高等数学试卷
湖南理工学院
《高等数学》单元测试试卷(A 卷)
一、选择 （3小题，共9分）
1．直线x y z
+-=+-=
3
2
47
3与平面4223x y z --=的关系是
A 、平行，但直线不在平面上
B 、直线在平面上
C 、垂直相交
D 、相交但不垂直
2．方程x
y z
2
22
0++=在空间表示
A 、球面
B 、圆锥面
C 、一点
D 、圆柱面
3．直线??
?=-=+015023x z x A 、平行y 轴 B 、垂直y 轴
C 、平行x 轴
D 、平行zox 平面
二、填空 （4小题，共10分）
1．过点(,,)024且与平面x z +=21及y z -=32都平行的直线方程为_________________ 。
2．
曲面x y z
2
2
2
44++=与平面x z a +=的交线在y o z 平面上投影方程是
____________________________ 。
3．直线
x y z +=-=
--1
12
2在xoz 平面上的投影直线方程为?????????????????????? 。
4．已知点B(3，－2，5)及点P(1，－1，2)，点P 分线段AB 成定比AP
PB
=3
，则点A 的坐
标是______ 。
三、计算 （18小题，共74分）
1．设向量 a 的三个方向角满足αβπαγ+=+=,cos cos 1，且 a =6，求 a 。
2．求球面x y z x y z 2
2
2
24470++-+--=的球心和半径。
3．动点P 到M M 12500500(,,),(,,)-距离之和等于20，求动点P 的轨迹。 4．求球面222457102
2
2
x y z x y z +++-+-=的球心和半径。 5．求过球面()()()
x y z -++++=31492
2
2
上一点P 0102(,,)-的球面的切平面的方程。
6．求A B ,，使平面π:Ax By z ++-=670与直线
l x y z :-=+-=+42
54
13
垂直。
7．求曲线)
20(cos 3sin 4cos 4:2πθθ
θθ
≤≤??
?
??===z y x L 与球面x y z
222
25++=的交点。
8．证明曲线)
20(5sin 4cos 4:πθθθθ<≤?
??
??===z y x L 在某一以z 轴为旋转轴的圆柱面上，并求此圆
柱面的方程。
9．求曲线?
??
??===θθθb z a y a x sin cos 在xo y 平面上的投影 。
10．求向量
a =-{,,}3124在向量
b =-?-{,,}{,,}102134上的投影。
11．设a b =={,,},{,,}013423，向量r a r b r ⊥⊥=,,26
，且r 与z 轴成锐角，求r 。
12．已知单位向量
a 的三个方向角为相等的钝角，点B 是点M (,,)122-关于点N (,,)
-121的对称点，求
a O B ?。
13．设{}{}a b =-=-141345,,,,,，求sin (,)a b ∧
。 14．求平行于平面23650x y z +++=而与三坐标面所构成的四面体的体积为单位体积的
平面方程。
15．求两平行平面36270362140x y z x y z +--=+-+=,之间的距离。
16．求B D ,，使直线??
?=-++=-+-030
92D z By x z y x 在xo y 平面上。
17．求直线x y z x y z -+-=+-+=??
?230
2260的对称式方程和参数方程。
18．试确定k 的值，使两平面π10:kx y z k ++-=，π220:kx y z +-=互相垂直。
四、证明 （1小题，共7分）
1．证明两组方程
???=-+-=+-+01820105175:1z y x z y x l 与l x y z x y z 2417102530:+++=+++=??
?
表示同一直线。
湖南理工学院2011-2012学年二学期
课程考试试卷答案(A 卷)
一、选择 （3小题，共9分） 1．A 2．C 3．A
二、填空 （4小题，共10分）
1．x z y z +-=-+=???2803100 或x y z -=-=
-2
2341
2．??
?==++-044)(222x z y z a
3．
??
