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《火线100天》2015中考数学专题复习_数学思想方法

数学思想方法

数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路.因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常用的解题方法与技巧，从而为夺取中考高分搭起灵感和智慧的平台.

初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等.由于我们前面各种思想方法均有渗透，故本专题只是侧重如下几个思想方法予以强化.

类型之一整体思想

例1 (2014·内江)已知1

=3，则代数式

254

436

a a

b b

ab a b

的值为 .

【思路点拨】要求分式的值，必须要知道分式中所有字母的取值，从条件看无法解决；观察分式的结构发现分子与分母都是m(a+2b)+n(ab)的形式，所以从条件中找出(a+2b)与ab之间的关系，即可解决问题.

【解答】∵1

=3，

∴

a b

=3，即a+2b=6ab.

∴254

436

a a

b b

ab a b

225

324

a b ab

-++

（）

125

184

ab ab

方法归纳：整体思想就是在解决问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.

1.(2014·安徽)已知x2-2x-3=0，则2x2-4x的值为( )

A.-6

B.6

C.-2或6

D.-2或30

2.(2014·乐山)若a=2,a-2b=3,则2a2-4ab的值为 .

3.(2014·宿迁)已知实数a，b满足ab=3，a-b=2，则a2b-ab2的值是 .

4.( 2014·菏泽)已知x2-4x+1＝0，求

()

的值.

类型之二分类思想

例2 (2013·襄阳)在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是 .

【思路点拨】从图中看有两个直角，这两个直角都有可能是原直角三角形的直角,分两种情况将原图补充完整，即可求出原直角三角形的斜边长.

【解答】如图1，以点B为直角顶点，BD为斜边上的中线，在Rt△ABD中，可得BD.

∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是

如图2，以点A为直角顶点，AC为斜边上的中线，在Rt△ABC中，可得AC＝

∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是

故填

方法归纳：在几何问题中，当图形的形状不完整时，需要根据图形的已知边角及图形特征进行分类画出图形，特别注意涉及等腰三角形与直角三角形的边和角的分类讨论.

1.(2014·凉山)已知⊙O的直径CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8 cm，则AC的长为()

或或

2.(2014·凉山)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 .

3.已知点D与点A(8，0)，B(0，6)，C(3，-3)是一平行四边形的顶点，则D点的坐标为 .

4.(2014·株洲调研)已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 .

5.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM=MB=2 cm ，QM=4 cm.

动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，请写出t 可取的一切值 (单位：秒).

6.(2013·呼和浩特)在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(-6，0)，点C 是y 轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C 的坐标为 .

7.(2014·襄阳)在□ABCD 中，BC 边上的高为4，AB=5，□ABCD 的周长等于 .

类型之三转化思想

例3 (2014·滨州)如图，点C 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点D 在⊙O 上，AD=CD,∠ADC=120°.

(1)求证：CD 是⊙O 的切线；

(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积.

【思路点拨】(1)因为D 点在圆上，连接OD ，证明OD 与CD 垂直即可；

(2)连接OD ，将图中不规则的阴影部分面积转化为三角形与扇形的面积之差. 【解答】(1)证明：连接OD.

∵AD=CD ，∠ADC=120°，∴∠A=∠C=30°. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=30°， ∴∠ODC=120°-30°=90°， ∴OD ⊥CD.

又∵点D 在⊙O 上,∴CD 是⊙O 的切线. (2)∵∠ODC=90°,OD=2，∠C=30°，

∴OC=4，

∴S △COD =

12OD ·CD=1

×2× S 扇形OCB =2602360

π??=2

3π，

∴S 阴影=S △OCD -S 扇形OCB 2

π.

方法归纳：化归意识是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化为“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法，其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决的问题，以便利用已有的结论来解决问题.

1.(2014·泰安)如图，半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.(

2π-1)cm 2 B.(2π+1)cm 2 C.1 cm 2 D. 2

π cm 2

2.(2013·潍坊)对于实数x,我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3,[-2.5]=-

3.若[

x +]=5，则x 的取值可以是( ) A.40 B.45 C.51 D.56

3.(2014·菏泽调考)将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线段记成a b

c d

，

定义

a b c d =ad-bc ，上述记号就叫做二阶行列式，若11x x +- 11

x -+=8，则x= . 4.(2014·白银)如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 .

5.(2014·凉山)如图，圆柱形容器高为18 cm ，底面周长为24 cm ，在杯内壁离杯底 4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为 cm.

6.(2014·枣庄)图1所示的正方体木块棱长为6 cm ，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图2的几何体，一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B

的最短距离为 cm.

