八年级数学全等形及全等三角形的概念

（二）尝试活动探索新知

老师引导学生总结相应的知识点:

这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形

第1 周课时 1 授课时间：2008年9 月2 日授课教师：计俊红

(完整word版)八年级数学全等三角形难题集锦

1. 如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点 M,BN⊥MN于点N. (1)试说明:MN=AM+BN. (2)如图②,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由. 【答案】(1)答案见解析;(2)不成立 【解析】试题分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论； （2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN 与MN之间的数量关系． 试题解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN； （2）图（1）中的结论不成立，MN=BN-AM．理由如下： ∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．

人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3

∴BE ＝23﹣6； ③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45° ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝12 BC ＝3． 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．

八年级数学下册全等三角形知识点归纳

八年级数学下册全等三角形知识点归纳 八年级数学下册全等三角形知识点归纳 定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.(注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角. 由此,可以得出：全等三角形的对应边相等,对应角相等. (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因. 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”). 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”). 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理. 注意：在全等的`判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状. A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side). 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等. 2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等. (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等.(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全 等.(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反. 2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便.

全等三角形概念与性质

全等三角形概念与性质 第一部分：知识点回顾 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 2.全等三角形的性质：（1）全等三角形对应边相等（2）全等三角形对应角相等 如上图：△ABC和△A1B1C1是全等三角形，记作△ABC≌△A1B1C1，符号“≌”表示全等，读作“全等于”. 其中，AB=A1 B1、AC=A1C1、BC=B1C1；∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1. 补充：（1）全等三角形面积相等、周长相等； （2）全等三角形对应线段（高、角平分线、中线）相等； （3）翻折、平移、旋转前后的三角形全等 第二部分：例题剖析 例1、如图4，△ABC≌△ADE，∠E和∠C是对应角，AB与AD是对应边，写出另外两组对应边和对应角； 分析：由已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，得点C与点E，点B与 点D为对应点，然后根据全等三角形的性质可得答案。 解：∵△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD， ∴AC=AE，BC=DE； ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D． 点评：本题考查了全等三角形的性质；解题用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等，应注意各对应顶点应在同一位置．根据对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角解题是正确解答本题的关键． 例2、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,则DF长是多少？ 分析：由△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,可求出边AC的长度， 再根据全等三角形对应边相等，求出边DF的长。 解：∵△ABC的周长为20，AB=5，BC=8， ∴AC=20-5-8=7， ∵△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=7．

八年级全等三角形题型总结(有难度)

腾大教育教师辅导教案 授课时间：2014年2月10日学员姓名年级八年级辅导课目数学 学科教师班主任课时数 3 教学课题解全等三角形问题的题型总结 教 学目标1.总结、讲解全等三角形题型 2.练习 教 学 重 难 点 1.掌握解全等三角形的各类问题 教学内容课堂收获 一、三角形全等的性质和判定方法 二、全等三角形的题型 （一）注意三角形全等的判定方法。特别留意的是有两边和一角对应相等的两个三角 形不一定全等，当相等的角为相等的两边中的一边的对角时，这两个三角形不一定相 等。 例1.下面有四个命题： ①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等。 其中真命题是：（） A. ②③ B.①③ C.③④ D.②④ 练习： 1.下列说法：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； ②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； ③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； ④两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。 其中正确的有（） A. 4个 B.3个 C.2个 D.1个 （二）注意角度在三角形全等中的应用。特别是在特殊三角形，如等腰三角形、直角 三角形中角度数的作用。 例2.两个全等的含? 30、? 60角的三角板ADE和三角板ABC，如图放置，E、A、C 三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC。试判断△EMC的形状， 并说明理由。

八年级数学全等三角形经典例题练习及解析

全等三角形单元 预习测试题 小题3分，共30分） 一、选择题（每 1．下列说法错误的是（） A ．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（） A ．∠1=∠2 B．AC= C A C．AB=AD D．∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF ，AC= D F ，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是（） A ．A B =DE B．∠B=∠E C．EF =B C D．EF∥BC 4．长为3cm，4 c m，6 c m，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B．两人都取6cm 的木条 C．两人都取8cm 的木条D．B、C 两种取法都可以 5．△ABC 中，AB= A C，三条高AD，BE，CF 相交于O，那么图中全等的三角形有（） A ． 5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一 边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等． A ． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段B H 的长度为（） A ．B．4 C．D．5 8．如图，ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD 与△ADC 的面积比是（） A ．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定