?=-=01y x
4．(-5,2,-7)
三、计算 （18小题，共74分）
1．cos cos ,
cos cos αβαγ=-+=1
所以 2113202
2
2
cos (cos ),
cos cos αααα+-=-=
cos α=0或 2
3
a
001={,,}或{
,,}
2
3
2313-
a ={,,}006或{,,}442-。
2．球面方程为()()()x y z -+++-=122162
2
2
故球心为(,,)122-，半径为4。 3．设P x y z (,,)，
P M P M 1220+=，
即
()()x y z
x y z
-++=-+++52052
2
2
222
。
整理得
x
y
z
2
2
2
10075751+== 4．球面方程为
()()()
x y z ++-
++=
154
74
4982
2
2
，
故球心为
(,,)
--
154
7
4，半径为
724
5．球心为M 0314(,,)--
P M 00212=--{,,} 即为所求平面的法向量
故所求平面为2260x y z ---=
6．π法向量为n A B ={,,}6
l 方向向量为S =-{,,}243 l 与π垂直，n S //
故 A
B 2
4
63=
-=
解得：A B ==-48,
7．L 代入球面方程，得
161692252
2
2
cos sin cos θθθ++=
解得：
θπππ
=023
2,,,
故交点为：(,,),(,,),(,,),(,,)403043403043---- 8．x y 2
2
2
416+== 故L 在圆柱面x y 2
2
16+=上
9．x a y a ==cos ,sin θθ 故x y a 2
2
2+=
从而投影为??
?==+02
22z a y x
10．
b ={,,}623
b =7
P rj b a b
a b =?=167
11．a b ?=--{,,}3124 因r 与z 轴成锐角，故
r
a b 0
=-?()
r r r ==0
-
?||r a b
a b ?=-{,,}6248
12．
a =-
1
3
111{,,}
OB ON M N ON OM =+=-=-2360{,,}
a OB ?=-
?-13
3()i
j k 1
111203213-=-{,,}
13．cos (,)a b ∧
=a b
a b ??=-
=-
||||
1830
35
sin (,)a b ∧
=
45
14．设所求平面为：2360x y z D +++=
即 x
D y D z D -+-+-=///2
3
6
1
故所构成的四面体的体积为
V D
D
D
D
=
??=1623663
3
由条件V =1，解得D =±6
故所求平面方程为：23660x y z ++±=
15．在36270x y z +--=上取点P 0072,,-?
?
???
所求距离为
D =
+++=714
93643
16．xo y 平面方程为z =0 对任意x y ,，有
??
?=-+=--03092D By x y x
故1329:::()=-=--B D
解得：B D =-=627,
17．令x =0，-+-=-+=??
?230260y z y z ，得y z ==03,， 即直线过点(,,)003。
直线方向向量为
S i j k
=--=1
212
1
2
345{,,}
故直线对称式方程为
x y z 343
5==- 参数方程为 ???
??+===3543t z t y t x
18．ππ12,法向量分别为：n k n k 121112==-{,,},{,,} 由ππ12,垂直，故n n 12⊥ n n 120?=
解得：k =±1
四、证明 （1小题，共7分）
1．l 1方向向量为
S i j k
15
1751
2
8
91453=--=--{,,}
令y =0，得???=-+=+-01801055z x z x ，解得
x z =-=
5313, 即l 1过点P 05
3
013-?? ???
,, n n 124117251=={,,},
{,,}
则 S n S n 111200?=?=
故 l 1与l 2平行
P 0代入l 2方程，满足方程
故l 1，l 2重合，即表示同一直线。
湖南理工学院
《高等数学》单元测试试卷(B 卷)
一、选择 （1小题，共3分）
1．方程
x
y
z
2
2
2
4
+=表示的是
A 、 锥面
B 、 椭球面
C 、双曲面
D 、双曲线 二、填空 （6小题，共19分）
1．向量{}a =-725,,在向量{}b =221,,上的投影等于_______。
2．x 轴上与点A(4，4，－7)和点B(－1，8，6)等距离的点是______ 。 3．xoy 面第一象限的分角线上与点A(－6，6，1)和点B(5，－4，6)等距离的点是 ______ 。
4．设{}{}
a b =
--=-3121213,,,,,，则
()()
5375
a b a b -?-= _____ 。
5．设 a =2,
b =2
，且a b ?=2，则a b
?= _____ 。
6．设 a =1, a b a b ?=?=31,，则b
= _____ 。
三、计算 （17小题，共78分）
1．设质量为m 1的质点位于点A (,,)001，质量为m 2的质点位于点P x y z (,,)，求质点A 对
质点P 的万有引力的坐标表达式。
2．设ABCD 是空间四边形，各边中点依次为M N P Q ,,,，证明
M N PQ →
→
→
+=0
3．(1)证明向量
A i j k
B i j k
C i j k =+-=-++=--3234426,,能构成一三角形的各边；
(2)求该三角形各中线的长度。
4．设向量
p 的方向角αβγ,,适合αβγα==,2，求 p 0。
5．设长方体三条棱长为O A
O B O C ===534,,，O M 为对角线，求O A O B O C ,,分
别在O M 上的投影。
6．P x y z i i i i i (,,)(,,)=123为不共线的三点，试求点A ，B 的坐标，使四边形P P AP 123及
P BP P 123为两个平行四边形。
7．设P x y z i i i i (,,)()i =123,,为空间三点，P 1关于P 2的对称点为M
，M 关于P 3的对称
点为Q ，求Q 点的坐标。
8．求直线l x y z x y z :+-=-+-=??
