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高考立体几何文科大题及答案

高考立体几何大题及答案

1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD

，

AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()II 求二面角S AM B --的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD

所成的角的大小

3.（2009浙江卷文）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，

120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平

面ABE 所成角的正弦值．

A 1

B 1

C 1 D

4.（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱

PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =

且E 为PB 的中点时，求

AE 与平面PDB 所成的角的大小.

5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .

6.（2009安徽卷文）如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ，

和是平面ABCD 内的两点，

和都与平面ABCD

垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD ：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多

面体ABCDEF 的体积。

7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球

面交PD 于点M ．

（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面ABM 所成的角；（3）求点O 到平面ABM 的距离．

8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△

ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=

（I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面（III ）求二面角F BD A --的大小。

9.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S ＝ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600

C ，求λ的值。

10.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 1AA =点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD

和平面1A DE 所成角的正弦值。

11.（2009辽宁卷文）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点。（I ）若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 的长；（II ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

12.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?

==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，

求证： PM ∥BCE 平面

（III ）求二面角F BD A --的大小。

13.（2009陕西卷文）如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1

，1AC AA ==∠ABC=600

. (Ⅰ)证明：1AB A C ⊥；

（Ⅱ）求二面角A —1A C —B 的大小。

14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 （Ⅰ）证明：AB ⊥PC

（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。

15.（2009福建卷文）如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ?

∠=，2,4AB AD ==将

CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB DE ⊥

（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。

16.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2

BAD π

∠=

，

2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,FC ED ==．求：

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；

（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．

17.(2009年广东卷文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD －EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD ⊥平面PEG

参考答案

1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，

连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =，则NC EB x ==,

在RT MEB ?中，

60MBE ∠=?ME ∴=。

在RT MNE ?中由222ME NE MN =+22

32x x ∴=+ 解得1x =，从而1

MN SD =

∴ M 为侧棱SC 的中点M. 解法二:过M 作CD 的平行线

（II ）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则

JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角的补

角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.

解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则

)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。

（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则

)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ，

)2,2,0(-=SC ，由题得

????

-=-=++-?--)

2(22212)2(2)2(22

2b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设λ=，则)12

,12,2(),12,12,

0(λ

λλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<= 故o AB MB AB MB 60cos ||||?=?，即

2)12()12(214λ

λλ++++=+，解得1=λ，所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ，)0,2,0(=AB ，设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则

????

?=?=?0011AS n n 且?????=?=?0

012AB n n ，即?????=+-=--022*******z x z y x 且?????

==--02022222y z y x 分别令221=

=x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即

)2,0,2(),1,1,2(21==n n ，

∴3

2202,cos 21=

?++>=

二面角S AM B --的大小3

6arccos

-π。 2、解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF

1B B ，从而EF DA 。连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。又D E ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。

（Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。由题设知，∠AGC=600.

设AC=2，则

AB=2，BC=

由AB AD AG BD ?=?得

故AD=AF 。又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。

因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD=A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。连接AE 、DF ，设AE ∩DF=H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。

因ADEF 为正方形，EH=1，又EC=

B C =2，所以∠ECH=300

，即1B C 与平面BCD 所成的角为300

解法二：

（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （

12，2

，c ）. 于是DE →

=（12，2

，0），BC →=（-1，b,0）.由D E ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→?=0，求得

b=1，所以 AB=AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →

=则0,0.AN BC AN BD →→→→

?=?= 又BC →

=（-1，1， 0），

BD →

=（-1，0，c ）,故0

x y x cz -+=??

-+=?

