高中数学中的易忘 易错 易混点梳理
高中数学中的易忘、易错、易混点梳理
高三数学复习的策略非常重要，如果在复习中心浮气躁、东一榔头西一棒，或者不根据自己的实际情况，盲目地随大流，都难以取得良好的复习效果。为了争取最佳的复习效果，在高三后期及时调整自己的复习方略是非常必要的。 确定复习策略的依据有两条，一是高考的考试大纲（或《考试说明》），二是自己的实际情况。复习工作的目的，就是努力使自己的数学水平达到考试大纲的要求。经常梳理自己的知识系统，结合自己的具体情况制定数学复习策略，及时调整数学复习方法，是每一位同学都需要重视的工作。只有摸清自己的易忘、易错、易混点，才能完善学科知识和能力结构，明确复习重点，做到查漏补缺。
系统地梳理知识，需要用心体会，耐心地将平时含糊不清、似是而非的概念、
公式彻底理清。如：异面直线上两点间的距离公式EF =正、负号如何确定；给定区间内，求二次函数的最值的讨论依据是什么；
sin()y x ωφ=+的图形变换的顺序；
应用导数确定函数极值点、单调区间的基本步骤等等，这一些易忘点、易错点、易混点，需要自己及时“回到课本”逐一弄懂，千万不能一带而过，也不要以为记住概念和公式就万事大吉了。例如，梳理“数列求和”不但要求记住公式，还应该从公式的推导过程中去体会“倒序求和”、“错位相减求和”、“拆项求和”等方法和技巧，进而把握“归纳、递推” 、“化归、转化”等数学思想。数学思想方法是更高层次的抽象和概括，它能够进行广泛的迁移，形成解决数学问题的通性通法。又如整理“不等式的解法”时，如果只是机械地分类型罗列几种解法，那么遇到一个陌生的不等式，仍然没有办法。只有当我们把握了解不等式的思想方法才能变化自如，融会贯通。梳理知识还应该注意一题多解、一题多变，不断地比较和提炼，使方法最优化。
应《青年导报》栏目编辑的邀请，下面，根据今年高考的考试大纲（或《考试说明》），结合同学们平时数学学习时的易忘、易错、易混点，我和我的同事们一起对高中数学的一些知识点、技能点和一些重要的结论进行了一个比较全面的梳理，供同学们查漏补缺时参考。
一． 集合与函数
1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.
2．你会用补集的思想解决有关问题吗
3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗
[问题]:{}1|2-=x y x 、{}1|2-=x y y 、{}
1|),(2-=x y y x 的区别是什么
4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么
5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么
[问题]:如何解不等式：()0122>--b x a
6．三个二次（哪三个二次）的关系及应用掌握了吗如何利用二次函数求最值注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗
7．简单命题与复合命题有什么区别四种命题之间的相互关系是什么如何判断充分与必要条件
[问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.
8． 什么是映射、什么是一一映射
[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个A 到B 上的一一映射.
9．函数的表示方法有哪一些如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性单调性、
周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应什么样的函数有反函数如何求反函数互为反函数的图象间有什么关系求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗
[问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]()22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位）
[问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,1
32图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =.
10． 如何正确表示分数指数幂指数、对数的运算性质是什么
11． 你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗
[问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。
12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗（定义法、导数法）
13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗
[问题]：写出函数)0()(>+=m x
m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么
[问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗
二． 数列
14．如何判断等差数列、等比数列等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导
15．解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种
① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想；
②利用等差（等比）数列性质）.
[问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，
()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++=Λ212求
16．解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗
17．在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗(1=n 时，应有11S a =)
18．解决递推数列问题通常有哪两种处理方法（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题）
[问题]：已知:.,32,111n n n n a a a a 求+==-
19．你知道n n q ∞
→lim 存在的条件吗（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在
20．一般数列的求和问题你能够找到一些办法吗(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)
*21．用数学归纳法证明问题的基本步骤是什么你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗
1． 自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1
时命题也成立，（3）得出结论.
2.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论.
