人教版数学九上《正多边形和圆》教学设计
24.3 正多边形和圆
麻城集美学校曹绪鹍
教学目标
知识与技能：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．
过程与方法：通过对正多边形的学习，掌握正多边形半径、中心角、边心距的计算方法. 情感态度与价值观：通过应用正多边形和圆的有关知识画正多边形，培养学生的审美情趣，激发学生的学习热情.
教学重点：正多边形和圆内接正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系．
教学难点：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．
教学时数：四课时
教学过程
第一课时
一、课前预习：学生预习教材P104——106.
二、复习引入
请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、?中心对称
吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
老师点评：
1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；?正多边形是中心对称图形，
其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．
三、探索新知
如果我们以正多边形的对应顶点的交点作为圆心，过点到
顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的
各个顶点都在这个圆上，如图，?正六边形ABCDEF，连结AD、
CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、
?D、E、F都在这个圆上．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就
可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
我们以圆内接正六边形为例证明．
如图所示的圆，把⊙O?分成相等的6?段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF
又∴∠A=1
2
BCF=
1
2
（BC+CD+DE+EF）=2BC
∠B=1
2
CDA=
1
2
（CD+DE+EF+FA）=2CD
∴∠A=∠B
同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆． 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边
形的中心角．
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
四、知识应用
例 有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF 是正六边形,所以它的中心角等
于
606
360=， ，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长l =4×6=24(m). 在Rt △OPC 中,OC =4, PC =
22
4
2==BC
利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积
补充例题：
例1．已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，?求正六边形的周长和面积．
分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM?中便可求得AM ，又应用垂径定理可求
得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成
的．
解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它
的中心角等于
3606
?
=60°，?△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12
a 利用勾股定理，可得边心距 OM=2
2
1
()2
a a -=
12
3a
F
D E C
B
A O M E F C D . 中心角 半径R
边心距r
A B O A B C
D E
F
R
P r 22
422 3.r =-=211242341.6(m ).22S lr ==??≈
∴所求正六边形的面积=6×
12×AB ×OM=6×1
2×a ×32a=
32
3a 2
第二课时
一、探究新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O 的半径为2cm ，求作圆的内接正三角形.
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形．
分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，?应该先求边长为3的正五边形的半径．
解：正五边形的中心角∠AOB=3605
?
=72°， 如图，∠AOC=30°，OA=
1
2
AB ÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm ）
画法（1）以O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆；
（2）在⊙O 上顺次截取边长为3cm 的AB 、BC 、CD 、DE 、EA ． （3）分别连结AB 、BC 、CD 、DE 、EA ．
则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示． 二、巩固练习
教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习． 三、应用拓展
例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC?的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC 的边AB 上的高h ． （2）设DN=x ，且
h DN NF
h AB
-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这
棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． ②用量角器或30°角的三角板
度量，使∠BAO=∠CAO=30°． 120 ° A
O
C B
h
F
D
E
C B
A
N
分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，?应用圆的对称性就能圆满解决此题．
解：（1）由AB ·CG=AC ·BC 得h=86
10
AC BC AB ?=
=4.8 （2）∵h=
h DN NF
h AB -=
且DN=x ∴NF=10(4.8)
4.8
x -
则S 四边形DEFN =x ·104.8（4.8-x ）=-2512
x 2
+10x
=-2512（x 2-12025x ）
=-2512 [（x -6025）2-3600625]
=-25x （x -2.4）2+12 ∵-25
x （x-2.4）2≤0 ∴-25
x
（x -2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 ∴当x=2.4时，S DEFN 最大．
（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3．
∴
= ∵BM=1.85，∴BM>EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5
∴AD=3.2，
由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示: 此时，?AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．
四、归纳小结
1．正多边和圆的有关概念：
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、?正多边的边心距间的等量关系． 3．画正多边形的方法．
4．运用以上的知识解决实际问题． 五、布置作业：《练习册》P49——52
https://www.wendangku.net/doc/8c10727704.html,.c
F D C B A G
教学反思
第三课时（练习课）
内容：《练习册》P49——52
第四课时（讲评课）
内容：《练习册》P49——52
课时作业设计
一、选择题
1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．
A．60°B．45°C．30°D．22．5°
(1) (2) (3)
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°
3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，?则这段弧所对的圆心角为（）
A．18°B．36°C．72°D．144°
二、填空题
1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．
2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．
3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，?如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．
三、综合提高题
1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．
2．如图所示，?已知⊙O?的周长等于6 cm，?求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．
3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；
（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．