令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1

又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）

由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，

=60°，故 60cos ??=?AC AN AC AN °，求得2

1c =

于是），，（211=AN ，），，211(1-=CB

cos 1

11=

??=

CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，

° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°

3、（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,，在ABE ?中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以BE PQ 2

//==，

又BE DC 21

==，所以DC PQ ==

//，又?PQ 平面ACD ，DC ?平面ACD ，所以//PQ 平面ACD （Ⅱ）在ABC ?中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC

而?EB 平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面ABC ，所以⊥CQ 平面ABE

由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP //

所以⊥DP 平面ABE ，所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ，所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ?中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP

所以55

1sin =

∠AD DP DAP

4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，

∵PD ABCD ⊥底面， ∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ，

由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD ，1

OE PD =

，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，

在Rt △AOE 中，122

OE PD AB AO =

==， ∴45AOE ?

∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?

. 【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，设,,AB a PD h ==

则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ，（Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，

∴0,0AC DP AC DB ?=?=，

∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）当PD =

且E 为PB 的中点时，()

11,,22P E a a ??

? ??

?，设AC∩BD=O ，连接OE ，

由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，

∵112,,,0,0,2222EA a a a EO a ????

=--=-

? ? ? ????

?， ∴2

cos 2

EA EO AEO EA EO

?∠=

=?， ∴45AOE ?

∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?

5、

6、【解析】(1)由于EA=ED 且'''ED ABCD E D E C ⊥∴=面

∴点E '在线段AD 的垂直平分线上,同理点F '在线段BC 的垂直平分线上. 又ABCD 是四方形

∴线段BC 的垂直平分线也就是线段AD 的垂直平分线即点E 'F '都居线段AD 的垂直平分线上. 所以,直线E 'F '垂直平分线段AD.

(2)连接EB 、EC 由题意知多面体ABCD 可分割成正四棱锥E —ABCD 和正四面体E —BCF 两部

分.设AD 中点为M,在Rt △MEE '中,由于ME '=1, 'ME EE =.

E V ∴—ABCD 211'2333

S ABCD EE =??=?四方形

又E V —BCF=V C －BEF=V C －BEA=V E －ABC 2111'23323

ABC

S EE =

?=??=

∴多面体ABCDEF 的体积为V E —ABC D ＋V E —

BCF=7、解：方法（一）：

（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影，

所以 P N M ∠就是PC 与平面ABM 所成的角，且PNM PCD ∠=∠

tan tan PD

PNM PCD DC

∠=∠==

所求角为arctan （3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离.

因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD

中点，DM =，则O 点到平面ABM

。

方法二：（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，

(0,4,0)D ，(0,2,2)M ，

设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =，由,n A B n

A M ⊥⊥可得：20

220

x y z =??

+=?，令1z =-，

则1y =，即(0,1,1)n =-.设所求角为α

，则2sin 3

PC n PC n

α?=

，所求角的大小为arcsin

（3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2AO n h n

8、【解析】解法一：

因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD=AB ，所以BC ⊥平面ABEF. 所以BC ⊥EF.

因为⊿ABE 为等腰直角三角形，AB=AE ，所以∠AEB=45°，又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF ⊥BE.

因为BC ?平面ABCD, BE ?平面BCE, BC ∩BE=B

所以EF BCE ⊥平面

…………………………………………6分

（II ）取BE 的中点N,连结CN,MN,则MN

A B PC

∴ PMNC 为平行四边形,所以PM ∥CN. ∵ CN 在平面BCE 内,PM 不在平面BCE 内,

∴ PM ∥平面BCE. …………………………………………8分（III ）由EA ⊥AB,平面ABEF ⊥平面ABCD,易知EA ⊥平面ABCD.

作FG ⊥AB,交BA 的延长线于G,则FG ∥EA.从而FG ⊥平面ABCD, 作GH ⊥BD 于H,连结FH,则由三垂线定理知BD ⊥FH. ∴ ∠FHG 为二面角F-BD-A 的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=

2,则1FG AF sin FAG 2

=?= 在Rt ⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

12=3

3GH BG sin GBH 224

=?=

?=,

在Rt ⊿FGH 中, FG tan FHG GH 3

∴ 二面角F BD A --

的大小为arc tan

…………………………………………12分

解法二: 因ABE ?等腰直角三角形，AE AB =，所以AB AE ⊥

又因为平面AB ABCD ABEF =?平面，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AD AE ⊥

即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系,

(I) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B

∵?=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠，

从而）

，，－（21

210F

,21,0(--=EF ，)0,0,1(),1,1,0(=-=

于是02

210=-+=?BE EF ，0=?

