2021届高考数学人教B版一轮复习单元检测八 解析几何(提升卷B)
单元检测八 解析几何(提升卷B)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点P (－2，m )，Q (m,6)的直线的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4
2．已知A (1,4)，B (－3,2)，直线l ：ax ＋y ＋2＝0，若直线l 过线段AB 的中点，则a 等于( ) A ．－5B ．5C ．－4D ．4
3．点P (2，－1)为圆(x －3)2＋y 2＝25中弦的中点，则该弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0
D ．x －y ＋1＝0
4．(2020·大连模拟)已知双曲线C 1：x 28－y 24＝1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双
曲线C 1相同，则双曲线C 2的离心率为( ) A.2B.5－1C ．23－1D. 3
5．已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为( )
A ．6π
B ．36π
C ．7π
D ．49π
6．(2020·江西省南昌市第二中学月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、
右焦点，P 是椭圆T 上任意一点，过F 2作△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1与e 2满足的关系是( ) A.1e 1＋1e 2＝2 B.1e 1－1e 2＝2 C ．e 1＋e 2＝2
D ．e 2－e 1＝2
8．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x
－2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →
，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )
A.????0，12
B.????12，1
C.????0，22
D.???
?2
2，1 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则下列命题正确的是( ) A ．?k ∈R ，l 与C 相交 B ．?k ∈R ，l 与C 相切 C ．?r >0，l 与C 相交
D ．?r >0，l 与C 相切
10．(2020·四川省绵阳市绵阳南山中学月考)下列四个说法中，错误的是( ) A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线，都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示
B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线P 1P 2，都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝ (x －x 1)(y 2－y 1)来表示
C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程都可以用x a ＋y
b ＝1来表示
D ．经过点(0，b )的直线，都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示
11．(2020·福建厦门一中月考)已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，若圆锥曲线E 以A ，B 为焦点，并经过顶点C ，则该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.2－1B.
2
2
C.2
D.2＋1 12．(2020·福建厦门一中月考)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中成立的是( )
A.1|AB |＋1|CD |＝12p
B ．若|AF |·|BF |＝43p 2，则k ＝3
3
C.OA →·OB →＝OC →·OD →
D ．四边形ACBD 面积的最小值为16p 2
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 14．(2020·湖北黄石期末)直线x ＋y ＋1＝0被圆C ：x 2＋y 2＝2所截得的弦长为________；由直线x ＋y ＋3＝0上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
15．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点距离之积为m ，则当m 取最大值时，P 点坐标为________．
16．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，两不同点P ，Q 在椭圆C 上，
且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a ＋a b ＋1
2mn ＋ln|m |＋ln|n |取最小
值时，椭圆C 的离心率为________．
四、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)(2020·湖北荆门期末)已知过点P (0，－2)的圆M 的圆心(a,0)在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线x ＋y －2＝0所得弦长为2 2. (1)求圆M 的标准方程；
(2)若过点Q (0,1)且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若△P AB 的面积为372，求直线l
的方程．
18.(12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
19．(13分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →
，求直线AB 的方程．
20.(13分)(2019·湖北省荆门市龙泉中学月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的长轴长为6，且
椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点P (0,1)作斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案精析
1．B 2.B 3.B 4.D 5.A
6．B [延长F 2Q 与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .
因为PQ 是△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线， 且PQ ⊥F 2M ，
所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |， 且Q 为线段F 2M 的中点． 又O 为线段F 1F 2的中点， 由三角形的中位线定理，得 |OQ |＝12|F 1M |＝1
2(|PF 1|＋|PF 2|)．
由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
所以|OQ |＝a ，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2， 所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆．] 7．B [由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c ，
所以1e 1－1e 2＝4c
2c
＝2，故选B.]
8．C [直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →
， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，
∴圆C 2的圆心(2,1)为A ，B 两点的中点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则???
x 21a 2＋y 21b 2
＝1，x 22a 2
＋y
22b 2
＝1，
两式相减得，
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
b 2
，
化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈????
12，1， 所以e ＝
1－b 2a 2∈???
?0，2
2.] 9．AC [∵直线l ：y ＝k (x －1)经过定点(1,0)， 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为(1,0)，半径为r ， ∴直线l 经过圆C 的圆心，∴?k ∈R ，l 与C 相交， ∴?r >0，l 与C 相交，∴AC 正确．]
10．ACD [A 中，过定点P 0(x 0，y 0)的直线斜率不存在时，方程不成立，故A 错误； B 中，对于任意不同点确定的直线都适合，B 正确；
C 中，根据截距概念知a ，b 可以为0，此时不能用x a ＋y
b ＝1来表示，故C 错误；
D 中，当过点(0，b )的直线斜率不存在时，不能用方程y ＝kx ＋b 来表示，故D 错误．] 11．ABD [(1)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心率e ＝2c 2a ＝|AB ||CA |＋|CB |＝2
2，
当C ＝π4时，离心率e ＝|AB ||CA |＋|CB |＝1
2＋1＝2－1；
(2)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得， 只有C ＝π4
，
此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB ||CA |－|CB ||＝1
2－1＝2＋1.]
12．AC [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 的方程为y ＝k ???
?x －p 2，
由?
????
y ＝k ????x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14
k 2p 2＝0，
则???
