材料力学 第五版 附录I 截面的几何性质+习题答案

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。

（a ）

解：)(24000)1020()2040(3

mm y A S c x =+??=?=

（b ）

解：)(422502

65

)6520(3mm y A S c x =??=?= （c ）

解：)(280000)10150()20100(3

mm y A S c x =-??=?=

（d ）

解：)(520000)20150()40100(3

mm y A S c x =-??=?=

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2

半圆对x 轴的静矩为：

3

2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300

2

r r x d dx x S r r

x =--?=-?=?=??

πθθθπ

π

因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π

34r

y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a ） 解：

习题I-3(a): 求门形截面的形心位置

矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边

上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右

150 20 3000 75 225000

14000

1730000

123.6

46.4

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai

(b) 解：

习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置

矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左

90 10 900 55 49500 5 4500

2500

57500

23

132500

53

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai

(c)

解：

习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置

型钢号 Ai(cm2) Yci(cm ) AiYci(cm3

) Yc(cm ) Xci(cm ) AiXci(cm3

) Xc(cm ) 槽钢20 32.837 10 328.37 -1.95 -64.03 等边角钢80*10

15.126 2.35 35.546 2.35 35.546

47.963

363.92

7.6

-28.49

-0.6

Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai

[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ?=??=?==232222sin sin )(

四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ??

?

-?==

2/0042

/0

2

3

2

2c o s 1]4[s i n ππθθ

θθd x d dx x I r r

x

)]2(2cos 21[2142/02

/0

4θθθππd d r ??-?= }]2[sin 2

12{82

/04πθπ-=r 16

4

r ?=

π

由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：

16

4

r I I x y ?=

=π

微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：

xydA dI xy =

8

)42(21]42[21)(2144404222

20

2

2r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r

x r r

xy =-=-=-==??

?

- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为

mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。

解：圆的方程为：

222r y x =+

如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

dy y r dA 222-=

切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：

dy y r y I r r x 22sin sin 22-=?

-α

α

α

αsin sin 42

222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -??????+--=

)4sin 41

(24αα-=r )4sin 4(84αα-=r 222

1100)20100(=-+x

360021=x

)(601mm x =

34

6020100tan =-=

α )(927.013.533

4arctan 0

rad ===α

)(10963.3)52.212sin 927.04(8

1004704

mm I x ?=-?=

[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。

dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z a

z a A

z ?

?

?

?

?+

--

+

---+==2

20

2

22

2222222

2

2

2

][22

20

2

20

22

20

2

2

2dy y dz dy y dz a a z a z a ?

?

?

?

+

-+

-+?=

[]

[]

][322

20

2

20

3

222

20

3

?

?+

--+

+?=a a z a

a z dz y dz y

])22

()22()22()22([3222

0302

23??+-+--++?=-a a a z d a z a z d a z

a a a z a z 2

2

40

2

244)22(324)22(32????????????+--????????????+?=-

=???

? ??+16163244a a 12

4

a =

故正方形对其的对角线的惯性矩为：12

4

a I z =。

[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。

(a) 解：)(21177368])175150

(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-??=-=απ (b)

)(904499991509012

1

210150121433mm I x =??-??=

[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心

轴

的惯性矩

所以

再次应用平行轴定理，得

[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。

解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴

的惯性矩

再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩

[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是

上面一个圆的圆心到 轴的距离是d 6

32。

利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是

。

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 )(657600002)101201151012012

1

(

104.34237

mm I z =???+??+?=

（b ）等边角钢 的截面积是

，其形心距外边缘的距离是28.4

mm ，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：

习题I-11（b ）图

图形 b h Ixc a A Ix

中间矩形 10 600 180000000 0 6000 180000000 上矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 下矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 左上L 形 1795100 271.6 1926 143869495 右上L 形 1795100 271.6 1926 143869495 左下L 形 1795100 271.6 1926 143869495 右下L 形

1795100

271.6

1926

143869495 A a I I xc x 2+=

1220644645

[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。

解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下：

[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。

习题I-13(a)

图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)

上矩形1000 100 100000 650 65000000 225 83333333 5145833333 下矩形300 600 180000 300 54000000 125 5400000000 8212500000 全图280000 119000000 425 133********

习题I-13( b)

图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)

上图(3) 25 150 3750 275 1031250 148 7031250 89601489

中图(2) 200 150 30000 125 3750000 2 56250000 56328044

下图(1) 100 50 5000 25 125000 102 1041667 52667577

全图38750 4906250 127 198597110

习题I-13(c)

图形 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc(mm4) ai Ix(mm 4

)

矩形 2140 1150 2461000 575 1415075000 271222708333 159 333213698275

半圆 790 -980333 335 -328692667 42750202791 399 198820222116

全图 1480667 1086382333 734 134393476159

半圆：

π3/4r y c =

半圆：π

π9/88/44r r I xc

-=

习题I-13(d)

图形

bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci

Ix(mm

4

)

从下往上

220 16 3520 8 28160 374 75093 492438613 180

14 2520 23 57960 359 41160 324821280

16 674 10784 367 3957728 0

408242699 408242699

220 14 3080 711 2189880 329 50307 333432587 445 9

4005

722.5 2893613 341 27034 464367735

23909

9127341

382

2023302914

[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42?的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。 解：先求形心主轴 的位置

截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：

（y 轴向下为正）

（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）

（组合图形对形心轴x 的惯性矩）

习题I-14

b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc

ai Ix(a4)

矩形 4 2 -8.00 1 -8 2.667

1.1893 14.0

圆 4 50.27 0 0

201.062 -0.1893 202.9

42.27

-8

-0.1893

188.9

[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100=的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：

