抛物线教案

第三节 抛物线

一、 教学目标

1、掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质

2、 与焦点有关的计算与论证，围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质

二、重点、难点

1、掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质

2、 与焦点有关的计算与论证，围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质

三、知识梳理

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：

①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2

P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2

P y +；

② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p ③ AB 为抛物线px y

22

=的焦点弦，则=B

A x x 4

2p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++ 3. px y 22=的参数方程为???==pt

y pt x 222

（t 为参数），py x 22=的参数方程为??

?==2

22pt

y pt x （t 为参数）.

考点1 抛物线的定义

例1 、已知点P 在抛物线y 2

= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为

【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离

[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR

PQ PF

PQ +=+，当

P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3

1.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+

B ． 321y y y =+

C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+

［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),2

2

2

p p p x x x +=+++即：2312x x x =+．

2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )

A. )0,0(

B. )62,3(

C. )4,2(

D. )62,3(-

[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C

常用结论

① 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的弦AB 长的最小值为2p

② 设A(x 1，y)， 1B(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px 上的两点， 则AB 过F 的充要条件是y 1y 2＝－p 2

③ 设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p ，0)

考点2 抛物线的标准方程

例2 、 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上

[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24?=--=p p 或 ∴293

4

p p ==或

∴抛物线方程为243

y x =-或292

x y =,

前者的准线方程是1,3

x =后者的准线方程为98

y =-

(2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42

p =,

∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22

p =

∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.

∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.

3.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2

213

x y -=的右焦点重合,则p 的值

[解析]4132

=?+=p p

4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y 2

=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） [解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程 [解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|

=MA ，点A 的横

坐标为)2

3,22(p -，代入方程py

x

22

=得2=p 或4，抛物线的方程y

x

42

=或y

x

82

=

考点3 抛物线的几何性质

例3 、设A 、B 为抛物线px y 22

=上的点,且

90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的

定点坐标为__________.

［解析］设直线OA 方程为kx y =,由??

?==px

y kx y 22

解出A 点坐标为)2,2(2

k

p k

p

??

??

?=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为2

21)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线

AB 必过的定点)0,2(p

6. 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = [解析]-1

7.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,

则=∠11FB A ( ) A. 45

B. 60

C. 90

D. 120

[解析]C

考点4、弦的问题

例1 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

(2)直线AB 经过一个定点

(3)作OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程

解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,

∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,

由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)

(2)直线AB 的斜率k=

1212x x y y --=p

y p y y y 222

12212--=2

12y y p

+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=2

12y y p

+(x─p y 221),

即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=2

12y y p

+(x─2p),

直线AB 过定点C(2p,0)

(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=

2

12y y p

+(x─2p) (i),

又AB ⊥OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即

212y y p +2x

y

= ─1 (ii)

由(i),(ii)得x 2─2px+y 2=0 (x ≠0)

解法2: 由OM ⊥AB 知点M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点)立即可求出

例2 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标

解：如图，设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y), 则x=

221x x +, y=2

2

1y y +, 又设点A ，B ，M 在准线l :x=─1/4上的射影分别为A /,B /,M /, MM /与y 轴的交点为N ， 则|AF|=|AA /|=x 1+

41,|BF|=|BB /|=x 2+4

1

, ∴x=21(x 1+x 2)=21(|AF|+|BF|─21)≥21(|AB|─214

5

等号在直线AB 过焦点时成立，此时直线AB 的方程为y=k(x─

4

1) 由??

???

=-=x y x k y 2)41(得16k 2x 2─8(k 2+2)x+k 2=0 依题意|AB|=2

1k +|x 1─x 2|=2

1k +×216k ?=2

2

1k k +=3,

∴k 2

=1/2, 此时x=21

(x 1+x 2)=2

2162)2(8k

k ?+45 ∴

M(45,22), N(4

5,─22)

基础巩固训练

1.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于

)(422R a a a ∈++，则这样的直线（ ）

A.有且仅有一条

B.有且仅有两条

C.1条或2条

D.不存在 [解析]C 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4． 2.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24x y =上的点P 到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为 （ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 [解析] B 利用抛物线的定义，点P 到准线1-=y

的距离为

5，故点P 的纵坐标为4．

3.两个正数a 、b 的等差中项是

92

，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为( )

A ．1(0,)4

- B ．1(0,)4

C ．1(,0)2-

D ．1(,0)4

-

[解析] D.

