选修4-4：参数方程教案
第104课时
曲线的参数方程
教学目标
知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.
过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问
题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点：曲线参数方程的概念。
教学难点：曲线参数方程的探求。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：
（一）曲线的参数方程概念的引入 引例：
2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。问：经过t 秒，该游客的位置在何处?
引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决
（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
（1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知：
),0[cos +∞∈?
?=t t
r x ω t 为参数 ①
（2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？
结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ
θ
r y r x θ为参数 ②
（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？
由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。
对于变数t （或θ）的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上； （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数t （或θ）建立起来的方程是圆的方程；）
（4）若要表示一个完整的圆，则t 与θ的最小的取值范围是什么呢？
)2,0[s i n c o s ωπ
ωω∈???==t t r y t r x ， )2,0[s i n
c o s πθθθ∈???==r y r x
（5）圆的参数方程及参数的定义
我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 （6）圆的参数方程的理解与认识
（ⅰ）参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθθ∈???==y x 与]2,0[sin 3cos 3π
θθ
θ∈???==y x 是否表示同
一曲线？为什么？
（ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的参数方程：
①在y 轴左侧的半圆（不包括y 轴上的点）； ②在第四象限的圆弧。
（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。）
（7）曲线的参数方程的定义
（ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标x 、y 都
是某个变数t 的函数)()
()
(D t t g y t f x ∈???== ③，并且对于t 的每一个允许值，由方程
组③所确定的点),(y x P 都在这条曲线C 上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。变数t 叫做参变量或参变数，简称参数。
（ⅱ）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标x 、y 间关系的方程0),(=y x F 叫做曲线的普通方程。
（8）曲线的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程的形式；
（横、纵坐标x 、y 都是变量t 的函数，给出一个t 能唯一的求出对应的x 、y 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标x 、y 之间的关系并不一定是函数关系。）
（ⅱ）参数的取值范围；
（在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表
示的曲线也可能会有所不同。）
（ⅲ）参数方程与普通方程的统一性；
（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x 与y 之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。）
（ⅳ）参数的作用；
（参数作为间接地建立横、纵坐标x 、y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。）
（ⅴ）参数的意义。
（如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。）
（三）巩固曲线的参数方程的概念 例题1：
（1）质点P 开始位于坐标平面内的点)1,3(0P 处，沿某一方向作匀速直线运 动。水平分速度3=x v 厘米/秒，铅锤分速度1=y v 厘米/秒，
（ⅰ）求此质点P 的坐标与时刻t （秒）的关系； （ⅱ）问5秒时质点P 所处的位置。
（2）写出经过定点)1,3(P ，且倾斜角为6
π
的直线l 的参数方程。
问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到什么启示呢？
（第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。）
例题2：已知点),(y x A 在圆C ：422=+y x 上运动，求y x +的最大值。
（通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义。）
（四）课堂小结
1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能选取适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参数的意义。
2、思想与方法：参数思想。
（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。）
（五）作业
课本P26，习题2.1，第1、2题。 （六）思考
（1）若圆的一般方程为222)()(r b y a x =-+-，你能写出它的一个参数方程吗？ （2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为0t ，则经过时间t 该游客的位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建立相对应的参数方程，并得到游客的具体位置呢？
第105课时
圆的参数方程
教学目的：
知识与技能：弄清曲线参数方程的概念
过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：掌握圆的参数方程的推导方法和结论 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：
一、复习圆的标准方程：学生回答
二、圆的参数方程的推导：（标准式和一般式叫普通方程）
1.圆心在原点的圆的参数方程
圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程为
??
?==θθsin cos r y r x (θ为参数)
θ 有意义：旋转角0到2π（x 轴到连心线） 2.圆心不在原点的圆的参数方程 问：怎样得到圆心在
),(1b a O ,半径为r 的圆的参数方程呢?
可将圆心在原点、半径为r 的圆按向量),(b a v =平行移动后得到,所以圆
心在
),(1b a O ,半径为r 的圆的参数方程为
??
