4.3角导学案
4.3角
4.3.1角
1.理解角的两种定义，识别角的符号.
2.知道角的几种表示方法，并能够正确表示.
3.掌握角的度量单位及度、分、秒的进位制，能够熟练的进行转换.
自学指导
看书学习第133页的内容，知道角的定义、角的表示方法.什么是周角、平角？ 知识探究
1.角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形.
2.如果一个角的终边继续旋转，旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角.继续旋转,当终边旋转到与始边再次重合时，所成的角叫做周角.
3.角的表示方法：角用“∠”表示，读做“角”.
(1)用三个大写字母表示.
(2)用表示角的顶点的字母表示.
(3)用一个数字或一个希腊字母(α、β、γ、θ)表示.
自学反馈
1.你能用不同的方法表示图(1)的各个角吗？
图(1) 图(2)
2.图(2)中，下列表示角的方法错误的为(D)
A.∠AOB
B.∠BOC
C.∠α
D.∠O
自学指导
看书学习第134页的内容，理解角的度量单位和换算.
知识探究
度、分、秒是角的基本度量单位.
1°的角等分成60份就是1′的角
1′的角等分成60份就是1″的角
角度制：1°=60′，1′=( )°
1′=60″，1″=( )′
1°=____″
教师点拨：度、分、秒是60进制的.
自学反馈
1.用度、分、秒表示：
(1)0.75°=45′=2700″
(2)（15
4）°=16′=960″ (3)16.24°=16°14′24″
2.用度表示：
(1)1800″=30′=0.5°
(2)50°40′30″=50°40.5′=50.675°
活动1：小组讨论
思考：
1.38.15°与38°15′相等吗？如不相等，哪个大？
解：38°15′大
2.想一想：时钟在5点15分时，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
解：67.5°
3.请用适当的方式分别表示下图中的每一个角.
活动2：活学活用
1.计算:180°–(45°17′+52°57′)
解：81°46′
2.8时30分，时针与分针所成的角是多少？
解：75°
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
4.3.2角的比较与运算
1.会用量角器度量角，并会比较两个角的大小.
2.会根据图形判断角的和差倍分.
3.记住角平分线的定义.
自学指导
看书学习第135、136、137页的内容，理解角的比较方法及角的定义和性质，会进行角度的加减运算.
知识探究
1.比较两个角的大小，我们可以用(量角器)量出(角的度数)，然后比较它们的大小，也可以把它们(叠合)在一起比较它们的大小，这两种方法分别叫(度量法)和(叠合法).
2.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平分线.
自学反馈
1.如图，用心填一填：
∠AOC=∠AOB+∠BOC
∠BOD=∠COD+∠BOC
∠AOC=∠AOD-∠COD
∠BOD=∠AOD-∠AOB
2.细心想一想，看谁做得最快.
(1)如图（1），若OB 是∠AOC 的平分线，那∠AOC=2∠AOB=2∠BOC ，∠AOB=∠BOC=2
1∠AOC.
图（1） 图（2）
(2)如图（2），若OB 是∠AOC 的平分线，OC 是∠BOD 的平分线，你能从中找出哪些相等的角？
解：∠AOB=∠BOC=∠COD ，∠AOC=∠BOD.
活动1：小组讨论
思考题：如图，OD 是∠AOB 的平分线，OE 是∠BOC 的平分线，且∠AOC=130°,求∠DOE 的度数.如果改变∠AOC 的大小，其他条件不变，请你探究∠DOE 的大小变化，从中得到的启示.
解：∠DOE=65°，∠DOE ＝2
1∠AOC 活动2：活学活用
如图：点A 、O 、B 在一直线上，∠AOC=80°,∠COE=50°,OD 是∠AOC 的平分线.
(1)试比较∠DOE 与∠AOE ，∠AOC 与∠BOC 的大小；
(2)求∠DOE 的度数；
(3)OE 是∠BOC 的角平分线吗?为什么？
解：（1）∠DOE ＜∠AOE ，∠AOC ＜∠BOC
（2）90°（3）是，因为∠COE=∠BOE=50°
1.会用量角器度量角，并会比较两个角的大小.
2.会根据图形判断角的和差倍分.
3.记住角平分线的定义.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
4.3.3余角和补角
1.了解两个角互余或互补的意义.
2.掌握同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.
3.理解方位角的概念，会用角描述方向，解决实际问题.
自学指导
看书学习第138、139页的内容，知道什么是补角和余角，以及它们的性质.