1,4,5-=-==a b b a

4. 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）．

A ．5

B ．6

C ． 7

D ．9

[解析]B 根据抛物线的定义，可知12

i

i i p PF x x =+=+（1i =，2，……，n ），)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ,55=x ,||5F P =6

5、抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）

A ．33

B ．34

C ．36

D ．38

[解析] C. 过A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，设),(n m A ，则

1,1-=-=+==m OF OH FH m AB AF ，32,3)1(21==∴-=

+∴n m m m

四边形ABEF 的面积==?++32)]13(2[2

136

6、设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA

与x 轴正向的夹角为60

，则OA

为 ．

[解析]21.

过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则m FA 2=即m m 22=+，解得2=m ．

)32,3(A ∴21)32(322=+=∴OA

综合提高训练

7.在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标 [解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2x x P ，

点P 到直线的距离17|544|2

+-=x x d 1717417

|4)21(4|2

≥

+-=x ， 当且仅当2

1=x 时取等号，故所求的点为）

，（12

1 解法2：当平行于直线45y x =-且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b

x y

+=4，代入抛物线方程得0442

=--b x x ，

由01616=+=?b 得2

1,1=-=x b ，故所求的点为）

，（12

1

8. 已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点

P 且与抛物线c 相切的直线记为l ．

（1）求F 的坐标；

（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？ 解：（1）抛物线方程为y a

x 12=

故焦点F 的坐标为)41,0(a

（2）设2

0000 ),(ax y y x P =则

2 ,2'0ax k P ax y =∴=）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在

直线l 的方程是)(2 0020x x ax ax y -=-

0 2 200=-ax y x ax －即

. 411441)1()2(410 2

022

202

0a

x a a

ax ax a

d ≥

+=

-+--

=

∴

)0,0( 0 0的坐标是此时时上式取“＝”当且仅当P x = .L F 0,0)(P 的距离最小到切线处时，焦点在当∴

9. 设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．

证明:因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02

p F ?

? ??

?

，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为

2

p x my =+，代人抛物线方程得

2220y pmy p --=．

若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以

212y y p =-．

因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2

p x =-上，所以点C 的坐标为2,2

p y ??-

??

?

， 故直线CO 的斜率为21112.2

y y p k p y x =

==-

即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．

10.椭圆12

2

22=+b y a x 上有一点M （-4，59）在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线

的焦点也是椭圆焦点.

（1）求椭圆方程；

（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

解：（1）∵12

222=+b y a x 上的点M 在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8……① ∵M （-4，5

9）在椭圆上

∴12581162

2=+b

a

……②

∵222c b a +=……③

∴由①②③解得：a=5、b=3

∴椭圆为19

252

2=+y x

由p=8得抛物线为x y 162= 设椭圆焦点为F （4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

=5

41

)059

()44(22=-+--，即为所求的最小值. 参考例题：

1、已知抛物线C 的一个焦点为F （2

1，0），对应于这个焦点的准线方程为x =-2

1.

（1）写出抛物线C 的方程；

（2）过F 点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，O 点为坐标原点，求△AOB 重心G 的轨迹方程；

（3）点P 是抛物线C 上的动点，过点P 作圆（x -3）2+y 2=2的切线，切点分别是M ，N .当P 点在何处时，|MN |的值最小？求出|MN |的最小值.

解：（1）抛物线方程为：y 2=2x . （4分） （2）①当直线不垂直于x 轴时，设方程为y =k (x -2

1)，代入y 2=2x ，

得：k 2x 2-(k 2+2)x +

04

2

=k . 设A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=222

k

k +，y 1+y 2=k (x 1+x 2-1)=k 2.

设△AOB 的重心为G （x ，y ）则???

???

?=++=+=++=k y y y k k x x x 323032

30212

221，

消去k 得y 2=9

23

2-x 为所求， （6分）

②当直线垂直于x 轴时，A （2

1，1），B （2

1，-1）， （8分）

△AOB 的重心G （3

1，0）也满足上述方程.

