§1-2 函数极限的运算规则
第1章 函数的极限和连续函数
8
§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理
1.极限的运算规则 记号“(,)x c c c -+→”和“(,)x →∞+∞-∞”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“x →?”，则各种形式的函数极限，都具有像数列极限那样的运算
规则.要证明它们，也属于高等微积分（证明在第二篇中）.
设在同一个极限过程中，有极限)(lim x f x ?
→和)(lim x g x ?
→.
⑴ lim[()]lim ()x x c f x c f x →?
→?
=（c 为常数）； （齐次性）
⑵ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →?
→?
→?
±=±； （可加性）
⑶ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →?
→?
→?
=?； （乘积的极限等于极限的乘积）
⑷ lim ()()lim
lim ()0()lim ()
x x x x f x f x g x g x g x →?
→?→?→?
??=≠????
； （商的极限等于极限的商）
⑸ 若()()f x g x ≤，则lim ()lim ()x x f x g x →?
→?
≤； （极限运算的单调性） ⑹ 若()()()f x h x g x ≤≤，且lim ()lim ()x x f x g x C →?
→?
==，则也有极限lim ()x h x C →?
=.
（夹挤规则）
根据夹挤规则，若lim ()0x f x →?
=，且)(x g 在极限过程?→x 中是有界变量(())g x B ≤，
则应直接写成
lim[()()]0x f x g x →?
=
因为
0()()()0()f x g x B f x x ≤≤→→?且lim ()()0lim[()()]0x x f x g x f x g x →?
→?
=??=
而不能写成
[]lim ()()lim ()lim ()0x x x f x g x f x g x →?
→?
→?
=?=[逻辑错误!]
例如函数1sin y x x
=（图1-15），应当直接写成
01
lim sin 0x x x
→=(因为1sin 1x ≤) 而不能写成
00011
lim sin lim limsin 0x x x x x x x
→→→=?= 因为不存在极限01
limsin x x
→(图1-10).
例3 设有多项式
2012()(0)n n n P x a a x a x a x a =+++
+≠
则
2012lim ()lim lim()lim()lim()n n x c
x c
x c
x c
x c P x a a x a x a x →→→→→=+++
+
2012(lim )(lim )(lim )n n x c
x c
x c
a a x a x a x →→→=+++
+
§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理
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2012n n a a c a c a c =+++
+()P c =
其中，把x 看作它自己的函数时，显然有lim x c
x c →=.
同样，若另有多项式
)0()(2210≠++++=m m m b x b x b x b b x Q 且()0Q c ≠
根据“商的极限等于极限的商”和上面的结果，则有
lim ()()()lim ()lim ()()
x c
x c x c
P x P x P c Q x Q x Q c →→→== 读者从例3中看到，对于多项式和有理函数来说，它们在定义域内每一点处的极限值等于它们在该点的函数值.换句话说，多项式和有理函数(即多项式的商)在自己定义域内每一点处都是连续的.
例4 因为sin sin 2cos
sin
22
x c x c
x c +--=(差化积)，所以 |||sin sin |2cos
sin 21222
x c x c x c x c +---=≤??||0()x c x c =-→→ 因此，limsin sin x c
x c →=.同理，limcos cos x c
x c →=.于是，又有
limsin sin sin lim tan lim tan ()cos limcos cos 2
x c
x c x c x c
x x c x c c k x x c ππ→→→→====≠± limcos cos cos limcot lim cot ()sin limsin sin x c x c x c x c
x x c x c c k x x c
π→→→→====≠ 例4说明，简单三角函数sin ,cos ,tan ,cot x x x x 在自己定义域内每一点处也都是连续的.
例5 证明0
lim 1x x a →=（因此中学数学中规定01a =是合理的）.
证 我们先证明右极限0
lim 1x
x a +
→=.不妨设01x <≤，令 1()n n x x ??==????（1
x
的整数部分）
因为1111x x x ????
≤<+????????
，即11n n x ≤<+，所以111x n n ≥>+. 于是
(1)x a a <≤> 或
(1)x a a >≥<
又因为lim 1n n →∞
=（见第0章例3），所以0
lim 1x x a +
→=.
其次，当0x -→时，0x +-→，根据已证的结论，
000
1111lim lim 1lim lim 1x
x x x x x x x a a a a ---+
---→→→-→===== 因此，0
lim 1x x a →=(因为左右极限相等)
第1章 函数的极限和连续函数
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根据0
lim 1x x a →=，则对任意(,)c ∈-∞+∞，都有
()
lim lim()lim lim 1x x c x c x c
c x c
c x c c x c
x c
x c
x a a a
a a
a a a a ?=---?→→→?→=======?=
即指数函数x a 在每一点(,)c ∈-∞+∞也都是连续的.