知识探究
1.一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角.即其中每一个角都是另一个角的余角.几何语言表示为：如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.
2.一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角.即其中一个是另一个角的补角.几何语言表示为：如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
3.性质：等角的余角相等，等角的补角相等.
自学反馈
1.判断题：
(1)90度的角叫余角，180度的角叫补角.(×)
(2)若∠1+∠2+∠3=90°则∠1，∠2，∠3互为余角.(×)
(3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角.(×)
(4)互补的两个角不可能相等.(×)
(5)钝角没有余角，但一定有补角.(√)
(6)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.(×)
(7)如果∠A=25°，∠B=75°，那么∠A与∠B互为余角.(×)
(8)如果∠A=x°，∠B=(90-x)°，那么∠A与∠B互余.(√)
2.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数.
解：45°.
活动1：小组讨论
1.如右图，点A、O、B在同一直线上，OD平分∠AOB，∠COE=90°.回答下列问题：
(1)写出图中所有的直角∠AOD，∠BOD，∠EOC；
(2)写出图中与∠AOE相等的角∠3；
(3)写出图中∠AOE所有的余角∠2，∠4；
(4)写出图中∠COD的补角∠EOB；
(5)写出图中∠DOE的补角∠AOC，
2.如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA，OE平分∠COB，
①∠COB+∠AOC=180°，∠EOD=90°.
②图中互余角有4对，互补角有5对.
活动2：活学活用
1.请认真观察下图，回答下列问题：
(1)图中有几对互余的角？
(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么?
解：（1）6（2）∠C＝∠B，∠COD＝BOE
2.用方位角描述下列方向.
解：略
1.余角、补角的概念：
(1)和为90°的两个角互为余角；
(2)和为180°的两个角互为补角.
2.余角、补角的性质：
(1)等角的余角相等；
(2)等角的补角相等.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
任意角 导学案
第一章三角函数 1.1.1任意角 学习目标： （1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法； 学习重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。 学习难点:把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。 新知导学 1．角 (1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形． (2)角的表示：如图 ①顶点：射线的端点O； ②始边：射线的起始位置OA； ③终边：射线的终止位置OB.
我们常在内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。 象限角的集合 （1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 轴线角的集合 （1）终边在x轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在x轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________ 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和． 题型探究 类型一角的概念问题 【例1】在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角；
对顶角导学案_(1)
9.4对顶角导学案 教学目标： 1、理解对顶角的概念，能在图形中辨认对顶角。 2、掌握对顶角相等的性质和它的推证过程。 3、会用对顶角的性质进行有关的推理和计算。 4、通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程，努力学习 数学语言，能用一些简单的数学语言描述图形的某些位置关系。教学重点：对顶角的定义及对顶角的性质。 教学难点：1、在图形中识别对顶角。 2、能用对顶角的性质进行简单的推理和计算。 教学设计： （一）、创设情境，引入课题 问题：1、观察纵横交错的公路、立交桥、风车的图片，回答哪些地方是交错的，哪些地方是平行的。 2、请举出现实生活中相交线、平行线的实例。 （二）、探究新知 1、对顶角的概念？（小组探究，你们行） 归纳、总结：辨认对顶角的要领“三看”： ①、看 ②、看 ③、看
反馈练习：如图∠1与∠2是对顶角吗？ 2、问题：既然我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？（小组探究，尝试用步骤，你们能行） 如图： （三）、精典例题： 1、如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE是∠BOD的平分线， 已知∠AOD=110°，求∠COB，∠AOC，∠BOE，∠EOD的度数。 2、当光线从空气射入水中，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。如图所示，图中∠1与∠2是对顶角吗？
练习：1、如图，直线AB，CD相交于点O，∠1的对顶角是， ∠4的对顶角是。 2、如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC+∠BOD=118°， 则∠AOD= 。 （四）、谈一谈，你的收获；你的困惑？（只有反思才有收获） （五）、当堂达标 1、如图所示的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数 有（）个。 A、0 B、1 C、2 D、3 2、如图直线AB，CD，EF相交于点O，如果∠COB=90°， ∠FOB=27°，则∠EOC= 。
华师大版八年级数学上册导学案含答案-13.2 4 第1课时 角边角
