混沌的数值计算与分析
本科毕业论文（设计）
题目混沌的数值
计算与分析
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2012 年5月9 日
目录
一、论文（设计）正文
引言 (1)
1 混沌介绍 (1)
1.1混沌的定义 (1)
1.2混沌的基本特征 (2)
1.3混沌的数学特征 (3)
1.3.1关联维数 (3)
1.3.2L YAPUNOV指数 (4)
2 混沌的计算与分析 (5)
2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)
2.2混沌的定义特征分析 (8)
2.2.1混沌的定义分析 (8)
2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)
2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)
2.3L ORENZ系统族 (13)
2.3.1L ORENZ方程组 (13)
2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)
3 混沌本质及前景 (18)
参考文献： (21)
谢辞 (22)
二、附录
1.论文（设计）任务书 (23)
2.论文（设计）结题报告 (245)
3.论文（设计）成绩评定及答辩评议表 (27)
4.论文（设计）答辩过程记录（附页） (29)
混沌的数值计算与分析
摘要：本文首先对混沌的定义和特点及判别方式做了基本的介绍，然后用数值计算与分析的方法利用MATLAB软件以Logistic映射为例对混沌的定义和特征做了编程绘图详细分析。介绍了两个判别系统进入混沌的定量指标如Lyapunov指数等。再以Lorenz系统为例通过数值计算分析其性质特征。用软件绘图直观展示混沌吸引子的特征。最后对混沌的定义加以总结，强调数值计算与分析在混沌研究中的重要性，并展望混沌研究的发展前景。
关键词：Logistic映射；Lorenz系统；奇怪吸引子；MATLAB；
I
Numerical calculation and analysis of the chaos
Abstract:This paper the definition and characteristics of chaos and the way to do the basic criterion introduced, and then the numerical calculation and analysis method of use of MATLAB software to Logistic mapping as example to the definition and characteristics of chaos made a detailed analysis of the programming drawing. Introduces two discriminant system into the chaos of the quantitative indicators such as Lyapunov index, etc. And Lorenz system for example through numerical analysis and characteristics. With the software drawing intuitive show the characteristics of chaotic attractor. At last the definition of chaos summarized, emphasize the calculation and analysis of the importance of study in chaos, the prospect of the development of the research prospect of chaos.
Key words: Logistic mapping; Lorenz system; Strange attractor; MATLAB;
II
目录
引言 (1)
1 混沌介绍 (1)
1.1混沌的定义 (1)
1.2混沌的基本特征 (2)
1.3混沌的数学特征 (3)
1.3.1关联维数 (3)
1.3.2L YAPUNOV指数 (4)
2 混沌的计算与分析 (5)
