绝密★考试结束前
2010年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至5页。满分150分,考试时间120分钟。
请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分(共50分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式:
如果事件A 、B 互斥,那么 柱体的体积公式
()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件A 、B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高
()()()P A B P A P B = 锥体的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 13
V S h =
那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高
k 次的概率
()(1)
(0,1,2,)k k n k
n n P k C p p k n -=-=… 球的表面积公式 台体的体积公式 2
4S R π=
()
121
3
V h S S =+ 球的体积公式
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积, 3
43
V R π=
h 表示台体的高 其中R 表示球的半径
一. 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四项中,只有一项是符合题目要求
的。
(1)设P={x ︱x <4},Q={x ︱2
x <4},则 (A )p Q ? (B )Q P ? (C )R
p Q C ?
(D )R
Q P C ?
(2)某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内位 (A ) k >4? (B )k >5? (C ) k >6? (D )k >7? (3)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=,则5
2
S S = (A )11 (B )5 (C )8- (D )11- (4)设02
x π
<<
,则“2
sin 1x x <
”是“sin 1x x <”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (5)对任意复数()i ,R z x y x y =+∈,i 为虚数单位,则下列结论正确的是 (A )2z z y -= (B )222z x y =+ (C )2z z x -≥ (D )z x y ≤+
(6)设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 (A )若l m ⊥,m α?,则l α⊥ (B )若l α⊥,l m //,则m α⊥ (C )若l α//,m α?,则l m // (D )若l α//,m α//,则l m //
(7)若实数x ,y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥??
--≤??-+≥?
且x y +的最大值为9,则实数m =
(A )2- (B )1- (C )1 (D )2
(8)设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点
P ,满足212PF FF =,且2F 到直线1PF
的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为
(A )340x y ±= (B )350x y ±= (C )430x y ±= (D )540x y ±= (9)设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不.存在零点的是 (A )[]4,2-- (B )[]2,0- (C )[]0,2 (D )[]2,4 (10)设函数的集合
211
()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ??==++=-=-????
,
平面上点的集合
11
(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ??==-=-????
,
则在同一直角坐标系中,P 中函数()f x 的图象恰好..经过Q 中两个点的函数的个数是 (A )4 (B )6 (C )8 (D )10
绝密★考试结束前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理科) 非选择题部分(共100分)
注意事项:
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
(11)函数2()sin(2)4
f x x x π
=-
-的最小
正周期是__________________ .
(12)若某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,
则此几何体的体积是___________3
cm . (13)设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ,点
(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上,
则B 到该抛物线准线的距离为_____________。 (14)设1
12,,(2)(3)2
3
n
n
n n N x x ≥∈+-+
2012n n a a x a x a x =+++???+,
将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ,则
2345335511110,,0,,,,2323
n T T T T T ==
-==-?????? 其中n T =__________________ .
(15)设1,a d 为实数,首项为1a ,公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足56150S S +=,
则d 的取值范围是__________________ . (16)已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足
1β=,且α与βα-的夹角为120°
,
则α的取值范围是__________________ .
(17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、
“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复. 若上午不测“握 力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共 有______________种(用数字作答).
三、解答题:本大题共5小题.共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18)(本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ,已知1
cos 24
C =- (I)求sinC 的值;
(Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC 时,求b 及c 的长.
(19) (本题满分l4分)如图,一个小球从M 处投入,通过管道自
上而下落A 或B 或C 。已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的.
某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落 到A ,B ,C ,则分别设为l ,2,3等奖.
(I )已知获得l ,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,
90%.记随变量ξ为获得k (k =1,2,3)等奖的折扣 率,求随机变量ξ的分布列及期望ξE ; (II)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动,记随机 变量η为获得1等奖或2等奖的人次,求)2(=ηP .
(20)(本题满分15分)如图, 在矩形ABCD 中,点,E F 分别 在线段,AB AD 上,2
43
AE EB AF FD ===
=.沿直线EF
将 AEF V 翻折成'A EF V ,使平面'
A EF BEF ⊥平面.
(Ⅰ)求二面角'
A FD C --的余弦值;
(Ⅱ)点,M N 分别在线段,FD BC 上,若沿直线MN 将四
边形MNCD 向上翻折,使C 与'
A 重合,求线段FM 的长。
(21) (本题满分15分)已知m >1,直线2
:02
m l x my --=,
椭圆22
2:1x C y m
+=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程; (Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V , 12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段
GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围.
(22)(本题满分14分)已知a 是给定的实常数,设函数2
2
()()()f x x a x b e =-+,b R ∈,
x a =是()f x 的一个极大值点.
(Ⅰ)求b 的取值范围;
(Ⅱ)设123,,x x x 是()f x 的3个极值点,问是否存在实数b ,可找到4x R ∈,使得1234,,,x x x x 的某种排列1234,,,i i i i x x x x (其中{}1234,,,i i i i ={}1,2,3,4)依次成等差数列?若存在,求所有的b 及相应的4x ;若不存在,说明理由.
