t69
第四章 重积分
第七节重积分例讲
7-1 二重积分
例一，计算二重积分 ??--=D
d y x I σ221,
其中()(){}1,,≤=y x Max y x D . 解：??--=1
2214D dxdy y x I
??--=12211D dxdy y x I
=?
?---2
10
221
1x dy y x dx
=()6
141
2
π
π
=-?
dx x ; ??--=22221D dxdy y x I
=?
?--+1
12
2
1
2
1x dy y x dx
=()181
1ln 2121
02=???? ?
?--+?dx x x x ??? ?
?
-=??? ??-=313218164ππI
例二， 求二重积分:??
=D
d y x I σ1
(
)???
????
???????????
??
?
≤+≤≤+≤=4242,2
222y x y y x x y x D . 解：??
=D
d y
x I σ1
=
=?
?
42
12
14
122
πθθθ
θρρ
ρθ
arctg
Sin Sin Sin Cos d d =?4
2
12ln 12
π
θθθ
θθarctg
d Cos Sin Sin Cos
=()()2ln 2ln 12
2
4
2
1=?π
θθθ
arctg
tg d tg tg 例三， 求二重积分:()
??????
????-??+=D
d y f x x f y y x g I σ22, 其中 (){}
222,R y x y x D ≤+=, ()1lim 0
=+
→t
t g t .
解：考虑极坐标系???==θ
ρθ
ρSin y Cos x ,
θρρσd d d =.(){}2
22,R y x y x D ≤+=
()()
()???? ??-??=???? ?
???-??+x y y x f g y f x x f y y x g ,2
22ρ= =()()()()()()???
?
??-?????=???? ??-??x y y x f g x y y x f g ,,,,2
2
θρθρρρ=()θρ??-f g 2
因为：()()()()???? ??-????
????=???? ??-??-x y y x x y y x 1
,,,,θρθρ= =???
? ??-??
?
?
?
?--x y Cos Sin Sin Cos 1
θρθ
θρθ
=
???? ??-???? ??-x y Cos Sin Sin Cos θθθρθ
ρρ1=???
?
??-=???? ??-1001ρρ ()
?????? ????-??+=D
d y f x x f y y x g I σ22 =()
??≤??-R d d f g ρθρρθρ2 =()??
??-π
θθρ
ρ
ρ200
2
d f d g R
=()()()()?=--R
d f f g 0
2
0,0,0ρρρρρ
例四， 求二重积分: ??
≤+--+=
1
22222
y x d y x y
x I σ 解：如图，切点????
??22,22A ,
小园园心???
?
??42,421O ;
()2
2424241,????
??--???? ??--=y x y x f ; ()????
??+==
?2
1
2
1,D D D D d f d f d y x f I σσσ
=()()?????-
2
11
,,2D D D d y x f d y x f σσ=21
I I
-;
()??=1,21D d y x f I σ=???????
?
???????? ??-+???? ??-
-112
24242221D D d y x d σσ
=[]
??≤
++-4
1
222228v u dudv v u π=16282
13πθρρπρ=-??≤
d d ;
σd y x y x I y x ??≤+??? ?
?--+=
1222222=()σd y x y x ??≤++-12222 =2
1
3π
θρρρ-
=-??≤d d ; π16
9
21=
-=I I I 例五，(021) {}??=D
y x
Max dxdy e I 2
2
,，其中：
(){
}10,10,≤≤≤≤=x x y x D 。 解：{}??=D
y x
Max dxdy e I 2
2
,
=????+2
2
1
2
D y D x dxdy e dxdy e =??1
2
2D x dxdy e
=121
2
-=??e dy dx e x
x .
例六， 证明；0>a ,2
2
42
11a a
a
x e
dx e
a π
ππ----≤≤-?,
证明：
()???
???≤???? ??=a y x Max y x D ,: ??????≤+???? ??=2
22:a y x y x D a
?
?????≤+???? ??=2
22:r y x y x D r ???????--------≤=???
