《几何画板》教程——从入门到精通
《几何画板》教程——从入门到精通
用几何画板做数理实验
首先请下载安装好几何画板软件，打开几何画板，可以看到如下的窗口,各部分的功能如图所示：
图１－0.1
我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。
?
案例一四人分饼
有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平
均分给四个人,应该如何分？
图1-1.1
思路:这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。
方案一：画三角形的三条中位线,分三角形所成的四部分
面积相等,(其实四个三角形全等)。如图1-1.2。
图１-１．2
方案二:四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形
面积相等,可以得出四部分面积相等,如图1-1.3。
图1-１.３
用几何画板验证：
第一步:打开几何画板程序,这时出现一个新绘图文件。
说明：如果几何画板程序已经打开,只要由菜单“文件” “新绘图”，也可以新建一个绘图文件。
第二步:(1)在工具箱中选取“画线段”工具;
(2）在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图
1－１.4。
注意：在几何画板中，点用一个空心的圈表示。
图1-1.４
第三步：(1）选取“文本”工具;(2)在画好的点上单击左
键,可以标出两点的标签，如图１-1.5：
注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签
为其它字母，可以这样做:
用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中进
行修改，(本例中我们不做修改)。如图１-1.６
图１－１.6
在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的
标签，不再一一说明
B
图1-1.5
第四步:(1)再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A重
合,按左键拖动画出线段AC;(2)画线段BＣ，标出标签C,
如图１－1.7。
注意:在熟悉后,可以先画好首尾相接的三条线段后再标
上标签更方便。
B
图1-1.7
第五步:（1) 用“选择”工具单击线段AＢ,这时线段上出
现两个正方形的黑块,表示线段处于被选取状态；(2)由菜单“作图”→“中点”,画出线段AＢ的中点，标上标签。得如图1-1.８。
注意:如果被选取的是点,点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中,选取线段是不包括它的两个端点的，以后的问题都是这样,如果不小心多选了某个对象，可以按Shi f t 键后用左键再次单击该对象取消选取。
B
D
图1-1.8
第六步：用同样的方法画出其它两边的中点。得如图1
－1.9。
技巧：最快的方法是：按住Ｓｈｉfｔ不放,用“选择”工具分别点击三条线段,可以同时选取这三条线段,再由“作图”→“画中点”(或按快捷键Ctｒl＋M),就可以同时画好三条边的中点。
B
D
图１-１．9
第七步:用“画线段”工具连结DE、EF、ＦD,得如图１-
１.10:
技巧：画线段的另一方法，在保证画线工具出现的是“画线段”按钮(不必选取)的前提下。
选取两点后，由菜单“作图”→“画线段”，(或按快捷键Ctrl+L）,可以画出连结两点的线段。
本例最快的做法:
1、选取“画点”工具,按住Ｓｈｉft键不放在工作区中画三个点，这时三个顶点都保持选取状态
２、按Cｔrl＋L，可以同时画出三条边并且三边同时被选取;
3、按Ctrl+M,可以同时画出三边中点且三中点同时被选取;
4、按Ｃｔrｌ＋L,可以同时画出小三角形三条边，标上标签即可。
B
D
图1-1.１0
第八步:(1) 按住Shift键不放,用“选择“工具选取点A、
D、Ｆ；(２）由菜单“作图”→“多边形内部”填充
多边形内部；（3）保持内部的选取状态，由菜单“度
量”→“面积”，可以量出ADF的面积，如图1-1.11。
B
D
面积 ADF = 0
图1－1.11
第九步：(1) 用同样的方法,填充并度量三角形ＢDE 、E ＣF 、DEF ；(2) 选取DEF 的内部,由菜单“显示” “颜色”，选择其它颜色，如蓝色，得到如图1－1.12。
