求凸多边形最小面积包围盒算法的比较
(word完整版)五年级上册多边形面积的计算
不规则图形面积的计算（一） 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表： 实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。 例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.
例5 如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘 例6 如右图，已知：S△ABC=1， 例7 如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
例8 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积. 例9 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
习题一 一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：
实体网格模型的变分层次有向包围盒构建
ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@https://www.wendangku.net/doc/8f14679945.html, Journal of Software, Vol.19, Supplement, December 2008, pp.31?40 https://www.wendangku.net/doc/8f14679945.html, ? 2008 by of Journal of Software. All rights reserved. Tel/Fax: +86-10-62562563 ? 实体网格模型的变分层次有向包围盒构建 王锐, 华炜+, 许高峰, 彭群生, 鲍虎军 (浙江大学 CAD&CG国家重点实验室,浙江杭州 310058) Variational OBB-Tree Approximation for Solid Object WANG Rui, HUA Wei+, XU Gao-Feng, PENG Qun-Sheng, BAO Hu-Jun (State Key Laboratory of CAD&CG, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China) + Corresponding author: E-mail: huawei@https://www.wendangku.net/doc/8f14679945.html, Wang R, Hua W, Xu GF, Peng QS, Bao HJ. Variational OBB-tree approximation for solid object. Journal of Software, 2008,19(Suppl.):31?40. https://www.wendangku.net/doc/8f14679945.html,/1000-9825/19/s31.htm Abstract: A method that approximates a solid object by object oriented bounding box tree (OBB-Tree) having minimal summed volume outside the object is proposed. First, the outside volume for a single OBB is defined and computed by a hardware-accelerated algorithm. Then, the construction of one OBB-Tree is formulated into a variational approximation. To solve such an approximation, this paper presents an algorithm that minimizes the total outside volume over all OBBs in the same level using the iterative Lloyd clustering and using a variant of iterative MultiGrid among levels. In experiments, comparing against a state-of-the-art alternative, the resulting OBB-Tree is tighter and has better performance in the test of collision detection. Key words: variational approximation; OBB-Tree; solid objects; collision detection 摘要: 层次有向包围盒(object oriented bounding box tree,简称OBB-Tree)在碰撞检测、实时绘制等诸多场合有着 广泛的应用.研究了实体网格模型的层次有向包围盒的构建问题,提出了新的优化求解方法.首先以属于层次包围盒 但不属于实体网格模型的这部分外部空间体积作为误差,并给出基于硬件加速的误差计算方法.其次,将层次包围盒 的构建问题转化为变分逼近问题,通过求解全局误差最小来最优的层次有向包围盒.在优化计算上,我们提出在同层 内采用Lloyd分簇迭代与在层次间采用类似MultiGrid的往复迭代相结合的方法.与前人的结果比较,此方法可以生 成对原实体网格模型包裹更紧密的层次有向包围盒逼近,在碰撞检测的实际应用中,使用此方法构建的结果可以减 少碰撞检测的计算时间提高检测效率. 关键词: 变分逼近;层次有向包围盒;实体网格模型;碰撞检测 层次包围体是用若干体积略大而形状简单的包围体来近似地表示复杂的几何对象.在很多对计算实时性 有要求的场合(例如:碰撞检测、实时绘制等),层次包围体被用来代替原几何对象参与计算,达到简化计算的目 的.以碰撞检测为例,在对包围体层次树进行遍历的过程中,通过包围体间的快速相交测试可及早排除明显不可 能相交的基本几何对象,从而有效地提高了碰撞检测的速度. 由于应用的广泛性,人们已经在层次包围体构建的研究上展开了许多研究.根据应用需求的不同,可选取不 ? Supported by the National Natural Science Foundation of China under Grant No.60773184 (国家自然科学基金) Received 2008-05-03; Accepted 2008-11-14
