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高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)

※高等数学上册期末复习

一.填空题

1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim

30 2

2.曲线x

xe y -=的拐点是 )2,2(2

-e

3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x

x f x )

(lim 0

)0(f ' 4.曲线x x y +-=

22cos 1在)2

1,2(π

π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1

-=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y

6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x

x x ?'?)()]([2sin

#7.=?dx e x 4

0 )1(22+e

8.若3)(0-='x f ，则=--+→h

h x f h x f h )

3()(lim 000

12-

9.若

dx x p ?

+∞

收敛，则p 的范围是 1-

#10.=+++∞

→1

232(

lim x x x x e 11.设

?+=c x F dx x f )()(，则?=dx x f )2(

c x F +)2(2

#12.设)(x f 的一个原函数是x x ln ，则?=dx x xf )( c x x x ++ln 2

13.设???≤>=0

,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61

#14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y

15.已知函数?????=≠=0

,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当

=a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第（一）类间断点。

16.已知

?+=c x F dx x f )()(，则?

=-dx x f x

)(arcsin 112

c x F +)(arcsin

17.当0→x 时，1)1(3

12-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a

3 #18.?

???=≠=?0,0,sin )(3

03x a x x dt

t t x f x 是连续函数，则=a 1 19.)(x f 在]1,0[上连续，且1)]([,0)1(1

==?

dx x f f ，则

='?1

)()(dx x f x xf 2

- 提示：=

'?1

0)()(dx x f x xf ??

-=1

1021

))(()()()()(x xf d x f x xf x df x xf

???'--='+-=1

210

)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ，移项便得。

#20.dx xe x x

x ?=Φ02

)(，则=Φ)1( )1(2

-e ，=Φ')1( e

21.x dx x df 1)(2=，则=')(x f x

提示：222

21)(12)(x

x f x x x f ='?=

?' 22.曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ，则=')2(f 3

#23.设x x f arctan )(=，则,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim

000

)

1(21

00x x + 24.33

2-+=x

x y 的水平渐近线是 3-=y 25.函数x

x y =的导数为 )1(ln +x x x

26.

+∞

-dx xe x 0

1 #27.=++?-dx x

x x )1sin (2

1 1 28.广义积分

+∞

dx x 1

31 2

29.x )x (f =的积分曲线中过)2

,1(-的那条曲线的方程 ______12x 2- #30.设s 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s )1(4

2+e

31.

='dx x f )2(

c x f +)2(2

32.曲线)1ln(x e y -=的全部渐近线为 e

x x y 1,0,1=

== #33.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积

π10

3 34.点)1,1,0(到平面0222=+-+z y x 的距离为

5 35.设向量k j i b k j i a ????????λ+-=+-=24,2，则当=λ 10-时，b a ?

?⊥；当=λ b a ??//,2。

本题不作要求36.空间曲线???+==++)(31

22222y x z z y x 在xoy 平面上的投影曲线方程为 ?????==

4122z y x 37.设3),(,2,5π===b a b a ????，则=-b a ?

?32 192

38.设向量}5,4,3{},2,1,2{-=-=b a ??，则a ?在b ?

上的投影为 22

39.已知向量k j i m a ????

-+=5和向量k n j i b ????++=3共线，则=m =n ,15 5

40.设平行四边形二边为向量}3,1,2{},1,3,1{-=-=b a ??

，则其面积为 103

41.设点142),5,0,4(=B A A ?，向量B A ?的方向余弦为14

cos ,143cos ==βα， 14

cos -

=γ，则B 点坐标为 )1,2,10( 本题不作要求42.曲线?

??==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为

12233222=++y z x

43.设,3,2==b a ??

且b a ??//，则=?b a ?? =?±b a ??,6 0?

44.设?-+??

