湖南衡阳市八中2017高三下学期高考适应性考试数学(理)试题含答案
湖南衡阳市八中2017高三下学期 高考适应考试数学（理）试题
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量120分钟，满分150分。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位,复数z 满足z i=-1,则z 2017
= ( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
2．已知集合2
{280},A x x x =+-?{15}B x x =<<，U=R,则()U C A B ?( )
A.(-4,1]
B.[-4,1)
C.(-2,1]
D.[-2,1)
3．点A 为抛物线22(0)x py p =>上一点,则A 到其焦点F 的距离为 ( )
A.
3
2
12
C. 2 1
4．设m,n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( ) A.若α⊥β,m ?α,n ?β,则m ⊥n B.若m ⊥α,m ∥n,n ∥β,则α⊥β C.若m ⊥n,m ?α,n ?β,则α⊥β D.若α∥β,m ?α,n ?β,则m ∥n 5．执行如图所示的程序框图.若输出的结果为3,则可输入的实数x 的个数 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
6．在区间[0，p ]上随机地取一个数x ，则事件“sinx ≤1
2”发生的概率 为( )A.
34
B.
23
C.
12
D.1
3
7．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题:1p :数列{}n a 是递增数列; 2p :数列
n a 的前n 项和{}n S 是递增数列; 3p :数列{}n a
n
是递增数列; 4p :数列{}n a nd +是递增数
列. 其中的真命题为 ( )
A. 1p ，2p
B. 3p ,4p
C. 2p ,3p
D. 1p ,4p
8．已知函数()3,0
{1,0
x sinx x f x x x -<=+≥，则下列结论正确的是（ ）
A.()f x 有极值点
B.()f x 有唯一零点
C.()f x 在R 上是增函数
D.()f x 是奇函数
9．设12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一
点P ，使22()0OP OF F P +=
（O 为坐标原点）
，且12PF ，则双曲线的离心率为
（ ）11 10．已知函数()()()x
f x e
x b b R =-∈，若存在1,22x ??
∈?
???
，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是（ ）A. 8,3??-∞ ??? B. 5,6??-∞ ??
? C. 35,26??- ??? D. 8,3??+∞ ???
11．在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足2,OA OB OC === ()AC AB
OA AC
AB
-
()0
BC BA
OB BC BA
=-=
，动点P ，M 满足21,,AP PM MC BM == 则的最大值是（ ）. A. 434
B. 494
C.374
D. 372
12．设函数122016(),()log ,(1,2,2016)2016
i i
f x x f x x a i ===
= ，记213220162015()()()()()()k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-+- ,1,2,k =则( )
A. 12I I >
B.12I I =
C. 12I I <
D.12I I 与的大小关系无法确定
第Ⅱ卷
本卷包括必做题与选做题两部分，第13～21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。
13．在6(12)x -的展开式中，4x 的系数为____________.(用数字作答)。
14．如图，在△ABC 中，sin
23
ABC D=
AB=2，点D 在线段AC 上，且
AD=2DC ，，则cos C =________. 15．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ^底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为，则球O 的表面积为__________．
16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ^，1AD DC ==，
3AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动， 设(,)AP AD AB R a b a b =+?
，则a b +的取值范围是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．规定：点(,)P x y 按向量),(b a =平移后的点为(,)Q x a y b ++.若函数x x g 2
1
sin
)(=的图像按向量(),2m k p j j =< 且平移后的图像对应的函数是)6
21sin()(π
+=x x f +1.
(Ⅰ) 试求向量的坐标；
（Ⅱ）在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知(2)2cos()1f A B C ++=,①求角A 的大小；② 若6=a ，求b c +的取值范围.
18．习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与。某市顺潮流、乘东风，闻迅而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场。为了了解游客的情况，以便制定相应的策略。在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，
画出茎叶图如下：
（Ⅰ）若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求x,y 的值； （Ⅱ）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据。今从这段时期中任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ,求概率P （ξ≤2）；
（Ⅲ）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望。
19．如图多面体ABCD 中,面ABCD 为正方形,棱长
5
=DE ,二面角E —AD —C 的余弦值为5
5， 且EF//BD 。（Ⅰ）证明：面ABCD ⊥面EDC ；
（Ⅱ）若直线AF 与平面ABCD 所成角的正弦值为3
2，求平面AEF 和平面EDC 所成锐角的余弦值。
20．如图，点A 与点A ￠在x 轴上，且关于y 轴对称，
过点A ￠垂直于x 轴的直线与抛物线22y x =交于两点B,C ， 点D 为线段AB 上的动点，点E 在线段AC 上，满足AB
AD CA
CE =.