?11在平面π10:x y z ++=上的投影。
9．求yoz 平面上曲线y z 22
1-=分别绕y 轴，z 轴而成的旋转曲面的方程。 10．求xoz 平面上曲线x z 221+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程。
11．求过点M (,,)431-且与两直线l x
y
z
1623:==
-和???=+-=+-+022012:2z x z y x l 都平行的平面
的方程。
12．求平面的方程，使得这个平面垂直于平面x y z -+-=250，平行于以
152525
5,,
-为方向余弦的直线，并且过点(,,)501。
13．在平面x y z ++=1上作一直线，使它与直线y z ==-??
?1
1垂直相交。
14．求曲线???
??===t z t y t x L sin 3cos 2:与曲面
S x y z :943672222
++=的交点。 15．试考察曲面
x
y
z
2
2
2
9
25
4
1
-
+
=
(1)在平面x =2上的截痕形状，并写出其方程。
(2)在平面y =5上的截痕形状，并写出其方程。 (3)在平面z =2上的截痕形状，并写出其方程。
16．把直线2230210x y z x y z -+-=+--=??
?投影到三个坐标平面上，分别求出三条投影直线的方程。
17．设
a =5,
b a b ==
∧
8,(,)π3，求
a b
+及
a b
-。
1．A
二、填空 （6小题，共19分）
1．5 2．(-2,0,0) 3．(2,2,0) 4．60 5．2 6．2 三、计算 （17小题，共78分）
1．f km m x y z =
++-12
2
2
2
1()
{}f
PA x y z x y z x y z 0
00
2
2
2
11
11==--=-
++--,,()
{,,}
f k m m x y z x y z =-++--12
2
2
2
32
11[()]
{,,}
/
2．
M N M B B N A B B C =+=+12
()=
12A C
P Q P D D Q C D D A =+=
+=
12
()12
C A
所以
M N PQ +=0
3．(1)A B C -=，所以能构成三角形。 (2)
||
A C -
2=6
||B A -
2
=
12
150
||C B +
2
=
12
114
4．
p 02221=++={cos ,cos ,cos },cos cos cos αβγαβγ 由题设，有22122
cos cos αα+=，cos (cos )2120αα+=
cos 20α=，
απ
=
4， p 0
22220={,,}
120+=cos α，
απ
=
2， p 0
001=-{,,}
所以 p 0
22220={,,}，或
p 0
001=-{,,}。 5．O M 与三棱夹角依次记作αβγ,,，则因O M =52，有
cos ,cos ,cos αβγ=
==
22
3210
225
故
()()
O A
O B
O M
O M
=
=
52
2,
()
910
2,
O C
O M
=
85
2
6．A (x x x y y y z z z 231231231+-+-+-，，) B (x x x y y y z z z 123123123+-+-+-，，)
7．P 1经P 2对称得()M x x x y y y z z z 121121121222+-+-+-(),(),()，
再经过P 3对称得点Q 坐标：
x x x x y y y y z z z z =-+=-+=-+222222321321
321
8．设过l 与π1垂直的平面方程为
π：x y z x y z +--+-+--=110λ() 由于与π1垂直，解得λ=1，
即π：y z --=10。
故所求投影直线为 x y z y z ++=--=??