2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)
2.2混沌的定义特征分析 (8)
2.2.1混沌的定义分析 (8)
2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)
2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)
2.3L ORENZ系统族 (13)
2.3.1L ORENZ方程组 (13)
2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)
3 混沌本质及前景 (18)
参考文献 (21)
谢辞 (22)
1
1
引言
混沌，被誉为相对论和量子力学之后的本世纪最重要的科学发现之一。这种貌似无规则的运动解释了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，加深了人们对客观世界的认识，活跃了人们的思维。
美国气象学家洛伦兹（Lorenz ）由“蝴蝶效应”引起广大学者对混沌的研究，掀起了相继相对论和量子力学以来基础科学的第三次大革命。用简单的话来说，混沌是一种确定的非线性系统中出现的无规则的运动。混沌系统最大的特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。混沌运动的复杂性使得在研究和模拟混动运动的过程中不但要进行大量的数值计算，而且要将计算结果直观地展示出来便于观察混沌现象。
混沌应用的广泛性，又使得混沌在科技发展的过程中不断的影响着人类的生活。混沌对人类的未来有着深远的影响，而混沌的研究是基于对大量数据的处理。所以，要想走入混沌，我们不得不更加重视混沌的数值计算与分析。
1 混沌介绍
1.1 混沌的定义
混沌一词由李天岩（Li T Y ）和约克（Yorke J A ）于1975年首先提出。1975年他们在“周期3意味着混沌”的文章中给出了混沌的一种数学定义[1]，现称为Li-Yorke 定义：
设连续自然映射f :I →I R ?,I 是R 中一个子区间。如果存在不可数集合S I ?满足
（1）S 不包含周期点。
（2）任给X 1,X 2∈S(12X X ≠)，有
12limsup ()()0t t t f X f X →∞
-> 1-1
12liminf ()()0t t t f X f X →∞
-= 1-2
这里()()()()
t f f f f =??? 表示t 重函数关系。 （3）任给1X S ∈及f 的任意周期点P I ∈有
()()12limsup 0t t t f X f X →∞
-> 1-3
2
则称f 在S 上是混沌的。
此定义中，由于前两个极限例子说明子集的点12,X X S ∈相当分散而又相当集中；第三个极限说明子集不会趋近于任意周期点，所以这个定理本身只预言有非周期轨道存在，既不涉及这些非周期点的集合是否具有非零测度，也不涉及哪个周期是稳定的。因此，Li-Yorke 定义的缺陷在于集合S 的勒贝格测度有可能为零，即这时混沌是不可观测的，而人们感兴趣的则是可观测的情形，即此时S 有一个正的测度。
根据Li-yorke 定义，1983年Day 认为一个混沌系统应具有如下三种定义：第一，存在所有阶段的周期轨道；第二，存在一个不可数集合，该集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任意周期轨道，即该集合不存在渐近周期轨道；第三，混沌轨道具有高度的不稳定性。
这一定义所提出的周期3意味着混沌，后来发现这是前苏联学者Sarkovskii （1964年）[3]关于连续“周期点”出现顺序定理的一个特例。
1989年Devaney R L 给出了混沌的又一种定义：
设X 是一个度量空间。一个连续映射:f X X →称为X 上的混沌，如果 （1）f 是拓补传递的； （2）f 的周期点在X 中稠密； （3）f 具有对初始条件的敏感依赖性。
简而言之，混沌的映射具有不可预测性与不可分解性，但仍有一种规律性这三个要素。这是因为，对初始条件的敏感依赖性，使得混沌系统是不可预测的。又由于拓补传递性，使得它不能被细分或不能被分解为两个在f 下相互影响的子系统。尽管如此，但在混沌行为中确实存在着规律性的成分，即有稠密的周期点。[2] 1.2 混沌的基本特征
上一小节介绍了两个混沌的定义，除上述对混沌的定义之外，还有诸如Smale 马蹄、横截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义。然而迄今为止，混沌还没有一个公认的普遍适用的的严格的数学定义[4]，它的含义主要体现在以下几个基本特
