1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
教学目标
1. 通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出命题的否定形式；
2. 使学生能够正确写出全称量词命题与存在量词命题的否定并能够判断真假；
3. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象概括能力；
4. 培养学生的辨析能力以及培养他们良好的思维品质，树立辩证唯物主义观。
教学重难点
重点：了解命题否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式；
难点：得到命题的否定。
涉及的核心素养
数学抽象、逻辑推理。
教学过程
【情境引入】
“否定”是我们日常生活中经常使用的词语。2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思。
设计意图
这里通过《人民日报》的文章设置了情境。教学时可以强调其中的“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要”，以此引导学生树立科学的世界观，树立正确的是非判断标准，培养学生敢于否定的精神，强化学生创新意识。这一情景的主要目的是引出了否定的概念，并由此联想到本届要研究的命题的否定。教学中可以让学生谈他们自己的对“否定”的认识。
【数学引入】
你能说出命题s：“3的相反数是3-”和t：“3的相反数不是3-”这两个命题之间的关系吗？他们的真假性如何？
可以发现，命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，而且s是真命题，t 是假命题。
一、命题的否定
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p
?”，读作“非p”或“p 的否定”。
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之，一个命题是假命题，那么这个命题的否定就是真命题。
=3就是一个假命题。
3
设计意图：
尝试与发现中的两个命题，教学中可以先让学生判断是否为命题，然后再判断真假，最后考虑两个命题的关系。可以让学生举出类似的例子，从而引出命题的否定。也可以换成更为简单的命题，比如“0是自然数”“0不是自然数”，只要这两个命题所表达的意思是完全相反的即可。
这两个命题在设计时还有一个目的就是复习“相反数”的概念。
给出命题的否定之后，也可以指出，对一个命题进行否定，实际上就得到了一个新的命题。因为这两个命题中，必有一个为真，一个为假，所以我们在判断命题的真假时，可以转化成判断这个命题的否定的真假，从而得到原来命题的真假。
教学过程中，我们可以和学生一起总结，如何得到命题的否定。
“非”命题最常见的几个正面词语的否定：
二、全称量词命题与存在量词命题
【数学引入】
下面我们来讨论如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定。
若记s：“存在整数是自然数”，则不难看出，这个命题的否定是s?:“不存在整数是自然数”。这里的命题s实际上是个存在量词命题，而且可以用符号表示为
?∈∈；
s x Z x N
:,
而命题s?,不仅可以表述为“不存在整数是自然数”还可以表述为“没有整数是自然数”
即“每一个整数都不是自然数”，因此s?是一个全称量词命题，可以用符号表示为??∈?.
:,
s x Z x N
显然，这里的s是一个真命题，而s?是一个假命题。
若记r：“存在实数的平方小于0”，则不难看出，这个命题的否定是r?:“不存在实数的平方小于0”。这里的命题r也是一个存在量词命题，而且可以用符号表示
2
?∈<
r x R x
:,0
而命题r?可以表述为“每一个实数的平方都不小于0”，因此r?是一个全称量词命题，可以用符号表示为
2
??∈≥.
:,0
r x R x
显然，这里的r是一个真命题，而r?是一个假命题。
设计意图
量词命题的否定讲解时，从容易判断真假的命题开始，降低难度，讲完这些例子之后，可以在举些例题，把问题交由学生，让学生自己归纳总结得出相应结论，这样的结果孩子们印象深刻，培养学生勇于思考，善于思考的习惯。
【概念形成】
一般地，存在量词命题“,()
?∈”的否定是全称量词命题
x M p x
而且若一个命题是真命题，则它的否定是假命题；若一个命题是假命题，则它的否定是真命题。
若记s：“每一个有理数都是实数”，则不难看出，这个命题的否定是s?：“不是每一个有理数都是实数”。这里的命题s实际上是一个全称量词命题，而且可以用符号表示为?∈∈
:,;
s x Q x R
而命题s?可以表述为“存在一个有理数不是实数”。因此s?是一个存在量词命题，可以用符号表示为
??∈?.
s x Q x R
:,
显然，这里的s是一个真命题，而s?是一个假命题。
命题r：“每一个素数都是奇数”，
若用A表示所有素数组成的集合，B表示所有奇数组成的集合，则命题r的符号表示为
:,r x A x B ?∈∈ 假命题
命题r ?:“不是每一个素数都是奇数”，“有的素数不是奇数”
命题r ?的符号表示为：
:,r x A x B ??∈? 真命题
一般地，全称量词命题“,()x M q x ?∈”的否定是存在量词命题
设计意图：
都从容易判断真假的命题进行讲解，对比着存在量词命题的否定得到一个一般性的结论。让学生体会类比的学习方法。
【知识应用】
例1 写出下列命题的否定，并判断所的命题的真假： （1）p ：2,1x R x ?∈≥-；
（2）q ：1{1,2,3,4,5},x x x
?∈<； （3）s ：至少有一个直角三角形不是等腰三角形。
解 （1）2:,1p x R x ??∈<-,由p 是真命题可知p ?是假命题。
（2）1:{1,2,3,4,5},q x x x
??∈≥.将集合中的元素逐个验证，当1x =时不等式成立，因此q ?是真命题。
（3）s ?：所有直角三角形都是等腰三角形，因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以s ?是假命题。
设计意图
学生会根据前面的归纳总结，依据命题与命题的否定真假相异进行判断命题真假。 例题2：写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假。
（1）:p a R ?∈，一次函数y x a =+的图像经过原点；
（2）2:(3,),9q x x ?∈-+∞>
解：（1）:p a R ??∈，一次函数y x a =+的图像不经过原点。因为当0a =时，一次函数y x a =+
的图像经过原点，所以p ?是假命题。
（2）2:(3,),9q x x ??∈-+∞≤，因为0x =时，209x =<,所以q ?是真命题。
设计意图：
两道例题事项让学生关注符号语言与文字语言的转化，利于训练学生精炼的表述数学对象、准确的把握数学对象的能力，利于培养学生的数学抽象素养；
判断命题的真假，既可以直接判断命题p 的真假，也可以通过命题p 的否定p ?的真假来判断，可以考虑用哪个命题的真假判断更容易，培养学生灵活的应用所学知识解决问题的能力。
【总结】
本节课主要的知识点：
1. 量词的否定
2. 存在量词命题的否定及其真假的判断
3. 全称量词命题的否定及其真假的判断
【作业】
1. 练习A ：练习B