等差数列初步(二)

等差数列 习题 简单

等差数列习题 一、选择题（共14小题；共70分） 1. 在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+?+a101=0，则有( ) A. a1+a101>0 B. a2+a100<0 C. a3+a99=0 D. a51=51 3. 已知在等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是( ) A. 15 B. 30 C. 31 D. 64 4. 等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项和为( ) A. 32 B. 64 C. 108 D. 128 5. 下列数列不是等差数列的是( ) A. 6，6，6，?，6，? B. ?2，?1，0，?，n?3，? C. 5，8，11，?，3n+2，? D. 0，1，3，?，n2?n 2 ，? 6. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a3=6，则S4的值为( ) A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 7. 若首项为?24的等差数列从第10项起为正数，则公差的取值范围是( ) A. (8 3,+∞) B. (?∞,3) C. [8 3 ,3) D. (8 3 ,3] 8. 等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=10，S3=3，则首项a1与公差d为( ) A. a1=?2，d=3 B. a1=2，d=?3 C. a1=?3，d=2 D. a1=3，d=?2 9. 若等差数列的首项是?24，且从第10项开始大于0，则公差d的取值范围是( ) A. [8 3,+∞) B. (?∞,3) C. [8 3 ,3) D. (8 3 ,3] 10. 设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2且S5=30，则S8等于( ) A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 11. 在等差数列{a n}中，a4+a5=15，a7=15，则a2=( ) A. ?3 B. 0 C. 1 D. 2 12. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 13. 等差数列{a n}中，a1=84，a2=80，则使a k≥0，且a k+1<0的正整数k=( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 14. 在等差数列{a n}中，a9=1 2 a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=( ) A. 24 B. 48 C. 66 D. 132

等差数列(第一课时)

本节课讲述的是人教版高一数学（上）§3.2等差数列（第一课时）的内容。 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来

研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用 不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生

第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和

第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和 知识提要 1. 数列的极限 ：n 无限增大，n a 无限趋近一个常数.A （1） 数列极限的运算法则（加法、乘法法则可推广到有限多个数列）. 如果n n a ∞ →lim =A ，n n b ∞ →lim =B 存在，那么 ①B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； ②B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞→∞→∞→lim lim )(lim ； ③lim lim (0)lim n n n n n n n a a A B b b B →∞ →∞→∞ ==≠. （2）数列极限的几种类型： ①有理分式型：同除以某个非零因式； ②求和型：无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和. ③指数型0(1) 1(1)lim ;(1)(1)n n q q q q q →∞ ? 不存在不存在 ④{}n n S S .lim n n S →∞?????表示数列的极限，可先求，再求极限；无穷运动的归宿，直接考虑极限位置；无穷数列各项的和 2．无穷等比数列各项的和：若1q <且0q ≠，则1 lim 1n n a S S q →∞ == -存在. （1）1 1,0;1q q a S q <≠???=?-? 注意区别： (a)11lim ≤<-?∞→q q n n 存在; (b)1||0lim

(完整版)四年级奥数第四讲_等差数列含答案

等差数列 一、知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 二、典例剖析： 例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。 （2）根据公式：末项=首项+公差?（项数-1） 解：项数=（201-3）÷3+1=67 末项=3+3?（201-1）=603 答：共有67个数，第201个数是603 练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案: 第48项是286，508是第85项 例（2 ）全部三位数的和是多少？ 分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、 (998) 999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）?900÷2 =1099?900÷2 =494550 答：全部三位数的和是494550。 练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000

数学文-第五讲列综合题37

第五讲 数列综合题 例题讲解 例1、在公差为(0)d d ≠的等差数列{}n a 和公比为q 的等比数列{}n b 中，已知 11221,a b a b ===，83a b =. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）是否存在常数,a b ，使得对于一切正整数n ，都有log n a n a b b =+成立？若存在， 求出常数a 和b ，若不存在，说明理由. 2、已知：f(x)＝4 12 -x （x <—2），,点An(1 1+- n a ,n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且a 1 ＝1. （1）证明数列{ 21 n a }为等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）设n b ＝ 1 111++n n a a ,记S n ＝b 1＋b 2＋……＋n b ，求n s . （4）数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足 3816221 21--+=++n n a T a T n n n n ，设定1b 的值，使得数列{}n b 是等差数列； 例3、已知数列{}n a 中，n s 是其前n 项和，并且)(24* 1N n a s n n ∈+=+且11=a .

