高中物理-微积分题型
高中物理中微积分思想
伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
1、解决变速直线运动位移问题
匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？
例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？
【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 202
1at t v x +
=就可以求得汽车走了0.025公里。
但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2
02
1at t v x +
=。 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移
km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5
025
205
005
0=-=+=+==??
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合
物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我们如何求解呢？
例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运
动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用s F W ?=来求。
可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A 和B ，设OA 、OB 与水平直径的夹角为θ。在θ?=?R S 的足够短圆弧上，△S 可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A 、B 两点附近的△S 内，摩擦力所做的功之和可
表示为：
)(θμθμ?-+?-=?R N R N W B A f
又因为车在A 、B 两点以速率v 作圆周运动，所以：
综合以上各式得：θμ?-=?2
2mv W f
故摩擦力对车所做的功：2
2
2
22mv mv mv W W f f πμθμθμ-=?∑-=?-∑=?∑= 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力N F f μ=，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为
220
22)(mv d mv d R N R N W B A f πμθμθμμπ
-=-=--=??
小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道。
在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。
R m v m g N R m v m g N B A 2
2
sin sin =
+=
-θθ
【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。分析：
①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ；
②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的
边长a ；三立方体的形状；
根据点电荷的电势公式U=K Q
r 及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为
U=
CKQ a
=Ck ρa 2
；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa 3
③ 大立方体的角点电势：U 0= Ck ρa 2
；小立方体的角点电势：U 2= Ck ρ（a 2 ）2=CK ρa 2
4
大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ck ρa
2
；即U 0=1
2
U 1
【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a=
△v △t
.
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速
度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）
分析：我们知道，公式v=△s
△t 一般是求△t 时间内的平均速度，当△t 取很小很小，才可近
似处理成瞬时速度。
s(t)=3t+2t 2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2
△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t 2=3△t+4t △t+2△t 2
v=△s
△t =3△t+4t △t+2△t
2
△t
=3+4t+2△t
当△t 取很小，小到跟3+4t 相比忽略不计时，v=3+4t 即为t 时刻的瞬时速度。
【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t 3,求感应电动势随时间t 的函数关系。
【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z 的步骤：
①写出t 时刻y 0=f(t)的函数表达式；
②写出t+△t 时刻y 1=f(t+△t)的函数表达式； ③求出△y=y 1- y 0=f(t+△t)- f(t)；
④求出z=
△y △t
=
f(t+△t)- f(t)
△t
；
⑤注意△t 取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。
㈡ 无穷小
当△t 取很小时，可以用V=
△s △t
求瞬时速度，也可用i=
△Q
△t 求瞬时电流,用ε=N △φ
△t
求瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t ：
△t 是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t 大，即：ε>△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t ，我们进行如下操作：
第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=t
2 ；
第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=t
3 ；
第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=t
4 ；
…………
第N 次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=t
N+1
；
…………
一直这样进行下去，我们知道，△t 越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t →0。或者，用数学形式表示为 0
lim t ?→△t=0。其中“0
lim t ?→”
表示极限，意思是△t 的极限值为0。常规计算：
①0
lim t ?→（△t+C ）=C ②0
lim t ?→C ·△t=0 ③0
lim t ?→f(△t)=f(0)
④0
lim t ?→ f(t+△t)=f(t) ⑤0
lim
t ?→sin(△t)
△t
= 1
『附录』常用等价无穷小关系（0x →） ①sin x x = ；②tan x x = ；③2
11cos 2
x x -=
；④()ln 1x x += ；⑤1x e x -= ㈢ 导数
前面我们用了极限“0