一种基于OBB包围盒算法的改进
一种基于OBB包围盒算法的改进 耿朝阳;刘敏;徐江涛 【期刊名称】《西安工业大学学报》 【年(卷),期】2012(032)007 【摘要】The direction cylindrical bounding box testing method was put forward to improve the efficiency of collision detection. Based on the characteristics of different types of bounding box, their algorithms were analyzed and then the algorithm for collision detection of bounding box was optimized. The experiment result shows that the improved algorithm can increase the efficiency of collision detection and enchance the real-time of the system.%为了提高碰撞检测的速度,对虚拟环境中的物体进行了假设,提出了方向圆柱包围盒检测方法,并结合各类包围盒的特点,分析了不同类型包围盒之间算法,实现了层次包围盒碰撞检测算法的优化,提高了碰撞检测的速度,增强了系统的实时性. 【总页数】4页(550-553) 【关键词】碰撞检测;虚拟环境;检测算法;方向圆柱包围盒 【作者】耿朝阳;刘敏;徐江涛 【作者单位】西安工业大学计算机科学与工程学院,西安710032;西安工业大学计算机科学与工程学院,西安 710032;西安工业大学计算机科学与工程学院,西安710032 【正文语种】中文 【中图分类】TP301.5
经纬度坐标下的球面多边形面积计算公式
经纬度坐标下的球面多边形面积计算公式 前段时间，想做一个根据地球经纬度坐标计算地球表面面积的软件，查阅大量资料，找到如下方法，仅供参考。 一般说来，经纬度坐标多边形面积指的是球面多边形面积。我曾经在作ArcIMS项目时写了一个Javascript函数，特贴出来，大家需要时可以参考。为方便大家直接调用，我做了简单修改，如果有问题，请批评指正。还需要注意的是，该函数不适用于自交叉多边形。 不太好注释，具体原理请参考前人的定理： 球面多边形计算面积的关键在于计算多边形所有角的度数.对于球面n边形，所有角的和为S，球的半径为R，那么其面积就是 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CODE: // calculate Area function calcArea(PointX,PointY,MapUnits) { var Count = if (Count>3) {//至少3个点 var mtotalArea = 0; if((PointX[0]!=PointX[Count-1])||(PointY[0]!=PointY[Count-1])) //第1个点与最后1个点不重合 { return; } if (MapUnits=="DEGREES") //经纬度坐标下的球面多边形 //////////////////degrees度数 {
var LowY=; var MiddleX=; var MiddleY=; var HighX=; var HighY=; var AM = ; var BM = ; var CM = ; var AL = ; var BL = ; var CL = ; var AH = ; var BH = ; var CH = ; var CoefficientL = ;//Coefficient系数 var CoefficientH = ; var ALtangent = ; //tangent切线 var BLtangent = ; var CLtangent = ; var AHtangent = ; var BHtangent = ; var CHtangent = ; var ANormalLine = ; //NormalLine法线 var BNormalLine = ; var CNormalLine = ; var OrientationValue = ; //Orientation Value方向值 var AngleCos = ;//余弦角 var Sum1 = ; var Sum2 = ; var Count2 = 0; var Count1 = 0;
凸多边形最优三角剖分