类型之四数形结合思想

例4 (2014·黄州模拟)如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1 cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系的图形如图2(曲

线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD＝BE＝5 cm；②当0＜t≤5时，y= 2

t2；③

直线NH的解析式为y＝-5

t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t＝

秒.其中正确的结论

个数为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

【解答】①根据图2可得，当点P到达点E时点Q到达点C，BC=BE，故①小题正确；

②当0＜t≤5时，设y=at2,将t=5,y=10代入求得a=2

，故②小题正确；

③根据题意可得N(7，10)，H(11，0)，利用待定系数法可以求出一次函数解析式y＝-5

，

故③小题错误；

④∵∠A=90°,而点P在运动过程中，∠BPQ≠90°，∠PBQ≠90°，∴△ABE与△QBP相似，Q点在C点处，P点运动到CD边上，∠PQB=90°.此时分△ABE∽△QBP和△ABE∽△QPB两种

情况，当△ABE∽△QBP时，则AB

可知QP=

，可得t=

，符合题意；当△ABE∽

△QPB时，AB

，可知QP=

>4，不符合题意，应舍去.故④小题正确.

因此答案选B.

方法归纳：数形结合主要有两种：①由数思形，数形结合，用形解决数的问题；②由形思数，数形结合，用数解决形的问题.

1.(2014·菏泽)如图，Rt△ABC中，AC＝BC=2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长为x，

△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )

2.(2014·内江)若关于x的方程m(x+h)2+k＝0(m、h、k均为常数，m≠0)的解是x1＝-3，x2＝2，则方程m(x+h-3)2+k＝0的解为( )

A.x1＝-6，x2＝-1

B.x1＝0，x2＝5

C.x1＝-3，x2＝5

D.x1＝-6，x2＝2

3.小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛,小文步行一段时间后,小亮骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行.他们的路差s(米)与小文出发时间t(分)之间的函数关系如图所示.下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480.其中正确的是( )

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④

4.(2014·黄石调考)如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为a，b(a>b)，则a-b等于( )

A.7

B.6

C.5

D.4

5.(2014·枣庄)如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )

A.a 2

+4 B.2a 2

+4a C.3a 2

-4a-4

D.4a 2

-a-2

类型之五方程、函数思想

例5 (2014·泰安调考)将半径为4 cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是 cm.

【思路点拨】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的侧面积为S ，建立S 与r 之间的函数关系式，利用函数的性质确定S 取最大值时r 的值.

【解答】∵将半径为4 cm 的半圆围成一个圆锥，

∴圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，高为设圆柱底面圆的半径为r,高为h ，侧面积为S ，根据题意，得

2r =，∴h=.

∴S=2πr （）（r-1）2

∴当r=1时， S 取最大值为.

方法归纳：在问题中涉及“最大值”或“最小值”时，一般要运用函数思想去解决问题，解决这里问题的关键是建立两个变量之间的函数关系.

1.(2014·安徽)如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( ) A.

53 B.5

C.4

D.5

2.(2014·武汉)如图，若双曲线y=k

与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D

两点，且OC=3BD，则实数k的值为 .

3.(2014·广州)若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 .

4.(2014·鄂州)如图，正方形ABCD边长为1，当M、N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△AMN的面积的最小值为 .

参考答案

类型之一整体思想

1.B

2.12

3.6

4.原式=

()()()

()

2146

x x x x

x x

---+

424

x x

∵x2-4x+1＝0，∴x2-4x=-1.

∴原式=

424

x x

124

=-23.

类型之二分类思想

1.C

2.5

3.(5,9)或(11，-9)或(-5,3)

4.(3，4)或(2，4)或(8，4)

5.t=2或3≤t≤7或t=8

6.(0，12)或(0，-12)

提示：当点C在y轴的上方时，如图，作BD⊥AC于D,与y轴交于点E.

∵∠BCA=45°，

∴∠CBD=∠BCA=45°,∴BD=CD.

∵∠CDE=∠ADB=90°,∠CED=∠BEO, ∴∠ECD=∠ABD,∴△CED≌△BAD, ∴EC=AB=10.

设OE=x，∵∠COA=∠BOE=90°,

∴△BEO∽△CAO,

∴

，x=2或x=-12(舍去)，

∴OC=OE+CE=2+10=12，∴点C(0,12).

当点C在y轴的下方时，同理可求得点C(0,-12).

故答案为(0，12)或(0，-12).

7.12或20

提示：如图1所示.

∵在□ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，

∴，AB=CD=5，=3，∴AD=BC=5，

∴□ABCD的周长等于20.