八年级数学全等三角形(培优精选难题)

北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题集 1．如图1,已知在等边△ABC 中，BD=CE,ＡD 与ＢE 相交于P ，则∠ＡPE 的度数是 。 图1 图2 B A 图 3 2．如图２，点E 在A Ｂ上，AC=ＡD,ＢC ＝BD ，图中有 对全等三角形。 3．如图3，OA=OB,OC ＝ＯＤ,∠O ＝60°，∠Ｃ=25°,则∠BED 等于 度。 ４．如图４所示的２×2方格中，连接ＡB 、A Ｃ，则∠1+∠２＝ 度。 图4 B 图5 A B D 图6 C 5.如图5,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论，推出一个正确的命题。( ) ①ＡE=AD;②AB ＝ＡＣ；③OB=ＯＣ;④∠B=∠C 。 ６.如图6，在△ＡBC 中，∠BAC=90°,延长BA 到点Ｄ,使A Ｄ= 2 1 AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。 (1)求证:D Ｆ＝BE ； （２）过点A 作A Ｇ∥B Ｃ,交ＤF 于点G,求证:AG ＝DG 。 7．如图７,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠B ＡD ，ＡB>ＡD,下列结论正确的是( ) A ． AB-ＡD ＞CB-ＣＤ B. AB －AD=CB-ＣD

C. AB-ADC Ｅ B. AD<ＣＥ C. AD ＝ＣE D. ｉｎdefin ｉｔe （英汉小词典：equilate ｒa ｌ等边的；inte ｒsect ｉｏn 交点；i ｎｄｅfinit ｅ不确定的;ｍagn ｉｔｕde 大小，量） 9.如图9，在△ABC 中，A Ｃ=ＢC ＝５，∠A ＣB=80°,O 为△A ＢＣ中一点,∠OAB=10°，∠O ＢＡ=3０°，则线段AO 的长是 。 图9 A B 图10 B １0．如图10，已知BD 、ＣE 分别是△ＡB Ｃ的边A Ｃ和ＡB 上的高，点Ｐ在BD 的延长线上，ＢＰ＝ＡC ，点Q 在ＣＥ上，ＣQ=ＡB 。求证： (１）ＡP=AQ; （2）ＡＰ⊥ＡQ 。 1１．如图11，在△AB Ｃ中,∠C=６0°,AC ＞B Ｃ，又△AB Ｃ′、△B ＣＡ′、△ＣＡB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在ＡC 上,且BC=DC 。

八年级数学全等三角形复习题及答案

初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC C E ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： AC F BD E ???。 例 2. 如图，在A B C ?中，BE 是∠ABC 的平分线，A D B E ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 例3. 如图，在A B C ?中，A B B C =，90ABC ∠= 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,A E E F 和C F 。求证：A E C F =。 例4. 如图，AB //C D ，AD //BC ，求证：A B C D =。 例5. 如图，,AP C P 分别是A B C ?外角M A C ∠和N C A ∠的平分线，它们交于点P 。求证： BP 为M BN ∠的平分线。

例6. 如图，D 是A B C ?的边BC 上的点，且C D A B =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 例7. 如图，在A B C ?中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一A B C ?的是( ) A. 3A B =，4B C =，8C A = B. 4A B =，3B C =，30A ∠= C. 60C ∠= ，45B ∠= ，4A B = D. 90C ∠= ，6A B = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①A B A E =；②B C E D =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使A B C A E D ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. D AE C BE ∠=∠ B. C E D E = C. D EA ?不全等于C B E ? D. E A B ?是等腰三角形

全等三角形的概念及性质

人教版八年级上册第十二章 12.1《全等三角形》教案 一.学习目标： 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2．了解全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边，对应顶点。 二.学习重点：全等三角形的性质． 学习难点：找全等三角形的对应边、对应角．对应顶点 三.学习指导：认真看课本31----32页，然后回答下列问题。 四.学习过程 一. 新课引入 1.多媒体展示生活中的图片 小组讨论： (1)从上面的几组图片中你有什么发现? (2)你能再举出生活中的一些类似例子吗? 二.合作探究 1、全等形、全等三角形的有关概念 （1）观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（形状，大小 .）