lim t ?→”的表示方法，那么物理量y 的变化率的瞬时值z 可以写成:
z=0lim
t ?→△y
△t
,并简记为z=
dy
d t
,称为物理量y 函数对时间变量t 的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=dx d t 、a=dv d t 、i=dq d t 、ε=N d Ф
d t
等，甚至不限于对时间求导，如F=
dW F d x 、E x =dU d x 、ρ=dm
dl
等。 这个dt （也可以是dx 、dv 、dm 等）其实相当于微元法中的时间微元△t ，当然每次这样用0
lim t ?→来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。
如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率
的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式： ⑴ 导数的四则运算
①d(u ±v)d t =du d t ± dv
d t ③d(u
v )d t = du d t ·v - u ·dv d t u v v 2
②d(u ·v)d t =du d t ·v + u ·dv d t u
v
⑵ 常见函数的导数
①
dC dt =0(C 为常数)； ④dcost dt
=-sint ； ②dt n
dt =nt n-1 (n 为实数)； ⑤de t
dt =e t
；
③dsint
dt
=cost ；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。
d u(v(t))d t =d u(v(t))d v(t) ·d v(t)
d t
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量
的导数——称为链式法则。
【练】1、某弹簧振子在X 轴上做直线运动，其位移x 与时间t 的关系为x=Asin ωt ，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A （A 称为振幅），周期为2π
ω （ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问： ①求出t 时刻的速度v
②写出合力F 与位移x 的关系
③验证简谐运动中质点的机械能守恒。
【练】2、某矩形线框面积为S ，匝数为N 为B 的匀强磁场中，如图所示，线框绕PQ 匀速转动，从水平位置开始计时，在t 时刻：①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε
三：微分和积分
㈠ 简单问题
【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C 的电容器，其已充电的电量为Q 0，若让该电容与另一个阻值为R 的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻R 的电流随时间t 的变化关系如何？
分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R 的电量为q 时，电容器的电量从Q 0变成Q 1，满足Q 0=Q 1+q ，即q=Q 0-Q 1 ；
②流过电阻R 的电流i 与通过电阻R 的电量q 满足关系式：i=dq
d t
③根据电容电量公式Q=CU,有Q 1=CU=CRi ，那么q= Q 0- CRi ； ④联立上式，有i=
dq d t =d(Q 0- CRi)d t = - CR di d t
⑤进行公式变形，令x= - t CR ,则有i= - CR di d t = di
d x
同学们思考一下，i 应该是什么函数，才能满足i= di
d x
？，或者说什么函数的导数等于函数本身？
我们观察到，只有y=C e x
形式的函数才满足i= di d x 关系，C 为待定常数。
故可以知道，i = C e x
= C e
-t/CR
当t=0 时，U 0= Q 0C ， i 0= U 0R = Q 0C R ；而把t=0 代人，得i = C e -t/CR
=C ；故C=Q 0C R
所以，流过电阻R 的电流随时间t 的变化关系为：i = Q 0C R
e -t/CR
【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q 随时间t 的变化关系如何？
㈡微分
1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。
2、对于i= - CR di d t 或i= di
d x ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函
数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0 之类的初始条件。
3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。
在
△t 的时间内，通过电阻R 的电量为△q 。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t 内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q= i △t 。对电容有Q=CU=CiR ，△Q=ＣＲ△i ；由电量守恒，△Q= －△q ，故－i △t ＝ＣＲ△i ，然后把“△”形式改写成微积分语言的“d ”形式，就有－idt ＝ＣＲdi （dt 和di 称之为微分）,数学变形为i= - CR di
dt
，即以上
解法中的微分方程。
微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t 的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dF ，它与时间微分dt 满足关系式：dF=dF dt dt ，其中dF
dt
为F 对t 的导数。
下面是常见的微分公式与微分运算法则：
①()0d c = ②()
1
n n d x nx dx -= ③()sin cos d x xdx = ④()cos sin d x xdx =- ⑤()
x x
d e e dx = ⑥()d u v du dv ±=±
⑦()d cu cdu = ⑧()d uv vdu udv =+ ⑨2
u vdu udv
d v v -??=
???
㈢积分
在上例问题中，在△t 的时间内，通过电阻R 的电量为△q= i △t ，△q 称为电量微元。
如果我们把0到t 时间内的△q 加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i △t 。由于t=N △t,当△t 取无穷小时，那么i △t 就有N →∞个，也就是，我们要把无穷个i △t 进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号idt ?
表示q=0
lim
t ?→
∑i △t=idt ?
，称为对i 在时间上求积分。我们来看一下这么做有什么意义：
①从几何上看，对于i-t 图像，q=0
lim t ?→∑i △t=idt ?
就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，△q= i △t ，即小块矩形面积；对于变化的电流，用△q= i △t 来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当△t 取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积
了。
②前面我们求导用了i=dq
d t
，积分用了q=idt ?
。可以看出，从某种程度上说，积分实际是
求导的逆运算，比如：q=Q 0-Q=Q 0(1-e -t/CR
), i =
Q 0C R
e -t/CR 满足求导和积分的运算关系i=
dq
d t
、q=idt ?