3
征：
（1）非周期性。混沌是非线性动态系统的一种可能定态，相空间轨道不是单调变化的，也不是周期性的，而是非周期性地曲折起伏变化的。把系统的非单调行为判定为要么瞬态运动、要么周期运动的传统观点是错误的。
（2）整体的稳定中蕴含着局部的不稳定。混沌运动存在混沌吸引子，混沌吸引子对外部轨道有吸引力，进入吸引子就不可能走出来，因而整体是稳定的。但吸引子内部的不同轨道相互排斥，极不稳定。
( 3) 确定性随机性。混沌是在确定性的动力学系统中出现的，其演化方程和方程中的参数都是确定的，没有概率因素的存在。另一方面，混沌系统的轨道一旦进入混沌吸引子，其不规则性原则上与随机运动无法区分。但这种随机形式是确定性系统自身内部非线性因素产生的，与外部条件无关。
( 4) 长期行为不可预测性。由于对初始条件敏感，混沌系统的长期行为同随机运动一样无法预测。但不能简单地宣布混沌运动不可预见。因为混沌系统的演化方程式是确定的，混沌吸引子在相空间的位置是确定的，短期行为可以预测；吸引子上的运动服从某种概率规律，具有统计意义上的可预见性。混沌的发现在某些方面又增强了人的预见能力。
( 5) 无序中蕴含着十分复杂的有序。从混沌的相空间任意取出一部分放大看， 仍像整体那样极不规则、具有无穷精细结构和某种自相似性。 1.3 混沌的数学特征 1.3.1 关联维数
迭代如果收敛的话，绘制出来的轨迹有时收敛于一点，有时收敛于几个点，有时收敛于一个环，有时呈现出非常复杂的形状，但还不是发散。
当出现不发散的非常复杂的轨迹的时候，有可能就是近似的混沌吸引子。混沌吸引子的维数一般都低于相（轨迹所在）空间的维数。例如，绝大多数平面上的吸引子不能实实在在地填充完整的平面区域，三维吸引子也是如此。为了表述这种稠密程度或填充程度，引入分形（分数）维数，关联位数是分形维数的一种。
吸引子（集合）的关联维数定义如下： 【定义】 考虑下面的关联积分：
1()lim ()N
i N i C C εε→∞
==∑ 1-4
4
其中，1
()i C N
ε=
{满足i j M M ε<条件的点的数目}，ε是空间中的距离变量，i M 是空间中的点，N 是空间轨迹的总数。
当0ε→时，关联积分()i C ε与ε之间存在如下关系：
lim ()d N C εεε→∝ 1-5
其中，d 称为关联维数，所以，关联维数公式计算：
0ln ()
lim
ln N C d εεε
→= 1-6
这个关联积分的表述比较复杂，它的n →∞与0ε→之间有一定的内在联系。它们极限的存在还需要严格的理论分析，但这并不妨碍它的实际应用。
空间中的点可以是一维、二维、三维空间中的点，也可以是高维空间中的点。…表示两点之间的距离，这个距离可以是欧几里得空间中的距离。
在计算机上计算n →∞是不可能的，只能是一种近似计算。
关联维数是分形维数的一种，分形维数本质上就是要反映一个集合占有空间的程度，这个占有是指密集程度。不严格地说，分形维数表示的是单位体积内含有吸引子的点的个数，这个单位体积是指非常小的单位体积。分形维数有很多种，关联维数是分析混沌吸引子常用的一种分形维数。 1.3.2 Lyapunov 指数
混沌的一个重要特点是初始状态微小不确定性将会迅速按指数速度扩大，在非混沌系统中，相互靠近的轨迹要么以指数速度迅速地收敛，要么慢与指数速度发散。
这种轨迹收敛或发散的比率，可以用Lyapunov 指数来刻画。
对于n 维向空间中的连续动力学系统，考察一个n 维球面的长时间演化，由于流的局部变形特性，球面将变成为n 维椭球面。
第i 个Lyapunov 指数按椭球主轴长度()i p t 定义为
()
1lim ln
(0)
i i t i p t t
p λ→∞= 1-7 Lyapunov 指数的大小表明相空间中相近轨道的平均收敛和发散指数率。n 维相空
间有n 个实指数，称为谱。一般来说，具有正和零Lyapunov 指数的方向，都对支撑吸引子起作用，而负Lyapunov 指数对应着收缩方向，这两种因素对抗的结果就是伸缩和折叠操作，这就形成了奇怪吸引子的空间几何形状。
5
下面是一个完整的Lyapunov 指数的数学定义。
【定义】 设n
R 空间上的差分方程1()i i x f x +=，f 为n
R 上连续可微映射。 设()f x '表示f 的Jacobi 矩阵，即
11
1()n n n n f f
x x f f x x f f x x ?????????
??'==?????
??????????