在定义域内每一点处都连续的函数，称为连续函数.因此，多项式、有理函数、简单三角函数和指数函数都是连续函数.
2.单调有界原理 近代极限理论中有所谓“极限存在性”问题.讨论这个问题会涉及到实数的一个重要性质，即“实数连续性质”.实数的这个性质与下面的“单调有界原理”是等价的(证明在第二篇中)：
变量y 在无限变化过程中，若它的值单调增大有上界(或单调减小有下界)， 则必有极限lim y .
具体到数列(1,2,
)n x n =，则单调有界原理只有两种说法，即
单调增大()1231n n x x x x x +≤≤≤≤≤≤有上界()n x M ≤，则必有极限lim n n x →∞
；
或单调减小()1231n n x x x x x +≥≥≥
≥≥≥
有下界()n x m ≥，则必有极限lim n n
x →∞
. 可是，对于函数来说，由于自变量有四种（单调）变化方式
(,,,)x c x c x x -+→→→+∞→-∞
而函数又可能单调增大或单调减小，所以关于函数极限的单调有界原理就会有八种说法(见下图1-16).其中两种对偶说法是[见图①]：
当x c -→时，若函数()f x 单调增大有上界[]()f x B ≤，则有极限lim ()x c
f x -
→； 当x c -→时，若函数()f x 单调减小有下界[]()f x A ≥，则有极限lim ()x c
f x -
→.
请你看图1-16，说出其他情形下的单调有界原理.
【点评】 在数学专业用的微积分教科书中，有所谓“极限存在的柯西准则”，函数的“可积准则”等.数学中说的“准则”是指那些充分必要条件（见[前苏]辛钦著《数学分析简明教程》的脚注）.可是国内有许多非数学专业用的《微积分》或《高等数学》的教科书中，都把“单调有界原理”说成“极限存在的准则”.虽然从逻辑上说，“单调有界原理”与“柯西准则”是等价的，但不能把前者也说成“准则”，因为有极限的数列或函数不一定是单调的.上述不妥的说法，可能出自中译本《数学分析习题集》([前苏]吉米多维奇著，第6页),但它是翻译上的疏忽(把“判别法”与“准则”译颠倒了),不是原书中的错误.
B
①
② ③ ④
图1-16
§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理
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例6 设a 和b 为正数，并令
1x a =，11(1,2,)2n n n b x x n x +??
=+
= ???
证明有极限lim n n x →∞
.
证 先证有极限lim n n x →∞
，然后求出极限值.根据“算术平均值不小于几何平均值”，则
112n n n b x x x +??=+≥= ???
另一方面，
121111122n n n x b x x +??
??=+≤+= ????， 即1n n x x +≤（数列单调减小） 因此有极限lim n n x →∞(单调有界原理).
设极限(lim n n x c c →∞=≥，在112n n n b x x x +??
=+ ???
两边
让n →∞，则得12b c c c ??
=+ ???
，化简为2c b =
，即lim n n x →∞=(
注意0c ≥).
例7 设0c >
. 11(1,2,
)n x x n +===.证明有极限
lim n n x →∞
=
证
2132,,
x x x x =>==，一般地，
1(1,2,)n n
x x n +>=，
即数列n x
是单调增大的；又11x =<，而
21x =<
一般地(或用数学归纳法)，则有
1n x <（即n x 有上界）
因此，有极限lim n n x →∞
.设lim n n x a →∞
=
，并在1n x +=两端让n →∞，则得
a ，即20a a c --=.
注意0a >
，因此，(1)122a --+=
=
，即1lim 2
n n x →∞+=. 【注释】
①对偶性 我们把那些成双且又处于两极对立状态的概念、结论(命题)或方法之间的关系，称为“对偶关系”.例如，日常生活中的“上”与“下”，“左”与“右”；实数集合的“上界”与“下界”等.它们每两个都是对偶概念.“单调增大有上界的数列必有极限”与“单调减小有下界的数列必有极限”是相互对偶的结论(定理).在数学中，对偶的结论常用对偶的方法来证明(见下面等价性的证明).