凸多边形最优三角剖分 一、问题描述 多边形是平面上一条分段线性的闭曲线。也就是说，多边形是由一系列首尾相接的直线段组成的。组成多边形的各直线段称为该多边形的边。多边形相接两条边的连接点称为多边形的顶点。若多边形的边之间除了连接顶点外没有别的公共点，则称该多边形为简单多边形。一个简单多边形将平面分为3个部分：被包围在多边形内的所有点构成了多边形的内部；多边形本身构成多边形的边界；而平面上其余的点构成了多边形的外部。当一个简单多边形及其内部构成一个闭凸集时，称该简单多边形为凸多边形。也就是说凸多边形边界上或内部的任意两点所连成的直线段上所有的点均在该凸多边形的内部或边界上。 通常，用多边形顶点的逆时针序列来表示一个凸多边形，即P={v0 ,v1 ,… ,v n-1}表示具有n条边v0v1， v1v2，… ,v n-1v n的一个凸多边形，其中，约定v0=v n。 若v i与v j是多边形上不相邻的两个顶点，则线段v i v j称为多边形的一条弦。弦将多边形分割成凸的两个子多边形{v i ,v i+1 ,… ,v j}和{v j ,v j+1 ,… ,v i}。多边形的三角剖分是一个将多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。图1是一个凸多边形的两个不同的三角剖分。 图1 一个凸多边形的2个不同的三角剖分 在凸多边形P的一个三角剖分T中，各弦互不相交，且弦数已达到最大，即P的任一不在T中的弦必与T 中某一弦相交。在一个有n个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰好有n-3条弦和n-2个三角形。 凸多边形最优三角剖分的问题是：给定一个凸多边形P={v0 ,v1 ,… ,v n-1}以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数ω。要求确定该凸多边形的一个三角剖分，使得该三角剖分对应的权即剖分中诸三角形上的权之和为最小。 可以定义三角形上各种各样的权函数ω。例如：定义ω(v i v j v k)=|v i v j|+|v i v k|+|v k v j|，其中，|v i v j|是点v i到v j 的欧氏距离。相应于此权函数的最优三角剖分即为最小弦长三角剖分。 二、算法思路
多边形与多边形内凸多边形周长大小关系的探索
多边形与多边形内凸多边形周长的大小关系探究 温州市第八中学金开指导师：贾哲三 曾经看到过有如下一道题目： 问题1：D为△ABC内的一点，求AB+AC与BD+DC的大小关系。 解：延长BD交AC于点E ∵三角形两边和大于第三边 ∴AB+AE＞BD+DE① DE+EC＞CD② ①+②得 AB+AE+DE+EC＞BD+DE+CD ∴AB+AC＞BD+CD（※） ∴AB+AC +BC＞BD+CD+BC 也就是说三角形△ABC的周长大于三角形内△BDC的周长。 从图（1）看这个结论还是比较直观的，那么随着三角形内点数的增加，多边形的边数也会随之增加。那么这个结论是否还仍然成立呢？ 问题2：D1，D2为△ABC内的两个点，连接BD1， D1D2，D2C，求AB+AC与BD1+ D1D2+D2C的大小关 系。这个题目要分类讨论，因为它的图形有两种情况， 一种是凹四边形，如下（2-1）： 在这种情况下，可以通过实验法量出BD1长3cm，D1D2长2cm，D2C长5.2cm，AB 长3.3cm，AC长4.8cm，所以BD1+D1D2+D2C=10.2cm，AB+AC=8.1cm，AB+AC＜ BD1+D1D2+D2C，所以并没有研究价值。 再来看图（2-2） 解：延长BD1，CD2交于点E，延长BE交AC与点F 由（※）得AB+AC＞BE+CE
∵E D1+E D2＞D1D2 ∴AB+AC＞BE+CE=BD1+ D1E+CD2+ED2＞BD1+CD2+ D1D2 ∴AB+AC＞BD1+ D1D2+ D2C ∴△ABC的周长大于四边形BD1D2C的周长 问题3：那更深一步，D1，D2，D3为△ABC内的三点，是多边形BD1D2D3C是凸多边形，求AB+AC与BD1+ D1D2+D2 D3 +D3 C的大小关系 ，CD2交于点E，延长BE交AC于点F， 解：延长BD 连D1D3我们发现在△ABC和△EBC之间是一个与问题1类 似的结构，所以可以直接得出AB+AC＞BE+CE，又在△ ED1D3与△D2D1D3之间也有一个与问题1相似的结构，所以 我们又可以得出ED1+ED3＞D2D1+ D2D3，所以两式综合一下， 我们便可以得出AB+AC＞BD1+ D1D2+ D2 D3+ D3C 我们发现，不论是问题2或问题3，都可以通过添辅助线的方式，回归到问题1的结构，那这到底是巧合还是必然呢? 我们再看，如果△ABC内有四个点会怎么样？ 问题4：D1D2 D3 D4为△ABC内的四点，且多边形B D1D2 D3 D4C为凸多边形，求 AB+AC与BD1+ D1D2+ D2 D3+ D3 D4+ D4C的大小关系 解：延长D1D2，D4 D3交于点E，延长BD1，CD4交于点 F，连接D1D4，仔细观察，我们也可以发现在△ABC和 △FBC之间和△FD1D4与△ED1D4之间有类似于问题1结 构，所以我们又可以很轻松地得出AB+AC＞BD1+ D1D2+ D2 D3+ D3 D4+ D4C以此类推，我们不难发现，不论三角形内有几个点，我们都可以通过添辅助线使其构成一个或多个类似于问题1的结构。因此，我们可以得出以下结论1： 结论1：D1、D2、D3……D n为△ABC内的n个点，且多边形BD1D2 D3……D n C为凸多边形时，AB+AC＞BD1+ D1D2+D2D3+……D n C 探索完三角形内存在的n点问题后，我又想能否试着把三角形转换成其它多边形，
任意凸多边形的重心求解
模型的建立与求解 一、计算凸多边形的重心 对于任意凸多边形，我们以其重心为蛛网的中枢区中心，也即蜘蛛的等待猎物点，以此点出发，先发出放射丝，再织捕丝。 1.计算任意凸多边形重心的理论基础 1. 四边形的重心作法：连接出四边形的一条对角线，这样四边形就变成两个三角形的组合体，分别作出两个三角形的重心，并连接两个重心成一条线段AB ，同样，连接出四边形的另一条对角线，四边形就变成另外两个三角形的组合体，分别作出这两个三角形的重心，并连接两个重心成一条线段CD ，则线段AB ，CD 的交点就是四边形的重心。 2.五边形的重心作法：连接出五边形的任一条对角线，将五边形分为1个三角形与一个四边形组合体，分