?+=+=θθsin cos r b y r a x (θ
为参数)
3.一般曲线参数方程的定义（书P23）
参数方程、参数及其意义、普通方程
参数方程化为普通方程
三、例题：书例2（参数方程的应用） 四、练习：1―3（投影）
补充例.已知A （―1，0）、B （1，0）,P 为圆
4)4()3(22=-+-y x 上的一点,求22PB PA +
的最大值和最小值以及对应P 点的坐标.
解:☉C 的参数方程为?
?
?+=+=θθsin 24cos 23y x (θ为参数),
2
2
PB
PA +=2
222)sin 24()cos 22()sin 24()cos 24(θθθθ+++++++
=
)sin(4060)sin 4cos 3(860?θθθ++=++
其中
54
cos =
?,53sin =?. 当
1)sin(=+?θ时,
2
2PB
PA +有最大值100.
∵1)sin(=+?θ,
0)cos(=+?θ
53sin )sin(cos )cos(])cos[(cos =+++=-+=??θ?????θθ
54sin )cos(cos )sin(])sin[(sin =
+++=-+=??θ??θ??θθ
∴P 点的坐标为(528,
521).
当
1)sin(-=+?θ,2
2PB
PA +有最小值20.
∵1)sin(-=+?θ,0)cos(=+?θ,
22π
π?θ-=+k 53
sin )2
2cos(])cos[(cos -
=-=--
=-+=??π
π??θθk
54cos )2
2sin(])sin[(sin -
=-=--
=-+=??π
π??θθk ,
∴P 点的坐标为(512,
59).
凡是涉及圆上的点旋转和有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三角运算.
五．小结：圆的参数方程和普通方程互化
六、作业：
圆参数方程的应用
教学目标：
知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：会用圆的参数方程求最值。 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 授课类型：复习课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、最值问题
1.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。 （1）求
x y
的最小值与最大值
（2）求x －y 的最大值与最小值
2.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是 ；
2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；
3. 过点(2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的弦：
为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；
4．若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值为 ；
二、参数法求轨迹
1)一动点在圆x 2＋y 2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程 2)已知点A(2,0),P 是x 2+y 2=1上任一点,AOP 的平分线交PA 于Q 点,求Q 点的轨迹.
C.参数法
解题思想：将要求点的坐标x,y 分别用同一个参数来表示
例题：1)点P(m,n)在圆x 2+y 2
=1上运动,
求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程
2)方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0.若该方
程表示一个圆,求m 的取值范围和圆心的轨迹方程。
三、小结：本节学习内容要求掌握 1．用圆的参数方程求最值； 2．用参数法求轨迹方程，消参。 四、作业：
圆锥曲线的参数方程
教学目的：
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆222r y x =+参数方程?
??==θθ
sin cos r y r x （θ为参数）
（2）圆2
2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ 二、讲解新课：
1.椭圆的推导：椭圆122
22=+b y a x 参数方程 ???==θθs i n
c o s b y a x （θ为参数）
2.双曲线的参数方程：双曲线122
22=-b y a x 参数方程 ?
??==θθt a n s e c b y a x （θ为参数）
3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22=参数方程?
??==Pt y Pt
x 222
（t 为参数）
1、关于参数几点说明：
（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 （2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 （3） 在实际问题中要确定参数的取值范围 2、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。
3、参数方程求法
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x （2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 4、关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间t 做参数 与旋转的有关问题选取角θ做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 二、 典型例题：
例1．设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，
（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）
（2）若s m V o /100=，6
π
α=，当炮弹发出2秒时，
① 求炮弹高度 ② 求出炮弹的射程
例2．求椭圆的参数方程（见教材P.40）
椭圆122
22=+b y a x 参数方程 ???==θθs i n
c o s b y a x （θ为参数）
变式训练1. 已知椭圆???==θ
θ
sin 2cos 3y x (θ为参数)
求 （1）6
π
θ=时对应的点P 的坐标
（2）直线OP 的倾斜角
变式训练2 A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA=90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值范围。
例3．把圆0622=-+x y x 化为参数方程
（1） 用圆上任一点过原点的弦和x 轴正半轴夹角θ为参数 （2） 用圆中过原点的弦长t 为参数
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．选择适当的参数表示曲线的方程的方法; 2．体会参数的意义
五、课后作业：教材P34习题2.2
第108课时
圆锥曲线参数方程的应用
教学目的：
知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：选择适当的参数方程求最值。 教学难点：正确使用参数式来求解最值问题 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合 教学过程： 一、复习引入：
通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。 二、讲解新课：
例1．求椭圆的内接矩形面积的最大值
变式训练1
椭圆 122
22=+b
y a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，
使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。
例2．AB 为过椭圆116
252
2=+y x 中心的弦，1F ，2F 为焦点，求△ABF 1面积的最大值。
例3．抛物线x y 42=的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。 例4 、过P （0，1）到双曲线122=-y x 最小距离
变式训练2：
设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F ，2F 为两个焦点，证明
2
21OP P F P F =?