②等价性 在相同的前提下，用结论A 能够推出结论B ，且又用结论B 能够推出结论A ，则称“结论A
第1章 函数的极限和连续函数
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与结论B 是等价的”.例如，
(A)“单调增大有上界的数列必有极限”； (B)“单调减小有下界的数列必有极限”.
它们之间的等价性可以这样来证明：(A)?(B) 设数列(1,2,
)n x n =单调减小有下界，即
1231n n x x x x x m +≥≥≥≥≥≥≥
则1231n n x x x x x m +-≤-≤-≤≤-≤-≤≤-，即数列(1,2,)n x n -=单调增大有上界.根据结论(A)，必有极限lim()n n x →∞
-=β，因此，也有极限lim n n x →∞
=-β. 用类似的方法可以证明(B)?(A).
③逆否命题 读者在中学数学中都已经知道，命题有四中形式，即“正命题”、“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”.若把“S 是P ”看作正命题，则“非P 是非S ”就是前者的“逆否命题”.正命题与逆否命题(逆命题与否命题)是同真或同假的一对儿命题.因此，当你知道其中一个是真命题时，就可以得出结论说，另一个也是真命题，而不需要再证明.例如，若你知道“有极限的数列是有界的”(作为正命题)，就可以得出结论说“无界数列没有极限”(这里用的不是反证法).
定理与命题不同，前者是已经被证明为正确的命题(即真命题).
④反例 我们平时说话或写文章时，讲了某个道理之后，经常插入一些例子再加以说明，使对方更加明白.在数学的各种书籍或论文中，读者会看到有许多例题.有的是说明某个结论的正确性，而有的是说明某个结论的虚假性(不正确的结论).为了说明或论证某个结论是不正确的，举出的例子就称为“反例”.举出反例也是一种论证方法(逻辑学中称为“反驳”).譬如，要说明有界数列不一定有极限，而举出的例子
1，0，1，0，……
就是一个反例.因为数学中有些命题(或定理)的逆命题是不成立的，或者某人说出的一个结论是错误的，你要说明它是不对的，最好的方法就是举出反例，所以学习数学的人就要培养自己举反例的能力.请注意，在数学中可以用反例说明一个结论的虚假性，而不能用具体的例子去证明一个结论的真实性.
根据提示做习题
1.利用极限的运算规则，求下列极限(请你根据提示，接着做下去)：
⑴22
111(1)(1)
lim lim 21(1)(21)
x x x x x x x x x →→--+==---+(约去公因式) ⑵32228(2)(24)lim lim 22x x x x x x x x →→--++==--(约去公因式) ⑶333223300()(33)lim lim h h x h x x x h xh h x h h →→+-+++-== ⑷21lim 1n x x x x n x →+++--21(1)(1)(1)
lim
1→-+-++-==-n x x x x x
⑸001111()lim lim ()h h x x h h x h x h x h x →→??-+??
-=?=???
?++????
⑹lim n n x a x a x a →--(n 为正整数)1221()()lim n n n n x a x a x x a xa a x a ----→-++++==- ⑺222232lim 6
x x x x x →--+-(因式分解)=
§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理
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⑻23112lim 11x x x x x →-??
--??++?
?(先通分后因式分解)= 答案：⑴32；⑵12；⑶23x ；⑷2)1(n n +；⑸21x
-；⑹1
-n na ；⑺1；⑻31.
2.设m 和n 均为正整数.求极限(请你写出简单解题过程)：
⑴11
lim 1
m n x x x →--(因式分解)= ⑵2
0(1)(1)lim n m
x mx nx x →+-+(用二项式公式)= 答案：⑴
n
m
；⑵()2nm n m -.
3.根据x →
⑴0)x a
a →>=
提示:x a -=
⑵0
0)h a →>=
提示:分子分母同乘
⑶x →=
提示: 分子分母同乘
)
2
3
⑷0
x →(提示：令t = 答案
；⑶
43；⑷1n
. 4.根据0sin lim
1x x
x
→=，则有
000sin5sin5sin5lim lim 55lim 55x x x x x x x x x →→→??== ???
515=?= (把5x 看作x )
0000tan sin sin 1
lim
lim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x x x x
→→→→==?=?=
请你根据提示求极限：
第1章 函数的极限和连续函数
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⑴00sin3sin335lim
lim sin535sin5x x x x x x x x x x →→??
=??= ???
⑵2
2
220002sin sin
1cos 122lim lim lim 22x x x x x x x x x →→→?
? ?-=== ? ?
???
⑶2001cos 1cos lim lim sin sin x x x x x x x x x →→--??