数学(理科)试题参考答案
一、选择题本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。(1)B (2)A (3)D (4)B (5)D
(6)B (7)C (8)C (9)A (10)B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。
0 当n为偶数时
(11)π(12)144 (13(14)
(15)d≤-d≥(16)(0, ] (17)264
三、解答题:本大题共5小题,共72分。
(18)本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。满分14分。(Ⅰ)解:因为cos2C=1-2sin2C=
1
4
-,及0<C<π
所以sinC=
4
.
(Ⅱ)解:当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理
a c
sin A sin C
=,得
c=4
由cos2C=2cos2C-1=
1
4
-,J及0<C<π得
cosC=
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得
b2
解得
所以b=
c=4 或
(19)本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念,同时考查抽象概
n n
11
-
23
当n为奇数时
括、运算求解能力和应用意识。满分14分。
则Εξ=16×50%+8×70%+1690%=4
.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得1等奖或2等奖的概率为
316+38=916
. 由题意得η~(3,
916
) 则P (η=2)=2
3C
(916)2(1-916)=17014096
.
(20)本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考查空间想象
能力和运算求解能力。满分15分。
(Ⅰ)解:取线段EF 的中点H ,连结'A H ,因为'A E ='
A F 及H 是EF 的中点,所以'
A H EF ⊥, 又因为平面'
A
EF ⊥平面BEF . 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则'
A (2,2,,C (10,8,0), F (4,0
,0),D (10,0,0).
故
'
FA →
=(-2,2,
,FD →
=(6,0,0). 设n →
=(x,y,z )为平面'
A FD 的一个法向量,
所以
6x=0.
取z =(0,n =-
。
又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =
,
故cos ,n m n m n m ??==
。
(Ⅱ)解:设,FM x =则(4,0,0)M x +,
因为翻折后,C 与A 重合,所以'CM A M =,
故, 222222
(6)80=22x x -++--++()(,得21
4
x =, 经检验,此时点N 在线段BC 上,
所以214
FM =。 方法二:
(Ⅰ)解:取线段EF 的中点H ,AF 的中点G ,连结
',',A G A H G H 。
因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点,
所以'A H EF ⊥
又因为平面'A EF ⊥平面BEF , 所以'A H ⊥平面BEF , 又AF ?平面BEF ,
故'A H ⊥AF ,
又因为G 、H 是AF 、EF 的中点, 易知GH ∥AB , 所以GH ⊥AF , 于是AF ⊥面'A GH ,
所以'A GH ∠为二面角'A DH C --的平面角,
在'Rt A GH 中,'A H =GH =2,'A G =
所以cos 'A GH ∠=
.
故二面角'A DF C -- (Ⅱ)解:设FM x =,
因为翻折后,C 与'A 重合,
所以'CM A M =,
而2
2
2
2
2
8(6)CM DC DM x =+=+-,
222222'''A M A H MH A H MG GH =+=++
2=
得214
x =
, 经检验,此时点N 在线段BC 上, 所以214
FM =
。 (21)本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(Ⅰ)解:因为直线:l 2
02
m x my --=
经过2F ,
2
2
m =,得22m =,
又因为1m >,
所以m =
故直线l
的方程为02
x -
=。 (Ⅱ)解:设1122(,),(,)A x y B x y 。
由2222
2
1m x my x y m ?=+????+=??,消去x 得
22
2104
m y my ++-=
则由2
2
28(1)804
m m m ?=--=-+>,知28m <,
且有212121
,282
m m y y y y +=-=
- 。 由于12(,0),(,0),F c F c -, 故O 为12F F 的中点,
由2,2AG GO BH HO == ,
可知1121(
,),(,),3333
x y x y G h 22
2
1212()()99
x x y y GH --=+
设M 是GH 的中点,则1212
(,)66
x x y y M ++, 由题意可知2,MO GH <
即22
2212121212()()4[()()]6699
x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +<
而22
12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 22
1(1
()82
m m =+-) 所以
21082
m -< 即2
4m <
又因为1m >且0?> 所以12m <<。
所以m 的取值范围是(1,2)。
(22)本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。
(Ⅰ)解:f ’(x)=e x (x-a) 2(3)2,x a b x b ab a ??+-++--??
令
22
2
()(3)2,
=(3-a+b)4(2)(1)80,
g x x a b x b ab a b ab a a b =+-++--?---=+-+>则
于是,假设1212,()0.x x g x x x =<是的两个实根,且
(1) 当x 1=a 或x 2=a 时,则x=a 不是f(x)的极值点,此时不合题意。 (2) 当x 1≠a 且x 2≠a 时,由于x=a 是f(x)的极大值点,故x 1 即()0g x < 即2 (3)20a a b a b ab a +-++--< 此时4223x x a a b =-=--+ 或4223x x a a b =-=-- (2)当21x a a x -=-时,则 于是1a b +-= 此时42(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++= ==--=+ 综上所述,存在b满足题意,当b=-a-3时,