? ??≤r a
D y x D y x a a x D y
x d e d e e d e
σσσ2
22222
22
由()2
22a r =π,得π
a
r 2=
由此得 ??????------≤≤r
a
D y x
D
y x
D y x
d e d e d e σσσ2
2
22
2
2
(
)
(
)
2
2
2
2
11r D
y x
a e d e e -----≤≤-??πσπ;
即：2
2
4
211a a
a
x e
dx e a π
ππ----≤≤-?
例七， 若[]()0,1,0>∈?x f x , 单调减, 设
[]()1,0,f x 是()x f y =在[]1,0上曲边梯形的重心x 坐标; []()
1,0,2f x 是()x f y 2=在[]1,0上曲边梯形的重心x 坐标; 证明：[]()[])
1,0,1,0,2f x f x ≥
证明: []()[])
1,0,1,0,2f x f x ≥?
()()()()???
?≥
1
21
021
1
0dx
x f
dx x xf dx
x f dx
x xf
?()()()()????≥1
1
21
2
10
dx x f dx x xf dx x f
dx x xf
?()()()()dy dx x f y yf dy dx y f
x xf ????≥101
2101
2
?()()()()()0101
22
≥-??dy dx x f y yf y f
x xf ?()()()()(
)0101
22
≥-??dy dx x f y yf y f
x xf
()()()()(
)=-??dy dx x f y yf y f
x xf 101
22
()()()()(
)dy dx y f x xf x f
y yf ??-101
22
[]()[]()
1,0,1,0,2f x f x ≥?
()()()()()()()()()0
101
2
2
2
2
≥-+-??dy dx y f x xf x f y yf x f y yf y f x xf 因：()()()()()()()()()x yf y xf y f x f x f y yf y f x xf -=-22 则，()()()()()()()()y f x xf x f y yf x f y yf y f x xf 2222-+- =()()()()()()0≥--y f x f y x y f x f
例八，若[]()M x f m x ≤≤<∈?0,1,0, 证明： ()()()m
M m M dxdy y f x f y x 412
1
010+≤
≤
??
≤≤≤≤. 证明：
()()()()()()??????
==≤≤≤≤≤≤≤≤1
1
1
0101
01
01
dx x f dx x f dxdy x f y f dxdy y f x f y x y x 首先有：()()()()()()????
≤≤≤≤≤≤≤≤???? ?
?+=1
0101
01
02
y x y x dxdy x f y f y f x f dxdy y f x f = ()()
()()1221
01010102
=≥???? ?
?+????
??
-????≤≤≤≤≤≤≤≤y x y x dxdy dxdy x f y f y f x f ;
再者：有：()()()?≥???
?
??--01x f m x f M ()()()x f x f m M m M +≥+ ?()()()??+≥+1
010
dx x f y f dy
Mm m M
令 ?
?==1
1
)
(1
,)(dy y f v dx x f u ?()u v Mm m M +≥+ ?()u v Mm u v Mm m M ?≥+≥+2
?
()4
2
m M uv Mm +≤
?
()Mm
m M uv 42
+≤
. 即
()()()m
M m M dxdy y f x f y x 42
1
01
0+≤
??
≤≤≤≤ 综合在一起有： ()()()m
M m M dxdy y f x f y x 412
1
01
0+≤
≤
??
≤≤≤≤ 另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于
正数A , 则乘积的最大值为2
2??? ??A , 即 ()?
??≥≤+0,;..y x A y x t s y x Max ? 当2A y x ==时, xy 取最大值，即2
2??
?
??≤A xy .
7-2 三重积分
例九， 求三重积分: ()dv z y x I ???Ω
++=, 其中
()??
?????
???????
?+≤--≤≤=Ω2
22210,,y x z z
y z z y x . 解：由函数与域的对称性；
()dv z y x I ???Ω
++==dv z ???Ω
球坐标系: ??????==
=Ω
1
2
20
8
π
??θ?ππdr Sin r rCos d d dv z I ;
柱坐标系: ???-=
=2
12
2020
8
ρρ
ππ
ρ
ρθ
zdz d d I ;
直角坐标系: ?
?