② （2）请再举出类似的例子（至少3个）. （3）由此，你发现上述图形的共同特征是： 完全相同——放在一起能够 （4）归纳概念： 叫做全等形. 类似的， 叫做全等三角形. 2. 对应顶点，对应边和对应角 用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC ，然后按要求在三个图中依次操作．体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”． 你发现变换前后的两个三角形有什么关系？ 结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 。 （1）把两个全等三角形重合在一起， 叫做对应顶点， 叫做对 应边， 叫做对应角. （2）△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC △DEF,读作△ABC △DEF.（注意：记 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置.） 3、全等三角形的性质 （1）把你自制的一对全等三角形纸片重合，你发现对应边、对应角有什么关系？ （2）全等三角形的性质. 全等三角形的 相等； 全等三角形的 相等 （3）如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出 这两个三角形全等，并写出相等的边和角. C A 4、确定全等三角形的对应边、对应角

八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC，

∴AD =BD =CD ， ∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ， ∴∠BAD +∠CAD = 12 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°， 综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____. 【答案】15CP ≤≤ 【解析】 【分析】 根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】 如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小， 此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1， 如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，

八年级数学全等三角形专题练习(word版

八年级数学全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限 内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1 2 ），且 △ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____． 【答案】-8 3 ． 【解析】 【分析】 先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的 面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13 2 ，故可得出a的值． 【详解】 ∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2， ∴22 3+213 AB＝＝， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴ 1113 ?1313 222 ABC S AB AC?? ＝＝＝， 作PE⊥x轴于E，连接OP， 此时BE＝2﹣a， ∵△ABP的面积与△ABC的面积相等， ∴ 111 ??? 222 ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++ ＝﹣＝﹣， 111113 3322 22222 a ??+???? ＝（﹣）﹣＝， 解得a＝﹣8 3 ． 故答案为﹣8 3 ．

【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程． 2．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上， 36ABO ∠=?，在x 轴或y 轴上取点C ，使得ABC ?为等腰三角形，符合条件的C 点有__________个． 【答案】8 【解析】 【分析】 观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】 解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个； 若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个； 线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个． ∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个． 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案． 3．在锐角三角形ABC 中．32∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ，

初中数学全等三角形的知识点梳理

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→S S S S A S 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2．对称型 如图4 ，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）

华师大版八年级上册数学《全等三角形》重难点专训

华师大版八年级上册数学《全等三角形》重难点专训 专训一：命题与定理 名师点金：命题贯穿于数学始终，是数学的基础知识，学习时，要会判断一句话是不是命题，能找出命题的条件和结论，会判断命题的真假，会用证明的方法去证明一个真命题． 命题的定义及结构 1．下列句子是命题的有() ①一个角的补角比这个角的余角大多少度？ ②垂线段最短，对吗？ ③等角的补角相等； ④两条直线相交只有一个交点； ⑤同旁内角互补． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．写出下列命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两直线平行； (2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直； (3)两点确定一条直线． 命题的真假 3．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请说明理由． (1)一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形； (2)如果a是有理数，那么a2＋1＞0； (3)如果AC＝BC，那么点C是AB的中点； (4)如果等腰三角形的两条边长分别为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17.

命题的证明 类型1 证明真命题 4.如图所示，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，∠BMN 与∠DNM 的平分线相交于点G. 求证：MG ⊥NG. 请补全下面的证明过程： 证明：∵MG 平分∠BMN(____________)， ∴∠GMN ＝12∠BMN(____________________)． 同理∠GNM ＝12∠DNM. ∵AB ∥CD(____________)， ∴∠BMN ＋∠DNM ＝________(____________)， ∴∠GMN ＋∠GNM ＝________(____________)， ∵∠GMN ＋∠GNM ＋∠G ＝________(________)， ∴∠G ＝________， ∴MG ⊥NG(____________)． 类型2 证明假命题 5．已知命题：“一个锐角与一个钝角的度数之和一定等于180°”，请你判断这个命题的真假，如果是假命题，请你用举反例的方法说明它是假命题． 专训二：全等三角形判定的三种类型 名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：S .S .S .，S .A .S .，A .S .A .，A .A .S .；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“H .L .”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题． 已知一边一角型 题型1 一次全等型