别作出三角形的重心，和四边形的重心，并连成线段AB；连接五边形的另外一条对角形，将五边形分为另1个三角形与四边形的组合体，分别作出三角形与四边形的重心，并连接成线段CD；则AB、CD的交点就是五边形的重心。 3、用数学归纳法，对于六边形、七边形，N边形，都可以用上述方法，先连接出一条对角线，将N边形化为一个三角形与(N-1)边形，或四边形与(N-2)边形，然后分别作出重心，并连接成线段，然后再连接另外一条对象线，分别作出两个组合体的重心并连接成线段，两条线段的交点就是N边形的重心。 2．重心计算的算法程序实现： 有了以上理论基础，我们通过C++语言编写了一个计算任意凸多边形的程序，算法思想如下，算法程序见附录一。
○1在平面上取一点(一般取原点)得到N个三角形OP[i]P[i+1](其中点的顺序为逆时针) ○2分别求出这N个三角形的重心Ci和面积Ai(注意此处面积是有向面积, 就是用叉乘求面积时保留其正负号) ○3求出A = A1+A2+...+AN(同样保留正负号的代数相加) ○4重心C = sigma(Ai+Ci)/A; 附录一：任意凸多边形重心C++算法 #include
多边形的面积公式
多边形的面积 23、公式：长方形：周长=(长+宽)×2—【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2 面积=长×宽字母公式：S=ab 正方形：周长=边长×4 字母公式：C=4a 面积=边长×边长字母公式：S=a 平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah 三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷2 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 字母公式： S=（a+b）h÷2 【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】 24、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移 25、三角形面积公式推导：旋转 平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形， 长方形的长相当于平行四边形的底； 平行四边形的底相当于三角形的底； 长方形的宽相当于平行四边形的高； 平行四边形的高相当于三角形的高； 长方形的面积等于平行四边形的面积， 平行四边形的面积等于三角形面积的2倍， 因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。 因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2 26、梯形面积公式推导：旋转 27、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，知道就行。 平行四边形的底相当于梯形的上下底之和； 平行四边形的高相当于梯形的高； 平行四边形面积等于梯形面积的2倍， 因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 28、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等； 等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。 29、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。 30、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。
多边形的面积-单元分析
第6单元多边形的面积 单元分析 【教材分析】 本单元学习的内容主要包括：平行四边形、三角形、梯形和组合图形的面积四个部分。它们的面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上，以未知向已知转化为基本方法开展学习的。这是进一步学习圆的面积和立体图形的表面积的基础。学习组合图形的面积安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后，也是利用转化的数学思想，让学生把不规则的平面图形转化为规则的平面图形来计算，降低了学生的学习难度，并巩固了学生对各种平面图形的特征的认识及面积计算，发展了学生的空间观念。 【学情分析】 学生已经对空间观念和直观几何有了较为丰盛的经验。在学习本单元之前，他们在生活中积累了有关图形认识和图形测量的经验，再加上已经学习了长方形、正方形、三角形的特征以及长方形、正方形的面积计算。为此，学习本单元面积公式的推导过程中，教师应引导学生紧密联系生活实际，从已有的认知基础和生活经验出发，让学生在数、剪、拼、摆等操作活动中，完成对新知的构建。所以引导学生利用转化的数学思想，在操作中学习新知是本单元教学的重要环节。教师既要做好引导，又要注意不要包办代替，一定要学生在独立思考和合作交流的基础上进行操作，切忌由教师带着做。通过实际操作活动，发展学生的空间观念，培养动手操作能力，为接下来学习圆的面积作好铺垫。 【教学目标】 知识技能：掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，并能正确地计算相应图形的面积；了解简单组合图形面积的计算方法。 数学思考：在推理公式的过程中，引导学生应用转化的数学思想方法，经历计算公式的过程。
问题解决：能用有关图形的面积计算公式解决简单的实际问题。在解决问题的过程中，感受数学和现实生活的密切联系，体会学数学、用数学的欢乐。 情感态度：培养学生认真思考、比较、推理和概况的能力。 教学重点：掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式；会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。 教学难点：渗透“转化”思想，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力。 【课时划分】 1．平行四边形的面积………………………2课时 2．三角形的面积……………………………2课时 3．梯形的面积………………………………2课时 4．组合图形的面积…………………………2课时 5．整理和复习………………………………1课时