B
D
面积 ADF = 0.77 cm 面积 DBE = 0.77 cm 面积 ECF = 0.77 cm 面积 DEF = 0.77 cm
图１-１．２
注意：在制作过程中,要经常保存文件，以免因意外原因造成文件丢失,以下每一个例子都是这样,不再加以说明。
归纳结论:
拖动顶点Ａ、B 、Ｃ中的任一个,可以改变三角形的大小和形状，请观察不同情况下,四部分的面积是否总是相等？这样做可以完成分饼的任务吗？
说明:这是通过实验来验证数学规律,不能保证结论一定是正确，一般来说，有一些结果经过了人类的长期实践,大家都公认了它的正确性，这时会把这个结论作为公理直接使用;而大多数情况下,实验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么,实验有什么用呢？实验可以帮助我们认识规律,更容易接受知识,并且常常可以让我们找到解决问题的方向。
如有问题,请到http:／/w ｑ.ｓｄｅhttps://www.wendangku.net/doc/8c8216910.html, 几何画板分版,下载案例一供参考。 练习:
1、对于方案二，四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题，四等分线段可以用哪些方法？
2、为了方便在改变等分的份数(例如要分成五份)时方法仍然能用,这里介绍利用平行线等分线段的方法把一条线段四等分。
第一步:(1） 选取“画射线”工具；（2)移动鼠标到与点A
重合,按住左键拖动，画出一条以点A 为端点的射线AD,得如图1-1.13。
A
图１-１.13
第二步：（1) 选取“画点”工具,移动鼠标到射线AD 上,在靠近点Ａ处单击画出一个点E,得如图1－1.1４； (2) 按住Shift 键不放,用“选择”工具,依次选取点A 、Ｅ,由菜单“变换”→“标记向量A-E ”。 说明:标记了一个向量后，可以在后面的平移变换中按这个向量来平移,保证出现若干段相等的线段, 标记向量时,一定要注意选选择点的先后顺序。
A
图１-1．14
第三步：（１) 用“选择”工具选取点E,由菜单“变换”→“平移…”，在弹出的对话框中点“确定”即可得一点Ｅ’;(２) 选取E ’，做同样的操作可以得Ｅ’’，……，这样做下去,直到得到你想要的若干段相等的线段，这里是四段,如图1-1.15。
A
图1-1.15
第四步：(１) 连结BE ’’’;(2)同时选取线段B Ｅ’’’、点E 、Ｅ’、E ’’，由菜单“作图”→“平行线”,画出了一组平行线，如图1-1．16。
第五步:(1) 用“选择”工具单击平行线和AB 相交处，得到三个四等分点; (2） 选取所有平行线、射线ＡD 及AD 上的点（除Ａ外)，由菜单“显示”→“隐藏 对象”,可以隐藏制作过程中的辅助线。得如图１－1.17。
以下只要连结点C 和三个四等分点就行了,……
注意：在最后结果中不需要看到的对象,一般是把它隐藏，如果你选取后删去了它，你会发现你要的四等分点也会消失，这是因为这些点是受辅助线控制的,隐藏的对象只是看不到，但它仍然起作用。隐藏和删除是不同的。 如有问题，请到ht ｔp://ｗｑ.sd ｅdu ．net 几何画板分版,
下载案例一的练习供参考。
A
B
图1-1．17
３、自己比较一下这两种方法，在只需要四等分的情况下,哪种方法方便?,在需要其它等分的情况下，哪种方法更具有一般性?
案例二三角形的内角和
现有一块三角形的木板，用来制作一个半圆形的木
盖，请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。
图1-2.1
思路:以三角形较短一边的一半为半径,以三个顶点为圆心画弧,得到三个扇形后拼成半圆,如图1-2.2:
图1-2．2
那么,如何知道拼成的一定是一个半圆呢？下面用几何画板做一个实验来说明。
方案：画一个三角形；量三个内角的度数；用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的三角形,总有内角和是1800，那么说明拼成的一定是一个半圆形。
用几何画板验证：
第一步：新建一个几何画板绘图文件。画出三角形ABC
第二步：(1)选取“选择”工具，按住Sｈift不放,
依次选取点Ｂ、A、C;(2）由菜单中的“度量”
→“角度”,量出∠BAC的度数，
用同样的方法度量其它两个角。如图1-2.3
说明:由于每个人画的图不同，度数不一定和图１-
２．3一样）。
注意:选一个角的关键是角的顶点要第二个选。
A
B
BAC = 45.0?