综合①②得，所求的轨迹方程为y 2=9

23

2-x ， （9分）

（3）设已知圆的圆心为Q （3，0），半径r =2

，

根据圆的性质有：|MN |=22

222||2

122||||2|

|||||PQ PQ r PQ r

PQ MQ MP -

?=-=. （11分）

当|PQ |2最小时，|MN |取最小值， 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则y 2

=2x 0.

|PQ |2=（x 0-3）2+ y 20

= x 20

-4x 0+9=(x 0-2)2+5，

∴当x 0=2，y 0=±2时，|PQ |2取最小值5，

高二数学教案：抛物线教案人教版

人教版抛物线教案 一．教学目的： １．掌握抛物线的概念． ２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点： １．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程： 引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。） 如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线． 结合课件，让学生推导抛物线的标准方程． 取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，则焦点Ｆ的坐标为F(2 p ,0),准线L 的方程为:ｘ＝－ 2 p ． 设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝． ∵MF ＝2 2y p x +??? ?? - ， ｄ＝2 p x +， ∴2 2y p x +??? ?? - ＝2 p x + 将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2 =2px(ｐ＞０) 让学生自己总结，写出抛物线标准方程的其他几种形式．教师总结如下表：

最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象. 接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础. 例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: ⑴ｘ２＝２ｙ： ⑵ｙ２－６ｘ＝０： 例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．

2019-2020年高中数学 第二章《抛物线》教案 新人教A版选修2-1

2019-2020年高中数学第二章《抛物线》教案新人教A版选修2-1 一教学设想 12． 3 1抛物线及标准方程 （1）教具的准备 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线. 通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义． （2）抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案 方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作 MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简后得：y2=2px-p2(p＞0)． 方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板) 以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简得：y2=2px+p2(p＞0)． 方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．) 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

(教案)高中数学抛物线-高考经典例题

1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK == 。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22 =的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02，p ， ②准线方程是：2 p x - =。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02 p PF x =+ ， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2 =其中 5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<0时开口向左 x 2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<0时开口向下 抛物线的定义： 例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． C N M 1 Q M 2 K F P o M 1 Q M 2 K F P o y x

抛物线教案(中职数学)

抛物线的标准方程 一、教学目标 (一)知识教育点 使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程． (二)能力训练点 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力． (三)学科渗透点 通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育． 二、教材分析 1．重点：抛物线的定义和标准方程． 2．难点：抛物线的标准方程的推导． 三、活动设计 提问、回顾、实验、讲解、板演、归纳表格． 四、教学过程 (一)导出课题 我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”． 首先，利用篮球和排球的运动轨迹给出抛物线的实际意义，再利用太阳灶和抛物线型的桥说明抛物线的实际用途。 (二)抛物线的定义 1．简单实验（利用多媒体演示） 如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的

一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结． 2．定义 这样，可以把抛物线的定义概括成： 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． (三)抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后分析小结建立坐标系的方案。 最优方案： 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

沪教版高中数学高二下册 -12.7 抛物线的标准方程 教案

教学题目：抛物线的标准方程 教学目标： 1. 能力与技能： （1）掌握抛物线的定义，理解抛物线的发生过程 （2）掌握抛物线的四种标准方程、图像、焦点、准线之间的关系 （3）会用待定系数法确定抛物线标准方程。 2. 过程与方法： （1） 有实际问题引入要研究的课题，发展学生的实践能力，通过实验使学生 发现抛物线的形成过程。 （2） 求抛物线的焦点坐标和准线方程中贯彻数形结合的思想。 （3） 掌握待定系数法在方程中的应用。 3. 情感与价值观： 让学生学会细心观察周围的事物，数学来源于生活，又为生活服务。 教学过程： 一.引入：探照灯、汽车前灯、卫星天线、激光 望远镜都是利用抛物线原理制成的，因此在生活当 中，抛物线是一个用途非常广泛的曲线。下面简单 介绍抛物线的光学反射原理，引起学生的兴趣。从 而引出课题：抛物线的标准方程。 二.新课： 1. 抛物线的定义：先从一个有趣的实验说起，仔细讲解实验的过程，让学生从实验的过程中发现抛物线的特点，从中学生可以自己总结出抛物线的定义：平面上与一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛物线的准线。同时强调抛物线定义也是抛物线的性质即：是抛物线上的点就满足到焦点距离等于到准线的距离。 2. 抛物线标准方程的推导： 求一般曲线的方程（一般步骤）：1.建系2.设点3列式4.化简 建立抛物线的坐标系（由学生讨论）过点F 做准线L 的垂线，垂足为K 。以直线KF 为x 轴，线段KF 的中垂线为y 轴建立直角坐标系。 设︱KF ︱= p,则焦点F 的坐标是(2p ,0),准线l 的方程为2 p x -=