1-8
令
11()()()i i J f x f x f x -'''= 1-9
将i J 的n 个复特征根取模后，依从大到小的顺序排列为
()()()12i i i n λλλ≥≥≥ 1-10
那么f 的Lyapunov 指数定义为
()1lim ln ,1,,i k k i k n i
λλ→∞== 1-11
当Lyapunov 指数大于零时，系统运动是混沌的。
2 混沌的计算与分析
2.1 混沌的模型：Logistic 映射
【定义】Logistic 映射 映射()(1)f x x x μ=-称为Logistic 映射，其中
[][]0,4,0,1x μ∈∈。
用Logistic 映射形成的迭代称为Feigenbaum 迭代（因为Feigenbaum 对这一迭代进行了比较透彻的研究）。
在Feigenbaum 迭代中，映射（迭代函数）()f x 是一个二次函数。Feigenbaum 迭代可以写成下面的形式：
1(1)n n n x x x μ+=- 2-1
与其他迭代一样，在进行迭代式要给出初值以及系数等。[5] 例如，给定00.3,2x μ==，那么
6
121120.3(10.3)0.42
2(1)20.42(10.42)0.4872x x x x =??-==-=??-=
对于上面的例子，绘制出Feigenbaum 迭代得到的轨迹（程序中用u 表示μ）。 x(1)=0.3;u=2;
n = input(‘please input a number ’); 100 for i=1:n
x(i+1)=u*x(i)*(1-x(i)); end
plot(1:n+1,x); grid on
x
图1 收敛的迭代序列
命令窗口中，显示出数组x 的值。从数组x 的值可以看出，前4个值为0.3000,0.4200,0.4872与0.4997，从第5个数开始以后都为0.5000了。
上面程序段可以从命令窗口输入要迭代的次数，然后把整个迭代过程中的x 都
求出来，这些值存储在x这个数组中。
语句plot(1:n+1,x)是在循环的过程中绘制出对应迭代次数的每个轨迹点，并用线连接起来。
这个迭代的轨迹是周期性的，周期为1。
如果修改初始值为0.8,0.1,0.0002等，观察其对应的轨迹是否收敛，收敛情况如何。实验发现，从图形上看，对于给定的这些初始值，迭代轨迹都收敛到0.5。
当
00.007,4
xμ
==时，Logistic映射()4(1)
f x x x
=-的Feigenbaum迭代轨迹情况会发生改变。
当取横坐标为i纵坐标为x(i)时，横坐标取0到100步长为1。绘制迭代轨迹如图2【附录1程序2】。
图2 混沌的迭代序列（1）
从图2中可知，迭代轨迹极其不稳定，没有趋近于任何常数的迹象。如果将其横坐标改为100到200步长为1。绘制迭代轨迹如图3【附录1程序3】。
7
8
图3 混沌迭代序列（2）
目前，关于Logistic 映射的研究结果很多，一般认为，当表达式1(1)n n n x x x μ+=-中的μ大于3.57后，映射迭代开始出现混沌。 2.2 混沌的定义特征分析 2.2.1 混沌的定义分析
混沌的Li-Yorke 定义是十分抽象的，应该设计一些程序具体的计算分析，把抽象的概念具体化。读这个定义，然后设计程序，选择一些具体的例子，对这个概念深入研究。
【例】设计程序验证混沌映射具有任意周期性点
下面以Logistic 映射()4(1)f x x x =-为例，研究混沌映射的周期点。 for x1=0.737:0.00001:0.999 x2=x1; for k=1:100
x(k)=3.8*x2*(1-x2); x2=x(k); if k>3 for j=1:k-1
9
if(abs(x1-x(j))<0.000001) j x1 end end end end end
对于每一个初始值x1，实验观察看其是否是周期点。该程序运行结果为
该结果的含义是映射3.8x(1-x)的75阶周期点为0.7996,61阶周期点为0.8723等。 程序中使用语句for x1=0.737:0.00001:0.999把初始值设在0.737~0.999之间，每隔0.00001取一个值。0.7368为映射3.8x(1-x)的动点，所以让初始值从0.737开始。如果把程序语句for x1=0.737:0.00001:0.999改为for x1=0.001:0.00001:0.736那么运行结果为
因为循环时的k 取值上界为100，所以计算100阶以下的周期点。
同样可以设计程序验证：对于混沌映射，存在的不可数集合N I ?，使对任意的