三．三角函数
22．正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗，若角的终边在坐标轴上，那
它归哪个象限呢你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗
23．角度与弧度如何换算你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗
24．三角函数的定义及单位圆内的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的定义你知道吗
25．诱导公式， )()()()(,,,βαβαβαβα-+-+S S C C 及二倍角公式你熟记了吗你会推导每个
三角公式吗还记得某些特殊角（00,0000000150,135120,90,60,45,30等）的三角函数值吗
26．掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗会写简单的三角不等式的解集吗(要注意数形结合与书写规范,可别忘了
Z k ∈）
，你是否清楚函数)sin(?ω+=x A y 的图象可以由函数x y sin =经过怎样的变换得到吗
[问题]：如何把函数x y 3sin 2=的图象变成函数)3
3sin(2π+=x y 的图象如何把函数)3sin(2π
+=x y 的图象变成函数)33sin(2π
+=x y 的图象
27．你会用五点法画B x A y ++=)sin(φω的草图吗哪五点会根据图象求参数B A ,,,φω的值吗
28.你会求三角函数的周期吗（先化简再求）
[辅助角公式在求周期、化简时起着重要作用：
)sin()cos sin (cos sin 22222222θ++=++++=+x b a x b a b x b a a
b a x b x a ]
29．在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗（先求出某一个三角函数值，再判定角的范围）
30.反三角的概念（反正弦函、反余弦函及反正切），你知道a a a arctan ,arccos ,arcsin 的含义吗
31．三角函数中的和、差、倍、降幂公式、辅助角公式在求值、化简、和证明时
“正用”及“逆用”、“变用”你都掌握了吗
[问题]：已知,21cos sin =βα求βαsin cos =t 的变化范围.
四． 平面向量
32．你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗
33．你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题
（利用22||→→=a a ；22||y x a +=）
34．你知道解决向量问题有哪两种途径
（①向量运算；②向量的坐标运算）
35．你弄清“02121=+?⊥→→y y x x b a ”与“0//1221=-?→→y x y x b a ”了吗
[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别
（1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且
0=?→→b a ，不能推出→
→=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有
→
→→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中
)()(→→→→→→??≠??c b a c b a ，这是因为左边是与→c 共线的向量，而右边是与→
a 共线的向量.
36．向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗
37．正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点
五． 不等式
38．不等式证明的基本方法你都掌握了吗（比较法；分析法；综合法；数学归纳法）重要不等式是指哪几个不等式由它们推出的均值不等式串是什么
[问题]：若b a ≠，求证|||11|22b a b a -<+-+.(注意方法)
[问题]：若c b a ,,是不等边三角形的三边长，其面积为4
1，外接圆半径为1，求证:c b a c b a ++>++111.
[问题]：求证
c a c b b a -≥-+-411；若c a n c b b a -≥-+-11恒成立，求n 的最大值.
39．利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正；二定；三等”.
40．解分式不等式应注意什么问题用“根轴法”解整式（分式）不等式的注意事项是什么
41．解含参数不等式怎样讨论注意解完之后为什么要写上：“综上，原不等式的解集是……”.
[问题]：04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的范围.
42．你会用不等式||||||||||||b a b a b a +≤±≤-解（证）一些简单问题吗
43．处理不等式恒成立问题有哪些常用的方法
六．解析几何
44．直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式你记住了吗
45．何为直线的方向向量直线的方向向量与直线的斜率有何关系
46．在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到k 不存在的情况
[问题]：截距是距离吗“截距相等”意味着什么
47.解决线性规划问题的基本步骤是什么请你注意解题格式和完整的文字表达.（①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函
数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。）48．你知道解决直线与圆的位置关系问题常常利用圆心到直线的距离吗直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断
49．三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质你掌握了吗
50．利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式如何应用焦半径公式51．用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，在得到的方程中你注意到0
?这
≥
一条件了吗圆锥曲线本身的范围你注意了吗
52．曲线与直线相交时，弦长如何求，弦长公式你记得吗
53．解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系
54．求轨迹的几种基本方法是什么每一种方法的基本步骤是怎样的
55．圆、和椭圆的参数方程是怎样的常用参数方程的方法解决哪一些问题七．立体几何
56．平面的基本性质是什么（三个公理，三个推论）
57．上述各个公理和推论的意义和作用是什么(请注意在表示点、线、面之间的关系时的符号的规范性.)
[问题]：三个平面两两相交，有三条交线，证明：这三条交线两两平行或相交于一点.
[问题]：已知：C
I
=I
=
I,
,
//证明：a、b、c、d共面.
