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斯托克斯公式只适用

1934年凡尔塞国际土壤物理学代表会议规定，斯托克斯公式只适用于直径为0.2-0.002mm 的颗粒。当颗粒直径过大时，其沉降速度超过公式所允许的速度，则颗粒在液体中沉降时会产生素流现象，而不是等速运动。如颗粒直径过小，则胶体颗粒遇水后成为悬浮物质，由于水分子的作用力而相互撞击，永不停止，产生布朗运动，从而改变了原颗粒在液体中沉降的特性，故不能正确地量测其下沉速度。

第七节斯托克斯公式环流量与旋度

第七节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 一、斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 二、空间曲线积分与路径无关的条件三、三元函数的全微分求积四、环流量与旋度★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 五、斯托克斯公式的向量形式，向量微分算子内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ? ???-????∑.?++=L Rdz Qdy Pdx (7.1) 公式(7.1)称为斯托克斯公式. 为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式： ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 .c o s c o s c o s ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx dS R Q P z y x γβα 二、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ++= 则沿场A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分?++=ΓC Rdz Qdy Pdx 称为向量场A 沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数 ? ?? ?????-????-????-??y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot ，即

§3 高斯公式与斯托克斯公式答案

§3 高斯公式与斯托克斯公式 1.应用高斯公式计算下列曲面积分; (1),S yzdydz zxdzdx xydxdy ++??ò其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧; (2)222,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是立方体0,,x y z a ≤≤表面的外侧; (3)222,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是锥面222x y z +=与平面z h =所围空间区域(0z h ≤≤)的表面,方向取外侧; (4)333,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧; (5),S xdydz ydzdx zdxdy ++??ò其中S 是上半球面z =.

3.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分: (1)222222()()(),L y z dx x z dy x y dz +++++??其中L 为1x y z ++=与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧; (2)23,L x y dx dy zdz ++??其中L 为221,y z x y +==所交的椭圆的正向; (3)()()(),L z y dx x z dy y x dz -+-+-??其中L 为以(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B a C a 为顶点的三角形沿ABCA 的. 4.求下列全微分的原函数: (1);yzdx xzdy xydz ++

(2)222(2)(2)(2).x yz dx y xz dy z xy dz -+-+- 5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值: (1)(2,3,4)23(1,1,1);xdx y dy z dz -+-? (2)222 111(,,)(,,) x y z x y z ?其中()()111222,,,,x y z x y z 在球面2222x y z a ++=上.

高斯公式和斯托克斯公式

1、利用高斯公式计算曲面积分 1）求()22222 234I x dydz y dxdz z x y dxdy ∑ = ++-?? ，其中∑ 为z =与2z =围成的立体的表面，取外侧。解：利用高斯公式可得 ()246I x y z dxdydz Ω =++??? )2224 246x y dxdy x y z dz +≤= ++?? ()(()2 2 22424234x y x y x y +≤??= ++--??? ? ?? ()()22 233 0022cos 4sin 123d r r r r dr π θθθ??=-++-???? 20816cos sin 122433d πθθθπ?? =++= ??? ? 2）利用高斯公式计算曲面积分 ()()2 81214y xdydz y dxdz yzdxdy ∑ ++--??，其中∑是由曲线()130 z y x ?=?≤≤? =?? 绕y 轴旋转一周所成曲面，它的法向量与y 正方向夹角恒大于 2 π 。解：曲面∑为()2 2 113x z y y +=-≤≤，并取左侧。作辅助曲面221:3 2y x z ∑=+≤，并取右侧，利用高斯公式可得 ()()2 81214y xdydz y dxdz yzdxdy ∑ ++--?? ()()()1 2814481214y y y dxdydz y xdydz y dxdz yzdxdy Ω ∑=+---++--????? ())2 2 22223 23 10 2 2 1632232x z x z x z dxdydz dxdz dxdz dz d r r dr ππθπ ++Ω +≤+≤=- -=+=-+??????? ? ?34π= 3）设函数()f u 由一阶连续的导数，计算曲面积分 ()()222232113I f xy dydz f xy dzdx x z y z z dxdy y x ∑ ? ?=-+++ ?? ??? 式中∑时下半球面2 2 2 1(0)x y z z ++=≤的上侧。