ABC = 74.6?
ACB = 60.4?
图１-２.3
第三步：由菜单“度量”→“计算”弹出一个计算器,依次点击“∠ＢAＣ=…”、“+”、“∠ABＣ=…”“+”、“∠ACB=…”、“确定”，如图1-2.４。说明:“∠BAC=…”在本例中是“∠BAC＝45.０0”，
这里用省略号表示,是因为每个人画的图不同，量出的度数有可能不同，以后类似的问题都这样来表示。
技巧：弹出计算器的方法有：(1) 由菜单“度量”→“计算”;(２) 双击工作区中的任一度量值,如“∠
A
B BA
C = 45.0?
ABC = 74.6?
ACB = 60.4?
BAC + ABC + ACB = 180.0?
图1-2.4
BAC＝…”；（3) 在工作区中击鼠标右键，由“度
量”→“计算”。
归纳结论：
如有问题,请到http://ｗq.ｓdｅdｕ.ｎeｔ几何画板分版，下载案例二供参考。
练习:
1、自己画一个凸四边形，度量它的内角，计算内角和,验证凸四边形的内角和是3600。
如有问题,请到ｈｔtp:／/wq.sdedｕ.neｔ几何画板分版，下载案例二练习１供参考。
２、用“选择”工具同时选取点A、Ｂ,由菜单“度量”→“距离”,可以度量出线段AB的长度，请你用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”。
如有问题,请到htｔｐ:／/wq.sdeｄｕ.ｎｅt几何画板分版,下载案例二练习2供参考。
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案例三最佳行走路线
如图1-3.１:你身在草原上,现在要走到公路边去等车,请设计一个最佳行走路线。
图１-3.1
思路：把人所处位置看作一个点,公路看作一条直线，行走的路线看作线段,由垂线段最短可以找到最佳行走路线。
方案:画一条直线,过直线外一点引直线的垂线段和斜线段,度量线段的长,动态验证垂线段最短。
用几何画板验证:
第一步：新建一个几何画板绘图文件。
第二步:(１）按住工具箱中的画线工具不放,在弹出的
工具条中选取“画直线”工具，按住鼠标左键拖动画出
一条直线；(2) 用“画点”工具在直线外画一点，如图
1-３.2。
第三步:(1）按Shｉｆt键,用鼠标选取点Ｃ和直线
AB,(不要选取点A和B);(2) 由菜单“作图”→“垂线”,
画出了过点C垂直于AＢ的直线,如图1-3.3
说明:虽然点A、B在直线AB上，但选取直线时并没有
选取直线上的点,在后面的学习中,如果要求选取直线、线段、圆等对象,这时不要把对象上的点也选取，除非特别指明要选取这些点。A B
C
图1-3.3
第四步：(1）用“选择”工具单击垂足处，定义出垂足，标上标签D;
(2）选取垂线CD(不要选取点C、D）、点A、B，由“显示”→“隐藏”,把选取的对象隐藏，用“文本”工具在直线上点一下,标出直线的标签j；(3)选“画线段”工具,连结线段CD，如图１－3．４。
说明:点Ａ、B是控制直线AＢ的点,通过拖动这两点,可以改变直线的方向和位置，一般情况下，如果不想再改变直线的位置，或不再画其它线经过这两个点，可以在制作完成后把它隐藏。C
1－3.4
第五步：（１) 选取“画线段”工具；(2) 移动鼠标到点Ｃ处，按下左键拖动,当鼠标位于直线j 上时松开，如图1-３．5。
技巧：CE 是直线j 的斜线段，所以要保证一个端点是C,另一个端点E 只能在直线ｊ上移动,怎样才能保证呢?,在画图的过程中,移动鼠标到点C 时,注意观察状态栏中有“从点C ”，这时按下左键可以保证一个端点为C,移动鼠标到直线j 时,状态栏中有“到点位于直线j ”时松开,这样点E 一定在直线上,不能拖到直线外。在几何画板中，状态栏的作用非常重要。 C
图１-3.5
第六步：同时选取点C 、Ｄ,由“度量” “距离”，量出C Ｄ，同理量出ＣＥ,如图1-3.6。
C
CD = 1.68 cm CE = 2.16 cm
图1-3.6
归纳结论:
拖动点E 在直线j 上移动,观察C Ｄ与C Ｅ的大小,什么时候CE=C Ｄ?,除了这个位置外的其它位置ＣD 与C Ｅ哪一个比较大?
