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数学建模题（5）

1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：

试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。

解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则

max z =70x 1+120x 2

s.t.

?????

??≥≤+≤

+≤+0

300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 s.t.

???????≥≤≤+≤+

,50040005.253000222112121x x x x x x x 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：

建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型：

设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则

max z =10x 1+6x 2+4x 3

s.t.

???????≥≤++≤++≤++0

3006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通

信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。

解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I

??

?==≤++++++++++++=7

,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或

5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。

解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。

321121410x x x MaxZ ++= 250042.15.321≤++x x x

14002.16.13321≤++x x x

2501501≤≤x 3102602≤≤x

1301203≤≤x

0,,321≥x x x

6、A 、B 两种产品，都需要经过前后两道工序，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时。可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时。 每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。 出售A 、B 、C 的利润分别为3、

7、2元，每单位产品C 的销毁费用为1元。预测表明，产品C 最多只能售出13个单位。试建立总利润最大的生产计划数学模型，不求解。

解：设每月生产A 、B 数量为,,21x x 销毁的产品C 为3x 。

33221)2(273x x x x x MaxZ --++=

11221≤+x x 173221≤+x x

13232≤-x x

0,,321≥x x x

7、靠近某河流有两个化工厂（参见附图），流经第一化工厂的河流流量为每天5003

m ，在两个工厂之间有一条流量为200万3

m 的支流。第一化工厂每天排放有某种优化物质的工业污水2万3

m ，第二化工厂每天排放该污水1.4万3

m 。从第一化工厂的出来的污水在流至第二化工厂的过程中，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中的污水含量不应大于0.2%。这两个工厂的都需要各自处理一部分工业污水。第一化工厂的处理成本是1000元/万3

m ，第二化工厂的为800元/万3

m 。现在要问满足环保的条件下，每厂各应处理多少工业污水，才能使两个工厂的总的污水处理费用最少？列出数学模型，不求解。

500万3m 200万3

m

解：设第一化工厂和第二化工厂的污水处理量分别为每天1x 3

m 和x 2万3

m ，

218001000m in x x Z += st ???????≥≤≥+≤≤0

,4.16.18.02

1212211x x x x x x 8、消费者购买某一时期需要的营养物（如大米、猪肉、牛奶等），希望获得其中的营养成分

（如：蛋白质、脂肪、维生素等）。设市面上现有这3种营养物，其分别含有各种营养成分数量，以及各营养物价格和根据医生建议消费者这段时间至少需要的各种营养成分的数量

问：消费者怎么购买营养物，才能既获得必要的营养成分，而花钱最少？只建立模型，不用计算。

解：设购买甲、乙、丙三种营养物的数量分别为321x x x 和、， 则根据题意可得如下线性规划模型：

????

?

????≥≥++≥+≥++≥++++=0,,450

3572170

365

2802064..452025min 3213

21313

213213

21x x x x x x x x x x x x x x t s x x x z 9、某公司生产的产品A ，B ，C 和D 都要经过下列工序：刨、立铣、钻孔和装配。已知每单

问该公司该如何安排生产使利润收入为最大？（只需建立模型）

解：设生产四种产品分别x 1,x 2,x 3,x 4单位

则应满足的目标函数为：max z=2 x 1+3 x 2+ x 3+ x 4 满足的约束条件为：

12341234

123412341234

0.50.51800228000.50.530003236000

100600500400x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤??+++≤??+++≤?

+++≤??

≥??≥?

≥??≥? 10、某航空公司拥有10架大型客机、15架中型客机和2架小型客机，现要安排从一机场到4城市的航行计划，有关数据如表1-5，要求每天到D 城有2个航次（往返），到A,B,C 城市各4个航次（往返），每架飞机每天只能完成一个航次，且飞行时间最多为18小时，求利润最大的航班计划。

解：设大型客机飞往A 城的架次为x 1A ，中型客机飞往A 城的架次为x 2A ，小型客机飞往A 城的架次为x 3A ，其余依此类推。

资源限制 派出的大型客机架次不能超过10架，表示为

111110A B C D x x x x +++≤

同理

222333152

A B C A B C x x x x x x ++≤++≤

班次约束 飞往各城的班次要满足

1231231231234

442

A A A

B B B

C C C

D D D x x x x x x x x x x x x ++=++=++=++=

非负性约束 0ij x ≥ 且为整数；（i=1,2,3;j=A,B,C,D ）

目标函数为

111222333max 100002000200020002000200020002000A B C A B C A B C

z x x x x x x x x x =++++++++1D －8000x +

11、 CRISP 公司制造四种类型的小型飞机：AR1型（具有一个座位的飞机）、AR2型（具有

两个座位的飞机）、AR4型（具有四个座位的飞机）以及AR6型（具有六个座位的飞机）。AR1和AR2一般由私人飞行员购买，而AR4和AR6一般由公司购买，以便加强公司的飞行编队。为了提高安全性，联邦航空局（F.A.A ）对小型飞机的制造做出了许多规定。一般的联邦航空局制造规章和检测是基于一个月进度表进行的，因此小型飞机的制造是以月为单位进行

时在任何给定的时间生产多达9架飞机。因此，下一个月可以得到的制造天数是270天（9*30，每月按30天计算）。Jonathan Kuring 是该公司飞机制造管理的主任，他想要确定下个月的生产计划安排，以便使盈利贡献最大化。

解：设1x 表示下个月生产AR1型飞机的数目，2x 表示AR2型，3x 表示AR4型，4x 表示AR6

型

目标函数：1234max 6284103125z x x x x =+++

约束条件：12341234123412344791127022608

17

1115,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤+++≤≤≤≤≤≥

1234,,,x x x x 为整数

12、永辉食品厂在第一车间用1单位原料N 可加工3单位产品A 及2单位产品B ，产品A 可以按单位售价8元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加6元，加工后单位售价增加9元。产品B 可以按单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工，单位生产费用要增加4元，加工后单位售价可增加6元。原料N 的单位购入价为2元，上述生产费用不包括工资在。3个车间每月最多有20万工时，每工时工资0.5元，每加工1单位N 需要1.5工时，若A 继续加工，每单位需3工时，如B 继续加工，每单位需2工时。原料N 每月最多能得到10万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大？

解：设1x 为产品A 的售出量；2x 为A 在第二车间加工后的售出量；3x 表示产品B 的售出量；

4x 表示B 在第三车间加工后的售出量；5x 为第一车间所用原材料的数量，

则目标函数为：12345max 89.578 2.75z x x x x x =+++-

约束条件：5245125345

12345100000

32 1.52000003020

,,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x ≤??++≤??

+-=??+-=??≥?