(Ⅰ) 求证：直线DE 与此抛物线有且只有一个公共点；
(Ⅱ) 设直线DE 与此抛物线的公共点F,记BCF ?与ADE ?的面积分别为
12,S S ,求
2
1
S S 的值。 21．已知函数2()2ln (1)()f x x x a x a a R =++--?，当1x 3时，()0f x 3恒成立。
(Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若正实数1212,()x x x x 1
满足12()()0f x f x +=，证明：122x x +>。
请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做则按所做的第一个题计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22．选修4-4：坐标系与参数方程:
在平面直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为(12
x t y t ì
?=-?í?=??为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos (0)a a r q =>，且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）设,A B 为曲线C 上的两点，且3
AOB p
?，求OA OB +的最大值.
23． 选修4-5：不等式选讲
已知()f x x a =+，()3g x x x =--，记关于x 的不等式()()f x g x <的解集为M ． （Ⅰ）若3a M -?，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若[1,1]M -?，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1、已知i为虚数单位,复数z满足z i=-1,则z2017= ( C )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
2、已知集合A=,B=,U=R,则 (A∪B)
= ( A )
A.(-4,1]
B.[-4,1)
C.(-2,1]
D.[-2,1)
3、点A(,1)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,则A到其焦点F的距离为 ( A )
A. B.+ C. 2 D.+1
4.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( B )
A.若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n
B.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
C.若m⊥n,m?α,n?β,则α⊥β
D.若α∥β,m?α,n?β,则m∥n
5.执行如图所示的程序框图.若输出的结果为3,则可输入的实数x的个数
为 ( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
6.在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sinx≤”发生的概率为( D )
A. B. C. D.
7.下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列;p 2:数列{a n }的前n 项和S n 是递增数列;p 3:数列是递增数列;p 4:数列{a n +nd}是递增数列.
其中的真命题为 ( D )
A.p 1,p 2
B.p 3,p 4
C.p 2,p 3
D.p 1,p 4 8．已知函数()3,0
{
1,0
x sinx x f x x x -<=+≥，则下列结论正确的是（ C ）
A. ()f x 有极值点
B. ()f x 有唯一零点
C. ()f x 在R 上是增函数
D. ()f x 是奇函数
9．设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使
（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 （ D ）
A. B. C. D.
10．已知函数()()()x
f x e
x b b R =-∈，若存在1,22x ??
∈?
???，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是（ A ）A. 8,3?
?-∞ ??
?
B. 5,6??-∞ ??
?
C. 35,26??-
??? D. 8,3??
+∞ ???
11.在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足2,OA OB OC ===
()AC AB OA AC AB
- ()0BC BA OB BC BA
=-= ，动点P ，M 满足21,,AP PM MC BM == 则的最大值是（ B ）
A.
434 B. 494
12.设函数f 1(x)=x,f 2(x)=log 2016x,a i =
(i=1,2,…,2016),记
I k =|f k (a 2)-f k (a 1)|+|f k (a 3)-f k (a 2)|+…+|f k (a 2016)-f k (a 2015)|,k=1,2,则 ( C )
A. I 1>I 2
B.I 1=I 2
C. I 1
D.I 1与I 2的大小关系无法确定 【解析】选C.依题意知,f 1(a i+1)-f 1(a i )=a i+1-a i =
-=
,
因此I 1=|f 1(a 2)-f 1(a 1)|+|f 1(a 3)-f 1(a 2)|+…+|f 1(a 2016)-f 1(a 2015)|=.
因为f 2(a i+1)-f 2(a i )=log 2016a i+1-log 2016a i =log 2016-log 2016>0,
所以I 2=|f 2(a 2)-f 2(a 1)|+|f 2(a 3)-f 2(a 2)|+…+|f 2(a 2016)-f 2(a 2015)| =
+(log 2016
-log 2016
)+…+
=log 2016-log 2016=1,因此I 1
13．在6(12)x -的展开式中，4x 的系数为___240_________.(用数字作答)。
14.如图，在△ABC 中，sin 23ABC D=AB=2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，BD=3
，则cos C =____
7
9
____.
【解析】由条件得cos ∠ABC=，sin ∠ABC=.
在△ABC 中，设BC=a ，AC=3b ， 则9b 2
=a 2
+4-a. ① 因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB=-cos ∠CDB ， 所以
=-，
所以3b 2-a 2
=-6， ②
联合①②解得a=3，b=1，所以AC=3，BC=3. 在△ABC 中，cosC==
=.
15．已知四面体的每个顶点都在球的表面上，
，
，
底面
，
为
的重心，且直线与底面
所成角的正切值为，则球的表面积为
__________．
【解析】试题分析：在等腰中，
，，取
的中点
，连接
，
重心
为
的三等分点，
，
，由于底面
，直线
与底面所成角的正切值为，所以，，在等腰中，
，，所以的外接圆直径
，，设的外接圆圆心为，四面体的球心为，
在中，，球的表面积为
，故答案为.
16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，动点P 在以点C 为圆心，且
与直线BD 相切的圆内运动，设AP ＝αAD ＋βAB
(α，β∈R)，则α＋β的取值范围
是___? ??