=?= ??? ⑷sin 1sin lim
lim sin sin 1x x x
x x x x
x x x
→∞→∞-
-==++
答案：⑴
35；⑵12；⑶2
1
；⑷1. 5.根据1lim 1e x
x x →∞??
+= ???
，则有
11lim lim lim
111x x
x
x x x x x x x x -→∞→∞→∞
+????== ? ?+????
??
+ ???
111
e e
1lim 1x
x x -→∞=
=
=??+ ???
请你根据1lim 1e x
x x →∞??
+= ???
或()1
0lim 1e x x x →+=，求极限：
⑴2
222lim 1lim 1x
x
x x x x →∞→∞??????
??+=+= ? ????
?????
⑵()
[]3
1
1
30
lim 13lim 1(3)x x
x x x x --→→??
-=+-????[把(3)x -看作x ]=
⑶1lim 1lim 11x x x →+∞→+∞??????-== ? ????
???
?
答案：；⑴2e ；⑵3e -；⑶1.
6.求下列极限：
⑴2
2
2
2
32
2232lim lim 16
61x x x x x x x x x x
→∞→∞-
+-+==+-+- ⑵4(1)(2)(3)(4)1234lim lim (51)51515151x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞--------??
=???= ?-----??
§1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理
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⑶2030
203050(23)(32)2332lim lim lim (21)2121x x x x x x x x x x →∞→∞→∞----????
=?= ? ?+++????
⑷212
(1)(1)
(1)
lim
[()1]
n n x n x x x nx +→∞
+++=+
提示：分子分母同除以
(1)2
n n x +.
⑸lim x x →+∞?=?
提示：先乘后再除以x ??
.
⑹lim
x =
⑺lim
x =
答案：⑴2；⑵45
1；⑶30
32??
???；⑷
2
)
1(+-n n n ；⑸
2
a b
+；⑹12；⑺3.
7.已知 21lim 01x x ax b x →∞
??
+--=
?+??，求a 与b . 提示：221(1)1lim lim 011x x x a x ax ax b b x x →∞→∞????
+-+---=-=
? ?++????
. 答案：1;1-==b a .
8.设0x ≠. 证明23sin lim cos cos cos cos 2222n n x x x x x x →∞?
?= ???
提示:2
22
sin 2cos sin 2cos cos sin 22222
x x x x x x ===
9.指出下列函数的间断点，并说明它们各属于间断点的哪种类型：
⑴x
x y =
； ⑵||
x y x =；
⑶2
3122+--=x x x y ； ⑷x x
x y --+=11；
⑸x
y 121=； ⑹x
x
y sin =.
答案：⑴0(可除)；⑵0(第一类)；⑶1(可除)，2(第二类)；
⑷0(可除)；⑸0(第二类)；⑹0(可除)；)
,2,1( ±±=k k π(第二类).
10.设1103,(1,2,)n x x n +<<==.证明数列(1,2,)n x n =的极限存在，并求出此极限.
第1章 函数的极限和连续函数
16
分析
1(3)3
(1,2,)22
n n n x x x n ++-===，即数列(1,2,)n x n =有上界.
另一方面，
1
1(2)n n n x n x +==
≥[用了不等式3
(2)2
n x n ≤≥] 即1(2)n n x x n +≥≥.因为数列(2,3,)n x n =单调增大有上界，所以存在极限lim n n x →∞
.
其次，设lim n n x c →∞
=
；在1n x +=n →∞
，则得c =3
2
c =
.