∴EF ⊥BE ,EF ⊥BC

∵BE ?平面BCE ，BC ?平面BCE ，B BE BC =? ∴EF BCE ⊥平面

（II ）)0,21,

1(),2

1,0,0(P M ，从而)2

1,21,1(--= 于是04

410)21,21,0()21,21,1(=-+=--?--=?

∴PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥平面BCE

（III ）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n ＝（),,z y x )2

1,23,0(),0,1,1(-

=-= ?????=?=?0011BF n n 即???

??=+-=-021

30z y y x 取1=y ，则1=x ，3=z ，从而1n ＝（1，1，3）取平面ABD D 的一个法向量为)1,0,0(2=n

113cos 21=

故二面角F BD A --的大小为11

3arccos

9、（Ⅰ）证发1：连接BD ，由底面是正方形可得AC ⊥BD 。 SD ⊥平面ＡＢＣＤ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理得AC ⊥BE.

(II)解法1： SD ⊥平面ABCD ，ＣＤ?平面ＡＢＣＤ，∴ SD ⊥CD.

又底面ＡＢＣＤ是正方形，∴ ＣD ⊥ＡD ，又ＳＤ AD=D ，∴CD ⊥平面SAD 。过点D 在平面SAD 内做DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ，故∠CFD 是二面角C-AE-D 的平面角，即∠CFD=60° 在Rt △ADE 中， AD=a , DE= a λ， AE=a 12+λ 。

于是，DF=

+=?λλa AE

在Rt △CDF 中，由cot 60°=

+=λλCD

得

+λλ，即332+λ=3λ (0,1]λ∈，解得λ=

10、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面ABC .

又DE ?平面ABC ，所以DE 1AA ⊥.而DE ⊥1A E ，111AA A E A =,

所以DE ⊥平面11ACC A .又DE ?平面1A DE ，故平面1A DE ⊥平面11ACC A .

（Ⅱ）解法 1: 过点A 作AF 垂直1A E 于点F , 连接DF .由（Ⅰ）知，平面1A DE ⊥平面11ACC A ，所以AF ⊥平面1A DE ,故ADF ∠是直线AD 和

平面1A DE 所成的角。因为DE ⊥11ACC A ，

所以DE ⊥AC.而?ABC 是边长为4的正三角形，于是AD

=AE=4-CE =4-

CD =3.

又因为1AA =1A E

= 1A

E =

== 4,

114

AE AA AF A E ?=

sin 8AF ADF AD ∠==. 即直线AD 和平面1A DE

所成角的正弦值为

解法2 : 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), 1A

), D(-1,

E(-1,0,0).

易知1A D =（-3

，DE =（0，

0），AD =（-3

0）.

设(,,)n x y z =r

是平面1A DE 的一个法向量，则

10,

30.

n DE n A D x ??==???=--=??r uuu v r uuu v

解得,0x z y ==

故可取3)n =-r

.于是

cos ,n AD n AD n AD ?=?r uuu r

r uuu r r uuu r

8=-

由此即知，直线AD 和平面1A DE

11解（Ⅰ）取CD 的中点G 连结MG ，NG. 因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，所以MG ⊥CD ，MG ＝2

，NG = 因为平面ABCD ⊥平面DCEF ，所以MG ⊥平面DCEF ，可得MG ⊥NG.

所以MN =

=……6分

（Ⅱ）假设直线ME 与BN 共面， …..8分则AB ?平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN ，由已知，两正方形不共面，故AB ?平面DCEF.

又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF.而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB ∥EN. 又AB ∥CD ∥EF,

所以EN ∥EF ，这与EN EF=E ?矛盾，故假设不成立。

所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线。 ……..12分

12、【解析】解法一：