《抛物线及其标准方程》教学设计

《抛物线及其标准方程》教学设计 教材：普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版） 选修2-1 一第二章第四节 课题：抛物线及其标准方程 课时：第一课时 一、背景分析 1 课标的要求 （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 （2）经历从具体情境中抽象出椭圆，抛物线模型的过程，掌握椭 圆，抛物线的定义、标准方程及简单性质。 （3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的有关性质，体会数形结 合的思想。 （4）了解圆锥曲线的简单应用。 2本节课在圆锥曲线中的地位： 圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。而抛物线在圆锥曲线中地位仅次于椭圆而高于双曲 线，抛物线在初中以二次函数的形式初步探讨过，本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主 要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是可以接受的，它是高考的重要考察内容，要引起师生足够的重视。 3、学习任务分析 （1）、通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。 （2）、坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。 通过几何画板动态演示建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐 标系的重要性。 （3）、由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。 （4）、放手让学生类似地推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。让学生根据课件展示的图形填充表格、对比异同。

（5）、p的几何意义：它指抛物线焦点到准线的距离，因此p>0。在抛物线宀, *=一2即中，负号只管抛物线的开口方向，与p无关。 （6）、由于学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难，教学中应根据 图形培养学生运用三种语言的能力。借助图形使原本较为陌生的定义变得容易理解和便于记忆。 4、学生情况分析 在经过高一的学习和训练后，大多同学有较扎实的数学基本功和较好的理解力，有一定的自主学习能力，但在数学思想方法的形成上尚有不足，针对我所带班级学生的学习情况和数学 素养，我把本节内容借助powerpoint、几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生 对抛物线有一个较为深刻的认识。 二、教学目标设计 根据课程标准和考试大纲的要求、教材的具体内容和学生认知心理，我确定本堂课的教学目 标如下： 1知识与能力 ①让学生理解抛物线的概念及与椭圆、双曲线第二定义的联系。 ②让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。 2、技能与方法 ①培养建立适当坐标系的能力。 ②培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。 3、情感态度与价值观 ①培养学生的探索精神。 ②渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。 4教学重点和难点 根据以上所说的教材的地位、作用、内容与学生情况，我确定教材重点、难点如下： （1）、教学重点： ①选择适当坐标系探求抛物线的标准方程。 ②标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。 (2)、教学难点：

【原创】精品《抛物线及其标准方程》教学设计 柯燕萍

问题延伸探究方程 图形标准方 程 焦点坐 标 准线方 程 22 y px = ,0 2 p ?? ? ??2 p x=- 【思考】：二次函数2(0) y ax a =≠的图像为什么是抛物线？它的焦点坐标和准线方程是什么？ 实战演练巩固知识【例1】 1、抛物线y2 = 2px (p＞0)上一点M到焦点的距离是 a (a > 2 p ) ,则点M到准线的距离是( ),点 M的横坐标是( ). 2、抛物线y2 = x 的焦点为F,A( , )是抛物 线上一点，│AF│= ，则等于( ). 【例2】 【课堂练习】 设计意图： 通过练习 巩固对学 生对新知 识的记忆 和理解。 例题注意 层层深入， 检验学生 对新课知 识的掌握 程度。

回归实际 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束 呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反 射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m， 深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程 和焦点坐标。 设计意图： 实际生活 问题转化 为数学问 题，要建立 适当的坐 标系. 让学生体 会数学来 源于生活 又应用于 生活。 课堂小结从知识和方法两个方面进行 1、知识方面：抛物线的定义与标准方程 标准方程的四种形式的对比 2、方法方面：转化思想，数形结合． 引导学生 对所学的 知识进行 小结． 作业布置课后练习： 1、课本P67 练习1~3 2、《课时作业》P71 作业是学生信 息的反馈，教 师可以在作业 中发现和弥补 教学中的不 足． 八、板书设计： 课题：抛物线及其标准方程 幻灯片投影一、定义 二、标准方程的 四种形式 三、例题讲解 例1，例2、强化提高 四、课堂小结（课件示） 五、作业

吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学人教A版选修1-1课时教案：2.3.1抛物线及标准方程

（1）教具的准备 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线. 通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义． （2）抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案 方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作 MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简后得：y2=2px-p2(p＞0)． 方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板) 以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简得：y2=2px+p2(p＞0)． 方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．) 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

高中数学抛物线及标准方程教案教学设计

课题：抛物线及其标准方程 教材内容和地位：本节内容是在初中以二次函数图象的形式初步探讨过，现在是在学习了椭圆、双曲线的基础上又一种圆锥曲线，它是以圆锥曲线统一定义（即第二定义）进行展开学习的。本章对抛物线的安排篇幅不多，但与椭圆、双曲线的地位是一样的。利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和选学内容“三种圆锥曲线的统一极坐标”打下基础，本节起到一个承上启下的作用。 教学目标 （1）知识目标：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。 （2）能力目标：通过对抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。 （3）德育目标：通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。 教学重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线； （2）利用坐标法求出抛物线的四种标准方程； （3）会根据抛物线的焦点坐标，准线方程求抛物线的标准方程。 教学难点：（1）抛物线的四种图形及标准方程的区分； （2）抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。 教学方法：启发引导法（通过椭圆与双曲线第二定义引出抛物线）。 依据建构主义教学原理，通过类比、归纳把新知识化归到原有的认知 结构中去（二次函数与抛物线方程的对比，移图与建立适当建立坐标 系的方法的归纳）。 利用多媒体教学 教学过程： 一、课题引入 利用学生已有知识提问学生:1、椭圆的第二种定义：到定点与到定直线的距离的比是小于1的常数的点的轨迹是椭圆。（用课件演示） 2、双曲线的第二种定义：到定点与到定直线的距离的比是大于1的常数 的点的轨迹是双曲线。（用课件演示） 由此引出：到定点的距离和到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹是什么？

2.4.1抛物线及其标准方程教案(人教版 选修2-1)

2.4.1 抛物线及其标准方程 一、三维目标 （一）知识与技能 （1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （二）过程与方法 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。 （三）情感态度与价值观 进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。 二、教学重点 抛物线的定义及标准方程 三、教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 四、教学过程 1.课题引入 在初中，我们学习了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象（展示两个函数图象）： 师：……那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。 （板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程） 2.抛物线的定义 P 64 信息技术应用（课堂中几何画板演示画图过程） 先看一个实验： 如图：点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH l ⊥，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M 。拖动点H ，观察点M 的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论） 可以发现，点M 随着H 运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，即点M 与定点F 和定直线l 的距离相等。

2019-2020学年高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质教学案 新人教版选修1-1.doc

2019-2020学年高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质教学案 新人 教版选修1-1 （一）学习目标： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . （二）学习重点：抛物线的几何性质及其运用 （三）学习难点：抛物线几何性质的运用 （四）学习过程： 一、复习引入：（回顾并填表格） 1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做 . 定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 . 2．抛物线的标准方程： 相同点： 不同点： 二、讲解新课： 类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022 >=p px y 为例来研究一下抛物线的简单 几何性质： 1．范围

2．对称性 3．顶点 4．离心率 对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表） 思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别） 三、例题讲解： 例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

例2斜率为1的直线经过抛物线y 2 =4x 的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，求线段AB 的长. （思考用不同方法求解） 变式训练：过抛物线2 4y x =的焦点F 作直线，交抛物 线于11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点，若126y y +=，求PQ 。 点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长： 四、达标练习： 1．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果 621=+x x ，那么||AB =（ ） （A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知M 为抛物线x y 42 =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则 ||||MF MP +的最小值为（ ）