(1) 设)(2*1N n a a b n n n ∈-=+,求证数列{}n b 成等比数列. (2) 设)(2 * N n a c n n n ∈= ,求证：数列{}n c 是等差数列. (3) 求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和. 例4、已知数列{}n a ，3654=a ，且1331-+=-n n n a a )2(≥n . （1） 求1a ，2a ，3a ； （2） 若存在一个实数λ使得? ?? ?? ?+n n a 3λ为等差数列，求λ； （3） 求数列{}n a 的前n 项的和. 随堂练习 已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足)()()(q f p f q p f ?=+且3 1)1(=f 。 （1）、当+∈N n 时求)(n f 的表达式 （2）、设k n k n a N n n nf a 1 * ),)((=∑∈=求。 变式 1、若将题目中的条件“)()()(q f p f q p f ?=+”改为

等差数列的概念与简单表示

2．2 等差数列 第1课时等差数列的概念与简单表示 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) [基础·初探] 教材整理1等差数列的含义 阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．() (3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()

(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() (5)方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为－3.() 【解析】(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列． (2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1. (3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列． (4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． (5)√.设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1， x2的等差中项为A＝x1＋x2 2＝－3.故该说法正确． 【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√ 教材整理2等差数列的通项公式 阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题． 1．等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d. 2．从函数角度认识等差数列{a n} 若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位． 1．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________. 【解析】∵a1＝4，d＝－2， ∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】6－2n 2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________． 【解析】由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d， 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.

等差数列(三年级)

第九讲：计算问题（二） ——等差数列1 一、训练目标 知识传递：让学生初步认识等差数列。 能力强化：观察能力、分析能力。 思想方法：配对思想、对比思想。 二、知识与方法归纳 听过德国数学家高斯的故事吗？他8岁时，老师给他和班上的同学出了一道题：“1+2+3+4+5+……+100=？”小高斯很快报出了得数：5050，这个答案完全正确。老师和同学都很惊讶他的速度！小高斯用什么办法算得这么快呢？今天我们就来了解一下高斯所采用的方法——配对求和。 三、经典例题 例1．计算：1+2+3++4+5+6+7+8+9+10 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28+31+34解： 例2．计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17 1+2+3+4+ …+99+100解：

例3．计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110解： 体验训练1 计算：101+102+103+ …+129+130 解：101+102+103+ …+129+130 = = = = 例4．计算：1000-1-2-3-4- …-19-20 解： 体验训练2 计算：500-11-13-15-17-19-21-23-25-27-29 解：

例5．计算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解： 例6．计算：100-99+98-97+96-95+ …+4-3+2-1 解： 四、内化训练 1.计算：12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28 解： 2.计算：3+7+11+15+19+23+27+31+35+39+43+47 解：

小学奥数培优等差数列含答案

第四讲等差数列（一） 解题方法 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 【引例】:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: （1）通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 （2）项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 （3）求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 注：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷ 3+1=8,所以这个数列共有8项。 引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 答：这个数列共有27项 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 答: 这个数列共有19项 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项? 答：这个等差数列共有29项。 例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 引申 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。答案：第30项是117。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。答案: 第100项是299。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?答案：末项是49。 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。 解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+… +1990=(2+1990)×995÷2=991020。 计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。 3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4 计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。 解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。

6、第六讲 等差数列的基本认识

第五讲等差数列的基本认识 1、数列定义 （1） 1，2，3，4，5，6，7，8，… （2） 2，4，6，8，10，12，14，16，… （3） 1，4，9，16，25，36，49，… 若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。 数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8， (100) 2、等差数列 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差，例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。 3、计算等差数列的相关公式 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 项数＝（第几项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 例1、求等差数列3，5，7，…的第10项，第100项，并求出前100项的和。 例2、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。例3、计算：6＋7＋8＋9＋……＋74＋75 例4、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？

例5、计算：（2＋4＋6＋......＋2000）－（1＋3＋5＋ (1999) 例6、有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面一层有多少根？ 例7、求100以内（包括100）所有被5除余0的自然数的和。 例8、小王和小胡两个人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。小王第一秒跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？ 课堂练习: 1、求所有除以4余1的两位数的和。 2、已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的偶数项之和与奇数项之和的差是多少？