?010
9．绕y 轴 -+-=x y z 222
1
绕z 轴
x y z
222
1+-=
10．x y z
2
2
2
1++=
11．l 1方向向量为S 1623=-{,,}
l 2方向向量为
S i j k
21
212
1
214=--=---{,,}
所求平面法向量为
n S S =?=--1211302{,,} 所求平面为
113021360x y z -+-=
12．π法向量n l =-{,,},112方向向量S =-{,,}
1525255
所求平面法向量为
n n S 115
2542521=?=-
--{,,}
故所求平面为
()()()254525210--+-+-=x y z
13．已知直线与平面交点为P 0111(,,)-
过P 0作与已知直线垂直的平面为 x =1
故所求直线为 ??
?=++=11z y x x
14．L 代入S 方程36363672222
cos sin t t t ++= 解得：t =±1
故交点为：(cos ,sin ,)21311 和(cos ,sin ,)21311--
15．(1)?????==+-2
19/209/1252
2x z y ，为双曲线
(2)?
????==+518182
2y z x ，为椭圆
(3)
?????
=±=2
35z x y ，为两相交直线 16．消去z ，得4350x y +-=
故在xo y 平面上，投影直线为 ??
?==-+00534z y x 消去x ，得5410y z -+=
故在yo z 平面上，投影直线为 ??
?==+-00145x z y 消去y ，得5370x z +-=
故在xoz 平面上，投影直线为 ??
?==-+00735y z x
17．
a b
a
b
+=++2
2
2
2a b cos
,
π3
129=a b +=129
a b -=2
49,a b -=7
湖南理工学院
《高等数学》单元测试试卷(C 卷)
一、选择 （2小题，共4分）
1．旋转曲面x
y z
2
22
1--=是
A 、xoy 平面上的双曲线绕x 轴旋转所得
B 、xoz 平面上的双曲线绕z 轴旋转所得
C 、xoy 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得
D 、xoz 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得
2．设向量a b ,满足
a b -=a b
+，则必有
A 、 a b -=0
B 、 a b +=0
C 、 a b ?=0
D 、 a b ?=0
二、填空 （4小题，共11分）
1．设平行四边形ABCD 的对角线AC
a BD
b ==,，则AB = ______ 。
2．方程y z 2
0-=在空间表示的曲面为_________________________ 。
3． 设a b c ,,均为非零向量，满足c a b b c a =?=?,，则a b c
++= _____ 。
4．平面23120x y z --+=在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为____，___，___ 。
三、计算 （14小题，共61分）
1．设
M 是?ABC 的形心。记M B e M C e →
→
→
→
==12,，试用e e 12→
→
,来表示向量
AB BC CA AM →
→
→
→
,,,。
2．在菱形ABCD 中，已知点A (,,)122-，点B (,,)341-，边AD 平行于z 轴，且∠A 为锐
角，求顶点C 的坐标。
3．求过点M (,,)431-且与两直线l x
y
z
1623:==
-和???=+-=+-+022012:2z x z y x l 都平行的平面
的方程。
4．在直线方程x m
y n
z p --=
=
-+4
25
6中，m n p ,,各为何值时，直线与xoy 平面，yo z 平面
都平行。
5．求直线
l x y z :
-=
-=
+12
1
12
与平面π:x y z -+=23之间的夹角。
6．求过点P 0211(,,)且与直线??
?=-+=+-+02012:z y x z y x l 垂直的平面的方程。
7．求双曲面x
y
z
2
2
2
4
9
16
1
+
-
=与z =2的交线，并指出其名称。
8．求曲线???
??+=+=+=52)1(2)1(:2t z t y t x L 与曲面x y z +-=2
50的交点坐标。
9．求椭球面方程，它的对称轴与坐标轴相重合，并且通过?