抛物线教案

抛物线及其标准方程教案 一、学习目标： 1、知识目标：理解并掌握抛物线的定义及抛物线标准方程。 2、能力目标：通过演示，学生动手操作等手段，培养学生观察、抽象比较、归纳等能力。 3、情感目标：在和谐的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流与合作，拉近学生之间、师生之间的情感距离，给学生以成功的体验，以形成学生积极主动的学习态度 二、学习重点、难点： 1、重点：抛物线的定义及其标准方程. 2、难点：抛物线标准方程的建系，推导。 三、探究过程： （一）探究1：同学们在哪里见过抛物线？可以举出哪些生活中存在抛物线的例子？ 引导学生举出生活中的抛物线的例子，并展示幻灯片。 探究2：二次函数的一般形式是怎样的？它的图象有什么特征？ 学生结合初中所学知识，说出二次函数图像的特征。由幻灯片中的图片增加学生的感性认识。由上面的探究过程得出抛物线的定义。 定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。 学生理解定义，并在几何画板中演示画抛物线，促进学生理解定义。 （二）抛物线标准方程 由定义引导学生思考：如何求抛物线的标准方程。提示学生结合椭圆和双曲线标准方程的确立求抛物线的标准方程。 注意引导学生如何建立坐标系，随着坐标系的不同，标准方程也不相同。 建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线L，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合。（图见课本） 设｜KF｜＝p(p>0) 那么焦点F的坐标为(p/2、0)，准线方程x= - p/2. 注意：p的意义：焦点到准线的距离。 设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到L的距离为d。由抛物线的定义，抛物线就是集合P＝{M|MF|=d}。转化出关于x ．y的等式化简得抛物线的方程 y2=2px(p>0) ① 方程①叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（(p/2、0）,它的准线方程是x= - p/2. 引导学生思考其他的建系方式，得出其他形式的标准方程，并完成课本表格。 由表格中知识引导学生归纳其中的相同点与不同点。 相同点：（1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴;（3）顶点到焦点的距离等于顶 点到准线的距离。 不同点：（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴; (2)一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向. （三）例题分析：例题分析过程中以学生为主，充分发挥学生的积极性，让学生去探究，说出最后的思路，教师引导得出正确的结果。 例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。 对应练习：

沪教版高中数学高二下册第十二章抛物线的性质-尝试探究有关抛物线的焦点弦问题 教案

尝试探究有关抛物线的焦点弦问题 设计理念 美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾讲过一个“冰山理论”：他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得让读者自己去体会揣摩。小说的表象后面包藏了极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这些材料。 这段话从一定程度上反映了开展探究性教学的可能和意义所在。事实上，现行教材中存在很多可选的探究性学习课题，只要我们在教学过程中，善于探究，积极引导，其探究性课题还是比较丰富，并确实有探究的价值。 探究性学习课题 一道习题的引申 探究性学习目标 通过推理、发现、猜测、概括、探究等双边活动过程，来启迪学生思维，调动学生兴趣，激发学习热情，树立创新意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 探究性学习方法 学生主动探究与教师启发引导相结合。 探究性学习问题预测 重点：抛物线的焦点弦问题的知识联想。 难点：习题的证明结论引发的几何意义。 疑点：更多结论的发现。 情感目标 培养学生锲而不舍的个性品质。 体验数学中的对称美、和谐美、统一美都是客观世界美的特征在数学中的反映。 探究性学习双边活动过程 问题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为

y 1、y 2.求证：y 1y 2= －p 2 证明： 222y px p y k x ?=????=- ????? ()k o ≠ ? 2220p y y p k --= （1） 或22 222(2)04k p k x p k x ??-++= ??? （2） ? 212y y p =- 以上是同学遇到的一道习题。请同学判断以上的过程是否正确。 忽视了k 这个变数的讨论 当k 不存在时：222 y px p x ?=??=?? ? 22y p = ? y p =或y p =- ? 212y y p =- 思考1：在证明这个结论的同时，还能得到什么新结论？ 可得：()21221222p k x x k p y y k ++= += 2 124 p x x =； 甚至还可得到： 2121234x x y y p +=-； 2121254 x x y y p -=； 412124 p x x y y =-； 121214x x y y =- 设问1 以上的部分结论能否以一个命题形式给出？ 成果1：过抛物线y 2 =2px 的焦点的一条直线与此抛物线相交，两交点的横、纵坐标之积， 以及它们的和、差、积、商均为定值。 启迪 数形结合是一种重要的数学思想方法。它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适 当的几何图形，通常是将数量关系转化为线段图。能否就结论212y y p =-得出其几何意义？ 思考2：结论212y y p =-有何几何意义？ 成果2：焦点到准线的距离是焦点弦在准线上的射影被焦点在准线上的射影所分的两线段的