?--+----=
=2
22
22
2
121212
2228
y x y x x x zdz dy
dx I π
先对xy 积分:
()
()
8
11
2
22
221
2
1
π
ππ=
-?+
=
=?????z D dz z z dz z z dxdy dz I
例十， 设+→?ΩR R f 3:, ()Ω∈1C f ,
Ω是半径为R ，球心在原点的球面S 所围成之域， 且()()S P P f Max A ∈=
, M f grad P ≤Ω∈?,, 证明： ()M R
A dv z y x f V
I 4
,,1+
≤=
???
Ω
, 其中，；V 是域Ω的体积， S P P ∈?Ω∈?0,。 证： ()()()()
0,,,,0PP r z y x P f P f z y x f
??+
=ξ;
()()()()??????ΩΩ???? ?
?
??+=dv r z y x P f P f dv z y x f PP 0,,,,0 ξ ()
???Ω
+≤dv r f grad A PP 0
()???≤++?-+?≤2
222R z y x dv r R M
V A
??
? ??
+=+≤434R M A V MR AV π;
即: ()M R A dv z y x f V
I 4
,,1
+
≤=???
Ω
.
例十一，求半径为R 密度为常数0ρ的球体,
所产生的引力场。
解：r
a
z r dv r dv
dF z -?
=
?=
2
2
cos ρ?ρ
()
dv a z y x a z dF z ρ2
2
2
-++-=
()()???Ω
-++-=dv a z y x a z F z
2
22ρ
=()()
??
?-≤+--++-2
2222
22z R y x R
R
a z y x dxdy
dz
a z ρ
=
()
???
?
??+---=-++??
-≤+222
2221
122
22
2
a az R a
z a z y x dxdy z R y x π dz a az R a
z a z a
z F R
R z ?-???
? ?
?+---
--=2222πρ
()???<-≥-=-=--??--R a a R a R dz a z sign dz a z a
z R
R
R
R ,2,2 ??????
?≥-≥-=+--?
-R
a a R a R a R dz a az R a z R
R
,3
4,23222
2
22, ???
????
≥-≥?-=R a a R a a R F z ,34,13423πρπρ.
在球坐标系下：
?
?ρ?ρcos 2cos cos 2
2
2
?-+=
?=
ra a r dv
r
dv
dF z ,
?
???-+=R
z dr r ra a r d d F 0
22
2
20
sin cos 2cos ??
?
ρ?θπ
π
???-+=R dr ra a r r d 02
220cos 2sin cos 2?
???πρπ
.
7-3曲面积分
例十二， S 是椭球面12
222
2=++z y x 的上半部分, 点()S z y x P ∈,,, π为S 在点P 处之切平面,()z y x ,,ρ为原点O
到平面π的距离，求
()?,,=??S
dS z y x z
ρ (23π) 解：切平面：()()()02:000000=-+-+-z z z y y y x x x π 12
2000=++?
z z y y
x x . 原点到π的距离()20
202
000042,,z
y x z y x ++=
ρ;
()()πρ2342,,2
2
22
2
22=++=????≤+y x S dxdy z
y x
z dS z y x z .
例十三，设有一高度为()t h (t 为时间)的雪堆在融化过程
中，其侧面满足方程()()
()
t h y x t h z 2
22+-=, (设长度单位为
厘米，时间单位为小时)， 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9 ) 问高为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?
● 雪堆体积：?????==ΩD
zdxdy dv V
(
)??≤
+???
?
??--=2
2
22222h y x dxdy h y x h =
()t h d h h d h
320
20
2
42πρρρθπ
=???
? ??-?
?
● 雪堆表面积：??
??≤
+???
? ????+???? ????+=
=2
2
22221h y x S
dxdy y z x z dS S
=
??
??+=++≤
+π
ρρρθ
20
2
222
2
222
22h
h y x d h d h dxdy y x h h =
()t h 212
13
π 融化规律：
()()()()t h t h t h t S t d dV 2212
13
9.0439.0?='??-=π ()()C t t h t h +-=?-='10
13
10
13;
()?+-
=?=13012
13
1300t h h 100小时.