。 对于一般函数F ，如果有f=
dF
d t
，那么就有f dt ?=F+C 。请思考，为什么积分中会出
现常数C ？
下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：
①kdx kx c =+? ②1
1
n n
x x dx c n +=
++? ③cos sin xdx x c =+? ④sin cos xdx x c =-+?
⑤x x
e dx e c =+?
现在我们用微积分书写方式来来解答上题。 由Q 0=Q+q ； Q=Q 0-q ； 则dQ= - dq = - idt= - U R dt= - Q
CR dt
即 dQ Q
= - 1
CR dt ；
对等号两边积分： ?1
dQ Q
= 1CR -?dt ； 有ln Q = - t CR C`，或者Q=C e -t/CR
；
当t=0时，Q(0)=C=Q 0 ； 所以电容器电量为Q= Q 0e
-t/CR
。
㈣ 定积分
【例】某质点在X 轴上做直线运动，其速度v 满足函数关系v=3t 2,求从t=1s 到t=3s 时间内质点发生的位移。
分析：在dt 时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，
有
23ds vdt t dt ==?
??，则有：s= t 3 +C ；
现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！
而且已知条件中的时间“从t=1s 到t=3s ”也没有用上！
下面我们从物理上考察C 这个常数的意义。
t=0时，s(0)=C 。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m 处开始运动；……。
我们发现，C 这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s 到t=3s 时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。
那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时
刻从坐标位置X=Cm 处开始运动，则位移与时间的函数
关系式为：s(t)= t 3
+C 。题目中所求的1到3秒的位移
为：s1=s(3)-s(1)=（33+C ）-（13
+C ）=8m 。
题目中所要求的位移（速度积分）与积分式f d t ?=F+C 中的C 无关，
当要求t=t 1
到t=t 2
时间内位移时，s(t 1→t 2)=s(t 2) - s(t 2)。这个相当于我们用s=∑
v △t 来求v-t 图像中的从t=t 1到t=t 2范围内的面积。我们用一种简单符号表示这种关系：
b
a
dt ?
f =F(b) – F(a)。这种积分叫定积分。
【练】1、已知导线中的电流按I = t 3-0.5t+6的规律随时间 t 变化，式中电流和时间的单位分别为A 和s 。计算在t =1s 到t =3s 的时间内通过导线截面的电荷量。
【练】2、某质量为m 的均匀细杆，长为L ，绕其一端点做角速度为ω的匀速转动，试求其动能。
【练】3、某弹簧劲度系数为K ，原长为L ，若将弹簧从2L 长拉伸至3L 长处，问应克服弹簧弹力做多少功？
【练】4、对于某电路，通过电阻R=2Ω的电流i=2t+1(A)，问从t=0时刻开始经过4s 后，电阻产生的焦耳热是多少？
四：课后习题
1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t ，y 轴上的坐标为y=-4+5sin2t ，t 为时间物理量，问：
⑴物体的速度是多少？
⑵物体所受的合外力是多少? ⑶该物体做什么样的运动？
⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？
2、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动，该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2
,试问当位移x 为多少时F 变为零。
3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E=KQ
r 2 ,
请验证Ａ点处的电势公式为：U = KQ
r
。
4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。在杆上距离O 端点为x 处取点A ，令M 为细杆上OA 段的质量。已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2
，现定义线密度ρ=dM dx ,问当x=L
2
处B 点的线密度为何？
5、某弹簧振子的总能量为2×10-5
J ，当振动物体离开平衡位置12 振幅处，其势能
E P = ，动能E k = 。
6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U 对电容为C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。
7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R 的电阻，导轨宽度为L ，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B 。有一导体棒ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导体棒一水平向左的初速度V 0，若其他电阻不计，则
⑴求导体棒的速度v 随时间t 的函数表达式；
⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移S ；
⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流I 随时间t 的函数关系； ⑷求全过程中流过导体棒的总电荷Q 。
一、变力做功
在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为W F S =?． “以常代变”，功的微元应该通过恒力做功公式得到的．
例8．3．1 一压簧，原长1m ，把它每压缩1cm 时所用的力为0.05N ．问在弹性范围内把它由1m （如图8．3．1）压缩到60cm （如图8．3．2）所做的功．
图8．3．1
图8．3．2
解
令起点为原点，压缩的方向为x 轴的正方向
当把弹簧自原点压缩至[]0,0.4之间的任意点x 处时（如图8．3．3）
图8．3．3
由胡克定律知所承受的弹簧的压力为
()0.05
50.01
F x x x =
= 在此力的作用下，再继续压缩一点点dx ，即压缩至x dx +处 由于dx 很小，这个压缩过程可认为力()F x 不变，即恒力做功
则由恒力做功公式得功的微元
dW ()F x dx =
积分得W ()0.4
F x dx =
?