??1，53_____．
解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则
AP ＝(x ，y )＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，故有3β＝x ，y ＝α，因此z ＝β＋α＝x 3
＋
y ，又由题意圆C 的圆心坐标为(1,1)，且直线BD 的方程为x ＋3y －3＝0，则圆心到直线的
距离即为半径R ＝
1010，因此圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2
＝110，当直线z ＝x 3
＋y 与圆相切时，可得z ＝1或z ＝53，又因点P 在圆的内部，故z ＝β＋α＝x 3＋y 的取值范围是? ????1，53. 17、规定：点P(x,y)按向量),(b a n =平移后的点为Q(x+a,y+b).若函数x x g 2
1
sin
)(=的图像按向量(),2m k p j j =< 且平移后的图像对应的函数是)6
21sin()(π
+=x x f +1.
(1) 试求向量的坐标；
（2）在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知f(2A)+2cos(B+C)=1,
① 求角A 的大小； ② 若6=a ，求b c +的取值范围.
【答案】（1）)1,3
(π
-
= ; (2) ①3
π
A =
； ②(6,12] (注：三小问各4分)
另外：最后一小题也可用“余弦定理结合基本不等式”求解。
18．习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与。某市顺潮流、乘东风，闻迅而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场。为了了解游客的情况，以便制定相应的策略。在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：
5 5 5
8 6
（1） 若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求x,y 的值； （2） 若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据。今从这段时期中
任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ,求概率P （ξ≤2）；
（3） 现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中
游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望。
解析：（1）X=3, y=4 ;
（2）由题意知：因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为5
3106=， 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 故
随机
变
量ξ服从
二项
分
布，则P （ξ≤2）
=62532852535253531532
2
243
144
4
=?
?
? ????? ??+??? ????? ??+??? ??-??? ??C C C （3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天。所以在景点甲中被选出的概率为
101，在景点乙中被选出的概率为10
4
。 由题意知：η的所有可能的取值为0,1,2。
则P （η=0）=5027106109=? P （η=1）=50
21
104109106101=?+? P （η=2）=50
2104101=? 所以得分布列为：
Е（η）=02
1251250150=?+?+? 19.如图多面体ABCD 中,面ABCD 为正方形,棱长AB=2,AE=3,5=DE ,二面角E —AD —C 的
余弦值为
5
5
，且EF//BD 。
（1）证明：面ABCD ⊥面EDC ；
（2）若直线AF 与平面ABCD 所成角的正弦值为3
2
，求二面角AF —E —DC 的余弦值。
解：（1）∵AB=2,AE=3,5=DE ∴2
2
2
AE DE AD =+
DE AD ⊥∴
又ABCD 为正方形，DC AD ⊥∴， 从而AD ⊥平面EDC ，
于是面ABCD ⊥面EDC 。………4分 （2）由（1）知AD ⊥DE ，AD ⊥DC ，
∴∠ EDC 是二面角E —AD —C 的平面角。
作EO ⊥DC 交DC 于O ，则1cos =∠=EDO DE AO ， 且EO ⊥面ABCD 。取AB 中点M ，则OM ⊥DC 。………6分
以O 为坐标原点，OE OC OM ,,方向为z y x ,,轴正方向建立直角坐标系O —xyz 。 于是，E （0，0，2），D （0，—1，0），B （2，1，0），A （2，—1，0）； 得)0,2,2(=，)2,1,2(-=，)0,2,2(λλλ==；
)2,12,22(+-=+=∴λλEF AE AF ，又面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(=k
，设直线AF
与平面ABCD 所成角为θ，则
3
24
)12()22(2
|,|22=
+++-=
><=λλθk Cos Sin
得0=λ（舍去）或2
1
=
λ，………9分 )0,1,1(),2,2,1(=-=∴，
设面AEF 的法向量为),,(z y x n =
，则
??
?
??-=-=????=+=++-??????=?=?y z y x y x z y x n AF n 23002200
取)3,2,2(,2--=∴=n y
；又面EDC 的一个法向量为)0,0,1(=i
17
172||||,-
=?>=<∴i n i n i n Cos
………11分
又二面角AF —E —DC 为锐角,所以其余弦值为
17
17
2………12分 20.如图，点A 与点A′在x 轴上，且关于y 轴对称，过点A′垂直于x 轴的直线与抛物线
y 2
=2x 交于两点B,C ，点D 为线段AB 上的动点，点E 在线段AC 上，满足
AB
AD CA
CE =
.
⑴求证：直线DE 与此抛物线有且只有一个公共点；
⑵设直线DE 与此抛物线的公共点F,记BCF ?与ADE ?的面积分别为S 1、S 2,求2
1
S S 的值。
21.已知函数f (x )=2ln x +x 2
+(a -1)x -a ,(a ∈R )，当x ≥1时，f (x )≥0恒成立。 ⑴求实数a 的取值范围；
⑵若正实数x 1、x 2(x 1≠x 2)满足f (x 1)+ f (x 2)=0，证明：x 1+x 2>2。
解答：)1(22
)('-++=
a x x
x f ⑴当3-≥a 时，03)1(22
)('≥+≥-++=a a x x
x f ，0)1(=f 。
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