??>=<+=022dx )1x (f ,0

x ,x 0x ,00

x ,1x )x (f = 56

#45.='-=?)x (,dt )t x (sin )x (x

0φφ sin x

二.选择题

1.设2005)1(lim

=-+∞→β

βα

n n n n ，则βα,的值为（） C 20051,

2004.-A 20052004,20051.-B 20051,20052004.-C 2005

1,20052004.-D #2.设?????≤<-<<=0

1,1

0,1cos )(2x x x x

x x f ，在0=x 处( ) A .A 连续，不可导 .B 连续，可导 .C 可导，导数不连续 .D 为间断点 3.曲线x y sin 2

在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为（） B

πA 4

πB 0.C 1.D

4.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1(,1)0(==f f ，则至少存在一点)1,0(∈ξ，有 A ()(),F x xf x Rolle =设利用定理

ξξ)

()(.f f A -

=' .B ξ

ξξ)

()(f f =

' .C ξ

ξξ)

()(f f '-

= .D ξ

ξξ)

()(f f '=

#5.若032<-b a ，则0)(23=+++=c bx ax x x f （） B

.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根

#6.函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则（） D

0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不存在

7.设)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为（） D

x A sin 1.+ x x B sin .+ x C cos 1.+ x x D sin .-

#8.设t t f cos )(ln =,则='?

dt t f t f t )

()

(（） A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-cos sin . c t t t C ++)sin (cos . c t t D +sin .

9.设)(x f 连续，?

2)()(x dt t f x F ，则=')(x F （） C

)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D

10.下列广义积分收敛的是（） C

dx x x A e

+∞

ln . dx x x B e ?+∞ln 1

. dx x x C e ?+∞2)(ln 1. dx x

x D e ?+∞ln 1.

#11

=+?

+∞

-0

x e e dx

（） C

πA π.B 4

πC .D 发散

12.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（） C

12.2

++x x A )1cos(.x B + )

1(.

x x C - )1ln(.x C + 13.求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为（）C

b a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +.

#14.若c e dx e x f x

+=-

?11

)(，则=)(x f （） B

x A 1.- 21.x B x C 1. 21.x

D -

15.点)1,2,3(-M 关于坐标原点的对称点是（） A

)1,2,3.(--A )1,2,3.(---B )1,2,3.(--C )1,2,3.(-D 16.向量b a ???与向量a ?

的位置关系是（） C

.A 共面 .B 平行 .C 垂直 .D 斜交

17.设平面方程为0=++D Cz Ax ，其中D C A ,,均不为零，则平面（） B

.A 平行于x 轴 .B 平行于y 轴 .C 经过x 轴 .D 经过y 轴

18.设直线方程为?

?=+=+++00

221111D y B D z C y B x A 且0,,,,,221111≠D B D C B A ，则直线（）C

.A 过原点 .B 平行于x 轴 .C 垂直于y 轴 .D 平行于z 轴

19.直线

7423z

y x =-+=-+和平面3224=--z y x 的位置关系为（） C .A 斜交 .B 垂直 .C 平行 .D 直线在平面上

20.已知1)()

()(lim

-=--→a x a f x f a

x ，则在a x =处（B ）

A .)(x f 导数存在且0)(≠'a f

B .)(x f 取极大值

C .)(x f 取极小值

D .)(x f 导数不存在

三.计算题

#1.)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 2

- # 2.4

cos 0ln lim

x tdt t x

x ?→ 8

3.)11(lim 2

+∞

→x x x 0 4. x

x x 1

)(cos lim +→ 2

#5. 2

tan

)1(lim 1

x x π-→

6. 求x

x x x x ln 1

lim 0-+→=1

解：一）原式1lim lim 1ln )

ln 1(lim 0ln 000====++=+++

→→→e e x x x x x x x x x x x ，二）原式0,ln ~1,0ln lim ,ln 1

lim ln 0ln 0→-∴=-=++

→→x x x e x x x

x e x x x x x x Θ 1=。

7.设)(x f 为连续函数，计算?

-→x a a x dt t f a x x )(lim 2

)(2

a f a 8.?

dx x )sin(ln c x x x

+-)]cos(ln )[sin(ln 2

dx x ?