0.4
5xdx =?
20.4
502
x = 0.4=()J ．
例8．3．2 在原点处有一带电量为q +的点电荷，在它的周围形成了一个电场．现在x a =处有一单位正电荷沿x 轴正方向移至x b =处，求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功． 解
点电荷在任意点x 处时所受的电场力为()2
q
F x k
x =（k 为常数） 电场力做功的微元dW 为点电荷由任意点x 处移动至x dx +处时电场力()F x 所做的功 即()2q
dW F x dx k
dx x
== 则移至x b =处电场力做的功
2
b
a
q W k
dx x =? 1b
kq
a
x =- 11kq a b ??=- ???
；
移至无穷远处电场力做的功
2a
q
W k
dx x
+∞
=?
kq
a
=
（物理学中称此值为电场在x a =处的电位）． 例8．3．3 一圆台形水池，深15m ，上下口半径分别为20m 和10m ，如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功? 解
水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化
图8．3．4
其中抽出任意一层水（x 处厚为dx 的扁圆柱体，如图8．3．4阴影部分）所做的功为抽水做功的微元dW
即dW dm g x dV g x γ=??=???
2
2203gx x dx γπ?
?=- ??
?
则2
15
2203W gx x dx γπ?
?=
- ??
??
2
15
2203g x x dx γπ?
?=- ??
??
23415801200099g x x x γπ?
?=-+ ??
?
20625g γπ= 202125000π=()J ．
二、物体质量
对于密度均匀的物体的质量l m l γ=?或A m A γ=?、m V γ=?，这时密度是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法． 例8．3．4 一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比，求金属丝的质量． 解 建立如图8．3．5坐标系
图8．3．5
则()l x ky γ==()0k >
y '=
ds =
=
=
()l dm x ds γ=?
=
kRdx =
R
R
m kRdx -=?
22kR =．
例8．3．5 设有一心脏线1cos r θ=+形的物质薄片，其面密度()2cos A γθθ=+，试
求此物质薄片的质量． 解
()2
2111cos 22
dA r d d θθθ=
=+（参照例8．1．10 ） ()A dm dA γθ=
()
()2
12cos 1cos 2
d θθθ=++ ()31
45cos 2cos 2cos 2
d θθθθ=
+++ ()230
145cos 2cos 2cos 2m d π
θθθθ=+++?
321145sin sin 2sin sin 023π
θθθθθ??=+++- ???
4π=．
例8．3．6 设一立体为曲线2
1
1y x
=
+关于x 轴的旋转体，其上任一点x 的体密度等于其横坐标的绝对值即()x x γ=，试求该立体的质量． 解
图8．3．6
2
211x dV dx x π??= ?+??
（图8．3．6中小圆柱体体积） ()x dm x dV γ= 2
211x dx x π??= ?+??
()
2
21x
dx x π=
+
()
2
21x
m dx x π+∞-∞
=+?
()
2
221x
dx x π+∞
=+?
()()2
220
11x d x π+∞
-=++?
2
10
1x π
+∞
=-+ π=．
三、液体压力
液面下h 深处水平放置的面积为A 的薄板承受的液体压力P 可以由压强乘以面积得到，即
P gh A γ=?，其中γ为液体密度，压强gh γ是个常量（匀压强）．
现在如若把薄板垂直放置呢？薄板上的压强还是常量吗？还能用上边那个简单的公式吗？
例8．3．7 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门，闸门垂直放置且上边与水面齐（如图8．3．4），试计算闸门一侧所承受的水压力． 解
回顾例8．3．3，我们知道抽水做功微元dW 为把x 处一层水抽出所做的功；类似地，侧压力微元dP 为x 处一层水对应的闸门的一个小窄条（如图阴影部分）所承受的水压力，即dP gxdA γ=
2gx ydx γ=
22203gx x dx γ?