多边形的面积关系
《多边形的面积关系》教学设计 一、教学目标： 1、进一步理解并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，能应用公式计算这些图形的面积，并解决一些简单的实际问题。 2、通过回忆、交流，将“多边形的面积”这个单元所学的知识进行系统复习，形成完整知识体系；结合练习，加深对所学知识的理解，提高应用所学知识解决实际问题的能力。 3、感受复习的必要性与重要性，逐步形成学生自己整理所学知识的意识和良好的学习习惯。 二、教学重难点：归纳整理本单元所学的面积公式，能正确应用这些面积公式解决实际问题。 三、教学准备：多媒体课件，作业纸，多边形，复习题单 四、教学环节： 一、出示课题，谈话引入： 孩子们，今天我对我们学过的一个章节的知识进行复习。来看看要复习的是那一章节》（读课题：多边形的面积，）这个课题不完整，缺关键词，你能做一个补充吗？（生：……）好，孩子们有点紧张，我们来做一个游戏，好吗？ 二、回顾梳理，主动探索： 1、公式回忆： 老师手上有五个信封，每个信封里面装着一个你学过的平面的图形，你任意抽取一个，抽到哪一个你就介绍这个图形的有关知识，越全面越好。谁来接受这个挑战？（学生依次抽取图形，介绍图形有关知识，当说到面积时老师相机写在黑板上，并把图形贴在黑板上） 贴图：长方形：S=ab 平行四边形：S=ah 三角形：S=ab÷2 梯形：S =（a+b）× h÷ 2
2、巩固公式的推导过程： 师：我们在推导这些面积公式的时候用到了一个非常重要的数学方法，叫做？（转化）那谁来说说平行四边形的面积的转化过程呢？好，我们来看一看平行四边形面积转化的动态图。那三角形呢？（看动态图）梯形呢？（看动态图） 3、这几个平面图形的面积计算中，你觉得哪个相对麻烦一些呢？（梯形）为什么？那我们就从计算相对比较麻烦的梯形面积公式开始探究，看看我们今天能有什么收获。 4、实践操作： （1）（作业纸）请在下面格子图内画出高为4个平方单位，面积为20个平方单位的梯形。 （2）汇报交流： 师：有不同的画法吗？（学生汇报） 师：完成这个作品前，你们是怎么想的呢？（倒过来推算的，求出梯形上下底之和为10） 三、解决问题，沟通联系： 1、初步感知，引发思考： 师：上下底之和为10，高为4的梯形只能画出这四幅吗？（有小数）那有多少种情况？（无数种情况） 2、出示图形，问题跟进： 师：老师也来说几种，可以吗？（可以）为了大家能看得清楚，我等比例把图形扩大了。上底为3.5，下底为6.5，高为4；上底为2.5，下底为7.5，高为4；上底为1.5，下底为8.5；上底为0.5，下底为9.5，高为4。 3、观察图形，发现联系： 师：观察以上一组图形，你发现了什么？ 生：越往右，梯形的上底越来越小。 师：我们把梯形的上底标出字母AB，AB间的距离越来越小，距离越来越接近0，当AB=0时，梯形就变成了什么图形？（三角形） 这个时候，三角形的面积公式可以怎样计算呢？（0+10）×h÷2，也就是说梯形的面积公式也适用于三角形的面积计算。
多边形面积知识点归纳总结.
五年级数学上册第二单元多边形面积知识点归纳总结 前面我们学习过长方形和正方形的周长和面积， 本单元主要学习平行四边形，三角形，梯形的面积和它们之间的面积关系 3、平行四边形面积=底×高字母公式：s=ah ★平行四边形面积公式的推导过程：剪拼、平移 沿着平行四边形的任意一条高剪开，将其一部分平移与另一部分正好拼成一个长方形，这个长方形的长就是平行四边形的底，这个长方形的宽就是平行四边形的高。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，用字母表示S=a×h。 ★等底等高的平行四边形面积相等 。 多边形面积
4、三角形面积=底×高÷２字母公式：s=ah÷２ （底=面积×2÷高；高=面积×2÷底） ★三角形面积公式的推导过程：旋转、平移 将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底就是三角形的底，拼成的平行四边形的高就是三角形的高，拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。一个三角形的面积是这个平行四边形的面积一半。因为平行四边形的面积等于底×高，所以三角形的面积等于底×高÷2。用字母表示S=a×h÷2。 ★等底等高的三角形面积相等。 ★等底等高的三角形和平行四边形面积关系：等底等高的平行四边形面积是三角形面积的 2倍；等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 5、梯形面积=(上底＋下底)×高÷２字母公式：s=(a＋b)×h÷２ （上底=面积×2÷高－下底；下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）） 梯形面积公式的推导过程：旋转、平移 将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与 下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，拼成的平行四边形的面积是每个梯形面积的2倍，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷ 2 用字母表示S=（a＋b）×h÷2. 6、计算圆木、钢管等的根数： (顶层根数+底层根数)×层数÷２ 7、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。 8、有关规律： ★在平行四边形里画一个最大的三角形，这个三角形的面积等于这个平行四边形面积的一半。 ★用细木条钉成一个长方形框架，如果把他拉成一个平行四边形，则它的周长不变，面积