,x y N ∈，有
()()limsup 0t t t f x f y →∞
-> 2-2
一般情况下，上极限都是用上确界来定义的。上确界是指指数及上界的最小值，上确界可以不属于该数集。数集E 的上确界记为sup E 。
【定义】 称一有界闭区域X 上的映射:f X X →是混沌的，如果它满足下述条件：
（1）它对初值是敏感的，即存在0δ>使得对任何x X ∈与x 的任何一个邻域B ，存在y B ∈和自然数k ，满足
10
()()k k f x f y δ-> 2-3
（2）它是拓扑传递的，即对任何两个开集,U V X ∈，存在自然数k ，使得
()k f U V φ≠ 2-4
（3）它在X 中有稠密的周期轨道。 2.2.2 混沌最基本特征：对初值的敏感性
由于混沌的内在随机性，初始条件的微小差别会随时间的演化成指数规律增长，最终使得它的行为无法预知，呈现出一种貌似随机的状态，这就是“蝴蝶效应”，即在海上的蝴蝶扇动一下翅膀——相当于轻微地改变了当日的空气流——结果可能是数日后在太平洋彼岸引起一场预想不到的大风暴。
这里利用Logistic 映射()(1)f x x x μ=-进行数值模拟来说明。当4μ=时，给定初始值0x 介于0~1之间，对函数进行迭代运算。从下面的计算可以看出，迭代轨迹对初始值具有极强的敏感性。
当初始值010.100001x =020.1x =时，迭代轨迹为：
11
可以看出，虽然初始值相差很小，但当迭代几次后，两条轨迹便差距很多了。
对于每一个初值的轨迹来说，轨迹上的点不会重复（一旦重复，就成为不动点或者是周期点了）。
绘制出()4(1)f x x x =-的迭代轨迹图形（如图4），观察当初值010.100001x =与020.1x =时两条诡计曲线的差别。
横轴是迭代次数，纵轴是每次迭代计算出的()f x 的值。为了更明显体现两条轨迹的区别，我们用“*”表示01x “o ”表示02x ，并将横坐标延长1倍。
图4 两条轨迹曲线差别
2.2.3 混沌映射的基本特征之一：分岔
12
【定义】 不动点 对于I 上有定义的映射()f x ，如果存在一个x I ∈，使得
()f x x =，那么就成这个x 是映射()f x 的不动点。[5]
【定义】 周期点 如果对某个0x I ∈，有00()n f x x =，但对于小于n 的自然数k ，有00()k f x x ≠，则称0x 是f 的一个n 周期点。
当1n =时，1周期点就是不动点。
从迭代的角度，给定不同的初始值，迭代后都会归到某个周期点上去。[5] 现在用Logistic 映射()(1)f x x x μ=-中的μ为横坐标，把每个μ对应的周期点在纵坐标上画出来，这样得到的图形能够观察出周期点的个数及位置随μ的变化情况，对于混沌映射来说，绘制出的这个图形具有分岔的特征，所以一般把这个图形叫做分岔图。
如图5是Logistic 映射取2.64μ<<，初始值为0.2的分岔图
图5 Logistic 映射分岔图
分岔是混沌映射的基本特征之一，然而，仔细观察图5，将图中横轴取
3.84 3.86μ<<纵坐标取0.130.17x <<并将其放大即出现图6，我们会发现，表面上
看，混沌运动呈现出混乱无序的随机状态，但这种随机状态是一种内在的随机状态，随机中蕴含着有序。
13
图6 图5的局部放大
从图5中可以看出，在混沌区有许多“孤岛”存在，这些称为“窗口”。窗口的存在表明，混沌区中还有稳定的周期存在，这些稳定的周期并不是对应于某一点，而是存在于某一区域内。[6]对其中的某一窗口进行局部放大，如图6所示。
从图6中又可以看出倍周期走向混沌的过程和混沌区域，这与整体图十分相似，只不过尺度不同，混沌的这一特性成为自相似性。它又一次表明混沌并不是真正的随机态，而是在随机状态中蕴含着有序。 2.3 Lorenz 系统族 2.3.1 Lorenz 方程组
混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz 系统是下面形式的方程组：
()
x
a y x y cx xz y z
xy bz =-??
=--??=-? 2-5 其中，,,a b c 是常量，确定了系统的行为，,,x y z 是自变量t 的函数，,,x
y z 分别表示,,x y z 关于t 的导函数。
这个常微分方程组是对下部加热的流层中流体行为的近似描述。 式2-5中的Lorenz 方程可近似用差分方程组2-6来表示：
14
111
() ()()
k k k k k k x x a y x dt y y cx xz y dt z z xy bz dt +++=+-??