例5，在抛物线ax y 42=)0(>a 的顶点，引两互相垂直的两条弦OA ，OB ，求顶点O 在AB 上射影H 的轨迹方程。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题
五、课后作业：
第109课时
直线的参数方程
教学目的：
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 一、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程???==θ
θ
sin cos r y r x （θ为参数）
（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ
θ
sin cos 00r y y r x x （θ为参数）
2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程?
二、讲解新课：
1、教师引导学生推导直线的参数方程：
过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程
???+=+=ααs i n
c o s
00t y y t x x （t 为参数）
2、辨析直线的参数方程：
T 的几何意义是指它表示点P 0P 的长,带符号.
三、直线的参数方程应用：
课本例题,此略.
四、小结：
（1）直线参数方程求法 （2）直线参数方程的特点
（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义
五、作业：课本P39习题2.3
第110课时
参数方程与普通方程互化
教学目的：
知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：参数方程与普通方程的互化 教学难点：参数方程与普通方程的等价性 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：
（1）圆的参数方程 （2）椭圆的参数方程 二、讲解新课：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。
2、常见曲线的参数方程
（1）圆222r y x =+参数方程???==θ
θ
sin cos r y r x （θ为参数）
（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θθ
sin cos 00r y y r x x （θ为参数）
（3）椭圆122
22=+b y a x 参数方程 ???==θθs i n c o s b y a x （θ为参数）
（4）双曲线122
22=-b y a x 参数方程 ?
??==θθt a n s e c b y a x （θ为参数）
（5）抛物线Px y 22=参数方程?
??==Pt y Pt
x 222
（t 为参数）
（6）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程
?
??+=+=ααs i n c o s
00t y y t x x （t 为参数）
典型例题
1、将下列参数方程化为普通方程
（1）?????+=-=2
22
2
t y t t x （2）???=+=θθθ2sin cos sin y x
（3）???????
+=++=2221t t
y t t x （4）???
????+=+=22
1212t t y t x （5）???????+=+=)1(3)1(222t t y t t x
变式训练1
2、（1）方程?????
=+
=2
1y t t x 表示的曲线
A 、一条直线
B 、两条射线
C 、一条线段
D 、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点
A 、???==2
t y t x B 、?????==t y t x sin sin 2
C 、???=+=t y x 11
D 、?????=+-=
t
y t t xos x tan 2cos 121 例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
（1） ?????-=-=t
y t
x 4321 （t 是参数） （2） θθ2c o s c o s 2==y x （θ是参数）
（3） 2
22
212121t t y t t x +-=
-=
（t 是参数）
变式训练2。P 是双曲线???==θ
θ
tan 3sin 4y x （t 是参数）上任一点，1F ，2F 是该焦点：
求△F 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程。
例3、已知圆O 半径为1，P 是圆上动点，Q （4，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。
变式训练3：
已知),(y x P 为圆4)1()1(22=-+-y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值。 三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。
五、课后作业：见教材53页 2.3.4.5
人教版高中数学选修44坐标系与参数方程全套教案
人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。
最新高中数学参数方程大题(带答案)精选
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴
y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
新人教选修4-4教案参数方程的概念曲线的参数方程
曲线的参数方程 教学目标 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 教学重点与难点 曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立． 教学过程 师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线? 生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线． 师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法． (师板书——⊙O:) 师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？ 生：…… 师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？ （计算机演示动画，如图３－１）
师：驱使Ｍ运动的因素是什么？ 生：旋转角θ. 师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？ 生： 师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？ 生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数） （生３叙述，师板书） 师：①式是⊙Ｏ的方程吗？ 生４：①式是⊙Ｏ的方程. 师：请说明理由. 生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知 ，显然满足方程①； （２）任取, 由①得即M（）．
高中数学选修4-4知识点清单
高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2.