凸多边形三角划分
一、问题描述 多边形是平面上一条分段线性的闭曲线。也就是说，多边形是由一系列首尾相接的直线段组成的。组成多边形的各直线段称为该多边形的边。多边形相接两条边的连接点称为多边形的顶点。若多边形的边之间除了连接顶点外没有别的公共点，则称该多边形为简单多边形。一个简单多边形将平面分为3个部分：被包围在多边形内的所有点构成了多边形的内部；多边形本身构成多边形的边界；而平面上其余的点构成了多边形的外部。当一个简单多边形及其内部构成一个闭凸集时，称该简单多边形为凸多边形。也就是说凸多边形边界上或内部的任意两点所连成的直线段上所有的点均在该凸多边形的内部或边界上。 通常，用多边形顶点的逆时针序列来表示一个凸多边形，即P={v0 ,v1 ,… ,v n-1}表示具有n条边v0v1，v1v2，… ,v n-1v n的一个凸多边形，其中，约定v0=v n。 若v i与v j是多边形上不相邻的两个顶点，则线段v i v j称为多边形的一条弦。弦将多边形分割成凸的两个子多边形{v i ,v i+1 ,… ,v j}和{v j ,v j+1 ,… ,v i}。多边形的三角剖分是一个将多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。图1是一个凸多边形的两个不同的三角剖分。 图1 一个凸多边形的2个不同的三角剖分 在凸多边形P的一个三角剖分T中，各弦互不相交，且弦数已达到最大，即P的任一不在T中的弦必与T中某一弦相交。在一个有n个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰好有n-3条弦和n-2个三角形。 凸多边形最优三角剖分的问题是：给定一个凸多边形P={v0 ,v1 ,… ,v n-1}以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数ω。要求确定该凸多边形的一个三角剖分，使得该三角剖分对应的权即剖分中诸三角形上的权之和为最小。
【小学数学】小学五年级多边形的面积计算公式汇总附练习题
多边形的面积计算公式1、长方形的面积=长×宽 字母表示：S=ab 长方形的长=面积÷宽 a=S÷b 长方形的宽=面积÷长b=S÷a 2、正方形的面积=边长×边长 字母表示: S= a2 3平行四边形的面积=底×高 字母表示: S=ah 平行四边形的高=面积÷底 h=S÷a 平行四边形的底=面积÷高 a=S÷h 4、三角形的面积=底×高÷2 字母表示: S=ah÷2 三角形的高= 2×面积÷底h=2S÷a 三角形的底= 2×面积÷高a=2S÷h 5、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 字母表示：S=(a+b)·h ÷2 梯形的高=2×面积÷（上底+下底） h=2S÷(a+b)梯形的上底=2×面积÷高—下底 a=2S÷h-b 梯形的下底=2×面积÷高—上底 b=2S÷h-a
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方米=10000平方厘米 1米==10分米=100厘米 《多边形的面积》同步试题 一、填空 1．完成下表。 考查目的：平行四边形、三角形和梯形的面积计算及变式练习。 答案： 解析：直接利用公式计算这三种图形的面积；对于学生来说完成的难度不大。对于已知平行四边形的面积和高求底、已知三角形的面积和底求高这两个变式练习；可引导
学生进行比较；理解并强化三角形和梯形的类似计算中需要先将“面积×2”这一知 识点。 2．下图是一个平行四边形；它包含了三个三角形；其中两个空白三角形的面积分别 是15平方厘米和25平方厘米。中间涂色三角形的面积是（）。 考查目的：等底等高的三角形和平行四边形的面积之间的关系。 答案：40平方厘米。 解析：引导学生仔细观察图形；得出涂色部分三角形与整个平行四边形存在等底等高 的关系；则该三角形的面积应为平行四边形面积的一半；据此进一步推导出涂色三角 形的面积和两个空白三角形的面积之和相等这一结论。 3．有一批圆木堆成梯形；最上面一层有3根；最下面一层有8根；相邻两层相差1根；一共堆了6层；这堆圆木共有（）根。 考查目的：运用梯形的面积计算方法解决相关的实际问题。 答案：33。 解析：根据“（顶层根数+底层根数）×层数÷2”进行解答。在此基础上；可引导学 生用不同的方法对结果加以验证；重点分析采用等差数列求和的方法即“（首项+末项）×项数÷2”；这既是解决该题的基本数学模型；也能突出体现“数形结合”的 思想。 4．如图的小花瓶中；1个小正方形的面积是1平方厘米；那么整个花瓶的面积是（）平方厘米。
七巧板能拼出多少种凸多边形
七巧板能拼出多少种凸多边形 奉化市大堰初中董孟雄 一、问题的提出 问题：对正方形ABCD按如图1分划,其中E,F分别是 BC,AB的中点,M,N,G分别是OA,OC,EF的中点,沿分划线可以 剪出一副由七块部件组成的“七巧板”.设正方形OGFM的边长 为1.请用这幅七巧板既不留下一丝空隙,又不相互重叠,各拼出1 种周长最大与最小的凸多边形,画在下面,计算最大周长与最小 周长各是多少？ 参考答案：如图2,周长最大2 2 8+. 8+；如图3,周长最小2 4 图2中的多边形周长为什么是最大的？图3中的多边形周长为什么又是最小的？笔者亦是百思不得其解,只能换个角度思考：七巧板到底能拼出多少种凸多边形？ 二、问题的分析 1. 剪出的七块部件如下图4所示,出现了 1,2,2,2 2四类线段共23条,其中长度为1 的线段10条,长度为2的线段6条,长度为2 的线段5条,长度为2 2的线段2条. 2. 七块部件的内角总和1620°,其中9个 直角,12个45°角,2个135°角. 3. 不论拼成哪种多边形,其面积为常量 8. 4. 可以从凸多边形的边数分类讨论. 三、问题的解决 1. 拼成三角形 三角形的内角和等于180°,由七巧板角的特征,只有 180°=90°+45°+45°.所以拼成的三角形必为等腰直角三角 形（唯一）.因为面积为8,所以直角三角形的直角边长为4,如图5.