习题I-15

图形 bi hi r

Ai

Yci AiYci

Yc

Ixci ai Ix

正方形 200 200 40000 100 4000000

133333333 2 133546801 半圆 50 -3927 79 -309365 685977

24 2860346 全图

36073

3690635 102

130686455

π

34100r y c -= π

π9884

4r r I xc -?=

A a I I xc x 2+=

形心位置：X （0，102）。对水平形心轴的惯性矩：4

130686455mm I x =。对竖直形心轴

的惯性矩：

)(1308789668

5014159.31220081244

444mm r a I y =?-=?-=π

习题I-15

图形 a r Iy （mm 4

） 正方形 200 133333333.3 半圆 50 2454367 全图

130878966

8

124

4r a I y ?-=π

[习题I-16] 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩x I 和

y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少？

解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴

、

的惯性矩是

，

；横截面积为

；槽钢背到其形心轴

的距离是

。

根据惯性矩定义

和平行轴定理，组合截面对 ，

轴的惯性矩分别是

；

若

即

等式两边同除以2，然后代入数据，得

于是

所以，两槽钢相距

[习题I-17] 试求图示截面的惯性积xy I

解：设矩形的宽为b 高为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则

由平行移轴公式得：

224

1

)2()2(0h b bh b h abA I I C C y x xy =??+=+=

故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 2

24

1h b I xy =

[习题I-18] 图示截面由两个mm mm mm 10125125??的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩m ax I 和最小惯性矩m ax I 。 解：从图中可知，该截面的形心C 位于两缀板共同的形心上。过C 点作水平线，向右为c x 轴正向；过C 点，垂直于c x 轴的

习题I-17

图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000

下矩形: 100 10 250000

重复加的矩形 10 10 2500

全图 上图+下图-重复图= 497500

直线为c y 轴向上为正。把c c cy x 坐标绕C 点逆时针转0

45

后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴00,y x 。主惯性矩

max 0I I x =，min 0I I y =

查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：

2373.24cm A = ，4'46.1490

0cm I I x y ==，4

'89.57300cm I I y x ==，cm z 45.30= 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：

cm z a 295.3)5.045.3(212

2

20=+=?+

= )(1820]373.24)295.3(46.149[242max 0cm I I x =?+?==

)(114889.57324min 0cm I I y =?==

（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）

[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积11y x I 和惯性矩1x I ，1y I 并作出比较。

解：12

4

a I x =

12

4

a I y =

0=xy I （y x ,为形心主惯性轴）

12

00212122sin 2cos 2244

41a a a I I I I I I xy y x y x x =-++=--++=αα

1200212122sin 2cos 2244

41

a a a I I I I I I xy y x y x y =--+=+--+=αα

0002cos 2sin 2

11=-=+-=

ααxy y

x y x I I I I

结论：

1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；

2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。 [习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a ）

解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

)

(5.575146666)402400(201212]40200)2402400(40200121[4323mm I x =?-??+???-+??=)

(6.183146666203201212]40200)2202200(20040121[4323mm I y =??+???-+??=)(2592000002]40200)220

2200()2402400([4mm I xy -=???-?--=

3164.16

.1813466665.575146666)

259200000()2(22tan 0=--?-=

--=

y

x xy I I I α

'47523164.1arctan 200==α

'242600=α

Ix

Iy

Ixy

575146666.5 183146666.6 -259200000 Ix0= 704109187 575146666.5

183146666.6

-259200000

Iy0=

54184146

2

24)(2

12

0xy

y x y

x y x I I I I I I I +-±

+=

(b)

解：以20号槽钢（图I ）的下边缘为x 轴，左边缘为y 轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II 。则组合截面的形心计算如下：

习题I-20(b) 长度单位:cm

图形 Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc I 32.8 1.95 10 64 328.3 II 10.2 -1.4 16 -15 163.8 全图 43.1

49.4

492.1

1.15

11.4

习题I-20（b ）

图形 Ai

i a

bi

Ixci' Iyci' Ixci Iyci Ixciyci' Ixciyci tan2a0 a0

Ix0

Iy0

I 32.8 -1.43 0.804 1913.7 143.6 1981 165

0 -37.635 II 10.2 4.573 -2.58 101.3

16.6

315.5 84.6 0 -120.66

全

图

43.1

2296

249

-158.29 0.1547

4.4 2308.2 237.2

[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的x I ，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径mm r 100=。

解：圆的方程为：

222100=+y x

把y 轴的半径10等分，即mm 10=δ。过等分点，作x 轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y 坐标与x 坐标如下表所示。

习题I-21

i y

i x

i a

δ

i i x a δ2

5 99.87 5 10 24969 15 98.87 15 10 222454 25 96.82 25 10 605154 35 93.67 35 10 1147518 45 89.30 45 10 1808383 55 83.52 55 10 2526373 65 75.99 65 10 3210722 75 66.14 75 10 3720588 85 52.68 85 10 3806005 95

31.22

95

10

2818055 近似解i

i i

x x a I δ∑==

10

1

2

19890221

精确解16

10014159.3164

4

?=

?=r I x π 19634938 误差(%)

1.30

[习题I-22] 试证明：直角边长度为a 的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为72

4a I xy

=（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）

解: b

y b h z )

(-=

24

)(22

220220

0h b ydy y b b h ydy zdz dA yz I b b

z A

yz =-=??????==????

72

23324)3)(3(2

222h b bh h b h b A h b I I yz

z y C C -=??-=-= 令a h b ==得:72

||4

a I C C z y =.