=+--??=+-? 2-6 当给定初始值000,,x y z 后，用迭代方法求111,,x y z ，然后用111,,x y z 求222,,x y z 等。这一迭代序列就是Lorenz 方程（系统）的一个数值解。
给定一组系数8
10,,283
a b c ===，再给定初始值（1,1,1），代入式2-6，求出一
个轨迹，这个轨迹就是（近似）相当于解函数族中的一个函数，即微分方程的一个特解。这个轨迹是离散的，是函数的近似。可以把它绘制出来进行观察。
通常被称为吸引子的结构实际上是指在吸引子中所包含的特解的一个广延部分。下面绘制Lorenz 吸引子近似图如图7所示。
图7 Lorenz 吸引子近似图
图7是选择步长为0.005，忽略了开头几个不太稳定的点。如果用线段依次把顺序的点连接起来使它看起来像一个很长的连续的曲线，再将其旋转到图8的角度观察，就看到个蝴蝶。
15
图8 像蝴蝶的Lorenz 吸引子
2.3.2 Lorenz 系统的简单分析
Lorenz 系统有三个特性，即1.对称性，2.稳定性，3.平衡点和分差特性。 1.对称性
式2-5所示系统在变换（x,y,z ）→(-x,-y,z)下具有不变性，即系统2-5关于Z 轴具有对称性。
显然Z 轴本身也是系统的一条解轨迹线，即若t=0时有x=y=0，则对所有的t>0有x=y=0。进一步，当t →∞时，Z 轴上所有的解轨迹线均趋于原点。如图9所示。
图9 Lorenz 吸引子在三个坐标平面上的投影
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
数值计算方法比较
有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。 注：差分格式： （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法： 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。 有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念 直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是 与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法 广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格 式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有
数值计算方法学习心得
数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但 在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节 没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到 许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠 的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其 次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。
然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的 正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量 看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述， 就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析， 不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要 提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面 的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会
数值运算的误差分析(精)
实验一 数值运算的误差分析 1.问题的提出 任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。 1)模型误差： 实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差 2)观测误差： 数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。 3)截断误差： 通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差 。 例如，函数)(x f 用泰勒（Taylor ）多项式 n n n x n f x f x f f x p ! )0(!2)0(!1)0()0()(2'''++++= 近似代替，则数值方法的截断误差是： εε(,)! 1()()()()(1 )1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R 4)舍入误差： 最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。 例如用3.14159近似代替π，产生的误差 0000026.03014159=-=πR 为舍入误差。 2.误差与有效数字 1)绝对误差： 2)相对误差： 3)有效数字： 若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字，表示 ()() 1121*101010---?++?+?±=n n m a a a x ， 其中是),,1(n i a i =0到9中的一个数字，0≠i a ，m 为整数，且 1*102 1 +-?≤ -n m x x
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共 有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限） 的和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数
4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从 x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|< 为止，此时取 x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。 2.二分法 设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。 3.比例法 一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一 点x k,则： 1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。 2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。 事先估计: 事后估计 局部收敛性判定定理： 局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近 Steffensen迭代格式： Newton法： Newton下山法：是下山因子 弦割法：
数值计算方法大作业
目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)
4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)
数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）
1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）
数值分析实验报告总结
数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科
如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3
数值分析论文
题目：论数值分析在数学建模中的应用 学院: 机械自动化学院 专业: 机械设计及理论 学号: 学生姓名: 日期: 2011年12月5日