+π

2cos 1 22 10.dx x a x a 220

2-?

a π 11.设x

x y cos )

(sin =，求y ' ()]sin cos sin ln sin [)

(sin 2cos x

x x x x

#12.设0cos 2

0ln 0=+??x y

tdt dt e ，求dy dx x x 2cos 2-

13.设)(x f '在]1,0[上连续，求积分

dx x x f x x f ]sin )(cos cos )(cos [22

?-'-π

提示：原式??-

-+=

)(cos sin cos )(cos π

ππ

πx xdf xdx x f

??-

-+=22

cos )(cos )(cos sin cos )(cos π

ππ

πxdx x f x xf xdx x f )0(2f =

14.

dx x x x ?+--84132 c x x x +-++-2

2arctan 2584ln 232

15.设??

?-=-=)

1()(3t

e f y t f x π，其中f 可导，且0)0(≠'f ，求0=t dx dy

#16.dx x x ?

-2

1(arcsin c x x x x +-+-?22

1ln 1arcsin

17.

dx x x ?

-π

42sin sin

提示：原式1cos sin cos sin 0

22===??

dx x x dx x x π

18.

dx x ?

-2

2)1(1 发散 19.dx e x

?-2ln 01 )4

1(2π- 20.?-12x x dx

c x +1arccos 21.xdx x 4

3cos )4(+?-π

π π23 22.dx x x ?3ln 21ln (3)2x c + 23.dx e x x 2

2ln 03-?? 11ln 242

-+ #24.?

1(2x x e e dx arctan x x

e e c ---+ 25.dx 2x 12x 1?-+ 26.设x 1)e (

f x

+='，求)x (f ln x x c =+ 27.dx cosx x 35?

3331

sin cos 3

x x x c =++

28.

dx x 1x

arcsinx

-arcsin ln x c =-+

29.

--+1x 1x dx 33

21[(1)(1)]3

x x c =++-+

#30.?

+)x 1(x dx

101ln ln 110

x x c =-++ #31.已知)(x f 的一个原函数为lnx )sinx 1(+，求?'dx )x (f x

cos ln 1sin (1sin )ln x x x x x x =++-+

32.dx x 1x

1xln

+-211ln (1)21x x x c x

-=+-++ #33.dx x

)

1x (ln ?

+1)x c =+- #34.dx e e e x x x ?

+20

cos sin sin π 2π= 35.dx x

a x a ?-+0221

4π= 本题不作要求36.已知)x (?为连续函数，令

?=≠+-=??0x ,00x ,)x 1(ln dt

]du )u ()1t [()x (f 2x 0

t 02

?试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可微性。连续，可微

#37.设)(x f 在]1,0[上可导，且满足?=21

dx )x (xf 2)1(f ，证必存在一点)1,0(∈ξ，使

ξξ)

(f )(f -

='。提示：利用积分中值定理和R o l l e 定理

#38.设)(x f 在]1,0[上连续，单调减且取正值，证：对于满足10<<<βα的任何βα,有

??>β

ααβdx )x (f dx )x (f 0

。

()()()()()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx αββαβ

αβα

βα

βαββαββα-=+-=+-?

???????提示：

39.设)(x f 在),0[+∞上连续，单调不减且0)0(f ≥，试证：

?????=>=?0x 0,0

x dt,)t (f t x 1)x (F x 0

n 在),0[+∞上连续且单调不减。（0>n ） 40.dx )e 1(x ln 11x

?-+ 13

111

221

111

(ln(1)[ln(1)]ln(1)x t

t x x t e dt x e x dx x e dx x dx =------=

-+=-++=-++?

???原

#41.设dt e )x (f 2

x 1t ?-=，求?1

0dx )x (x f 。11

(1)4

e -=-

42.dt x t t ?-10 11

112

3x t x x t x

?->????-≤?? 43.)

(,b a dx x b a

b a x a b x ?->???-?

44.设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对)()()(,,y f x f y x f y x +=+?，求

dx x f x ?