函数极限及运算法则
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数 的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即 可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim * N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ → 例5 求1 34 2lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3 x ，就可以运用法则计算了。 四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）)32(lim 2 1-→ x x ； （2）)132(lim 2 2 +-→x x x （3）)]3)(12[(lim 4 +-→x x x ； （4）1431 2lim 221-++→x x x x （5）11lim 21+--→x x x （6）9 6 5lim 223-+-→x x x x （7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5 2lim 32--∞→y y y y 五 小结
函数与极限习题与答案计算题(供参考)
高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(
复合函数极限条件
书中这样定义： 设函数y = f[g(x)]是由函数u = g(x)与函数y = f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若lim(x->x0)g(x) = u0, lim(u->u0)f(u) = A，且存在δ > 0,当x属于x0的去心δ邻域时，有g(x)不等于u0，则lim(x->x0)f[g(x)] = A u 与u0的接近程度是用0 < |u - u0| < δ描述的，u -> u0的过程中不等于u0 函数在某点的极限值是自变量逼近这一点时函数值无限接近的一个值，这个值与函数在这一点的函数值无关 如果能进一步针对这条举出反例就更好了， g(x)=xsin(1/x) 若u≠0，f(u)=0 若u=0，f(u)=1 在0的去心邻域中，f(g(x))有定义 (*) 对任意的正数δ，在0的去心δ邻域中，都有无数个点使得g(x)=0, 而f(g(x))=f(0)=1 lim{x→0}g(x)=0 lim{u→0}f(u)=0 而根据(*)，lim{x→0}f(g(x))不存在。 可见这个条件确实不能去掉。如果f(u)在u0处连续，那么这个复合函数的极限运算法则仍然是成立的，g(x)是否在其他点取值u0并无影响，因而很多时候在实际应用这条法则时并不去验证这条，因为我们通常面对的是连续函数。确实是这样的，因为g(x)在0的任意去心邻域内总是存在使得g(x)为0的点，而f(0) = 1 =/= lim(u->0)f(u)。所以就不存在0的某个去心邻域使得|f(g(x))-0|能够小于任意ε>0，自然极限也就不存在了。 另一种情况：设lim(u->u0)f(u) = A，且f(u)在u0的某个去心邻域是连续函数，那么就有f(u0) = lim(u->u0)f(u) = A，再设lim(x->x0)g(x) = u0，那这时候就不用考虑在x0的某个去心邻域中，g(x) =/= u0这个条件了，因为g(x) =u0时，|f(g(x)) - A| = 0 < 任意ε>0 。
归纳函数极限的计算方法
归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
高中数学教案：极限与导数函数极限的运算法则
函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2x x x +→
例2 求1 12lim 231++-→x x x x 例3 求4 16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k x x ∈==∞→∞→
《函数极限的运算法则》教案(优质课)
《函数极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 【教学重点】：运用函数极限的运算法则求极限 【教学难点】：函数极限法则的运用 【教学过程】： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组
成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 22 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.
注意函数4 16 2--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变 成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ →
归纳函数极限的计算方法
归纳函数极限的计算方法 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的 0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0 x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧. 2.1依据函数极限的迫敛性求极限 函数极限的迫敛性 设0 lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某'0(;)U x δ内有 ()()()f x h x g x ≤≤，则0 lim ()x x h x A →=. 例1求极限]1[lim 0x x x → 解：当0>x 时，有 1]1 [1≤<-x x x 而1)1(lim 0 =-+→x x ,由函数迫敛性可得 1]1 [lim 0=+→x x x 同理可得0
§1-2 函数极限的运算规则
第1章 函数的极限和连续函数 8 §1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理 1.极限的运算规则 记号“(,)x c c c -+→”和“(,)x →∞+∞-∞”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“x →?”，则各种形式的函数极限，都具有像数列极限那样的运算 规则.要证明它们，也属于高等微积分（证明在第二篇中）. 设在同一个极限过程中，有极限)(lim x f x ? →和)(lim x g x ? →. ⑴ lim[()]lim ()x x c f x c f x →? →? =（c 为常数）； （齐次性） ⑵ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →? →? →? ±=±； （可加性） ⑶ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →? →? →? =?； （乘积的极限等于极限的乘积） ⑷ lim ()()lim lim ()0()lim () x x x x f x f x g x g x g x →? →?→?→? ??=≠???? ； （商的极限等于极限的商） ⑸ 若()()f x g x ≤，则lim ()lim ()x x f x g x →? →? ≤； （极限运算的单调性） ⑹ 若()()()f x h x g x ≤≤，且lim ()lim ()x x f x g x C →? →? ==，则也有极限lim ()x h x C →? =. （夹挤规则） 根据夹挤规则，若lim ()0x f x →? =，且)(x g 在极限过程?→x 中是有界变量(())g x B ≤， 则应直接写成 lim[()()]0x f x g x →? = 因为 0()()()0()f x g x B f x x ≤≤→→?且lim ()()0lim[()()]0x x f x g x f x g x →? →? =??= 而不能写成 []lim ()()lim ()lim ()0x x x f x g x f x g x →? →? →? =?=[逻辑错误!] 例如函数1sin y x x =（图1-15），应当直接写成 01 lim sin 0x x x →=(因为1sin 1x ≤) 而不能写成 00011 lim sin lim limsin 0x x x x x x x →→→=?= 因为不存在极限01 limsin x x →(图1-10). 例3 设有多项式 2012()(0)n n n P x a a x a x a x a =+++ +≠ 则 2012lim ()lim lim()lim()lim()n n x c x c x c x c x c P x a a x a x a x →→→→→=+++ + 2012(lim )(lim )(lim )n n x c x c x c a a x a x a x →→→=+++ +
