苏州市2018届高三上学期期末数学调研试卷(含附加和答案)

苏州市2018届高三调研测试

数学Ⅰ试题 2018．1

参考公式：球的表面积公式S =4πr 2，其中r 为球的半径．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知i

为虚数单位，复数3

i 2

z =

的模为 ▲ ． 2． 已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ?，则正整数a = ▲ ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为 ▲ ． 4． 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5

分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台 立即能乘上车的概率为 ▲ ．

5． 已知42a

=，log 2a x a =，则正实数x = ▲ ．

6． 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中

提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法． 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x

为3，3，则输出v 的值为 ▲ ．

7． 已知变量x ，y 满足03,0,30,x x y x y ??

+??-+?

≤≤≥≤则23z x y =-的最大值为 ▲ ．

8． 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且

63198S S =-，4215

8

a a =--，

则3a 的值为 ▲ ． 9． 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的

榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯 起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁

班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 ▲ ．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）

10．如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑

物CD 的张角45CAD ∠=?，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD = ▲ m ．

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直

线 x + y = 1相切，且圆心在直线 y = -2x 上，则圆C 的标准方程为 ▲ ． 12．已知正实数a ，b ，c 满足

111a b +=，11

1a b c

+=+，则c 的取值范围是 ▲ ． 13．如图，△ABC 为等腰三角形，120BAC ∠=?，

4AB AC ==，以A 为圆心，1为半径的圆分

别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧 EF

上的一点，则PB PC ?

的取值范围是 ▲ ．

14．已知直线y ＝a 分别与直线22y x =-，曲线2e x y x =+交于点A ，B ，则线段AB 长度

的最小值为 ▲ ．

D C B

A

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知函数2()sin )f x x x x =+-．

（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合；

（2）若,22x ππ??

∈-????

，求函数()f x 的单调增区间．

16．（本小题满分14分）

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F ，G ，H 分别是A 1D 1，B 1C 1，D 1D ，C 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABHG ； （2）求证：平面ABHG ⊥平面CFED ．

17. （本小题满分14分）

如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π

2

αθ<≤

，其中锐角α的正切值为1

2）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽

车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h . （1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．

A 1

B 1

C 1

D 1

A B

C

D

E

F G H

A

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>

点P

到一个焦点的距离的最小值为1)． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．

19. （本小题满分16分）

已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若2

1

23

n n n a S S -++=（n ∈N *，n ≥2），且12a =．

① 求数列{}n a 的通项公式；

② 若12n n S λ+?≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围；

（2）数列{}n a 是公比为q （q ＞0， q ≠1）的等比数列，且{a n }的前n 项积．为10n T ．若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得(1)k n kn

T T +为定值，求首项1a 的值．

20. （本小题满分16分）

已知函数32

,0,

()e ,0.x x x x f x ax x ?-+

≥

（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若方程()()e 3x f x f x -+=-在区间(0,+∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；

（3）若存在实数,[0,2]m n ∈，且||1m n -≥，使得()()f m f n =，求证：1e e 1

a

-≤

≤．

2018届高三调研测试

数学Ⅱ（附加题）

2018．1

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．

，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，

PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F .

求证：2PF PD PE =?.

B ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知1221??=????M ，17??

=??

??

β，求4M β．

A

C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,

3x t y t =+??

=-?

（t 为参数），以原点O 为

极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos =sin θ

ρθ

，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．

D ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，若2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且AB =BP =2，AD =AE =1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP ． （1）求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值； （2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与 平面PCD 所成角的正弦值等于

2

5

？若存在，试确定 点N 的位置；若不存在，请说明理由． 23．（本小题满分10分）

在正整数集上定义函数()y f n =，满足()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，且

(1)2f =．

（1）求证：9

(3)(2)10

f f -=

； （2）是否存在实数a ，b ，使1

()13()2

n

f n a b

=

+--，对任意正整数n 恒成立，并证明

你的结论．

苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案

一、填空题（共70分） 1

2．2

3．(2,0)-

4．

110

5．12

6．48 7．9- 8．

94 9．30π

10．18 11．22(1)(2)2x y -++= 12．4(1,]3

13．[11,9]--

14．

3ln2

2

+ 二、解答题（共90分）

15. 解（1

）2()sin )f x x x x =+-

223cos cos sin 2x x x x x =++-

3(1cos2)1cos2222

x x

x +-=+ ·

··················································· 2分

cos222x x =+2cos(2)23

x π

=++． ·

·········································· 4分 当223

x k π+=π+π，即()3x k k π

=π+∈Z 时，()f x 取得最小值0．

此时，()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合为,3x x k k π??