论数值分析在数学建模中的应用 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程 the Application of Numerical Analysis in Methmetical Modeling Han Y u-tao 1 Bai Y ang 2 Tian Lu 2 Liu De-zheng 2 （1 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134 2 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134) Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in numerical analysis which usually used in mathmetical modeling and error analysis will be a better way to solve practical problems. Key Words Numerical Analysis ；Mathematical Modeling; Linear Equations ；differential equation 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2. 数值分析在模型建立中的应用 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=?+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=??=?++1222)(为k x 的二阶差分。类似课求出k x 的n 阶差分k n x ?。由k ，k x ，及k x 的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k 周末体重为)(k w ，第k 周吸收热量为)(k c ，热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型
数值计算方法》试题集及答案
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
《数值计算方法》试题及答案
数值计算方法考试试题 一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ，则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ） A. 02≤≤-h ； B. 0785.2≤≤-h ； C. 02≤≤-h λ； D. 0785.2≤≤-h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2 x 5，= 1Ax 16 ，=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表， 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值； 解：1.用复化梯形公式计算 取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分 分 分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x
数值计算方法总结计划复习总结提纲.docx
数值计算方法复习提纲 第一章数值计算中的误差分析 1 2．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 ) 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。 1、误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字 绝对误差E（x）=x-x * 绝对误差限x*x x* 相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x* 有效数字 x*0.a1 a2 ....a n10 m 若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。 2 有效数字与误差关系 （ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)1 10 (n 1)。 2a1 选择算法应遵循的原则 1、选用数值稳定的算法，控制误差传播； 例 I n 11n x dx e x e I 0 1 1 I n1nI n1 e △ x n n! △x0 2、简化计算步骤，减少运算次数； 3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免
第二章线性方程组的数值解法 1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。 本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？ a 11x 1 a 12 x 2... a 1n x n b1 a 21x 1 a 22 x 2... a 2n x n b2 ... a n1x 1 a n 2 x 2... a nn x n b n 两类方法，第一是直接解法，得到其精确解； 第二是迭代解法，得到其近似解。 一、Gauss消去法 1、顺序Ｇ auss 消去法 记方程组为： a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1) a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1) ... a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x n b n(1) 消元过程： 经ｎ－１步消元，化为上三角方程组 a11(1) x1b1(1) a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 ) ... a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x n b n( n ) 第ｋ步 若a kk(k)0 ( k 1)( k) a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k) a ij a ij a kk(k ) a kj b i b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n 回代过程：
数值分析学习方法
第一章 1霍纳（horner）方法： 输入=c + bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ? 2 注：p为近似值 p（x） 绝对误差： ?|ep?|p?p ?||p?p rp? |p| 相对误差： ?|101?d|p?p rp?? |p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)： o(h?)+o(h?)=o(h?); o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章 2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则 ，可得到序 列值｛｝。设函数g 满足 y 定义在得 。如果对于所有 x ，则函数g 在 ，映射y=g(x)的范围 内有一个不动点; 此外，设 ，存在正常数k<1，使 内，且对于所有x，则函数g 在 内有唯一的不动点p。 ，（ii）k是一个正常数， 。如果对于所有 定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ） 如果对于所有x在