高三数学总复习 函数极限的运算法则教案
湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：函数极限的运算 法 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 如果B x g A x f o o x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么 B A x g x f o x x +=+→)]()([lim B A x g x f o x x ?=?→)]()([lim )0()()(lim ≠=→B B A x g x f o x x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=
n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ， 由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法 信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使 得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： ①带有“1”；
求函数极限的方法
求函数极限的方法 1. 预备知识 1.1 函数极限的定义 定义 1 设f 为定义在[],a +∞上的函数，A 为定数．若对任给的0ε>，存在正整数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限．记作：()lim x f x A →+∞ =或()()f x A x →→+∞． 定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()00;'U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限．记作：()0 lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→． 定义 3 设函数f 在()0 0;'U x δ+（或()00;'U x δ-）内有定义，A 为定数．若对任 给0ε>的，存在正数()'δδ<，使得当时00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）有 ()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0 x +（或0x - ）时的右（左）极限．记作： ()()00lim lim x x x x f x A f x A + -→→??== ??? 或()()()()() 00f x A x x f x A x x +-→→→→． 1.2 函数极限的性质 性质1（唯一性） 若极限()0 lim x x f x →存在，则此极限是唯一的． 性质2（局部有界性） 若()0 lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界． 性质3（局部保号性） 若()0 lim 0x x f x A →=>（或0<），则对任何正数r A <（或 r A <-） ，存在()00U x ，使得对一切()o o x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）． 性质4（保不等式性） 设()0 lim x x f x →与()0 lim x x g x →都存在，且在某邻域()00;'U x δ内 有()()f x g x <，则()()0 lim lim x x x x f x g x →→≤． 性质5（迫敛性）设()()0 lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()00;'U x δ内有
归纳函数极限的计算方法
归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ 内有定义，A 为定数，若对任给的 0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据
(完整版)极限四则运算法则
极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<- 极限的计算方法总结 “极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~ 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移 下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单! 5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。 8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。 10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限) 精品文档 §1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理 1.极限的运算规则 记号“(,)x c c c -+→”和“(,)x →∞+∞-∞”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“x →?”，则各种形式的函数极限，都具有像数列极限那样的运算规则.要证明它们，也属于高等微积分（证明在第二篇中）. 设在同一个极限过程中，有极限)(lim x f x ? →和)(lim x g x ? →. ⑴ lim[()]lim ()x x c f x c f x →? →? =（c 为常数）； （齐次性） ⑵ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →? →? →? ±=±； （可加性） ⑶ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →? →? →? =?； （乘积的极限等于极限的乘积） ⑷ lim ()()lim lim ()0()lim () x x x x f x f x g x g x g x →? →?→?→? ??=≠???? ； （商的极限等于极限的商） ⑸ 若()()f x g x ≤，则lim ()lim ()x x f x g x →? →? ≤； （极限运算的单调性） ⑹ 若()()()f x h x g x ≤≤，且lim ()lim ()x x f x g x C →? →? ==，则也有极限lim ()x h x C →? =. （夹挤规则） 根据夹挤规则，若lim ()0x f x →? =，且)(x g 在极限过程?→x 中是有界变量(())g x B ≤， 则应直接写成 lim[()()]0x f x g x →? = 因为 0()()()0()f x g x B f x x ≤≤→→?且lim ()()0lim[()()]0x x f x g x f x g x →? →? =??= 而不能写成 []lim ()()lim ()lim ()0x x x f x g x f x g x →? →? →? =?=[逻辑错误!] 例如函数1sin y x x =（图1-15），应当直接写成 01 lim sin 0x x x →=(因为1sin 1x ≤) 而不能写成 00011 lim sin lim limsin 0x x x x x x x →→→=?= 因为不存在极限01 limsin x x →(图1-10). 例3 设有多项式 2012()(0)n n n P x a a x a x a x a =+++ +≠ 则 2012lim ()lim lim()lim()lim()n n x c x c x c x c x c P x a a x a x a x →→→→→=+++ + 2012(lim )(lim )(lim )n n x c x c x c a a x a x a x →→→=+++ +极限的计算方法总结
(整理)§1-2 函数极限的运算规则.