????==+Γ0116
9:2
2z y x 和点
M 01223(,,
)。
10．已知：
a =3,
b a b =?=2630,，求 a b ?。
11．设 a b =-={,,},{,,}334362，求()()22 a b a b +?-及()()3254
a b a b -?-。
12．已知{}{}a b =-=-632122,,,,,，求
(1)与a 同方向的单位向量 a 0
； (2)a 在b 上的投影
Prj b
a
；
(3)a 与b 的夹角θ。
13．已知u 轴的三个方向角为相等的锐角，求向量{}a =-432,,在u 轴上的投影。 14．在x 轴上求点，使它到点M (,,)012-的距离等于它到平面π:63290x y z +--=的距
离。
四、证明 （4小题，共18分）
1．设ABCD 是空间四边形，各边中点顺`次为M N P Q ,,,，试用向量方法证明M N P Q
,,,是平行四边形。
2．证明：若对于某点P 存在不全为零的数αααααααα123412
340,,,,+++=，使得
αααα112233440PA PA PA PA +++=
，则A A A A 1234,,,共面。
3．证明：直线
l x y z :112
3
2=+=--与平面π:x y z +--=2210垂直，并求l 与π的交点。
4．设A B C ,,三点的向径依次为
a b c ,,，证明?A B C 的面积S a b b c c a =?+?+?12
。
五、应用 （1小题，共6分）
1．重量为p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上，如图。设
cos ,cos αβ=
=
1213
4
5，求A B
,所受的拉力f f 12,。
A
B
p
O
课程考试试卷答案(C 卷)
一、选择 （2小题，共4分） 1．A 2．C
二、填空 （4小题，共11分）
1．12
() a b - 2．母线平行x 轴，准线为
yo z 平面上曲线y z 2
0-=的抛物柱面。 3．3 4．a b c =-==6412,,
三、计算 （14小题，共61分） 1．BC M C M B e e =-=-21
A B F B F M M B M C M B e e ==+=+=+22212
221
()(
)
AC e e =+122
AM AB BM e e e e e =+=+-=+()211122
2．
()AD AB AB ===-7
263{,,}, 因∠A 为锐角，故D 点为
()(,,){,,}125007--=-=AD BC
点C 为(,,)348-。
3．l 1方向向量为S 1623=-{,,}
l 2方向向量为
S i j k
21
212
1
214=--=---{,,}
所求平面法向量为
n S S =?=--1211302{,,} 所求平面为
113021360x y z -+-=
4．所给直线即与y 轴平行 故 ()::()::26010-+=m n p
即 ???
??=+≠=-0
6002p n m 得
m p n ==-≠260,,
5．l 方向向量为S =-{,,}212
π法向量为n =-{,,}112 c o s
(,)S n ∧
=||||n S n S ?=
736 故l 与平面π的夹角为
arcsin
736
6．l 方向向量为
S i j k
=--=-1
212
1
1
113{,,}
所求平面方程为 x y z ++-=360
7．交线为x y z 22
49452+==?????,,
故为椭圆。 8．L 代入曲面方程，得
()()()t t t +++-+=14152502
2
解得：t =±2 故交点为：()969,,和()121,,-
9．设椭球面方程为x
a
y
b z
c 22
22
22
1
+
+
=
由于过P ，故得a b ==34,
由过点M 0，解得c =6 故椭球面为 x
y
z
2
2
2
9
16
36
1
+
+
=
10．
cos ,
sin ,
θθ=
?==
30
326
5131213a b ?=72
11．()()2242
a b a b a +?-=- b 2
87
=
()()325412102
a b a b a b b a b a -?-=-?-?=?
=-=--23
623
3
4
61029i j k
{,,}
12．(1) a a ==70,
1
7632{,,}-
(2)
b a b
==3,
Prj a b b ?=-4
3
(3)
cos Prj θ==-=- b a a 437421
θπ=-arccos
421
13．u 轴的单位向量为 u =
13
111{,,}
故
P rj u
a a u →=?=3
14．设所求点为P x (,,)00
PM x =+2
5
P 到π的距离为
d x =
-697
由条件PM d
=，即
x x 2
5697
+=
-
解得：
x x =-
=-8213
2
,
即所求点为-
?? ?