2. 拼成四边形. 四边形的内角和等于360°,由七巧板角的特征,有 360°= 90°×4 = 90°×2+45°×1+135°×1 =135°×2+45°×2. 2.1 360°= 90°×4 拼成的四边形为正方形或长方形. 若为正方形,则图形唯一确定,如图6. 若是长方形,因为面积是8,所以长,宽分别为4,2或2,24. 长,宽分别2,24的矩形拼不出来.理由如下：边长为2,24的矩形其周长为210,而七巧板中含2的线段总和也只有210,即所有长度含 2的线段都应成为矩形边的一部分.平行四边形的那块不可能做到.所以,长,宽分别2,24的矩形拼不出来. 长,宽分别为4,2的矩形如图7. 2.2 360°=90°×2+45°×1+135°×1 若两个直角相邻,则拼成的四边形为直角梯形. 直角梯形的高不可能为4,若高为4,则一腰长为52,不存在这类线段.直角若梯形的高为22,则上下底和为24,如图8. 若梯形的高为4,则上下底和为8,如图9. 若两个直角不相邻,则所得四边形如图10-1所示.过点A 作 AE ⊥CD 与E,过点B 作BF ⊥AE 于F,连结BD,如图10-2.设CE=n,ED=m,则AB=n 2,AD=m 2,BC=m-n,(n ＜m)因为四边形面积为8,所以 S △ABD +S △DBC =mn+ 2 1(m+n)(m-n)=8 ∴ m 2-n 2+2mn=16 ∵ n ＜m ∴ 16=m 2-n 2+2m n ＞m 2-n 2+2n 2 ＞2n 2 ∴ n 2＜8,∴n=2或n=1. 当n=2或n=1时,m 都不是整数.所以拼不出如图10-1所示的四边形. 2.3 360°=135°×2+45°×2 若两个135°角相邻,则拼成的四边形是等腰梯形,如图11所示. 若两个135°角相对,则拼成的四边形是平行四边形,如图12所示.
第五单元多边形的面积：平行四边形面积的计算
第五单元多边形的面积：平行四边形面积的计算 教学目标： 1．使学生在理解的基础上掌握平行四边形面积的计算公式，并会运用公式正确地计算平行四边形的面积． 2．通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力． 3．对学生进行辩诈唯物主义观点的启蒙教育． 教学重点：理解公式并正确计算平行四边形的面积． 教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程． 学具准备：每个学生准备一个平行四边形。 教学过程： 1、什么是面积？ 2、请同学翻书到80页，请观察这两个花坛，哪一个大呢？假如这块长方形花坛的长是3米，宽是2米，怎样计算它的面积呢？ 二、导入新课 根据长方形的面积=长×宽（板书），得出长方形花坛的面积是6平方米，平行四边形面积我们还没有学过，所以不能计算出平行四边形花坛的面积，这节课我们就学习平行四边形面积计算。 三、讲授新课 （一）、数方格法 用展示台出示方格图 1、这是什么图形？（长方形）如果每个小方格代表1平方厘米，这个长方形的面积是多少？（18平方厘米） 2、这是什么图形？（平行四边形）每一个方格表示1平方厘米，自己数一数是多少平方厘米？ 请同学认真观察一下，平行四边形在方格纸上出现了不满一格的，怎么数呢？可以都按半格计算。然后指名说出数得的结果，并说一说是怎样数的。 2、请同学看方格图填80页最下方的表，填完后请学生回答发现了什么？ 小结：如果长方形的长和宽分别等于平行四边形的底和高，则它们的面积相等。 （二）引入割补法 以后我们遇到平行四边形的地、平行四边形的零件等等平行四边形的东西，都像这样数方格的方法来计算平行四边形的面积方不方便？那么我们就要找到一种方便、又有规律的计算平行四边形面积的方法。 （三）割补法 1、这是一个平行四边形，请同学们把自己准备的平行四边形沿着所作的高剪下来，自己拼一下，看可以拼成我们以前学过的什么图形？ 2、然后指名到前边演示。 3、教师示范平行四边形转化成长方形的过程。 刚才发现同学们把平行四边形转化成长方形时，就把从平行四边形左边剪下的直角三角形直接放在剩下的梯形的右边，拼成长方形。在变换图形的位置时，怎样按照一定的规律做呢？现在看老师在黑板上演示。 ①先沿着平行四边形的高剪下左边的直角三角形。 ②左手按住剩下的梯形的右部，右手拿着剪下的直角三角形沿着底边慢慢向右移
