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全等三角形证明经典40题(含答案)

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.

解：延长AD 到E,使AD=DE

∵D 是BC 中点

∴BD=DC

在△ACD 和△BDE 中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD ≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE 中

AB-BE ＜AE ＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD ＜4+2

1＜AD ＜3

∴AD=2

2. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠

D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF 和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF

连接BE

在三角形BEF 中,BF=EF

∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

D B C

3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC

过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G

CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD

DE ＝DC

∠FDE ＝∠GDC （对顶角）

∴△EFD ≌△CGD

EF ＝CG

∠CGD ＝∠EFD

又，EF ∥AB

∴，∠EFD ＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD ＝∠2

∴△AGC 为等腰三角形，

AC ＝CG

又 EF ＝CG

∴EF ＝AC

4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE

∵AD 平分∠BAC

∴∠EAD ＝∠CAD

∵AE ＝AC ，AD ＝AD

∴△AED ≌△ACD （SAS ）

∴∠E ＝∠C

∵AC ＝AB+BD

∴AE ＝AB+BD

∵AE ＝AB+BE

∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E

B A

1 E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF(SAS)

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180o

∵∠BFE+∠CFE=180o

∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE , CE平分∠BCD ,CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

7.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，则：

△AED是等腰三角形。

∴AE=DE

而AB=CD

∴BE=CE

∴△BEC是等腰三角形

∴∠B=∠C.

8.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

在AC上取点E，

使AE＝AB。

∵AE＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，

∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。

9.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：

延长BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE

∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE

∴AC – AB =FC,FB=2BE

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABE+∠FBC=3∠C

∴∠AFB+∠FBC=3∠C

∵∠AFB=∠C+∠FBC

∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C

∴∠FBC=2∠C

即∠FBC=∠C

∴FB=FC

∴AC-AB=FB=2BE

10．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．解：延长AD至BC于点E,

∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

｛AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）

∴∠BAD=∠CAD

∴AE是△ABC的中垂线

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC

11．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA

证明：

∵OM平分∠POQ

∴∠POM＝∠QOM

∵MA⊥OP，MB⊥OQ

∴∠MAO＝∠MBO＝90

∵OM＝OM

∴△AOM≌△BOM （AAS）

∴OA＝OB

∵ON＝ON

∴△AON≌△BON （SAS）

∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB

∵∠ONA+∠ONB＝180

∴∠ONA＝∠ONB＝90

∴OM⊥AB

12.如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

13.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

延长AC 到E

使AE=AC 连接 ED

∵ AB=AC+CD

∴ CD=CE

可得∠B=∠E

△CDE 为等腰

∠ACB=2∠B

14．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，

（1）求证：△AED ≌△EBC ．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积

相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

证明：

∵DC ∥AB

∴∠CDE ＝∠AED

∵DE ＝DE ，DC ＝AE

∴△AED ≌△EDC

∵E 为AB 中点

∴AE ＝BE

∴BE ＝DC

∵DC ∥AB

∴∠DCE ＝∠BEC

∵CE ＝CE

∴△EBC ≌△EDC

∴△AED ≌△EBC

15.如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线

垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．

求证：BD=2CE ．

证明：

∵∠CEB=∠CAB=90°

∴ABCE 四点共元

O E D C B A F E D C B A

∵∠ABE=∠CBE

∴AE=CE

∴∠ECA=∠EAC

取线段BD 的中点G ，连接AG ，则：AG=BG=DG

∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）

∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

而：AC=AB

∴△AEC ≌△AGB

∴EC=BG=DG

∴BE=2CE

16、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。

F E D C B A

证明：∵DF=CE ，

∴DF-EF=CE-EF ，

即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中，

∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF

∴△AED ≌△BFC （SAS ）

17.如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

M F

E C

证明：

∵BE ‖CF

∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM ≌△CFM

∴BM=CM

∴AM 是△ABC 的中线.

18.如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。

C B A

∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等

∴△ABD=△BCD

∴∠ADB=∠CD

∴∠ADB=∠CDB=90°

∴BD ⊥AC

19.AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF

F D

在△ABD 与△ACD 中

AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD ≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF 与△FDC 中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD ≌△FCD

∴BF=FC

20.如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。

F E

C B

∵AB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

∴△ABE=△CDF

∵∠DCB=∠ABF

AB=DC BF=CE

△ABF=△CDE

∴AF=DE

21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证明：连接EF

∵AB∥CD

∴∠B=∠C

∵M是BC中点

∴BM=CM

在△BEM和△CFM中

BE=CF

∠B=∠C

BM=CM

∴△BEM≌△CFM（SAS）

∴CF=BE

22．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．

∵AF=CE,FE=EF.

∴AE=CF.

