已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____. 8已知方程组12312112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解，则a ＝_____。二，选择题 1.向量组()()()()12341,1,2,0,1,1,2,3,5,2,2,4αααα==-==的极大无关组为（）（A ）12,;αα （B ）13,;αα （C ）123,,;ααα （D ）23,;αα 2.若A ＝12421110λ?? ? ? ??? 为使矩阵A 的秩有最少值，则λ应为（）（A ）2；（B ）－1; (C)94; (D)12 ; 3. n 元齐次线性方程组AX=0有非零解时，它的每一个基础解系中所含解向量的个数等于（）（A ）R )(A -n ；（B ）)(R n A + （C ）)(n R -A ; (D))( n R +A 4.设123412342 34234355222χχχχχχχχχχχλ+-+=??+-+=??+-=? 当λ取（）时，方程组有解。（A ）-12 (B) 12 (C)1- (D)1

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数课后习题答案分析

完整word版最速下降法求解线性代数方程组

最速下降法求解线性代数方程组要求：对于给定的系数矩阵、右端项和初值，可以求解线性代数方程组一、最速下降法数学理论 PP?tX?Xf(X)的负梯中，在基本迭代公式每次迭代搜索方向取为目标函数kk1kkk?t)X??f(P?取为最优步长，由此确定的算法称为最速度方向，即，而每次迭代的步长kkk下降法。 X)Xminf(kk。现在次，获得了第，假定我们已经迭代了为了求解问题个迭代点k X出发，可选择的下降方法很多，一个非常自然的想法是沿最速下降方向（即负梯度方从k X邻近的范围内是这样。因此，去搜索方向为 )进行搜索应该是有利的，至少在向k P???f(X). kk P k?1进行一维搜索，由此得到第为了使目标函数在搜索方向上获得最多的下降，沿k个跌带点，即 X?X?t?f(X)，kk1k?k t按下式确定其中步长因子k f(X?t?f(X))?minf(X?t?f(X))， kkkkkk X?ls(X,??f(X)). （ 1） k1k?k X X,XX,, ,,?k0,12是初始点，由计算就可以得到一个点列,显然，令其中0210{X}f)X(X)(f 的满足一定的条件时，由式（）所产生的点列必收敛于者任意选定。当1k极小点。二、最速下降法的基本思想和迭代步骤 ???,)(Xf(X)g. ，终止限已知目标函数及其梯度和321Xf?f(X),g?g(X)k?0. ，计算；置（1）选定初始点00000X?ls(X,?g)f?f(X),g?g(X). （2）作直线搜索：；计算 k?1kk1?k1k?kk?1?1(X,f(X))k?k?1，置，结束；用终止准则检验是否满足：若满足，则打印最优解否则，1k?1?k转（2）（3）最速下降法算法流程图如图所示.

线性代数习题及解答

线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）

武汉大学2003-2004线性代数试题(54工)

备用试题武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期《线性代数》试题 (工科54学时) 姓名学号班号专业成绩说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。一、计算n 阶行列式D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 a a a a ????????????????????? ??? 的值。二、若矩阵A 和B 满足关系：2242A B A B A =+-。其中A ＝ 12 3012001?? ? ? ??? －－－，求矩阵B 。三、给定矩阵A ＝ ?????? ? ??------11011111100222021110，求()R A 。四、已知1(1 0 2 3)α=，，，，2(1 1 3 5)α=，，，，3(1 1 2 1)a α=+，－，，，4(1 2 4 8)a α=+，，，，且(1 1 +3 5)b β=，，，， 1） a b ，为何值时，β不能表示成1α，2α，3α，4α的线性组合？ 2）、 a b ，为何值时，β有1α，2α，3α，4α的唯一线性表达式？并写出该表达式。五、若A ，B 是同阶可逆矩阵，请证明()AB B A ***=，其中A *是A 的伴随矩阵，()A B *和B *具同样意义。六、求线性方程组?????=++=++=++43322 321 321321x x x x x x x x x 的通解。七、已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T 2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量， 1) 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，请求出该特征向量，若不能，也请说明理由。 2) 能否由此求得实对称阵A ？若能则请求之，若不能则请说明理由。八、设222 (,,)2422f x y z x y z axy yz =++++为正定二次型，试确定实数a 的最大取值范围。九、给定3R 的基?????===.)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321ξξξ 和 ?????--=-=-=).1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ, 试求： 1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ηηη的变换矩阵A 。

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案

第一章行列式 1、利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

武汉大学2004年线性代数解答

武汉大学 2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目：高等代数科目代码：804 一、设A 为3阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，1det 2 A = ，求11 det(()10*)3 A A --.（10分）二、计算n 阶行列式12 121 21 2 00 n n n n n a a a a a a a a D a a a a ++++= ++ ，其中0,1,2,,j a j n ≠= .（10分）三、设A 为m n ?矩阵，A 的秩()R A Y =，证明存在m Y ?矩阵B 和Y n ?矩阵C 且 ()()R B R C Y ==，使A BC =.（10分）四、已知322,22A E B A A E ==-+，证明B 可逆，并求出其逆.（15分）五、A 为n 阶矩阵，*A 为其A 的伴随矩阵，证明：1det *(det )n A A -=.（20分）六、设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明：（1） A B 的特征值全大于零；（10分）（2）若AB BA =，则A B 是正定矩阵.（5分）七、求矩阵1111m n A ??? ?= ? ?? ? （即A 中的每个元素都为1）的最小多项式.（15分）八、设V 是复数域上的n 维线性空间，,f g 是V 的线性变换，且fg gf =，证明：（1）如果λ是f 的特征值，那么V λ（λ的特征子空间）是g 的不变子空间；（8分）（2）,f g 至少有一个公共的特征向量.（7分）九、设A 为n 阶方阵，证明：如果()()R A R A E n +-=，则A 可对角化.（20分）十、设,A B 是数域K 上的m n ?矩阵，且()()R A R B =（()R A 是矩阵A 的秩）。设齐次线性方程组 0A X =和0B X =的解空间分别是,U V 。证明存在K 上的n 阶可逆矩阵T ，使得 ()()f y T y y U =?∈是U 到V 的同构映射.（20分）