这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散 性。波理 尔 查 . 诺 二 分 法 ( 二 分 法 定) <收敛速度较慢> 试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与 x轴的交点(c,0)> 应注意 越来越 小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法 . f(pk?1) 其中k=1,2,……证明：用 f(pk?1) 牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1? 泰勒多项式证明 第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步 substitution 二lu factorization 第一步 a = lu 原方程变为lux=y ； 第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ； 三iterative methods（迭代法） a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2? ） back 初始值 0,x0,?,x0x1n2 四 jacobi method 1.选择初始值 2.迭代方程为 0,x0,?,x0x1n2 k?1? x1k?1 ? x2
(整理)数值分析计算方法超级总结
工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用） [由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用] 一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ): a) 对 e = 2.718281828459045…,取* x = 2.71828 b) 数学家祖冲之取 113355 作为π的近似值. c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。 2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字) c) 算法数值稳定性 (不超过60字) 3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3 x 时的相对误差约等于x 的相对 误差的3倍。 4) 计算球体积3 34r V π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对 误差的允许范围。 5） 计算下式 341 8 )1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P ）（ 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式 ?????=-==- ,2,1,1102 10n y y y n n 如果取 * 041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到 10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？ 二. 插值问题: 1) 设函数 )(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为 54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式 )(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式 ) 2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在 （ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设 1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=?07f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞=0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。
8、给定方程组?? ?=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且 20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设 ?? ??? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是 （ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数 ) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， 3、有下列数表
数值计算方法学习心得
数值计算方法学习心得 在研究生一年级的上半学期，我们安排了计算方法的课程，通过课堂授课、网上学习、学术报告以及课堂监督等方式的引导，我们对计算方法有了全新的认识。我们知道,数学是一门重要的基础学科。离开了数学，科技便无法发展。而在数学这门学科中，数值计算方法有着其不可取代的重要地位。 在授课的过程中，首先利用前几讲课的时间对计算方法的基础进行补充，考虑到有部分专业的学生在本科时期没有接触过计算方法这门课程；计算方法主要研究实际问题，当今社会计算机高速的发展，为人们使用数值计算方法解决科学技术中的各种数学问题提供了有力的硬件条件。要将关于数值计算的实际问题借助于计算机来解决，那么实际的上机操作就显得十分重要。因此，老师在平时课堂授课的同时，也推广网上学习，通过课堂掌握知识、网上复习内容双重方式学习，更有利于我们掌握知识，另外对于我们上机操作也具有十分重要的指导意义。通过网上看教学视频，一方面我们对课上学习的内用加深了印象，另一方面由于课堂上时间有限，对于某些知识，我们在听课时不是很清楚，似懂非懂，在网上学习的帮助下，我们可以在课后及时对这些知识进行进一步的消化，对于我们吸收知识也是一种很好的方式。此外，网上学习具有可重复性的优点，这是课堂上所不具有的特点，在课堂上不懂的知识，在网上可以反复学习，在网上学习中遇到的问题也能够反馈到课堂。所以课堂授课与网上学习相辅相成，各有优点，弥补了各自的不足之处。 很多课应用却是另一码事，学是一码事，当然课程的学术报告也十分重要， 程中，我们学会了，遇到问题却不会解决，所以课程学术报告此时起了关键作用。
学术报告是基于每组学生各自的专业设置的，这样做一方面检验学生应用计算方法的能力，另一方面也是为了引导学生将计算方法与本专业联系起来，学会应用学过的知识对现象进行描述、建模以及采用编程的方法处理数据等。 本学期的计算方法课程相当充实，在老师课上精心的授课、学生课下利用网上资源认真复习、对课程学术报告的完成以及课堂监督下，同学们都受益匪浅，尤其是对于数据处理方法的学习、思维的形成都有极其重要的作用，对于后期的专业研究也有深远的影响。 本学期已经接近尾声，计算方法课程也已经结束，在此向老师表示敬意和感谢。．
数值分析计算方法
《计算方法》实验内容 一．实验一：用两种不同的顺序计算 644834.110000 1 2 ≈∑=-n n ，分析其误差的变化。 1.实验目的：通过正序反序两种不同的顺序求和，比较不同算法的误差；了解在 计算机中大数吃小数的现象，以后尽量避免；体会单精度和双精度数据的差别。 2.算法描述：累加和s=0； 正序求和： 对于n=1,2,3,......,10000 s+=1.0/(n*n); 反序求和： 对于n=10000,9999,9998,.....,1 s+=1.0/(n*n); 3.源程序： #双精度型# #include
4.运行结果： 双精度型运行结果： 单精度型运行结果： 5.对算法的理解与分析：舍入误差在计算机中会引起熟知的不稳定，算法不同，肯结果也会不同，因此选取稳定的算法很重要。选取双精度型数据正反序求和时结果一致，但选用单精度型数据时，求和结果不一致，明显正序求和结果有误差，所以第一个算法较为稳定可靠。 二．实验二： 1、拉格朗日插值 按下列数据 x i -3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 y i 1.0 1.5 2.0 2.0 1.0 作二次插值，并求x 1=-2，x 2 =0，x 3 =2.75时的函数近似值 2牛顿插值 按下列数据 x i 0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72 y i 1.04403 1.08462 1.11803 1.15603 1.19817 1.23223 作五次插值，并求x 1=0.46，x 2 =0.55，x 3 =0.60时的函数近似值. 1.实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析各自的优缺点。 2.算法描述： 3.源程序： 拉格朗日插值： #include