如图2所示.

∵在□ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，

∴EC=AC2-AE2=2，AB=CD=5，BE=AB2-AE2=3，

∴BC=3-2=1，

∴□ABCD的周长等于1+1+5+5=12.

则□ABCD的周长等于12或20.

故答案为：12或20.

类型之三转化思想1.A 2.C 3.2 4.12 5.20

6.(

提示：如图所示.

△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形，

在Rt △BCD 中，cm ），

∴BE=

，

在Rt △ACE 中，cm ），

∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为(

故答案为：(类型之四数形结合思想

1.A

2.B

3.B

4.A

5.C

类型之五方程、函数思想

1.C

提示：设BN=x,则依据折叠原理可得DN=AN=9-x.又D 为BC 的中点，∴BD=3.在Rt △NBD 中，

利用勾股定理，可得BN 2+BD 2=DN 2，则有32+x 2=(9-x)2

，解得x=4,即BN=4.故选择C.

提示：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，

设OC=3x ，则BD=x ，

在Rt △OCE 中，∠COE=60°，

则OE=

32x ，，则点C 坐标为(32x ，

在Rt △BDF 中，BD=x ，∠DBF=60°，则BF=

12x ，x ，

则点D 的坐标为(5-

12x ，

将点C 的坐标代入反比例函数解析式可得x 2

，

将点D 的坐标代入反比例函数解析式可得k=

2x-4

x 2

，

x 22

，解得x 1=1，x 2=0(舍去)，

故×12. 3.

提示：由根与系数的关系得到：

x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=m 2

+3m-2，原式化简=3m 2

-3m+2=3（m-12）2+54

. ∵方程有实数根，∴Δ≥0，m ≤23. 当m=

12时，3m 2

-3m+2的最小值为54

提示：延长MB 至G 使GB=DN ，连接AG.

∴△ADN ≌△ABG.

∵CN+CM+MN=2，CN+CM+DN+BM=2, ∴MN=MG.∴△AMN ≌△AMG.

要使△AMN 的面积的最小，即△AGM 的面积最小. ∵AB=1，所以MG 最小，即MN 最小.

在Rt △CMN 中，周长一定，当△CMN 为等腰直角三角形时，

斜边MN 最小.设CM=x ，则，

∴∴

∴△AMN

2015年广东省广州市中考数学试卷及解析

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2015年广东省中考数学真题卷(含答案)

2015年广东省初中毕业考试试题【精品】数学一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 2 -=（） A. 2 B. 2 - C. 1 2 D. 1 2 - 2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000 用科学记数法表示为（） A. 6 1.357310 ? B. 7 1.357310 ? C. 8 1.357310 ? D. 9 1.357310 ? 3. 一组数据2,6,5,2,4，则这组数据的中位数是（） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如题4图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（） A. 75° B. 55° C.40° D.35° 5. 下列所述的图形中，既是中心对称图形，有时轴对称图形的是（） A. 矩形 B.平行四边形 C. 正五边形 D. 正三角形 6. ()2 4x -=（） A. 2 8x - B. 2 8x C. 2 16x - D. 2 16x 7. 在0，2，()03-，5-这四个数中，最大的数是（） A. 0 B. 2 C. ()03- D. 5- 8. 若关于x的方程29 0 4 x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（） A. 2 a≥ B. 2 a≤ C. 2 a> D. 2 a< 9. 如图9题，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框 ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10.如题10图，已知正△ABC的边长为2，E,F,G分别是AB,BC,CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图像大致是（）

2015年中考数学复习培优第2讲

2015年中考数学复习培优第二讲：二次函数性质及应用 ★考点一：二次函数的有关概念二次函数的概念：一般地，我们把形如c bx ax y ++=2（其中c b a ，，是常数，0≠a ）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。x 称为自变量，y 称为因变量。 ★考点二：二次函数的基本性质 1、二次函数的图像：抛物线。 2、二次函数的常见的几种表达式 ①、一般式：c bx ax y ++=2 ②、顶点式：()k h x a y +-=2 （a b h 2-=，a b a c k 442-=） ③、交点式：12()()y a x x x x =-- 3、抛物线的三要素：开口方向（与a 有关系）、对称轴（与a 、b 有关系）、顶点()k h ,。 4、二次函数的基本性质 5、二次函数c bx ax y ++=2 与()k h x a y +-=2 之间的转化

6、二次函数的平移 7、二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 正负的判定 a ：看开口方向 0>a 开口向上；0c 于y 轴交于正半轴； 00时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；