凸多边形的所有三角剖分数
回专题模式 回学习阶段模式 【题目名称、来源】 凸多边形三角剖分数 【问题描述】 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，可以把多边形剖分成若干个三角形。现在的任务是输入凸多边形的边数N ，求不同的剖分方案数Sn 。例如 当n ＝7时，下面两个图就是两种不同的剖分方案。 输入： n 输出： 总剖分数 【所属专题】 递推，递归 【适合学习阶段】 第二阶段 【解题思路】 问题分析： 首先，根据凸多边形的特征可知，凸n 边形可以有n －3条互不相交的对角线，将多边形划分为n －2个三角形。 其次，假设Sn 表示凸n 边形的所有三角剖分数，可以看出从V0～V1这条边可以和其他n －2个点任意一个组成一个三角形，假设和k 点组成三角形V0～V1～Vk ，那么这个三角形将多边形分成了三个部分：多边形V1～V2…～Vk ，三角形V0～V1～Vk ，多边形Vk ～Vk ＋1…～V0。第一个多边形有k 个顶点，划分数为Sk ；第二个多边形有n －k ＋1个顶点，划分数为Sn －k ＋1。根据乘法原理确定V0～V1～Vk 这个三角形后，凸多边形的划分数为Sk ×Sn －k ＋1。又因为k 可以从2～n －1，所以根据加法原理， 凸多边形最优三角剖分 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，可以把多边形剖分成若干个三角形。现在的任务是输入凸多边形的边数N ，和n 个点的平面坐标(x,y)，求一种剖分方案，使所有对角线长度之和最小。例如 当n ＝7时，下面两个图就是两种不同的剖分方案。 ∑-====+-=1 22 )4(1)3(1)2(),1(*)()(n k S S S k n S K S n S 其中
五年级数学教案《多边形面积的计算》教学设计
五年级数学教案《多边形面积的计算》教学设计 1、平行四边形面积的计算（第12-14页） 2、三角形面积的计算（第15-18页） 3、梯形面积的计算（第19-21页） 4、实践活动：校园的绿化面积（第26-27页） 教材分析： 教学面积计算时，不仅教会学生面积计算的方法，更重要的是通过教学培养学生的能力。一是培养学生动手操作的能力，通过数方格、图形割补、拼、摆等小系列的操作，发展学生的空间观念。二是培养学生转化矛盾，探索规律的能力。教学中，要启发学生设法把所研究的图形转化成已会计算的图形，还要引导学生主动探索所研究的图形与已学过的图形之间的联系，从而找到计算方法，这样学生的印象深刻，思维也得到发展。 教学目标： 1、使学生通过剪拼、平移、旋转等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，能正确计算它们的面积。 2、使学生通过列表、画图等策略，整理平面图形的面积公式，加深对各种图形特征及其面积计算公式之间内在联系的认识。
3、使学生经历操作、观察、填表、讨论、分析、归纳等数学活动过程，体会等积变形、转化等数学思想，发展空间观念，发展初步的推理能力。 4、使学生在操作、思考的过程中，提高对空间与图形内容的学习兴趣，逐步形成积极的数学情感。 教学重点：平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式 教学难点：理解三种图形面积公式的推导过程，运用公式解决面积的计算问题。 课时安排：9课时 第一课时：平行四边形面积的计算 教学内容：平行四边形面积的计算 教学目标： 1、在学生理解的基础上掌握平行四边形面积计算公式，能正确地计算平行四边形的面积。 2、使学生通过操作和对图形的观察、比较，发展学生的空间观念，使学生初步知道转化的思考方法在研究平行四边形面积时的运用。