以上操作说明：从直线处一点引直线的所有线段中,_＿＿_＿_＿__最短，因而最佳行走路线是走点到直线的垂线段。
如有问题,请到ｈttp://wq ．s ｄed ｕ.n ｅt 几何画板分版,下载实例三供参考。 练习:
１、在图1-3.6的基础上，增加一个点Ｆ，通过度量∠ＣDF 、∠CEF,如图1-３.7，拖动点E,观察什么情况下两个角相等,除了CD 外，ＣE 在其它位置能和直线j 垂直吗？
C
E
F
CD = 1.68 cm CE = 2.16 cm
CDF = 90?CEF = 51?
图1－3.7
如有问题,请到http://wq.ｓhttps://www.wendangku.net/doc/8c8216910.html, 几何画板分版,下载案例三练习供参考。
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案例四 横梁有多长
如图１-4.1,一个三角形屋架，屋面的宽度是13米,立柱长5米,那么横梁有多长?
图１－4．1
思路:这是直角三角形中应用勾股定理的问题,那么，是不是任意的直角三角形三边都有这种关系?
方案:大家都已经证明过勾股定理，但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画板
画一个直角三角形,度量三条边,计算两直角边的平方和，计算斜边的平方，不断改变图形的大小形状(但保持直角不变),验证定理是否总是成立。 用几何画板验证:
第一步:新建一个几何画板绘图文件。
第二步：在工作区中画一条线段AB ，如图1-4．2。 B
A
图1-4．2
第三步：(1） 按住S ｈｉf ｔ，用“选择”工具选取点A 和线段ＡB ；(2) 由菜单“作图”→“垂线”，作出点Ａ垂直于线段A Ｂ的直线。如图1-4．３
注意:不要选另外一个端点Ｂ，那样过B 点也会有一条直线与AB 垂直，本例中我们不需要同时画两条垂线。 技巧：只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小和形状时总是保持垂直的关系，如果只是画出一条自己看上去“垂直”的直线，就不能在改变形状时保持垂直关系。
B
图１-４.３
第三步：(1) 选“画点”工具;(２) 移动鼠标到垂线上单击,如图图1－4.4
注意：观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击，这样画的点永远位于直线上，不会拖到外面。
B
C
图1-４.4
第三步:(1） 选取垂线CD ，由“显示”→“隐藏直线”,把垂线隐藏； (2) 用画线段工具画出线段ＡC 、线段ＢC,如图1－4.5。
技巧：最后的图中应该是线段,但为了保证变化过程中保持垂直关系,必须先画辅助垂线，最后在不需要时把它隐藏。
B
C
图1-4.5
第四步:用“文本”工具单击三角形的三边，得到如图1-4.6所示，
j
B
C
图１-4.６
第五步：用“文本”工具双击标签n ，在弹出的对话框中作如下改动：如图1-4.７。
c
C
图1-4.８