=π+∈????

Z ．

····································································································· 7分

（注：结果不写集合形式扣1分）

（2）因为()2cos(2)23

f x x π

=++，

令2222()3

k x k k π

π+π+π+π∈Z ≤≤， ··············································· 8分

解得()36k x k k π5π

+π+π∈Z ≤≤， ······················································ 10分

又[,]22

x ππ∈-，令1k =-，,26x ππ??∈--????，令0k =，,32x ππ??

∈????，

所以函数在[,]22

ππ-的单调增区间是,26ππ??--????和,32ππ??

????． ························ 14分

（注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分） 16. 证明：（1）因为E ，F 是A 1D 1，B 1C 1的中点，所以11EF A B ∥， 在正方体1111ABCD A B C D -中，A 1B 1∥AB ， （注：缺少A 1B 1∥AB 扣1分）

所以EF AB ∥． ········································ 3分 又EF ?平面ABHG ，AB ?平面ABHG ， （注：缺少AB ?平面ABHG 不扣分）

所以EF ∥平面ABHG ． ······························· 6分

A 1

B 1

C 1

D 1 A B C D

E F

G H P

（2）在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，

又BH ?平面11BB C C ，所以BH CD ⊥．① ············································ 8分 设BH CF P = ，△BCH ≌△1CC F ，所以1HBC FCC ∠=∠， 因为∠HBC +∠PHC =90?，所以1FCC ∠+∠PHC =90?．

所以90HPC ∠=?，即BH CF ⊥．② ···················································· 11分 由①②，又DC CF C = ，DC ，CF ?平面CFED ， 所以BH ⊥平面CFED ． 又BH ?平面ABHG ，

所以平面ABHG ⊥平面CFED ． ···························································· 14分 （注：缺少BH ?平面ABHG ，此三分段不给分）

17. 解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=?-，50AB =，

则5050cos(90)sin AP θθ

==?-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθ

θθθ?-=?-==?-．

50cos 100100sin PC BP θ

θ

=-=-

． ························································· 4分 （注：AP ，BP 写对一个给2分）

由A 到P 所用的时间为12

25sin AP t θ

=

=

， 由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θθθθ

-

==-， ·························· 6分 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为

12242cos 62cos 4

()sin 33sin 3sin 3

t f t θθθθθθ-==

+=++-． ·

································ 8分 函数()f θ的定义域为(,]2

απ，其中锐角α的正切值为1

2.

（2）由（1），62c o s 4()3sin 3

f θθθ-=+，(,]2θαπ

∈，

2(13cos )()9si 6n f θθθ

-'=，令()0f θ'=，解得1

cos 3θ=

， ······························· 10分 设θ0∈(0,)

π，使01

cos θ=

································· 12分

所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP

=

0050cos sin θθ=≈17.68 km ，

答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少． ············ 14分

（注：结果保留根号，不扣分）

18. 解（1

）由题意

c a =

，故a =， ··················································· 1分 又椭圆上动点P

到一个焦点的距离的最小值为1)

，所以3a c -=， ····································································································· 2分 解得3c =

，a =2229b a c =-=， ·········································· 4分

所以椭圆C 的标准方程为22

1189

x y +=. ···················································· 6分 （2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，

此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ···································· 7分 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ············ 8分

联立2

22

(1)16,9,x y x y ?++=??+=??

解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ． 猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ················································ 9分

因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ?=-?-=+-++

121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++

222222

16(1)1616(12)16160121212k k k k k k -+-+=-+=+=+++，

所以TA TB ⊥．

所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ·············· 16分

19. 解（1）①当2n ≥时，由2

12

,3

n n n a S S -++= ① 则21

12

,3

n n n a S S ++++= ② ②-①得22

111

()3

n n n n a a a a ++-=-，即1

3n n a a +-=，2n ≥ ···························· 2分

当2n =时，由①知22

12123

a a a a +++=，即2

223100a a --=， 解得25a =或22a =-（舍），

所以213a a -=，即数列{}n a 为等差数列，且首项13a =，

所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-.·················································· 5分 （注：不验证213a a -=扣1分）

②由①知，31n a n =-，所以2(312)322n n n n n

S -++==，

由题意可得212

322n n n S n n

λ+++=≥对一切*n ∈N 恒成立， 记2232

n n n n c ++=，则211

3(1)(1)

2n n n n c -+-+-=，2n ≥， 所以21

2

3114

2n n n n n c c -+-+--=，2n ≥， ················································ 8分

当4n >时，1n n c c -<，当4n =时，41316c =

，且31516c =，27

8

c =，112c =，

所以当3n =时，2232n n n n c ++=取得最大值15

16

，

所以实数λ的取值范围为15

[

,)16

+∞.

