立体几何中的向量方法复习
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科
教师
上课日期
上课时间
课题
立体几何中的向量方法复习
一、选择题
1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A. l ∥α B. l ⊥α C. l ?α
D. l 与α斜交
答案：B 解析：因为直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B.
2. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1
3AC ，则( )
A. EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直
B. EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC
C. EF 与BD 1相交
D. EF 与BD 1异面 答案：B
解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，1
3
，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，
A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→
＝(－1，－1,1)，
EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·E F →
＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .故选B.
3. 若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.
48585 B. 6985 C. －15
15
D. 0 答案：C 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515
.
4.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( )
A.
64 B. －64 C. 104 D. －10
4
答案：A
解析：取AC 中点E ，连接BE ，则BE ⊥AC ，如图，建立空间直角坐标系Bxyz ，则A (32，1
2
，0)，D (0,0,1)， 则A D →
＝(－
32，－12，1)．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面AA 1C 1C .∴B E →
＝(32
，0,0)为平面AA 1C 1C 的一个法向量，∴cos 〈A D →，B E →
〉＝－
6
4
，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α， ∴sin α＝|cos|〈A D →，B E →
〉|＝
6
4
，故选A. 5.在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1
与AF 1所成的角的余弦值是( )
A.
3010 B. 12 C. 3015 D. 15
10
答案：A 解析：建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 1(－12，0,1)，B (0，－1,0)，D 1(－12，
cos 〈AF 1→，BD 1→
〉＝AF 1→·BD 1→
|AF 1→|·|BD 1→
|
＝3010.
－12，1)，即AF 1→＝(12，0,1)，BD 1→
＝(－12，12
，1)．∴
(第5题图) (第6题图) (第7题图) 二、填空题
6.如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →
〉＝3
3
，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．
答案：(1,1,1)
解析：设PD ＝a ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1，a 2)，∴DP →＝(0,0，a )，AE →
＝(－1,1，a 2)．
由cos 〈DP →，AE →
〉＝33，∴a 2
2
＝a
2＋a 24·3
3
，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．
7.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值________．
答案：
105解析：如图建立空间直角坐标系，AB →＝(0,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，AE →
＝(0，12
，1)
设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
由n ·AB →＝0可解得n ＝(1,0,1)，n ·AD 1→
＝0
设直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角为θ， 则sin θ＝|AE →
·n |
| AE →
|·|n |＝10
5.
三、解答题
8. 已知在几何体A －BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(2)试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．
解：(1)由题知，CA ，CB ，CE 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
则A (4,0,0)，B (0,4,0)，D (0,4,1)，E (0,0,4)， ∴DE →＝(0，－4,3)，AB →
＝(－4,4,0)， ∴cos 〈DE →，AB →
〉＝－225
，
∴异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为22
5
.
(2)设满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，m ，n )，则A Q →＝(－4，m ，n )，B Q →＝(0，m －4，n )，E Q →
＝(0，m ，n －4)，Q D →＝(0,4－m,1－n )．∵AQ ⊥BQ ，∴m (m －4)＋n 2＝0，①∵点Q 在ED 上，∴存在λ∈R(λ>0)使得EQ →
＝λQD →
，∴(0，m ，n －4)＝λ(0,4－m,1－n )，∴m ＝4λ1＋λ，②n ＝4＋λ1＋λ
.③
由①②③得(λ＋41＋λ)2＝16λ(1＋λ)2，∴λ2
－8λ＋16＝0，解得λ＝4.∴m ＝165，n ＝85.
∴满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，165，8
5
)．
9. 如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、H 分别是棱BB 1、CC 1、DD 1的中点． (1)求证：BH ∥平面A 1EFD 1；
(2)求直线AF 与平面A 1EFD 1所成的角的正弦值．
解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，H (0,0，a 2)，F (0，a ，a
2)，A 1(a,0，
a )，E (a ，a ，a
2
)，D 1(0,0，a )
(1)∵A 1E →＝(0，a ，－a 2
)，D 1A 1→
＝(a,0,0)设平面A 1EFD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．
则???
??
n ·A 1E →＝ay －a 2
z ＝0n ·D 1A 1→＝ax ＝0
，令z ＝2，则y ＝1.∴n ＝(0,1,2)又∵BH →
＝(－a ，－a ，a 2
)∴BH →·n ＝0－a ＋a ＝0.
∴BH →
⊥n ，∵BH ?平面A 1EFD 1.∴BH ∥平面A 1EFD 1.
(2)∵AF →
＝(－a ，a ，a 2)，由(1)知n ＝(0,1,2)是平面A 1EFD 1的一个法向量，设直线AF 与平面A 1EFD 1所成的
角为θ，则
sin θ＝|cos 〈AF →
，n 〉|＝|AF →·n ||AF →|·|n |
＝
|a ＋a |a 2＋a 2＋a 24
·1＋4
＝435
＝45
15. 即直线AF 与平面A 1EFD 1所成的角的正弦值为45
15
.
10如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．
(1)证明：PC ⊥平面BEF ；
(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．
解：(1)如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵AP ＝AB ＝2，BC ＝22，四边形ABCD 是矩形，
∴A ，B ，C ，D 的坐标为A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)．又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →
＝(1,0,1)，
∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，P C →·EF →＝2＋0－2＝0，∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →
，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF .
(2)由(1)知平面BEF 的一个法向量n 1＝PC →＝(2,22，－2)，平面BAP 的一个法向量n 2＝A D →
＝(0,22，0)， ∴n 1·n 2＝8，设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝84×22＝2
2
， ∴θ＝45°，∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.