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ＝ρcosθ， ＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表：
高中数学全参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
高中数学选修44知识点(最全版)
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ???x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
高中数学选修坐标系与参数方程知识点总结
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
含参数方程组的解题策略
含参数方程组的解题策略 也许同学们对二元一次方程的解法已经非常熟练了，但在解含有参数的方程组时却感到很棘手，要么束手无策下不了笔或胡乱作答，要么解题过程复杂找不到捷径等等，为改变这些现状，本文特举几例加以分析，望能抛砖引玉。 例1. 【2009年四川内江】若关于的方程组的解是，则 为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．2 分析：根据已知条件把方程组的解代入方程中，即可以转化得到一个关于m ，n 的新方程组， 先算出m ，n 的值，再求||m n -的值 。 解：将代入原方程组，得412m m n -=??+=?，从而解得35 m n =??=?，于是3m n -=-， 根据绝对值的意义得||()3m n m n -=--=，应选B. 例2. 【2009年山东日照】若关于x ，y 的二元一次方程组? ??=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 （ ） A.43- B.43 C.34 D.34- 分析：将方程组中的两个方程相加便可得到214x k =，这时有两种解法：常规的思路是求出x ，y 的具体的值，再将其代入代入二元一次方程，得到一个关于k 的一元一次方程，便可求出k 的值；另外就是将方程组中的第一个方程两边同时乘以6，得6630x y k +=，把“214x k =”整体代入便可直接计算出“3y ”的值。 解：法 一：将两个方程相加得，214x k =，所以7x k =，将7x k =代入第一个方程 得，75k y k +=，解得，2y k =-，即方程组的解为7,2x k y k =??=-? ，于是可得，273(2)6k k ?+?-=，即1466k k -=，解得34 k =，应选B. x y ，2x y m x my n -=??+=?21x y =??=?||m n -21x y =??=?
高中数学选修4-4坐标系与参数方程-高考真题演练
高中数学选修4-4坐标系与参数方程------高考真题演练 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=?? =? ， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 1（2）(2018全国卷II )在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参 数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 1（3）(2018全国卷I )在直角坐标系 中,曲线的方程为,以坐标原点为 极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 （1）求的直角坐标方程 （2）若 与有且仅有三个公共点,求 的方程 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． xOy C 2cos 4sin x θy θ=?? =? ， θl 1cos 2sin x t αy t α=+??=+? ， t C l C l (1,2) l
解：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?，∴O e 的普通方程为22 1x y +=，当90α=?时， 直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠?时，设直线l 的方程为tan y x α=-直线l 与O e 1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴ 4590α?<
高考数学参数方程所有经典类型
高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．
选修系列参数方程几何证明
2006学年高三数学训练题（十五） 坐标系与参数方程，几何证明选讲 A 组 1.直线：3x -4y -9=0与圆：? ??==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 2.经过点M (1，5)且倾斜角为 3 π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 3.参数方程?????-=+=2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 4．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为 A .?????≥<<+)4(2)40(442b b b b B .?????≥<<+)2(2)20(442b b b b C .442+b D .2b 。 5．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A .27 B .4 C .2 9 D .5 6．直线()为参数t t y t x ???+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 7．直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为
8．如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点， A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320， 则∠A 的度数是 9.如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G ， （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径． B 组 1．曲线的参数方程为? ??-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 2．已知动圆：),,(0sin 2cos 22 2是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是（ ） A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆 3．设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数?? ??? ?==sin cos r y r x 的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、视的大小而定 4．已知过曲线()?? ?≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为4 π，则P 点坐标是（ ）
高考数学参数方程大题
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）