?=- ??
?
则15
22203P gx x dx γ?
?=
- ??
??
15204403g x x dx γ??
=- ??
??
2
315498002009x x ??=- ??
?
29400000=()N ．
思考题8.3
1．观察图8．3．4中的阴影部分，思考它在以下问题中的不同含义： （1）梯形面积； （2）梯形闸门侧压力； （3）圆台体积；
（4）圆台形水池的抽水做功． 2．试用一句话论述微元法的精髓．
（用简单方法（公式）得到微元，通过对微元积分解决复杂问题） 练习题8.3
1．在x 轴上作直线运动的质点，在任意点x 处所受的力为()1x
F x e
-=-，试求质点从
0x =运动到1x =处所做的功．
2．一半径为1m 的水井，深10m ，水面距地面4m ．如果把水全部抽干（不考虑渗漏因素），要做多少功？
3．物质曲线ln y x =上任意点x 处的线密度()2l x x γ=，求x ∈一段物质曲线
的质量．
4．一底为8cm 高为12cm 的矩形薄片垂直沉没于水中，上底在水深5cm 处并与水面平行，求薄片一侧所受的侧压力．
练习题8.3答案
1．在x 轴上作直线运动的质点，在任意点x 处所受的力为()1x
F x e
-=-，试求质点从
0x =运动到1x =处所做的功．
解
dW ()F x dx =
()1x e dx -=- W ()
1
01x e dx -=-?
()1
x x e -=+
1e
=． 2．一半径为1m 的水井，深10m ，水面距地面4m ．如果把水全部抽干（不考虑渗漏因素），要做多少功？ 解
dW dm g x =?? dV g x γ=??? gx dx γπ=
则10
4
W gx dx γπ=
?
210142
g x
π= 42g γπ= 411600π=()J ．
3．物质曲线ln y x =上任意点x 处的线密度()2
l x x γ=，求x ∈一段物质曲线
的质量． 解
1y x
'=
ds =
=
()l dm x ds γ=
(l x γ=
=
m =
)()12
22
1112
x
d x =++
()3
2
2113
x =+193
=
． 4．一底为8cm 高为12cm 的矩形薄片垂直沉没于水中，上底在水深5cm 处并与水面平
行，求薄片一侧所受的侧压力． 解
dP gxdA γ= 0.08gx dx γ=
则0.17
0.05
0.08P gx dx γ=
?
2
0.17
10009.80.040.05
x =??? 10.3488=()N ．
微积分练习题及解析
练习题 1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t ，y 轴上的坐标为y=-4+5sin2t ，t 为时间物理量，问： ⑴物体的速度是多少？ ()'10sin(2)x dx V x t t dt = ==- ()'10cos(2)y dy V y t t dt === 2210x y V V V =+= ⑵物体所受的合外力是多少? 222(3)(4)5x y -+-= 运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405 mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？ 匀速圆周运动 ⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？ 圆心（3,4），半径5 2、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动，该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2,试问当位移x 为多少时F 变 为零。 34dW F x dx = =-，所以当x=3/4时，F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E= KQ r 2, 请验证Ａ点处的电势公式为：U = KQ r 。 规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功 我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的， 则2 kQq dW F dr dr r =-?=- ? 所以2 0W r kQq dW dr r ∞=-?? 即21r q kQq dr r ?∞=? 所以1|r kQ kQ r r ?∞=-=
4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。在杆上距离O 端点为x 处取点A ，令M 为细杆上OA 段 的质量。已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=dM dx ,问当x=L 2 处B 点的线密度为何？ 2dM kx dx ρ= = ,2L x kL ρ∴== 5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置12 振幅处，其势能E P =，动能E k =。 首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k ，伸长量为x 时的势能为E （x ） 弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功 dW F dx kx dx =?=? 00W x dW kx dx ∴=??? 2 ()2 kx E x ∴= 所以在距平衡位置12振幅处的弹性势能为总能量的14 ，即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U 对电容为C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。 0022 1122q q E Q q q dE dQ U Q dE dQ C Q E CU C =?∴=∴==?? 7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R 的电阻，导轨宽度为L ，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B 。有一导体棒ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导
物理中的微积分思想