八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版]

八年级数学全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5． ∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是

_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10. 故答案为10. 3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上， ∠=?，在x轴或y轴上取点C，使得ABC ?为等腰三角形，符合条件的C点有ABO 36 __________个． 【答案】8 【解析】 【分析】 观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】 解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点， 但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个； 若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，

全等三角形教案

《全等三角形》教案 教学内容：《全等三角形》的复习 课程目标：1、回顾全等三角形的定义、性质和判定 2、会按照规定书写全等三角形的证明过程 3、了解中考中全等三角形的相关例题，并学会用辅助线合理构造全等三角形。 教学重点：全等三角形证明的书写格式，合理构造全等三角形。 教学难点：通过条件寻找全等关系，或构造全等关系。 教学准备：ppt课件 / 学情分析：该部分内容为初三中考前的复习，学生对内容已经比较了解，只需要加强记 忆和巩固复习。同时也需要学生把握中考动态，了解全等三角形在中考中的出题类型。 教学过程： 前面我们已经对三角形的性质和特点进行了专门的复习，那么今天我们要对两个三角形的关系——三角形的全等关系进行复习。我们都知道两个三角形能都完全重合我们就说这两个三角形全等，而在实际应用中全等的三角形往往是通过平移或旋转得到。既然能够重合，那么我们也就得到三角形的性质是对应边相等，对应角也相等。而在这六个关系中我们只需要得到指定的三种等量关系就可以判定两个三角形全等。那我们一起来看看书上57页，一起完成知识梳理的内容。 一、知识梳理：（该部分内容设计由全班同学一起回忆并口答，教师在课件上板书。时间为3分钟） 1、全等三角形：能够完全重合的三角形叫全等三角形。 2、三角形全等的判定方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 。直角三角形全等的判定除以上的方法还有HL 。 3、全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角也相等。 4、全等三角形的面积相等、周长相等、对应高、对应边的中线、对应角的角平分线相等。 { 二、预习自测：（该部分内容由学生自行完成，时间为2分钟） 1、如图下列条件中，不能证明△ABD △ACD的是（ D ） =DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC C.∠B=∠C, ∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC [ 2、两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是 A D C O D C B A

全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解

全等三角形的概念和性质（基础） 【学习目标】 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. ； 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. { 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. & 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等.

八年级上册数学《全等三角形》全等三角形的判定-知识点整理

十二章三角形知识点导学案 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形按边分类 3. 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 要求会的题型： ①数三角形的个数 方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形 方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围 方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC 的边BC上的高。 三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC 上的中线。 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度

(完整版)八年级数学全等三角形复习题及答案经典文件

第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 例 2. 如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 例3. 如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=o 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证： BP 为MBN ∠的平分线。

例6. 如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 例7. 如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ?的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA = B. 4AB =，3BC =，30A ∠=o C. 60C ∠=o ，45B ∠=o ，4AB = D. 90C ∠=o ，6AB = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使ABC AED ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

1.全等三角形的概念和性质(基础)巩固练习(1)

【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，△ABC ≌△ECD ，AB 和EC 是对应边，C 和D 是对应顶点，则下列结论中错误的是（ ） A. AB ＝CE B. ∠A ＝∠E C. AC ＝DE D. ∠B ＝∠D 2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 以上都不对 3. 下列说法中正确的有（ ） ①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ，△DEF ≌△MNP ，△ABC ≌△MNP. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4. （2014秋?庆阳期末）如图，△ABC ≌△A ′B ′C ，∠ACB=90°，∠A ′CB=20°，则∠BCB ′的度数为（ ） A.20° B.40° C.70° D.90° 5. 已知△ABC≌△DEF，BC ＝EF ＝6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是（ ） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 分别为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95° 二、填空题 7.（2014秋?安阳县校级期末）如图所示，△AOB ≌△COD ，∠AOB=∠COD ，∠A=∠C ，则∠D 的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________． 8. 如图，△ABC ≌△AED ，AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2＝___________. 9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______. 10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有 __________；若∠A ＝46°，则∠D ＝________. 11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2 cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ． 12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ . 三、解答题 13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长. 14. （2014秋?射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A 和D 、B 和E 是对应点． （1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）； （2）写出图中相等的线段和相等的角；