数列简单练习题

等差数列 一、填空题 1. 等差数列2，5，8，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知1 3 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ） A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 4. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 5. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 6. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在 7. 等差数列中连续四项为a ，x ，b ，2x ，那么 a ：b 等于 （ ） A 、 B 、 C 、或 1 D 、

三年级下第6讲 等差数列初步

三春第6讲等差数列初步 一、教学目标 1.理解数列与等差数列的定义，了解常见的规律数列； 2.能运用“螳螂图”解决与等差数列相关问题。 二、知识要点 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 三、例题精选 【例1】已知等差数列1，4，7，10…..，求它的第65项是多少？ 【巩固1】已知数列2、5、8、11、14......，那么第88项应该是几？ 【例2】已知数列5、11、17、23、29......，那么761应该是其中的第几项？ 【巩固2】已知数列2、5、8、11、14......，那么128应该是其中的第几项？ 【例3】在6和81之间插入4个数,使它们组成等差数列,求这四个数?

【巩固3】在12和60之间插入5个数，使它们组成等差数列。求这个5个数分别是多少？ 【例4】把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数，且一堆比一堆少2根，应如何分？ 【巩固4】把120颗巧克力豆分成8堆，每堆都是双数，且一堆比一堆多2颗，那么最多的一堆有多少颗？【例5】把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且拿到的苹果个数都不相同，那么这堆苹果至少应该有多少个？ 【例6】学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。 （1）若有20人比赛，那么一共要进行多少场选拔赛？ （2）若一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？

四、回家作业 【作业1】求1,5,9,13,…这个等差数列的第3O项。 【作业2】有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求587是这个数列第几个项。 【作业3】一个等差数列共有12项，首项是61，末项是6，求它的公差。 【作业4】有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 【作业5】甲乙两人都住在同一街道的同一侧，这一侧的门牌号码是按1、3、5、7...的规律排列的。甲住21号，乙住193号。那么甲、乙两人的住处间相隔着多少个门牌号码？

(完整版)四年级奥数第四讲_等差数列含答案[1]

第四讲等差数列 一、知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 二、典例剖析： 例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。 （2）根据公式：末项=首项+公差?（项数-1） 解：项数=（201-3）÷3+1=67 末项=3+3?（201-1）=603 答：共有67个数，第201个数是603 练一练： 在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案: 第48项是286，508是第85项 例（2 ）全部三位数的和是多少？ 分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、 (998) 999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）?900÷2 =1099?900÷2 =494550

答：全部三位数的和是494550。 练一练： 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000 例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。解一：11+21+31+……+91 =（11+91）?9÷2 =459 分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是459÷9=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项?n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。 解二：11+21+31+……+91 =51?9 =459 答：和是459。 练一练： 求不超过500的所有被11整除的自然数的和。 答案: 11385 例（4）求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。 分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。 解一：每一横行数列之和： 第一行：（1+50）?50÷2=1275 第二行：（2+51）?50÷2=1325

高考数学二轮复习：第五讲 等差等比

第五讲 等差等比 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．在等差数列 } {n a 中， 8 36a a a +=，则 = 9S （ A ） A.0 B.1 C.1- D. -1或1 2.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为q ，则2q 的值为（ D ） A.2 B. 21 5- C. 21 5+ D. 215± 3.已知数列{ n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 4.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且745 3n n A n B n += +，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5.设等差数列 {}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为1 3． ★★★高考要考什么 等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a 等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+=------该公式整理后是关于n 的一次函数 等差数列的前n 项和 1． 2)(1n n a a n S += 2. d n n na S n 2) 1(1-+= 3.Bn An S n +=2 等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即： 2b a A += 或 b a A +=2 等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项， m a 是等差 数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= 对于等差数列 {} n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。也就是：

数列基础练习题(简单)

1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 2. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 3. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 4. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 5. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 在等差数列 {}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ）A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 4. 设n S 是数列 {}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列 5. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ 三、计算题 1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 {}n a 的有关未知数： （1）1 51,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ； （2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及 2. 设等差数列 {}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式