第三章——旋转椭球的斯托克斯(Stokes)问题

第三章旋转椭球的斯托克斯（Stokes ）问题地球的大地水准面接近旋转椭球，旋转椭球有两个参数．它的赤道半径和极半径或扁率。选择参数适当的旋转椭球，使得大地水准面相对椭球面起伏的平方在旋转椭球面上的积分最小。这种旋转椭球称为参考椭球。实践表明．当参考椭球的赤道半径取为6378147m 、扁率的倒数取为298.26时，大地水准面相对参考椭球面的起伏的幅度不超过110m ．即起伏的幅度约为参考椭球赤道半径的10-5量级。本章讨论旋转椭球的斯托克斯问题，即讨论如何计算以固定旋转角速度旋转的旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。 3.1 斯托克斯定理斯托克斯定理表述为：假若有一物体以一定的旋转角速度ω绕固定在物体内部的旋转轴O Ω旋转，则此物体的总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面的形状∑，唯一地确定此物体在其表面上和物体的外部空间产生的重力场。这一定理是斯托克斯于1849年导出的。在数学上，根据物体的总质量M 、绕固定轴旋转轴旋转角速度ω和其外重力等位面的形状∑这三个条件，计算此物体在其表面上和外部空间产生的重力场称为求解此物体的斯托克斯问题。现将斯托克斯定理证明如下。如图3.1.1所示，假若总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面形状∑给定的某一物体在其表面上和外部空间产生两个不同的重力位12(),()W W r r ，若能证明12(),()W W r r 在物体的表面上和外部空间恒等，则斯托克斯定理得到了证明。物体的重力位由它的引力位和

离心力位两部分组成；用12(),()V V r r 分别表示重力位12(),()W W r r 中的引力位部分，因为物体在某点的离心力位只决定于物体的旋转角速度和该点在物体上的位置，因而两个重力位 12(),()W W r r 中的离心力位部分相同。用()Q r 表示它们的离心力位，则根据斯托克斯定理的三个条件，有 12,C C 为两个不同的常数，且其中，12,ρρ分别为与12,W W 相对应的物体内部的密度分布。用()T r 表示重力位1()W r 和重力位2()W r 的差，则根据（3.1.1）~（3.1.3）式，有只要能够证明函数()T r 在∑上和它的外部恒等于0，也就证明了斯托克斯定理。为此，引入矢量函数()a r ，令将上式代入下述格林公式

3高斯公式与斯托克斯公式

第二十二章曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297）教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用教学重点：定理22.3, 定理22.4 教学难点：定理22.3,定理22.4 教学方法：讲练结合．教学程序：1．引导 2．定理22.3,定理22.4 3．例题及部分习题练习 4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。一高斯公式格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss ）公式。定理22.3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成。若函数P ， Q ，R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则 ?????++=???? ????+??+??S V Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，（1）其中S 取外侧。（1）式称为高斯公式。证下面只证 .?????=??S V Rdxdy dxdydz z R 读者可类似地证明 .,??????????=??=??S V S V Qdzdx dxdydz y Q Pdydz dxdydz x P 这些结果相加便得到了高斯公式（1）。先设V 是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面 ①若S 为封闭曲面，则曲面积分的积分号用 ?? 表示。 ()()()()xy xy D y x y x z z S D y x y x z z S ∈=∈=,,,:,,,,:1122 及以垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成（图22－6），其中()()y x z y x z ,,21≤。于是按三重积分的计算方法有

斯托克斯公式的使用条件

斯托克斯定理: 斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。斯托克斯粘滞公式: 斯托克斯公式具有广泛的用途．本文就两个具体实例来加以讨论：1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种．公式应用条件：层流液体，无限宽广无限深度，物理下沉速度稳定时较小，雷诺数Re<0.1 中文名称：斯托克斯粘滞公式英文名称：Stokes viscocity formula 定义及摘要：斯托克斯粘滞公式

斯托克斯公式（数学公式）: 斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系. 纳维-斯托克斯方程: 纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。