pugh概念选择矩阵

矩阵行列式的概念与运算

知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此

都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA

分块矩阵的应用论文

分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利

1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs

第一讲 矩阵的概念、运算

第一讲 Ⅰ 授课题目（章节）： §2.1 矩阵的概念； §2.2 矩阵的计算 Ⅱ 教学目的与要求： 理解矩阵概念； 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点： 矩阵的乘法 Ⅳ 讲授内容： §2.1 矩阵 定义2.1 由n m ?个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21112 11 称为m 行n 列矩阵,简称n m ?矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 ??????? ??=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。 n 行n 列的矩阵n n A ?称为n 阶矩阵（或n 阶方阵） ，简记为n A 。 只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵 ?????? ? ??=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量. 定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即

),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij === 那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =. 元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ?，简记为O .不同型的零矩阵是 不同的. ??????? ??=100010001 n I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0. §2.2 矩阵的运算 1. 矩阵的加法 定义2.3 设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B , 规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2. 数与矩阵相乘: 定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3. 矩阵与矩阵相乘: 定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩阵,那么规定矩阵

矩阵的各种运算详解

一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律： 设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为

其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有

命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。 命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：

矩阵的概念和运算

1。4 矩阵的概念和运算 教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容： 前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。但是Cramer 法则有它的局限性： 1.0 2. D ≠?? ?所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数） 同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一．矩阵的概念 123123123 23124621x x x x x x x x x -+=?? -+-=-??+-=? 它的系数行列式 1 232 4601 1 1 D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示： 123124621111A ?-? ?=--- ? ?-?? 这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。 123246111A -?? ?=-- ? ?-?? 这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。 注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。 关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地，对于线性方程组：

矩阵行列式的概念与运算(标准答案)

矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ? ?????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式; 算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的 对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解

矩阵的概念及其线性运算

第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ???? ?? ? ??=100010001 E n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y …… 表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或 。即： （2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a 的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用 表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝

B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，

如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩 阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）m ×n 表示矩阵A及B的和，则有： 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B 的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A

4 矩阵的概念与运算

上海市莘庄中学高三数学训练 板块二：向量矩阵行列式 4 矩阵的概念与运算 一.填空题 1.方程组21 320x y x y +=?? -=?对应的增广矩阵为 . 2.若0ln 1a b π?? ??? 是单位矩阵，则a b -= 3．矩阵A=121037695804-?? ? ? ?-?? ，则23a = ， 32a = ，22a = ，第二行的行向量为 ， 第四列的列向量为 . 4．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是? ?? ? ??-210211，则y x +=_________. 5.关于 x y 、的方程组 { 2542 x my nx y +=-=的增广矩阵经过变换后得到 ()103011，则() m n = . 6.已知 1 4 1 4x+3 y 2y+7 y x y -+???? = ? ????? ，则x y += . 7.已知32 x-3y 1 7,x+y x-y a b x y A B +-????== ? ????? ，若A=B ，则x y a b +++= 8．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S ，黄灯3S ，红灯20S ，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用23?矩阵表示该路口的时间设置为 . 9.已知A=754312541?? ? ? ???，B=121211111?? ? ? ?-?? ，则2A+B= 10.设矩阵A 为33?矩阵，且规定其元素,,ij ij i j a i j i j =?=? +≠?，其中,1,2,3i j =，那么A 中所有元素之和为 . 11．若二元一次方程组的增广矩阵为 6 -4 58 -3 2? ? ??? ，则以该方程的解为坐标的点和圆C ：2 24x y +=的位置 关系为 . 12.定义 1* 111,11n n n n x x n N y y ++-??????=∈ ? ? ???????， 为向量(,)n n n op x y = 到向量111(,)n n n OP x y +++= 的一个矩阵变换，设向量1(1,0)OP = ，O 为坐标原点，则2013OP 的坐标为 13．已知一个九行九列的矩阵中的元素是由互不相等的 81 个数组成: ? ?? ??a 11 a 12 ? a 19 a 21 a 22 ? a 29 ? ? ? ?a 91 a 92 ? a 99 , 若每行9个数 与每列的9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间的一个数a 55=7则矩阵中所有元素之和为_____________. 14.设n 阶方阵??????? ? ? ? -+-+-+--+++-+++-=125)1(23)1(21)1(2165434141452321 2125312n n n n n n n n n n n n n n n n A n ， 任取n A 中的一个元素，记为1x ；划去1x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1-n 阶方阵 1-n A ，任取1-n A 中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为n x ， 记n n x x x S +++= 21，则n n x x x S +++= 21，则1 lim 3+∞ →n S n n =______________. 二.选择题 15.关于x 、y 的二元一次方程组1, 323,mx y mx my m +=-??-=+? 的系数行列式0D =是该方程组有解的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件 16.已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB 的列向量为（ ） A 、21?? ? ?? B 、21-?? ?-?? C 、 3 51 2?? ??? D 、 5 32 1?? ? ?? 三.解答题 17.已知矩阵A=3021?? ?-??，矩阵B=2122-?? ??? ，求矩阵X ，使期满足2A －3X-=B. 18.已知(4)n n ≥阶方阵1112131212223 2123 n n n n n nn a a a a a a a a a a a a ?? ? ? ??? 中的各元素均为正数， 其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列．已知23348 20a a ==， ， (1) 求11a 和ik a 的值； (2) 计算行列式 1112 2122 a a a a 和im ik jm jk a a a a ；