························································ 11分 （2）由题意，设11n n a a q -=（0,1q q >≠），1210n T n a a a ???= ，两边取常用对数， 12lg lg lg n n T a a a +++= ．

令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-，

则数列{}n b 是以1lg a 为首项，lg q 为公差的等差数列， ····························· 13分

若

(1)k n kn

T T +为定值，令

(1)k n kn

T T μ+=，则

11(1)[(1)1]

(1)lg lg 2(1)

lg lg 2

k n k n k n a q

kn kn kn a q

μ++-++

=-+， 即2

2

2

1{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k k q n k k q q

μμ+-++-=对*n ∈N 恒成立，

因为0,1q q >≠，问题等价于22

2

1(1)0,

(1)0.k k k k a q μμ?+-=??+-==??

或

将

1

k k

+(1)0k k μ+-=，解得01μμ==或. 因为*k ∈N ，所以0,1μμ>≠，

所以21a q =，又0,n a >故1a . ························································ 16分

20. 解（1）当2a =-时，32

,0,

()e +2,0,

x x x x f x x x ?-+

当0x <时，32()f x x x =-+，则2()32(32)f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，解得0x =或2

3

x =

（舍），所以0x <时，()0f x '<， 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上为减函数. ··············································· 2分 当0x ≥时，()e 2x f x x =-，()e 2x f x '=-，

令()0f x '=，解得ln 2x =，当0ln 2x <<时，()0f x '<，当ln 2x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在区间(0,ln 2)上为减函数，在区间(ln 2,)+∞上为增函数， 且(0)10f =>.·················································································· 4分 综上，函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)，单调增区间为(ln 2,)+∞． ····································································································· 5分 （注：将单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)写出(,ln 2)-∞的扣1分） （2）设0x >，则0x -<，所以32()()e x f x f x x x ax -+=++-， 由题意，32e e 3x x x x ax ++-=-在区间(0,)+∞上有解，

等价于23

a x x x =++

在区间(0,)+∞上有解. ············································· 6分 记23

()(0)g x x x x x

=++>，

则322222

323(1)(233)

()21x x x x x g x x x x x +--++'=+-==， ························ 7分

令()0g x '=，因为0x >，所以22330x x ++>，故解得1x =， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，

所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，

故函数()g x 在1x =处取得最小值(1)5g =. ·············································· 9分 要使方程()a g x =在区间(0,)+∞上有解，当且仅当min ()(1)5a g x g ==≥， 综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5,)+∞. ······································· 10分 （3）由题意，()e x f x a '=-，

当0a ≤时，()0f x '>，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，

由()()f m f n =，可得m n =，与条件||1m n -≥矛盾，所以0a >. ·············· 11分 令()0f x '=，解得ln x a =，

当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.

若存在,[0,2]m n ∈，()()f m f n =，则ln a 介于m ，n 之间， ······················ 12分 不妨设0ln 2m a n <<≤≤，

因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减，在(ln ,)a n 上单调递增，且()()f m f n =， 所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n =≤，

由02m n <≤≤，||1m n -≥，可得1[,]m n ∈，故(1)()()f f m f n =≤， 又()f x 在(,ln )m a 上单调递减，且0ln m a <≤，所以()(0)f m f ≤．

所以(1)(0)f f ≤，同理(1)(2)f f ≤． ··················································· 14分

即2

e 1,e e 2,

a a a -??--?≤≤解得2e 1e e a --≤≤， 所以1e e 1

a

-≤≤. ·

············································································· 16分

2018届高三调研测试数学附加题参考答案

21A 选修4－1 几何证明选讲

证明 连PB ，PC ，因为,PCF PBD ∠∠分别为 同弧BP 上的圆周角和弦切角， 所以PCF PBD ∠=∠. ···························· 2分 因为PD BD ⊥，PF FC ⊥，