??8213
00,,和()-200,, 四、证明 （4小题，共18分）
1．M N M B B N A B B C =+=
+12
()=
12A C
Q P Q D D P A D D C =+=+12
()=12
A C
所以
MN QP =
故M N 与QP 平行且相等，因此MNPQ 为平行四边形。
2．αααα1234=---代入得 ααα2123134140A A A A A A ++=
由于αααα1234,,,不全为零，则至少有两个非零，设α40≠
所以A A A A A A 14112213=+μμ，即四点共面，或A 4在A A A 123,,的面上或共线。 3．l 方向向量为S =-{,,}122，
π法向量为n S =-={,,}122， 于是l 与π垂直。
l 参数方程为
???
??-=+-==t z t y t x 2321
代入π方程，解得t =1， 故l 与平面π交点为 (1，1，1)
4．S =
1
2AB BC
?
=
1
2
()() b a c b -?-
=
1
2
a b b c c a ?+?+?
五、应用 （1小题，共6分）
1．按点O受力平衡，应有
f f p
f f
12
12
cos cos
sin sin
αβ
αβ
+=
-=
?
?
?，即
12
12
124
135
53
135
f f p
f f
?
+=
??
?
?-=
??
解得f p f p 12
39
56
25
56 ==
,
四、证明（3小题，共12分）
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
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03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷 2003级高等数学（A ）（上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定，则 ==0 x dx dy （ ） .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2．曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ） 4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ） . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * ***x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题（每小题3分，共18分） 1．_____________________)(lim 2 1 =-→x x x x e 2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx dy 3．设,0, 00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
济南大学大一上学期高等数学试题
高等数学（上）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共42分） 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是 ； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C =+? ，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -?= ； 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ； 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim x x x -→= ；13、设 ()f x 可微，则()()f x d e = 。 二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。 三、 求解下列各题（每题5分，共20分） 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、 求解下列各题（共18分）： 1、求证：当0x >时，2 ln(1)2x x x +>- （本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋
高等数学下册模拟试题2及答案.
高等数学（下）模拟试卷二 一．填空题（每空3分，共15分） z= 的定义域为；（1 ）函数 xy （2）已知函数z=e，则在(2,1)处的全微分dz=； （3）交换积分次序， ? e1 dx? lnx0 f(x,y)dy 2 ＝； )点B(1,1)间的一段弧， 则（4）已知L是抛物线y=x上点O(0,0与之 ? = （5）已知微分方程y''-2y'+y=0，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分） ?x+y+3z=0? （1）设直线L为?x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππ A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 ?z=33 z=f(x,y)z-3xyz=a（2）设是由方程确定，则?x（）； yzyzxzxy2222 A. xy-z B. z-xy C. xy-z D. z-xy （3）微分方程y''-5y'+6y=xe的特解y的形式为y=（）； A.(ax+b)e B.(ax+b)xe C.(ax+b)+ce D.(ax+b)+cxe （4）已知Ω是由球面x+y+z=a
三次积分为（）； A 2 2 2 2 2x 2x 2x 2x 2x * * dv???所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成Ω ? 2π0 π2 dθ?sin?d??rdr a 2 B. ? 2π0 π20 dθ?d??rdr a a0 C. ? 2π0 dθ?d??rdr 0∞ πa D. ?