矩阵的概念及其线性运算

.. 第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ?????? ? ? ?=10 0010001Λ ΛΛΛΛΛΛE n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列 向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如

矩阵行列式的概念与运算标准答案

矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵111213212223a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =，()212223b a a a =； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 11111221 11121222111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做 二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ）的元素仅有一 ij 行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：

，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij ） m×n 和B＝（b ij ） m×n 相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝ （c ij ） m ×n 表示矩阵A及B的和，则有： 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。

矩阵概念及运算

第一讲 矩阵概念及运算 一、矩阵概念 矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等. 例1 某户居民第二季度每个月水（单位：吨）、电（单位：千瓦时）、天然气（单位：立方米）的使用情况，可以用一个三行三列的数表表示为 水 电 气 ?? ?? ??????16210101519010141659 由例1以及教材中的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表 示，我们将这些数表统称为矩阵. 定义2.1 有m ?n 个数排列成一个m 行n 列，并括以方括弧（或圆括弧）的数表 ????? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为m 行n 列矩阵，简称m ?n 矩阵.矩阵通常用大写字母A , B , C …表示. 记作 [] n m ij a A ?= 其中a ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )称为矩阵A 的第i 行第j 列元素. 注：矩阵的行数m 与列数n 可能相等，也可能不等. 特别地，当m = 1时，即 A = []n a a a 11211 称为行矩阵.当n = 1时，即 A = ????? ???????121 11m a a a 称为列矩阵.当m = n 时，即 A = ????? ???????nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶矩阵，或n 阶方阵. (再介绍几个特殊矩阵) 所有元素全为零的m ?n 矩阵，称为零矩阵，记作O m n ?或O .例如 4月 5月 6月

矩阵的定义及其运算规则

矩阵得定义及其运算规则 1、矩阵得定义 一般而言,所谓矩阵就就是由一组数得全体,在括号内排列成m行n 列(横得称行,纵得称列)得一个数表,并称它为m×n阵。 矩阵通常就是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列得矩阵可以简记为:,或 。即: (23) 我们称(23)式中得为矩阵A得元素,a得第一个注脚字母,表示矩阵得行数,第二个注脚字母j(j＝1,2,…,n)表示矩阵得列数。 当m＝n时,则称为n阶方阵,并用表示。当矩阵(a ij)得元素仅有一行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵,有相同得行数与相同得列数,而且它们得对应元素一一相等,即,则称该两矩阵相等,记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j得元素组成得对角线为主对角线,构成这个主对角线得元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧得元素全为零,而另外一侧得元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵。例如,以下矩阵都就是三角形矩阵: , ,, 。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中,如果只有得元素不等于零,而其她元素全为零,如: 则称为对角矩阵,可记为。如果在对角矩阵中所有得彼此都相等且均为1,如: ,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示,即: 当矩阵中所有得元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示。 4、矩阵得加法 矩阵A＝(a ij)m×n与B＝(b ij)m×n相加时,必须要有相同得行数与列数。如以C＝(c ij)m ×n表示矩阵A及B得与,则有: 式中:。即矩阵C得元素等于矩阵A与B得对应元素之与。 由上述定义可知,矩阵得加法具有下列性质(设A、B、C都就是m×n矩阵): (1)交换律:A＋B＝B＋A (2)结合律:(A＋B)＋C＝A＋(B＋C) 5、数与矩阵得乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵中得所有元素都乘上k之后所得得矩阵。如: 由上述定义可知,数与矩阵相乘具有下列性质:设A、B都就是m×n矩阵,k、h为任意常数,则: (1) k(A＋B)＝kA＋kB (2)(k＋h)A＝kA＋hA

1 矩阵及其运算单位单位

§1 矩阵及其运算 教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。 知识要点： 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母 表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其 元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵， 下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对 角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称 为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，