高中物理中微积分思想 浙江省湖州中学物理组 潘建峰 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？ 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2021at t v x +=就可以求得汽车走了0.025公里。 但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即202 1at t v x +=。 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5025 02050050=-=+=+==?? 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决. 2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我 们如何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运 动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到
微积分知识点小结
第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 ∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章 导数与微分 一、本章提要
瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2.基本方法 ⑴用洛必达法则求未定型的极限； ⑵函数单调性的判定； ⑶单调区间的求法； ⑷可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺曲线的凹向及拐点的求法； ⑻曲线的渐近线的求法； ⑼一元函数图像的描绘方法． 3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则． 第五章不定积分 一、本章提要 1. 基本概念 原函数，不定积分．
高中物理微积分应用(完美)
高中物理中微积分思想 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢 例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2 02 1at t v x + =就可以求得汽车走了公里。 动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。 现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2 02 1at t v x + =。 【 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5 025 205 005 0=-=+=+==?? 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度 关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决. 2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我们如何求解呢 例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦 力做了多少功。 【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同， 设OA 、OB 与水平直径的夹角为θ作直线，且摩擦力可视为恒力，则在功之和可表示为： (μθμ-+?-=?R N W A f
大学微积分知识点总结
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 （8）
①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）分段函数的积分 例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分
微积分下册知识点
微积分（下）知识点 第 1 页 共 18 页 微积分下册知识点 第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、 共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 222z y x r ++= ； 2） 两 点 间 的 距 离公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=
微积分（下）知识点 第 1 页 共 18 页 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(2 2=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面： ),(=y x F 表示母线平行于 z 轴，准线为 ?????==0 ),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（不考） 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 4） 双叶双曲面：122 22 2 2 =--c z b y a x
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+
15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?
高中物理竞赛讲义全套(免费)
目录 中学生全国物理竞赛章程 (2) 全国中学生物理竞赛内容提要全国中学生物理竞赛内容提要 (5) 专题一力物体的平衡 (10) 专题二直线运动 (12) 专题三牛顿运动定律 (13) 专题四曲线运动 (16) 专题五万有引力定律 (18) 专题六动量 (19) 专题七机械能 (21) 专题八振动和波 (23) 专题九热、功和物态变化 (25) 专题十固体、液体和气体的性质 (27) 专题十一电场 (29) 专题十二恒定电流 (31) 专题十三磁场………………………………………………………………………… 33 专题十四电磁感应 (35) 专题十五几何光学 (37) 专题十六物理光学原子物理 (40)