??
x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2
，
x 1x 2
＝14p 2
，
所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝p (k 2＋2)k 2＋p ＝2p (k 2＋1)
k 2
，
同理可得|CD |＝2p ????1k 2＋11k 2
＝2p (1＋k 2)，
则有1|AB |＋1|CD |＝12p ，所以A 正确；
OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝14p 2＋k 2????x 1－p 2????x 2－p 2 ＝1
4
p 2＋k 2????x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋14p 2 ＝14p 2＋12k 2p 2－p 2(k 2
＋2)2＝－34
p 2，与k 无关， 同理OC →·OD →＝－34
p 2，故OA →·OB →＝OC →·OD →，C 正确；
若|AF |·|BF |＝43p 2，由????x 1＋p 2????x 2＋p 2＝x 1x 2＋p 2·(x 1＋x 2)＋14p 2，得12p 2＋p 2(k 2
＋2)2k 2＝p 2＋p 2k 2＝43
p 2，
解得k ＝3，故B 错误；
因为AB ⊥CD ，所以四边形ABCD 的面积
S 四边形ACBD ＝12|AB ||CD |＝12·2p (k 2
＋1)k 2·2p (1＋k 2)＝2p 2(k 2＋1)2k 2
＝2p 2????k 2＋1k 2＋2≥8p 2，当且仅当k 2＝1
k
2，
即k ＝1时，等号成立，故D 错误．] 13．2
解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.
14.6
102
解析 圆C ：x 2＋y 2＝2的圆心C (0,0)，半径r ＝2， 设圆心C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ， 则d ＝
12＝22
， 弦长为2
r 2－d 2＝2
2－??
?
?222
＝ 6. 设M 为直线x ＋y ＋3＝0上一点， 过点M 向圆C 引切线切圆C 于点N ， 则有CN ⊥MN ， ∴|MN |＝
|CM |2－r 2＝
|CM |2－2，
故|CM |取最小值时，切线长最小， 此时CM 垂直于直线x ＋y ＋3＝0，
即|CM |的最小值为圆心C 到直线x ＋y ＋3＝0的距离32
， 所以|MN |最小值为
102
. 15．(0,3)和(0，－3)
解析 由标准方程可知两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)， 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤?
??
??|PF 1|＋|PF 2|22
＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，即P 点为短轴端点． 故当m 取最大值时，P 点坐标为P (0,3)或(0，－3)． 16.
2
2
解析 设P (x 0，y 0)，则x 20
a 2＋y 2
0b 2＝1，所以mn ＝b 2a
2，
从而2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |＝2b a ＋a b ＋a 22b 2＋ln b 2
a 2，
设b 2a 2＝x ，令f (x )＝1
2x
＋ln x (0 则f ′(x )＝2x －12x 2，所以当0 2时，f (x )单调递减， 当1 2 b ≥22， 当且仅当2b a ＝a b ，即b 2a 2＝1 2时取等号，取等号的条件一致， 此时 e 2＝1－ b 2a 2＝12，所以e ＝2 2 . 17．解 (1)设圆M 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ≥0)， 则圆心M 到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|a －2| 2 ， 由题意得?? ? a ≥0， a 2 ＋4＝r 2， ? ???? |a －2|22 ＋2＝r 2 ， 解得a ＝0，r 2＝4， ∴圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则圆心M 到直线l 的距离为 1 k 2＋1 ， ∴|AB |＝2 4－1 k 2＋1 ＝24k 2＋3 k 2＋1 ， 又点P (0，－2)到直线l 的距离为d ＝ 3k 2＋1， ∴S △P AB ＝12|AB |d ＝1 2×2 4k 2＋3k 2＋1 × 3k 2＋1 ＝37 2 ， 解得k 2＝1，∴k ＝±1， 则直线l 的方程为±x －y ＋1＝0. 18．解 (1)由????? y ＝x ＋b ，x 2＝4y ， 得x 2－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1， 故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2. 将其代入x 2＝4y ，得y ＝1. 故A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切， 所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 19．解 (1)椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1的长轴长为4， 离心率为e 1＝c 1a 1＝3 2 ， ∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率， ∴椭圆C 2的焦点在y 轴上，2b 2＝4，e 2＝c 2a 2＝3 2， ∴b 2＝2，a 2＝4， ∴椭圆C 2的方程为y 216＋x 2 4 ＝1. (2)设A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， ∵OB →＝2OA → ，∴O ，A ，B 三点共线， 当斜率不存在时，OB →＝2OA → 不成立， ∴点A ，B 不在y 轴上， 当斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ， 将y ＝kx 代入x 24＋y 2 ＝1，消元可得(1＋4k 2)x 2＝4， ∴x 2A ＝41＋4k 2 ， 将y ＝kx 代入y 216＋x 2 4＝1，消元可得(4＋k 2)x 2＝16， ∴x 2B ＝164＋k 2 ， ∵OB →＝2OA →，∴x 2B ＝4x 2A ， ∴ 164＋k 2＝16 1＋4k 2 ，解得k ＝±1， ∴直线AB 的方程为y ＝±x . 20．解 (1)由题意可得2a ＝6， 所以a ＝3. 由椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103， 恰为圆M 的直径， 可得椭圆C 经过点???? 2，±2103， 所以49＋40 9b 2＝1， 解得b 2＝8. 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2 8 ＝1. (2)直线l 的解析式为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 的中点为E (x 0，y 0)． 假设存在点D (m,0)，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB . 由????? y ＝kx ＋1，x 29＋y 28＝1 得，(8＋9k 2)x 2＋18kx －63＝0， Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝－18k 8＋9k 2， 所以x 0＝－9k 8＋9k 2，y 0＝kx 0 ＋1＝8 8＋9k 2. 因为DE ⊥AB ，所以k DE ＝－1 k ， 即 8 8＋9k 2 －0－9k 8＋9k 2 －m ＝－1k ， 所以m ＝－k 8＋9k 2＝－1 9k ＋8 k . 当k >0时，9k ＋8 k ≥29×8＝122， 所以－ 2 24 ≤m <0. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为? ?? ?－ 224，0. 快乐分享，知识无界！感谢您的下载! 由Ruize收集整理！