//
,
d
a=
d
B
c
b
b
c
A
a
d
58．你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗（斜二测画法）。
59．理解空间两直线位置关系分类方法，掌握平行直线的性质（公理4），理解异
面直线的概念和判定定理.你知道如何证明空间两直线的位置关系吗（相交、平行和异面）
60．线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的每种平行之间转换的条件是什么
61．线面垂直和面面垂直的定义、判定和性质定理你掌握了吗线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的每种垂直之间转换的条件是什么
62．三垂线定理及其逆定理你记住了吗
63．求线面角的关键是什么（找直线的射影）.异面直线所成的角如何求
64．你知道从确定平面外一点向平面作射影的三种常用方法吗（①面面垂直?线面垂直；②从角的顶点出发引角所在平面的一条斜线，若该斜线与角的两边成等角，则该斜线在此平面上的射影是角平分线所在直线；③利用特殊三棱锥顶点在底面上射影的位置）
65．你知道作二面角的平面角的主要方法是什么（定义法、三垂线定理、垂面法）
66．你知道公式：θθθcos cos cos 12=和S
S '
cos =θ中每一字母的意思吗能够熟练地应用它们解题吗
67．空间向量的意义及其向量的加减、数乘、数量积运算的法则是什么向量共线、共面、垂直的充要条件是什么
68．空间向量的基本定理.空间任一向量可由空间基向量唯一表示出来.你知道利用向量解决几何问题的一般步骤是什么
69．空间向量的夹角的坐标运算公式.你知道如何运用夹角公式求直线与平面所成的角、直线与平面内的直线所成的角、二面角及其平面角吗请注意这些角的意义、求法和角的取值范围.
70．空间向量的距离的坐标运算公式.分清几个距离的意义和计算方法（公式）. 你知道如何运用距离公式求点到直线的距离、直线到与直线平行的平面的距离、两个平行平面间的距离、异面直线间的距离吗
71．你知道异面直线上两点间的距离公式EF=
吗
72．棱柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质、长方体对角线定理及其证明.这些知识你掌握了吗（注意运用向量的方法解题）
73．棱锥及其性质、正棱锥及其性质、正多面体的种类你掌握了吗
74．球及其性质；地球经度线和纬度线的意义、球面距离的求法；球的表面积和体积公式. 这些知识你掌握了吗
八．排列、组合和概率
75．你掌握了解决排列、组合应用题的常见方法吗（①考虑特殊元素；②考虑特殊位置；③捆绑法；④插入法；⑤先选后排法；⑥排除法；⑦列举法.）76．二项式展开式的通项公式记得吗用赋值法求出二项展开式的奇次项系数之和与偶次项系数之和，你还记得吗
77．你掌握了三种常见的概率公式吗（①等可能事件的概率公式；②互斥事件有一个发生的概率公式；③相互独立事件同时发生的概率公式.）
[问题]：某人每次射击击中的概率是,射击中每次射击的结果是相互独立的，
求他在10次射击中击中目标的次数不超过5次的概率.
78．n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式为
k n k k n n p p C k P --=)1()(，你在运用时有过差错吗
*79．理解随机变量，离散型随机变量的定义，你能够写出离散型随机变量的分布列吗
1 1
2 2 n n （2）方差D ξ＝???+-+???+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ;
(3)标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=；
[问题]：某人每次投篮投中的概率为,每次投篮的结果是相互独立的，求他首次投篮投中时所需要投篮次数的分布列及他在5次内投中的概率.
*80.你知道二项分布的定义和有关性质吗
ξ～B (n ，p )，其中n,p 为参数，,)(k n k k n q p C k P -==ξ
记为:),;(p n k b q p C k n k k n =-；二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，比如投硬币，投骰子 ，射击等等。怎样的离散型随机变量ξ服从二项分布又二项分布的期望与方差分别是什么（若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p ）.
81．你知道哪几种常见的抽样方法它们各自的特点及适用范围是怎样的
（1） 简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；
（2） 系统抽样，也叫等距离抽样；
（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.
82.如何对总体分布进行估计(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；理解频率分布直方图矩形面积的几何意义.) *83．你还记得一般正态总体),(2σμN 如何化为标准正态总体)1,0(N 吗（对任一
正态总体),(2σμN 来说，取值小于x 的概率)(
)(σμ-Φ=x x F ，其中)(σμ-Φx 表示标
准正态总体)1,0(N 取值小于σμ-x 的概率）
*84．两个变量之间的关系有哪两种（①函数关系；②相关关系.）你知道对于具有相关关系的两个变量的一组观测值，如何求出的回归直线方程吗
*85.你了解假设检验的基本思想吗
（1） 提出统计假设，确定随机变量服从正态分布),(2σμN ；
（2） 确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-；
（3） 作出推断：如果a ∈)3,3(σμσμ+-，接受统计假设； 如果 a ?)3,3(σμσμ+-由于这是小概率事件，就拒绝假设；
(4) 相关系数r,衡量变量y 与x 之间的相关程度，|r|1,且|r|越接
近于1，相关程度越大；且|r|越接近于0，相关程度越小.