中学生全国物理竞赛章程 第一章总则 第一条全国中学生物理竞赛（对外可以称中国物理奥林匹克，英文名为Chinese Physic Olympiad，缩写为CPhO）是在中国科协领导下，由中国物理学会主办，各省、自治区、直辖市自愿参加的群众性的课外学科竞赛活动，这项活动得到国家教育委员会基础教育司的正式批准。竞赛的目的是促使中学生提高学习物理的主动性和兴趣，改进学习方法，增强学习能力；帮助学校开展多样化的物理课外活动，活跃学习空气；发现具有突出才能的青少年，以便更好地对他们进行培养。第二条全国中学生物理竞赛要贯彻“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”的精神，竞赛内容的深度和广度可以比中学物理教学大纲和教材有所提高和扩展。 第三条参加全国中学生物理竞赛者主要是在物理学习方面比较优秀的学生，竞赛应坚持学生自愿参加的原则．竞赛活动主要应在课余时间进行，不要搞层层选拔，不要影响学校正常的教学秩序。 第四条学生参加竞赛主要依靠学生平时的课内外学习和个人努力，学校和教师不要为了准备参加竞赛而临时突击，不要组织“集训队”或搞“题海战术”，以免影响学生的正常学习和身体健康。学生在物理竞赛中的成绩只反映学生个人在这次活动中所表现出来的水平，不应当以此来衡量和评价学校的工作和教师的教学水平。 第二章组织领导 第五条全国中学生物理竞赛由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会（以下简称全国竞赛委员会）统一领导。全国竞赛委员会由主任1人、副主任和委员若干人组成。主任和副主任由中国物理学会常务理事会委任。委员的产生办法如下： 1．参加竞赛的省、自治区、直辖市各推选委员1人； 2．承办本届和下届决赛的省。自治区、直辖市各推选委员3人。 3．由中国物理学会根据需要聘请若干人任特邀委员。 在全国竞赛委员会全体会议闭会期间由主任和副主任组成常务委员会，行使全国竞赛委员会职权。 第六条在全国竞赛委员会领导下，设立命题小组、组织委员会和竞赛办公室等工作机构。命题小组成员由全国竞赛委员会聘请专家和高等院校教师担任。组
微积分(下册)主要知识点汇总
4.1不定积分 *基本积分表 *基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法 一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 )(arcsin .11)(arctan )(arctan 11 ) (arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4) (ln )(ln 1 )(ln .3) 0()()(1 )(.2) 0()()(1 )(.12 2221==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?≠=≠++=+??????????????????????-μμμμμμμ 法 分 积元换 一第换元公式积分类型
高中物理求解通过电阻或电路中的电量的几种常用方法
高中物理求解电量的几种常用方法 其实思路都是：q=It 和C=q/U 一、常规法求之 I=Q 电/t ， 已知通过某电阻的电流强度为0.2A ，求通电5min 有多少电量经过该电阻？ q=It=0.2×300C=60C 二、利用动量定理求解 求解电量的公式推导和思路： 电量表达式：t I q ?=； 动量定理：p t F ?=?合，公式中的F 合也是时间Δt 内的平均值，在F 合为金属棒受到的安培力时，有p t F ?=?安； 安培力：L I B F =安； 综合上面三式，得BL p q ?= ． F 安Δt=mv-0 BIL Δt=mv-0 BLQ 电=mv-0 Q 电=mv/BL E d C B a 如图所示，金属棒ab 的质量m=5g ，放置在宽L=1m 的光滑的平行金属导轨上，导轨处于水平面内，磁感应强度B=0.5T 。C=200μF ， E=16V ，当电容充电结束后，开关拔向右方接通，金属棒从速度为零的虚线位置运动到速度为0.01m/s 的实线位置的时候。求： （1）通过金属棒的电量为多少。 （2）此刻电容器的两端电压为多大。 (1) 1×10-4C 。 根据以上公式Q 电=MV/BL 代入数据即可得结果。 (2) 15.5V 。 根据公式得Q 1=CE=32×10-4C ΔQ=1×10-4C, Q 2=Q 1-ΔQ=31×10-4C 。又根据C=Q /U 得 U 2=Q 2/C=15.5V 电阻为R 的金属棒AC 、DE （如图1）。开始时，DE 静止，AC 棒以V0初速度向右运动，求：在运动过程中通过AC 棒上的总电量。
分析：AC棒和DE棒在运动中，开始时AC棒的速度大于DE棒的速度，回路中有顺时针方向的电流。AC棒受到的安培力使AC棒做减速运动，DE棒受到的安培力使DE棒做加速运动。当两棒的速度相等时，回路中的电流为零，两棒受到的安培力也为零，两棒最后以相同的速度匀速运动。尽管AC棒和DE棒所受到的安培力是变力，但始终大小相等，方向相反，两棒组成的系统合外力为零，系统动量守恒。 故有：mV0＝2mV共 V共＝V0/2 设回路中的平均电流（对时间平均）为I，再对AC棒用动量定理 得：－BIL△t＝mV共－mV0 又q＝I△t 如图2所示，既平行又光滑的水平导轨MM/宽为L，NN/宽为L/2，且都足够长，将其放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，在导轨的宽段和窄段上分别放置导体棒AC和DE。已知AC棒质量为m1,DE棒质量为m2，开始时DE棒静止在导轨上。给AC棒一向右的初速度V1，求DE棒从静止到稳定运动过程中，通过它的电量。 分析：当AC棒刚开始运动时，回路中有顺时针方向的电流，按左手定则可以判断AC棒受到向左的安培力，DE棒受到向右的安培力，而安培力是磁场施加的，对两棒组成的系统来说是外力不是内力。鉴于流过两棒的电流必相同，而长度相差一倍，故二者受到的安培力大小始终有如下关系：FAC＝2FDE 可见系统运动方向上的合外力不为零，即系统动量在变化过程中并不守恒。虽然动量不守恒， 这种情况下仍能用动量定理解决问题。因为AC棒做变减速运动，DE棒做变加速运动，回路电流不断减小。当回路电流为零时，AC棒和DE棒受到的安培力均为零，两棒的加速度也为零，速度不再变化，各自做匀速直线运动，达到稳定状态。稳定后回路中电流I＝0 所以AC棒和DE棒产生的电动势大小相等方向相反
微积分上重要知识点总结
1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有 界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、 高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断 点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、
(完整版)高等数学常用公式大全
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
高中物理实用微积分