2π0 dθ?sin?d??r2dr π 2n-1n x∑ n 2（5）已知幂级数n=1，则其收敛半径 （）. 2 B. 1 C. 2 D. 三．计算题（每题8分，共48分） 1、求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程 . ?z?z x+y 2、已知z=f(sinxcosy,e)，求?x，?y . 22 D={(x,y)x+y≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算3、设 ??arctan D y dxdyx . 22 f(x,y)=x+5y-6x+10y+6的极值. 4、求函数 5、利用格林公式计算 ? L (exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy ，其中
大学数学练习题
大学数学习题及答案 一 填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程21y dx dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dx dy /-=的解是( ). 13已知(0)()3222 =+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ?????=+=0 )0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652=+-?? ? ??y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++?? ? ??的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19．方程 0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是____________________． 20．方程04=+''y y 的基本解组是____________________． 21．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．
大一高等数学试题及答案
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为
《高等数学》试卷2答案
？？大学 2008-2009 学年第一学期 2008级电子类、物理类专业 本 科 卷 B 参考答案与评分标准 课程名称 《高等数学》E1 课程号（ ） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）） 一、填空题：本题共5小题，每题3分，满分15分。 1、0()f x '； 2 、 2； 3、32； 4 、12x e x x +++； 5、233 3sin(1)x x +。 二、单项选择题：本题共5小题，每空3分，满分15分。 1、C ； 2、B ； 3、C ； 4、B ； 5、C 。 三、计算题：本题共10小题，满分60分。 1、(6分) 求() 401cos 1cos 2lim x x x →--。 解：原式＝2 12 4 0(1cos 2)lim x x x →- ------------------（2分） 2 2 1cos 28lim( )(2) x x x →-= ------------------（2分） 2 18()22 ==。 ------------------（2分） 2、(6分) 设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，求)0(f '。 解：原式0 ()(0) lim x f x f x →-=- ------------------（3分） lim(1)(2) (100)x x x x →=--- 100(1)100!100!=-= ------------------（3分） 3、(6分) 已知函数()y y x =由方程y e xy e +=所确定，求)0(y '。 解：两边对x 求导，0y e y y xy ''++= ------------------（3分） 由题设知(0)1y =，于是01 01 1 x y y x y y y e x e ===='=- =-+。------------------（3分） 4、(6分) 22x y x e =， 求dy 。 解：dy y dx '= ------------------（2分）
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇 整合 https://www.wendangku.net/doc/8a17436580.html,work Information Technology Company.2020YEAR
2 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．2 2lim sin 1 x x x x →∞ =+ 2 ； 2．当0x →时 ,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则 k = 3 4 ; 3．设()1sin x y x =+，则d x y π == d x π- ； 4．函数()e x f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ()223e e 2e(1)(1)(1)2 x x x ο+-+ -+- ； 5．已知函数3 2e sin , 0()2(1)9arctan ,0 x a x x f x b x x x ?+
大学高数试卷及答案
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 .
高数2-期末试题及答案
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
[整理]东南大学高等数学期中期末试卷.
-------------
------------- ------------- (A) ∑ ∞ =1 21 n n (B) ∑∞ =??? ??+111ln n n (C) ()n n n n n ??? ??+-∑∞ =111 (D) ∑?∞=+1 1 04 d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有 ()()?? ≤b a d c x x f x x f d d . (B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()?? +=T T a a x x f x x f 0 d d . (D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分) 1. ()()30 2 0d cos ln lim x t t t x x ?+→. 2. 判断级数 ∑∞ =-1 354n n n n 的敛散性. 3. x x x x d cos cos 04 2?-π. 4. ?∞+13 d arctan x x x . 5. 求初值问题 ()()?? ? ??-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解. 四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小 五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b a a b a b +-> 2ln . 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件 ()()()0d 1 10=+- +'?x t t f x x f x f 且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e ≤≤-x f x 成立. 七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且 ()()0d tan d 1 1 11 ==??--x x x f x x f , x ln
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学试卷2及答案
１ 高等数学（A2）试卷（二） 答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分） 1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2． 求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得