教案高中数学抛物线高考经典例题

(教案)高中数学抛物线-高考经典例题

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1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK == 。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、 准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样 的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22 =的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02，p ， ②准线方程是：2 p x - =。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02 p PF x =+ ， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2 =其中 5一般情况归纳： 方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<0时开口向左 x 2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<0时开口向下 抛物线的定义： 例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义． 答案：y 2 =－16x 例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2 =4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的 长． C N M 1 Q M 2 K F P o M 1 Q M 2 K F P o y x

完整word版,高中数学抛物线教案

抛物线的几何性质教案 一、要点归纳 1.抛物线的概念 平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 2.标准方程 22(0)y px p => 22(0) y px p =-> 22(0) x py p => 22(0) x py p =-> 图形 焦点坐标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准线方程 2 p x =- 2p x = 2p y =- 2 p y = 范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e = 1e = 1e = 1e = 焦半径 02 x p PF += 02 x p PF -= 02 y p PF += 02 y p PF -= 焦点弦公式 ) (21x x p AB ++= ) (21x x p AB +-= ) (21y y p AB ++= ) (21y y p AB +-= 3.12124．焦点弦：过抛物线2 2y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ， 则(1)||AF =x 1+2 p ，（定义） (2)12x x =42p ，12y y =－p 2 ．（韦达定理） (3) 弦长)(21x x p AB ++=,p x x x x =≥+21212,即当x 1=x 2时,弦长最短为2p ，此时弦即为通径。 (4) 若AB 的倾斜角为θ，则AB = θ 2 sin 2p （焦点弦公式与韦达定理） 5. 直线与抛物线相交所得弦长公式2 121221 ||1|1|AB k x x y y k =+-=+- 6.点P(x 0,y 0)和抛物线2 2y px =(0)p >的位置关系 (1)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >内?y 2 0<2px 0 o F x y l o x y F l x y o F l

[2020高中数学]人教A版选修1-1教案：2.3.2抛物线的几何性质(1)(含答案)

§2.3.2 抛物线的几何性质（１） 【学情分析】： 由于学生具备了曲线与方程的部分知识,掌握了研究解析几何的基本方法,因而利用已有椭圆与双曲线的知识,引导学生独立发现、归纳知识,指导学生在实践和创新意识上下工夫,训练基本技能. 【教学目标】： （1）知识与技能： 熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质. （2）过程与方法： 重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考. （3）情感、态度与价值观： 培养严谨务实,实事求是的个性品质和数学交流合作能力,以及勇于探索,勇于创新的求知意识,激发学生学习数学的兴趣与热情. 【教学重点】： 熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质. 【教学难点】： 熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质及其应用. 【课前准备】： Powerpoint或投影片

三、例题讲解 例 1 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点A （4,23）,求这条抛物线的准线方程. 解：⑴若抛物线开口向右, 设抛物线的标准方程为22(0) y px p => ∵()2 2324 p =g ∴ 3 2 p= ∴抛物线的标准方程为 3 4 x=- ⑵若抛物线开口向上, 设抛物线的标准方程为22(0) x py p => ∵24223 p =g ∴ 43 3 p= ∴抛物线的标准方程为 23 3 y=- 例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口 所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处.已知灯 口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜的顶点距离是 多少？ 让学生运用抛物 线的几何性质,写出符 合条件的抛物线的准 线方程. 三、例题讲解 分析：依标准方程特点和几何性质建系,由待定系数法求解,强 调方程的完备性. 解：如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反 光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合,轴垂直于灯口 直径． 抛物线的标准方程为22(0) y px p =>,由已知条件可得点 的坐标是（40,30）且在抛物线上,代入方程得： 2 30240 p =g, 25 4 p= 所以所求抛物线的标准方程为2 45 2 y=,焦点坐标是 运用抛物线的几 何性质解决现实生活 中的问题,提高学生学 习数学的兴趣和综合 解题能力.