-+1

2)()1(

()f x 提示：为奇函数

#45.dx e x

I x ?--+=4

21sin π

2222222

2244

sin sin sin (11)sin (),()1111sin 1sin sin ()()sin 121sin 2x x x x x

x x x x e x e x

f x f x e e e e x x x f x f x x e xdx π

π-------+-=-===++++=-=-=+==

?提示：原

46.3

1sin lim

→x x t x e x tdt

47.设向量}2,1,2{},3,2,1{},1,3,2{=-=-=c b a ???，向量r ?满足b r a r ????⊥⊥,，且14Pr =r j c

?? 求向量r ?

。 {14,10,2}

48.1）求过z 轴和点)2,1,3(--的平面方程， 03=+y x 2）求过三点)0,6,0(),4,3,2(),0,3,2(R Q P --的平面方程。 012623=-++z y x 49.求过点)3,2,1(),1,1,2(Q P --且垂直于平面06532=+-+z y x 的平面方程。

01639=-+-z y x

50.求过点)2,1,3(-A 且通过直线1

2354:

y x L =+=-的平面方程。0592298=---z y x 51.求与平面0522=+++z y x 平行且与三坐标所构成的四面体体积为1的平面方程。

032223=-++z y x

52.求过点)0,4,2(M 且与直线??

?=--=-+0

230

12:z y z x L 平行的直线方程。

3422z

y x =-=-- 53.求点)0,2,1(-A 在平面012=+-+z y x 上的投影。 )3

,32,35(- 54.求过直线??

?=+-=++0

405:z x z y x L 且与平面01284=+--z y x 成4π

角的平面方程。

012720=-++z y x

本题不作要求55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面4=z 的距离，该动点轨迹表示何种曲面？ 1682

=++z y x 旋转曲面

四.列表讨论函数x

e x y -?=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。

#五.设??

???><≤≤=ππ

orx x x x x f 0,00,sin 21)(，求?=Φx dt t f x 0

)()(在),(+∞-∞内的表达式。

???>≤≤--<==Φ?ππx x x x dt t f x x ,10),1(cos 2

0,0)()(0

六.设)(x f 在),(+∞-∞内连续，证明)()()()(0a f x f dt t f t x dx

d x

-='-?。七..设20,,0,2:;0,2,,2:2

1<<=======a a x y x y D y x a x x y D 1.试求1D 绕x 轴旋转得旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转得旋转体体积2V ； 2.问当a 为何值时+1V 2V 得最大值？并求该最值。

)32(5451a V -=π，42a V π=，1=a ，+1(V π5

129)max 2=V

八.已知x x x f 2

tan 2cos )(sin +='，求)(x f 。

提示：u

u u f x x x x f -+-='?-+-='121)(sin 1sin sin 21)(sin 222

，

c x x x f +--=1ln )(2

九.设c y =与2

2x x y -=相交于第一象限（如图）。 1.求使得两个阴影区域面积相等的常数c ；

2.在1的情况下，求区域I 绕x 轴旋转的旋转体体积。

提示：III II III I II I s s s s ++=?=，

1)2(b b c dx x x cdx b

-=?-=??，又22b b c -=， 43,23==?c b ,23,212432

==???

???

-==

x x x x y y ， π240

V 。 #十.设?-=π

0cos )()(xdx x f x x f ，证：πππ

)(2

0+=

?dx x f 。

提示：设

A xdx x f =?