高中物理实用微积分 问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少 分析：自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度） ，当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而t t s v ?+=??= 9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小， t s ??越接近米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于米/ 秒，此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 1、极限 极限的严格定义比较繁琐，此处从略。通俗来说，如果当自变量x 无限趋近某一数值 0x （记作0x x →）时，函数)(x f 的值无限趋近某一确定的数值A ，则A 叫做0 x x →时函数 )(x f 的极限值，记作A x f x x =→)(lim 0 例如：∞=>-x x 1lim 0；n n x ∞→lim ，1≥x 时趋于无穷，10<
微积分(下册)主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法 分 积元换一第换元公式 积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ
高等数学积分公式大全
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
新课标高中数学微积分习题
新课标高中数学微积分 习题 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高二数学微积分练习题 一、选择题： 1．已知自由落体运动的速率 gt v =，则落体运动从0=t 到 0t t =所走的路程为 （ ） A ．320gt B ．2 0gt C ．220gt D ．62 0gt [解析]要学生理解微积分在物理学中 的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是 A ．32 B ．329- C ． 332 D ．3 35 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若 1 1 (2)3ln 2a x dx x +=+? ，且a ＞ 1，则a 的值为 （ ） A ．6 B 。4 C 。3 D 。2 [解析] 4、用S 表示图中阴影部分的面 积，则S 的值是( ) A ．???a c f (x )d x B ．|?? ?a c f (x ) d x | C ．???a b f (x )d x ＋?? ?b c f (x ) d x D ．???b c f (x )d x －?? ?a b f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且??? 6 f (x )d x ＝8，则??? -6 6 f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 6、函数y ＝?? ?-x x (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是 奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝? ?? ? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象 与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) B ． 1 C ．2 8、?? ?0 3|x 2 －4|dx ＝( ) 二、填空题： 9．曲线1,0,2 ===y x x y ，所围成 的图形的 面积可用定积分表示
AP微积分与AP物理教材推荐
天道留学https://www.wendangku.net/doc/8a1318073.html,/ AP微积分与AP物理教材推荐 AP考试是大家升学备考的重点，在AP考试中，其中AP微积分和AP物理是大家选择普遍较多的考试。那么为了准备这些考试，大家应该选择怎样的备考材料和备考书籍才能保证最大程度上考取一个好分数呢?今天天道小编就和大家推荐几本相关教材，希望对大家有用。 1.微积分教材推荐(程度由易到难)： 普通高中人教版选修2-2：国内高中数学教科书，难度低，很适合自学。 新东方AP微积分：中英双语的微积分教材，适于高一学完函数的学生使用。全面涵盖AP微积分的考点的同时又没有超纲内容。 美本教材Calculus：美国大学本科使用非常广泛的一本教材，习题丰富，推导过程详细。有部分超纲内容，适用于学有余力的学生。 国内本科《高等数学》：证明严谨，定理众多，难度较大。 2.物理教材推荐(程度由易到难)： Giancoli Physics：这本书是美国高中使用最广的物理教科书之一，知识点介绍很全面，也很细致，习题数量多，公式的推导没有涉及到微积分，是自学与入门AP的最好的教材，也很适合准备SAT2物理。 美本教材《希尔斯物理学》：美国大学工科类使用比较广泛的一本教科书，知识点同样很全面细致，配图比上面的giancoli更加全面，习题难度也更上了一个档次;公式的推导和习题都需要掌握微积分，需要学生有不错的微积分基础，或者在有经验的教师指导下进行学习。 国内本科教材： 《普通物理学教程》(漆安慎，杜婵英，高等教育出版社) 《普通物理学》(程守株，高等教育出版社) 3.不推荐使用巴郎、普林斯顿、开普兰等作为自学内容，这些书上关于概念的引入、公式的推导、例题讲解、习题数量和难度都无法和正式的教材相比。 以上就是小编为大家推荐的AP考试微积分和物理教材，希望大家认真使用这些教材，考取一个优秀的AP考试分数。
微积分知识点归纳
知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 ：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37： 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。 例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，
lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ， 其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→