高中数学复习教案：抛物线

第七节 抛物线 [考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用． 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点坐标 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F ? ?? ??p 2，0 F ? ?? ?? －p 2，0 F ? ? ? ??0，p 2 F ? ? ? ??0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 [常用结论] 与抛物线有关的结论 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0,y 0)到焦点F ? ???? p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2,也称为抛物线的焦 半径．

(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为? ???? a 4，0,准线方程为x ＝－a 4. (3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦, 若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则①x 1x 2＝p 2 4,y 1y 2＝－p 2. ②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切． ④通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p ,通径是过焦点最短的弦． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线． ( ) (2)方程y ＝ax 2 (a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是? ?? ?? a 4，0,准线方 程是x ＝－a 4. ( ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形． ( ) (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．抛物线y ＝1 4x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2 A [∵y ＝1 4x 2,∴x 2＝4y ,∴准线方程为y ＝－1.] 3．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.7 8 D ．0 B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离,又准线方程为y ＝－116,设M (x ,y ),则y ＋1 16＝1,∴y ＝15 16.] 4．(教材改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6

抛物线教学设计

抛物线及其标准方程 教学目标： 1. 经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程； 2. 掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程； 3. 进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用； 4. 感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美. 教学重点: 1. 掌握抛物线的定义与相关概念； 2. 掌握抛物线的标准方程； 教学难点: 从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义. 一、课堂导入 课前 同学们，上课。先问大家一个问题，之前我们在哪里接触过抛物线？二次函数，二次函数的图像是抛物线, 我们还研究过抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等问题。物理上平抛运动中物体的轨迹，在生活当中也是处处可以见到抛物线的。投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；我们阳信幸福河桥的桥拱的形状是抛物线；卫星天线也是根据抛物线的原理制造的. 可见我们研究抛物线是非常有用的。这节课我们就进一步学习抛物线, 学习《抛物线及其标准方程》板书。 二、抛物线的定义 类比椭圆和双曲线，抛物线也应该是点的集合，我们知道，椭圆上的点到两个定点的距离和是一个常数，双曲线上的点到两个定点的距离差的绝对值是一个常数，那

么抛物线上的点又有什么特征呢？ 1. 抛物线的画法 接下来我在电脑上画一条抛物线，请同学们仔细观察作图的过程，思考抛 物线上的点有什么特点？ 点F是定点，L是不经过点F的定直线，H是L上任意一点，过点H作MH 垂直于L,线段FH的垂直平分线m交MHT点M拖动点H,同学们，你们想想，谁会跟着动呢，但是定点和定直线是固定不动的。仔细观察，这样我就画出了一条抛物线。同学们，再观察一遍，同时思考两个问题 1. 谁的运动轨迹就是这条抛物线？ 2. 在运动的过程中，抛物线上的点始终有什么特点，为什么 M不管动到哪里，都有MH=MF为什么，M始终在HF的垂直平分线上，MH 是什么距离，MF是什么距离，所以说，抛物线上的点M到定点F和定直线L的距离相等。 2. 抛物线的定义 问题1:你能模仿椭圆和双曲线给抛物线下个定义吗？ 抛物线的定义：平面内与一个定点厂和一条定直线■' （■'不过十）的距离相等的点的集合叫作抛物线? 3. 抛物线的相关概念： 定点F：抛物线的焦点.定直线'：抛物线的准线.

2020高中数学 第二章 圆锥曲线 抛物线第二课时教案 北师大版选修1-1

抛物线的简单性质 教学目的： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 抛物线的几何性质： 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 ()022>=p px y x y O F l ()0,0 x 轴 ??? ??0,2p 2 p x -= 1=e ()022>-=p px y x y O F l ()0,0 x 轴 ??? ??-0,2p 2p x = 1=e ()022>=p py x ()0,0 y 轴 ??? ??2,0p 2 p y -= 1=e ()022>-=p py x ()0,0 y 轴 ??? ??-2,0p 2p y = 1=e

注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线 二、讲解新课： 1.抛物线的焦半径及其应用： 定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式： 抛物线)0(22>=p px y ，002 2x p p x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=- = 抛物线)0(22>=p py x ，002 2y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=- = 2．直线与抛物线： （1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y 当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0≠k ，设b kx y l +=: 将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到 关于x 的二次方程02=++c bx ax （*） 若0>?，相交；0=?，相切；0