《等差数列》第一课时教案

《等差数列》第一课时教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，

第四讲 等数列及其前n项和

第四讲 等差数列及其前n 项和 【知识要点】 1．等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的公差． 2．通项公式与前n 项和公式 ⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差． ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+=． 3．等差中项 如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 即：A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ，A ，b 成等差数列． 4．等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1 （+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列； ⑵中项法：21 2+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列． 5．等差数列的常用性质 ⑴数列 {}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列 {}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等 差数列，公差为kd ． ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷三个数成等差，可巧设为 a-d, a, a+d 四个数成等差，可巧设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d

【典例精讲】 题型一 等差数列基本运算 例1 （1）数列{}n a 是等差数列，,11=a 512-=n a ，1022-=n S ，求公差d ； （2）已知等差数列 {}n a 中，1952=+a a ,405=S ，求10a . 例2 在等差数列中 {}n a ，,11=a 33-=a . (1)求数列{}n a 的通项公式 (2)若数列 {}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值． 题型二 证明数列是等差数列 例3已知数列{}n a ，0,N ,)2(8 1 *2>∈+= n n n a n a S , （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）若302 1 -=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和的最小值． 例4已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足021=+-n n n s s a (n ≥2)，,2 11= a (1)求证：? ?? ?? ?n s 1是等差数列；

第五讲 充要条件概念

第五讲 充要条件概念 【知识概要】 【例题及习题】 充要条件是高中数学的重要概念之一，数学思维的推证，总要从它开始.(反思：充要条件是逻辑用语，如何理解条件与 结论的相对性，教材安排的意图是什么) 一、 判断条件P 与结论q 的关系 1. 1应用充要条件的定义，直接判断 例1 “ a=1”是“函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为π”( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分条件也非必要条件 例 2 函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（ ） A a ∈(-∞,1] B a ∈[2,+)∞ C [1,2] D a ∈(-∞,1]?[2,+)∞ 例3 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 例 4 一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A a<0 B a>0 C a<-1 D a>1 例 5函数f(x)=ax 3+x+1有极值的充要条件为( ) A a>0 B a ≥0 C a<0 D a ≤0 例 6平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 例 7在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知,αβ是两个相交平面，空间两条直线l 1、l 2在α上的射影是直线 s 1,s 2,l 1,l 2在β上的射影是t 1,t 2.用s 1与s 2,t 1与t 2的位置关系，写出一 个总能确定l 1与l 2是异面直线的充分条件：_______

等差数列教学目标

【教学目标】 1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； 2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题． 3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．【教学重点】 等差数列的概念及其通项公式． 【教学难点】 等差数列通项公式的灵活运用．“等差”的理解 【教学方法】 本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的． 【教学过程】 问题1 某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材P39图2-6），共堆放了8层，试写出从上到下列出每层钢管的数量． 问题2. 小明目前会100个单词，但她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，试写出在今后的五天内他的单词量 从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为 （1）4、5、6、7、8、9、10、1 （2）100，98，96，94，92 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 练习一 抢答：下列数列是否为等差数列？ 1，2，4，6，8，10，12，…； 0，1，2，3，4，5，6，…； 3，3，3，3，3，3，3，…； 2，4，7，11，16，…； －8，－6，－4，0，2，4，…； 3，0，－3，－6，－9，…． 注意：求公差d 2．常数列 特别地，数列3，3，3，3，3，3，3，… 也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列． 3．等差数列的通项公式（引导学生推导） 4.例题讲解 例1 求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项． 例2已知一个等差数列的公差为d,第m项是am，试求第n项an 5.练习 （1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项． （2）求等差数列10，8，6，…的第20项． 小结 1．等差数列的定义及通项公式．

第四讲 等差数列与等比数列

第四讲 等差数列与等比数列 一、知识梳理 1. 等差、等比数列的定义与性质 等差数列 等比数列 定义 1+n a -n a =d n n a a 1 +=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）d n a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d n a =1-n a q n a =m a m n q - 中项 A=2b a + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k ∈N + ;n>k>0） ab G =2。推广：G=k n k n a a +-±（n,k ∈N + ;n>k>0） 。任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中 项一定有两个 前n 项和 n S =2 n （1a +n a ） n S =n 1a + 2 ) 1(n -n d n S = q q a n --11() 1 n S =q q a a n --11 性质 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为 a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d= n m a n m --a (m ≠n) (7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列 （1）若m n p q +=+，则 m n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍 为等比数列,公比为n q 1、数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 2、数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n