是一个阶下三角矩阵，而则是 一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的 集合，而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。 二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的 行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型 的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即： 。 给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们可以定 义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律： （ 1）交换律：； （ 2）结合律：； （ 3）存在零元：； （ 4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法： 设为一个数，，则定义与的乘积仍为 中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，

矩阵的概念、运算(一)

第五章矩阵 辞海：将mn个元素排成m行n列的矩形称为m行n列矩阵。当m=n时称为n 阶方阵。矩阵可按某些规则进行加法、乘法以及数与矩阵相乘等运算。矩阵的概念最初是由解线性方程组产生。我国古代用筹算法解线性方程组时就是用筹码排成矩阵来进行的。 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。 百度“矩阵”，找到约约60,100,000条结果; Google“matrix”，找到约467,000,000 条结果. 背景知识：矩阵的历史 ?矩阵的概念是在解线性方程组中产生的。如我国《九章算术》（公元前1 世纪）用筹算解线性方程组时，就是把算筹排列成矩阵形式来进行的。 ?1850年由西尔维斯特（Sylvester）（英）首先提出矩阵的概念。 ?1857年卡莱（A.Cayley）（英）建立了矩阵运算规则。 ?矩阵由最初作为一种工具经过近两个世纪的发展，现在已成为独立的一 门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。 ?矩阵及其理论现已广泛地应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领 域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、图像处理等方面都有广泛应用。 5.0矩阵的概念 一、教学内容 1、矩阵的概念 2、矩阵相等 3、几种特殊矩阵 二、教学目的 了解矩阵的产生背景，掌握矩阵的概念，理解矩阵相等的涵义，认识几种特殊矩阵 三、重点难点 矩阵相等 一、引例

我们先看几个例子 例1：设有线性方程组:???????=++-=+-+=++--=--+7 73918333215432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的数表如下： ?????? ? ??------71317391118331211151 这个数表决定了给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题，因此对这个数表的研究就很有必要。 例2：在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的旋转（逆时针方向旋转 θ角），那么平面直角坐标变换公式为： ?? ?'+'='-'=θ θθ θcos sin sin cos y x y y x x 显然,新旧坐标之间的关系,完全可以通过公式中系数所排成的2×2数表 ??? ? ??-θθθθcos sin sin cos 表示出来。空间线性变换也有类似的情形。 例3：生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品(i=1,2,…,m)耗用第j 种材料（j=1,2,…,n ）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表来表示。 这个表也可以简单地表示为m 行n 列的数表:

矩阵的定义及其运算规则(2)

矩阵的定义及其运算规则 1矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成 m 行n 列（横的称行, 纵的称列）的一个数表，并称它为 mxn 阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、 B …来表示。例如一个 m 行n 列的矩阵可以简记为： 示矩阵的行数，第二个注脚字母 j （j = 1, 2,…，n ）表示矩阵的列数。 当m = n 时，则称’ 「为n 阶方阵，并用 *表示。当矩阵（丙）的元素仅有 行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且 它们的对应元素一一相等，即 ：，则称该两矩阵相等，记为 A = B 。 2、三角形矩阵 由i = j 的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零， 而另外一侧的元素不为零或不全为零， 则该 矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： 盘 12 叽 7 +1 十》 °门创说 23 屍1爲2 0 +1 +3 广 +2 (P < 0 0知丿 务 対 (0 0+6 L +呂 +1」 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵-中，如果只有'的元素不等于零，而其他元素全为零，如: 则称为对角矩阵，可记为亠"1「一。如果在对角矩阵中所有的’ ' 彼此 。即: (2-3) 我们称（2-3）式中的，为矩阵 的元素，a 的第一个注脚字母=….，表

式中：1 '「’。即矩阵C 的元素等于矩阵 A 和B 的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质 ( 设 A 、 B 、 C 都是mxn 矩阵) (1)交换律： A + B = B + A (2)结合律： (A + B ) + C = A +( B + C ) 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k 右乘矩阵A 或左乘矩阵A ，其积均等于矩阵- - 中的所有元素都 乘上k 之后所得的矩阵。如: 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设 常数，则： (1) k (A + B )= kA + kB (2) ( k + h ) A = kA + hA (3) k (hA )= khA n 0 -2 0 1 9- …0 都相等且均为1，如： 2 0 …1丿 ，则称为单位矩阵。单位矩阵常 用 E 来表示，即: 1 0 0 1 E = 9- ■ I 2 0 0 1 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号 “ 0来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A = ( a ij ) mxn 和B = (b ij ) rnxn 相加时，必须要有相同的行数和列数。 m 勺表示矩阵 A 及 B 的和，则有： 如以 C = ( c ij ) A 、 B 都是mXn 矩阵，k 、h 为任意