所以△PDB ∽△PFC ，故PD PB PF PC

=

. ········· 5分 同理，PBF PCE ∠=∠， 又PE EC ⊥，PF FB ⊥，

所以△PFB ∽△PEC ，故PF PB

PE PC

=

. ······················································ 8分 所以PD PF PF PE

=

，即2PF PD PE =?. ······················································ 10分 21B 选修4－2 矩阵与变换

解 矩阵M 的特征多项式为212

()2321

f λλλλλ--=

=----， ··················· 2分

令()0f λ=，解得123,1λλ==-，解得

属于λ1的一个特征向量为111??

=????

α，属于λ2的一个特征向量为211??=??-??α． ······· 5分

A

令12m n =+βαα，即111711

m n ??????=+??????-??

??

??，所以1,

7,m n m n +=??

-=?

解得4,3m n ==-．

····································································································· 7分

所以44441212(43)4()3()=-=-M M M M βαααα

4

44

41

12

2113214()3()433(1)11327λλ??????=-=?-?-=??????-??????

αα． ············· 10分 21C 选修4－4 坐标系与参数方程

解 由曲线C 的极坐标方程是2

2cos =sin θ

ρθ，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ． 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2

=2x ． ··················································· 2分

由直线l 的参数方程1,

3x t y t =+??=-?

(t 为参数)，得40x y --=，

所以直线l 的普通方程为40x y --=． ················································· 4分

将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得2870t t -+=， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，

所以12|AB t t =-= ············· 7分 因为原点到直线40x y --=

的距离d == 所以△AOB

的面积是11

1222

S AB d =

??=??=． ·

···················· 10分 21D 选修4－5 不等式选讲

解 因为a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，

由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤， ·························· 4分

因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立， 所以|1||1|3x x -++≥． 当1x <-时，23x -≥，即3

2

x -

≤； 当11x -≤≤时，23≥不成立； 当1x >时，23x ≥，即3

2

x ≥；

综上，实数x 的取值范围为33(,][,)22

-∞-+∞ ． ····································· 10分 22. 解（1）因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP =AB ，BP ⊥AB ， 所以BP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直，

以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P （0，2，0），B （0，0，0），D （2，0，1），E （2，1，0），C （0，0，1），

因为BC ⊥平面ABPE ，所以(0,0,1)BC = 为平面

ABPE 的一个法向量， ························· 2分

(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=

，设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，

则0,

0,CD PD ??=???=??

n n 即20,220,x x y z =??-+=?令1y =，则2z =，故(0,1,2)=n ， 4分

设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ

，则cos ||||BC BC θ?===?n n ，

显然π02θ<<，所以平面PCD 与平面ABPE

·

···· 6分 （2）设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(2,2,)(01)PN PD λλλλλ==- ≤≤，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-

．

···· 7分 由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(0,1,2)=n ，

所以2

cos ,5

BN BN BN ?<>===?

n n |||n |， 即29810λλ--=，解得1λ=或1

9

λ=-（舍去）． ·

································· 9分 当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为2

5

． ··········· 10分 23. 解（1）因为()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，整理得4()

(1)()2

f n f n f n -+=+，

由(1)2f =，代入得421

(2)222f -=

=+，1472(3)15

22

f -

==+， 所以719

(3)(2)5210

f f -=-=． ·

·························································· 2分 （2）由(1)2f =，1(2)2f =，可得41

,55

a b =-=． ·

································ 3分 以下用数学归纳法证明

存在实数，41

,5

5a b =-=

，使1()1431()525

n f n =+---成立．

① 当1n =时，显然成立．

·································································· 4分 ② 当n k =时，假设存在41

,55a b =-=，使得1()1431()525

k f k =+---成立，

····································································································· 5分

那么，当1n k =+时，141431()()4()525(1)1()212()()525

k k f k f k f k ??

-+??

---??-??+=

=+++--- 11238()11525111232631431()()()525525525

k k k k +-+

==+=+-------，

即当1n k =+时，存在41

,55a b =-=，使得11(1)1431()525

k f k ++=+---成立．

····································································································· 9分

由①，②可知，存在实数，41

,55a b =-=，使1()13()2

n f n a b =+--对任意正整

数n 恒成立． ·

·················································································· 10分