九．导数及其应用
*86．你理解数列极限的定义吗 你会求一些简单数列的极限吗
（1） 掌握数列极限的直观描述性定义；
（2） 掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }
的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商;
（3） 对于无穷数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；
（4） 常用的几个数列极限：C C n =∞
→lim （C 为常数）； 01lim =∞→n n ;0lim =∞→n n q （a <1,q 为常数）.
（5） 无穷递缩等比数列各项和公式:q a S S n n -==∞→1lim 1（0<1 *87. 你理解函数的极限吗 你会求一些简单函数的极限吗 （1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==?-∞ →+∞→)(lim )(lim . （2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==?+-→→)(lim )(lim 0 0. (3)掌握函数极限的四则运算法则. *88. 你理解函数的连续性吗 (1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有 )()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续； （2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续， 则f(x)±g(x),f(x)g(x),) ()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； （3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)] 在点x 0处也连续； (4)连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00 x f x f x x =→. 89.)(x f 在点0x 处可导的定义你还记得吗（x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000（或0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→）存在）它的几何意义和物理意义分别是什么利用导数可解决哪些问题具体步骤还记得吗 90．你会用“)(x f 在其定义域内可导，且不恒为零，则)(x f 在某区间I 上单调递增（减）?)0(0)(/≤≥x f 对I x ∈恒成立。”解决有关函数的单调性问题吗 91．你知道“函数)(x f 在点0x 处可导”是“函数)(x f 在点0x 处连续”的什么 条件吗 92. 你知道导数有哪一些应用 93. 你知道求可导函数最大值与最小值的步骤吗 求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根和使)(x f '不存在的x 值；③检验)(x f '在方程0)(='x f 的根和使)(x f '不存在的x 的左右的符号，如果左正右负，那么函数)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数)(x f y =在这个根处取得极小值. 求可导函数最值的步骤：①求)(x f y =在),(b a 内的极值；②将)(x f y =在各极 值点的极值与)()(b f a f 、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值. 十．复数 *94.你了解复数、实数、虚数、纯虚数、模、共轭复数的概念和复数的几何表示吗 *95.请你熟练掌握、灵活运用以下结论： (1) a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R); (2) 复数是实数的条件： ① z=a+bi ∈R ?b=0 (a,b ∈R); ② z ∈R ?z=z ; ③ z ∈R ?z 2≥0; *96.复数是纯虚数的条件你知道吗 ① z=a+bi 是纯虚数?a=0且b ≠0(a,b ∈R); ② z 是纯虚数?z ＋z ＝0（z ≠0）; ③z 是纯虚数?z 2<0; *97.复数的代数形式及其运算法则你掌握了吗 设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R) （1） z 1± z 2 = (a ± c) + (b ± d)i. （2） = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ; (3) z 1÷z 2 = i d c a d bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ; *98.为了快速、准确地进行复数运算，请记住几个重要的结论： ;z z z )3(; )2(); (2)1(22222221221221≠==?+=-++为虚数，则若z z z z z z z z z z 99.中学数学解题中常用的思想方法你知道吗 （函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归转化的思想）100．高中数学课本中的几个研究性学习的材料你清楚吗（分期付款问题、杨辉三角、欧拉公式、*复数的三角形式等） 要真正梳理清楚这些知识，关键是在理解的基础上去记忆，决不能死记硬背。同学们有了清晰的知识背景，和完善的知识结构的同时，再进行必要的独立练习，巩固“双基”，就能提高综合解题能力和数学应试水平。在这里我也要提醒同学们，在数学复习中要避免两个极端，要么，埋头看书、整理，懒得独立练习；要么，埋头练习、陷入题海。前者，忽视了数学是一门思维的科学，离开了解题实践，数学思维无法展开，无法将学到的知识、方法内化为自己的能力。后者，忽视了有的放矢，容易重复机械操练，缺乏反思、提炼，事倍功半。 此外,同学们在梳理知识和独立练习的过程中，要勤于反思，举一反三，多联系知识的发生和形成过程，多总结通性通法和规范思路，多关注思想方法和探究创新，在复习中抱着开放的心态和锲而不舍的精神，开展“研究性复习”，始终保持旺盛的斗志和灵活的思维，数学成绩一定能够取得比较大的突破。 备注： (1) 这100个问题中，有相当大一部分“易忘、易错、易混点”是学军中学数学组的同事们根据他们自己的经验协助我一起整理出来的，在此一并表示感谢。（2）打“*”号的部分是理科的要求，文科不需要掌握。