∵DF//BE,

∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）

∵BE=DF

∴：△ABE≌△CDF（SAS）

23.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。

连接BD ；

∵AB=AD BC=D

∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD;两角相加，∠ADC=∠ABC ；

∵BC=DC E\F 是中点

∴DE=BF ；

∵AB=AD DE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF 。

24．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

54321

E D

C A

证明：

在△ADC ，△ABC 中

∵AC=AC ，∠BAC=∠DAC ，∠BCA=∠DCA

∴△ADC ≌△ABC （两角加一边）

∵AB=AD ，BC=CD

在△DEC 与△BEC 中

∠BCA=∠DCA ，CE=CE ，BC=CD

∴△DEC ≌△BEC （两边夹一角）

∴∠DEC=∠BEC

25．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证

：△ABC ≌△DEF ．

∵AD=DF

∴AC=DF

∵AB //DE

∴∠A=∠EDF

又∵BC //EF

∴∠F=∠BCA

∴△ABC ≌△DEF （ASA ）

26．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．

证明：

∵BD ⊥AC ∴∠BDC=90°

∵CE ⊥AB

∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90°

∵AB=AC

∴∠DCB=∠EBC

∴BC=BC

∴Rt △BDC ≌Rt △BEC （AAS) A C

∴BE=CD

27.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE =DF ．

证明： ∵AD 是∠BAC 的平分线

∴∠EAD=∠FAD

∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC

∴∠BFD=∠CFD=90°

∴∠AED 与∠AFD=90°

在△AED 与△AFD 中

∠EAD=∠FAD

AD=AD

∠AED=∠AFD

∴△AED ≌△AFD （AAS ）

∴AE=AF

在△AEO 与△AFO 中

∠EAO=∠FAO

AO=AO

AE=AF

∴△AEO ≌△AFO （SAS ）

∴∠AOE=∠AOF=90°

∴AD ⊥EF

28.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的A

长？

∵AD ⊥AB

∴∠BAC=∠ADE 又∵AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E

根据三角形角度之和等于180度

∴∠ABC=∠DAE

∵BC=AE ，△ABC ≌△DAE （ASA ）

∴AD=AB=5

29．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC

B C M F E

证明：

∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC

∴∠BEM=∠CFM=90°

在△BME 和△CMF 中

∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF

∴△BME ≌△CMF （AAS ）

∴MB=MC ．

30．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，

MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，

求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

D C B

（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE ．

∵AC=BC ，

∴△ADC ≌△CEB ．

②∵△ADC ≌△CEB ，

∴CE=AD ，CD=BE ．

∴DE=CE+CD=AD+BE ．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE ．

又∵AC=BC ，

∴△ACD ≌△CBE ．

∴CE=AD ，CD=BE ．

∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE

31．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF

（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，

即∠EAC=∠BAF ，

在△ABF 和△AEC 中，

∵AE=AB ，∠EAC=∠BAF ，AF=AC ，

∴△ABF ≌△AEC （SAS ），

∴EC=BF ；

E B

（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，

∴∠AEC=∠ABF ，

∵AE ⊥AB ，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM 中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC ⊥BF ．

32．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。 F

M N E

234

证明：

（1）

∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC ，CN=AB

∴△ABM ≌△NAC

∴AM=AN

（2）

∵△ABM ≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM ⊥AN

33．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF

在△ABF和△CDE中

,AB=DE

∠A=∠D

AF=CD

∴△ABF≡△CDE（边角边）

∴FB=CE

在四边形BCEF中

FB=CE

BC=EF

∴四边形BCEF是平行四边形

∴BC‖EF

34．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD 相等吗？请说明理由

在AB上取点N ,使得AN=AC

∵∠CAE=∠EAN

∴AE为公共,

∴△CAE≌△EAN

∴∠ANE=∠ACE

又∵AC平行BD

∴∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

∴∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

∵BE为公共边

∴△EBN≌△EBD

∴AB=AN+BN=AC+BD

35.如图,已知: AD 是BC 上的中线

,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．

证明：

∵AD 是△ABC 的中线

BD=CD

∵DF=DE（已知）

∠BDE=∠FDC

∴△BDE≌△FDC

则∠EBD=∠FCD

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。

36.已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ．

求证：AB CD ∥．

证明：

∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC

∴∠CED=∠AFB=90o

又∵AB=CD ，BF=DE

∴Rt ⊿ABF ≌Rt ⊿CDE （HL ） ∴AF=CE

∠BAF=∠DCE

∴AB//CD

37.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD .34

C B

B F

∴OB=OC

在△AOB 和△DOC 中

∠1=∠2

OB=OC

∠AOB=∠DOC

△AOB ≌△DOC

∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB

在△ACB 和△DBC 中

AC=DB

,∠3=∠4

BC=CB

△ACB ≌△DBC

∴AB=CD

38.如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.

CE>DE 。当∠AEB 越小，则DE 越小。

证明：

过D 作AE 平行线与AC 交于F ，连接FB 由已知条件知AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形，且△

DFB 为等腰三角形。

RT △BAE 中，∠AEB 为锐角，即∠AEB<90°

∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°

△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°

RT △AFB 中，∠FBA=90°-∠DBF <45°

∠AFB=90°-∠FBA>45°

∴AB>AF

∵AB=CE AF=DE

∴CE>DE

39. (10分)如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE.

∵AB=DC,AC=DB ，BC=BC ∴△ABC ≌△DCB ，

∴∠ABC=∠DCB

又∵BE=CE ，AB=DC

∴△ABE ≌△DCE

∴AE=DE

A C E D

B A B E

C D