大学高数试卷及标准答案
. 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x
高等数学试卷和答案新编
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)
共 5 页 第 1 页 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 一. 填空题 1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 . 2. 幂级数() () 1 1 12ln 1n n n n x n ∞ =-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:()()12 20 01 d ,d d ,d y y y f x y x y f x y x -+=??? ? . 4. 设曲线C 为圆周2 2 1x y +=,则曲线积分()2 23d C x y x s +-=? . 二. 单项选择题 1.曲面24e 3z xy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线 12 112 x y z --== -的夹角为 [ ] (A) 4π (B) 3π (C) 2 π (D) 0 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）()()1 sin d d 2d d D D xy y xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 sin d d 2sin d d D D xy y xy x y y xy x y +=???? （C ）()()()()1 sin d d 2sin d d D D xy y xy x y xy y xy x y +=+???? （D ） ()()sin d d 0D xy y xy x y +=?? 3．设∑ 为上半球面z = ，则曲面积分 ∑ 的值为 [ ] （A ）4π （B ） 165π （C ）16 3 π （D ）83π
大学数学试卷A及答案
大学数学试卷A及答案 Prepared on 24 November 2020
《大学数学》试卷 一． 选择题（每小题3分） 1．下列求极限的问题中，能用洛必达法则的是（ ） A x x x x sin 1sin lim 20→ B )arctan 2(lim x x x -+∞→π C x x x x x sin sin lim +-∞→ D x x x x e e e -∞→+lim 2．=-→1ln lim 1x x x （ ） A 1 B －1 C 2 D －2 3．=-+-+-∞→4223lim 2323x x x x x x （ ） A －１ B 0 C 21 D 2 4．若在区间（a,b ）内，函数f(x)的一阶导数,0)('>x f 二阶导数0)('' A （1，1-e ） B （2，2-e ） C （2，22-e ） D （3，3-e ） 8．下列等式中，成立的是（ ） A ?=)()(x f dx x f d B dx x f dx x f d ?=)()( C C x f dx x f dx d +=?)()( D ? =dx x f dx x f dx d )()( 9．在区间(a,b)内的任一点x ，如果总有f ’(x)=g ’(x)成立，则下列各式中必定成立的是（ ） (x)=g(x) (x)=g(x)+1 C.f(x)=g(x)+C D.'))(()')((??=dx x g dx x f 10．已知C x dx x f +=?2cos )(，则f(x)=( ) A sin2x B －sin2x C cos2x D －cos2x 11． ?=dx xe x ( ) A C xe x + B C e xe x x +- C C e xe x x ++ D C e x + 12．?=xdx tan ( ) A.－ln|sinx|+C B. ln|sinx|+C C. –ln|cosx|+C |cosx|+C 13．=+-?dx x x )1(6 02( ) A 50 B 60 C 70 D 80 14．dx x x ?+2021=（ ） A 12- B 12+ C 15- D 15+ 15．行列式4 032053 21=（ ） 南京工业大学 高等数学A-2 试卷（A ）卷（闭） 2010--2011学年 第 二 学期 使用班级 江浦10级 学院 __ 班级 __学号 __ 姓名 __ ___ 一、选择题（本题共4小 题，每小题3分，满分12分，每小题给出四个选项，请将正确答案填在题后的括号内） 1．若),(y x f 在),(00y x 处可微，则在),(00y x 点下列结论中不一定成立的是（ C ） )(A 连续 )(B 偏导数存在 )(C 偏导数连续 )(D 切平面存在 2. 直线 011523 1 2325=--+-=-+=-z y x z y x 与平面的位置关系是（ D ） )(A 平行但不在平面上 )(B 在平面上 )(C 垂直 )(D 斜交 3. 若曲面∑：2 2 2 2 a z y x =++，则2 ()x y z dS ∑ ++??ò＝（ C ） 4．设)11ln()1(n u n n + -=，则级数（ B ） )(A ∑∞ =1n n u 与∑∞ =12n n u 都收敛 )(B ∑∞=1 n n u 收敛而∑∞ =1 2 n n u 发散 )(C ∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 2 n n u 都发散 )(D ∑∞ =1 n n u 发散而∑∞ =1 2 n n u 收敛 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分，请将正确答案填在题后的横线上） 1．已知矢量,a b r r 的模分别为() 2 ||2,||a b a b a b ==?=?=r r r r r r 及 2 __ 。 ⒉ 已知=+ =)1,1(),1ln(dz y x z 则 ()12 dx dy - 。 3．幂级数1 (1)2n n n x n ∞ =-?∑的收敛域是 [)1,3- ____ 。 4．设函数???≤<+≤<--=π πx x x x f 0,10,1)(2 ，则其以π2为周期的傅里叶级数在点π=x 处收敛于 _ 。 三、计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分，写出必要的解题过程） 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 2003级高等数学（A ）（上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定，则 ==0 x dx dy （ ） .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2．曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ） 4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ） . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * * **x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题（每小题3分，共18分） 1．_____________________ )(lim 2 1 =-→x x x x e 2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx dy 3．设,0,00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。 4．若dt t t x f x ?+-=2032 4 )(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x xe y -=的拐点是__________ 6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y南京工业大学新编期末高等数学a试卷a精选精选精选
高等数学下册试题及答案解析
东南大学高数上期末往年试题