cos )(，2-=A

十一.设直线b ax y +=与直线1,0==x x 及0=y 所围成的梯形面积为A ，求b a ,，使这块面积绕x 轴旋转所得体积最小。)0,0(≥≥b a

提示：b a dx b ax A b ab a dx b ax V +=+=++=+=??2

)(),3()(102

ππ，

A b a ==,0时，体积最小

#十二.求抛物线12+-=x y 在)1,0(内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线12

+-=x y 所

围图形的面积最小。

提示：切线)1,0(),0,21

(),(2)1(222

++--=+--x B x

x A x X x x Y ， 3

30)()1(2)1(2110222=?='?+--+=?x x s dx x x x s ，

所求切线为3

332+-=x y 十三.求通过直线

22+=

+=z y x 与平面15=++z y x 的交点，且与平面 05432=++-z y x 垂直相交的直线方程。 4

3424+=

-+=+z y x 十四.证明011302

=+--?x x dx

x 在区间)1,0(内有唯一的实根。

提示：令0)1()0(113)(02

x x F x ，再证唯一性。

本题不作要求十五.设)(x f 可导，且dt t x f t x F f n n x

n )()(,0)0(0

1-=

-，证：

)0(21

)(lim

20f n

x x F n x '=→

010

11()()()()n n n

n x t u

x x n n

x F x t

f x t dt f u du f u du n n -=-=-=-=???提示：

十六.设)x (f ,0x ≥满足

+=)

x 1(x 0

2,x dx )x (f 求)2(f 。2x (1x)

f (x)dx x ,+=?

提示：对求导

十七.证：)x (f ,dx )x (xf 21dx )x (f x 2a 0

??=连续，0>a ，并求dx )x (sin x 2

203?π

。

222

0011()()()122x t a

a a x f x dx x f x dx t f t dt

===?

??所求值为

十八.求dt e )t 2()x (f 2

x 0

t ?

--=

的最大、小值。21,1e -+最小值为最大值为

十九.已知,5)2(f ,3)2(f ,1)0(f ='==求

?''1

dx )2x (f x 。2=

二十.已知

,2dx x sinx 0

∞

+求dx x x sin 022

?∞+。2

π=

提示：用分部积分，先将

凑入微分二十一.设dt e )x (f 2

x 1

t ?

-=,求?1

dx )x (x f 。41同题

二十二.0,x dt,t 1lnt )x (f x

>+=

求)x 1

(f )x (f +。21(ln )2

x = 二十三.1)设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且1)x (f 0,0)0(f ≤'≤=，证：

dx )x (f )dx )x (f (1

310

2??≥。

()1f x ≤提示：可利用已知条件知

2)设],[)(b a C x f ∈，证：dx x f a b dx x f b

)()())((

-≤。

提示：

2()(())()()(,)

'()0

F x f t dt x a f t dt

x a b F x =--∈?

#3)设],[)(b a C x f ∈，且0)(>x f ，证：2)()

)(a b dx x f dx x f b

b a -≥??? 2

()()()'()()

a a

F x f t dt dt x a F x f t =--???

提示：设

4) 设],[)(b a C x f ∈,且严格单调增加，证：??

<+b

dx x xf dx x f b a )(2)()

(。

()2()()()'()x

F x tf t dt a x f t dt F x =-+???提示：设

5) 设)(x f 在],[b a 上可导，且0)(,)(=≤'a f M x f ，证：

)(2

)(a b M dx x f b

-≤

?。 [,],()()'()()(,)

()'()()b

x a b f x f a f x a a x f x dx f x a dx ξξξ∈-=-∈=-=

?提示：有微分中值定理：

二十四. 设)(x f 在],0[π上连续，在),0(π内可导，且

0sin )(cos )(0

==??

xdx x f xdx x f ，证明：?一个),0(πξ∈，使得0)(='ξf 。

证：在),0(π内0sin >x ，由

0sin )(0

xdx x f 可知，)(x f 在),0(π内不能恒正或负，

由于)(x f 的连续性可知)(x f 在),0(π内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。

反证：若),0(0π∈x 是)(x f 的唯一零点，则当0x x ≠,

)()sin(0x f x x -就恒正或负，于是0)()sin(00

≠-?

dx x f x x π

，

而

dx x f x x x x dx x f x x )()sin cos cos (sin )()sin(00

000

-=-??

0)(cos sin )(sin cos 0

00=-=??π

πdx x xf x dx x xf x ，矛盾，

所以)(x f 在),0(π内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。