A B C F E D 4 角边角 第1课时 角边角 学习目标： 1.掌握三角形全等的判定方法------“角边角”（ASA ）；（重点） 2.应用“角边角”证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等.（难点） 自主学习 一、知识链接 1.能够 的两个三角形叫做全等三角形. 2.已经掌握的判定两个三角形全等的方法: 边角边： 及其 对应相等的两个三角形全等. 二、新知预习 1.在三角形中，我们研究了已知两边一角的情况，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等，那么三角形中已知两角一边又分哪几种呢？ 2.现实情境：一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了，如图所示.你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？ 能恢复原来三角形的原貌吗？ （1） 以①为模板，画一画，能还原吗？ （2） 以②为模板，画一画，能还原吗？ （3） 以③为模板，画一画，能还原吗？ （4） 第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________. 【猜想】两角及其夹边分别相等的两个三角形_______. 合作探究 一、探究过程 探究点1：利用“角边角（ASA ）”证明三角形全等 问题：先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB ，∠A ′=∠A ，∠B′=∠B.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？你能得出什么结论？ 【要点归纳】 分别相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA ”). 【几何语言】 如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF. ∠ACB ＝ ∠DBC ，求证：△ABC ≌△ 例1 如图，∠ABC ＝∠DCB ，DCB ． 【针对训练】如图，AD ∥BC ， BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE . 探究点2：全等三角形的判定（角边角）与性质的综合运用 例2 如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE. 【方法总结】证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来解 A B C
七年级数学上册 4.4角的比较 精品导学案 北师大版
角的比较 学法指导 类比线段大小比较的方法来学习角的大小比较，在操作活动中认识角的平分线，能画出一个角的平分线。 一.预学质疑（设疑猜想.主动探究） 1.回顾线段大小的比较，, 怎样比较图中线段AB、BC、CA的长短? 那么怎样比较∠A、∠ B、∠ C的大小呢? 2.如图，∠AOD是角，∠AOC是角，∠AOE是角，∠COD是角， ∠EOB是角。(填“直”.“锐”.“钝”) 3.如图，比较大小：∠AOD∠AOC，∠DO C ∠DOB，∠COD∠COE。 4.如图，∠BOC=∠BOE+，∠BOA=∠BOC+，∠BOC=∠BOD－。 5.如图，OE是∠BOC的角平分线，则∠BOC=2；OD是∠AOC的角平分线，则∠AOC=2。 要做学疑之星，提价值性问题：阅读课文内容，你认为模糊或不懂的地 方记录下来： 二.研学析疑（合作交流.解决问题） 1．比较角的大小 （1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 （2）叠合法：把两个角叠合在一起比较大小。 （1）∠AOB∠AOB′；（2）∠AOB∠AOB′；（3）∠AOB∠AOB′。2.认识角的和差 思考：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？ （第2.3题图）（第4.5题图） A B C A O B B＇ A O B B＇ A O B（B＇） （1）（2）（3） B C
3.用三角板拼角 探究：借助三角尺画出15°，75°的角, 你还能画出哪些角？有什么规律吗？ 4.角平分线 图形语言：如图（1）， 文字语言：∵OB 是∠AOC 的平分线 符号语言： ∴∠AOC =2∠AOB=2∠BOC 或∠AOB=∠BOC=21 。 图形语言：如图（2）， 文字语言：∵OB 、OC 是∠AOD 的三等分线 符号语言： ∴∠AOD = ∠AOB = ∠BOC = ∠DOC 或∠AOB =∠BOC =∠DOC = ∠AOD 。 5、【例题1】如图所示，∠AOB 是平角，OC 是射线，OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的角平分线， 若∠AOD =65°，求∠DOE 和∠BOE 的度数． 【变式练习】如图所示，已知点A 、O 、B 在同一条直线上，且OC 、OE 分别是∠AO D 、∠BOD 的角平分线如图，射线OC 的顶点O 在直线AB 上，OD 是∠AOC 的角平分线，OE 是∠BOC 的角平分线， 求∠DOE 的度数． A O B C D （2） A O B C （1）
任意角与弧度制导学案.doc
第一章三角函数 【学习目标】 1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【日主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ 所学的角的范围是什么？问题2：在体操、跳水中，有“转体720°”这样的动作名词，这里的 “ 720°”，怎么刻画? 二、建构数学 1.角的概念 角同?以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和O 2.角的分类 按方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做O 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个,它的和重合。这 样，我们就把角的概念推广到了,包括________________________ 、 ________ 和 ________ 。 3.终边相同的角 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成? 4.象限角、轴线角的概念 我们常在直鱼坐度内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的 与重合。那么，角的（除端点外）落在第几象限，我 们就说这个角是o 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为.
象限角的集合 (1)第一象限角的集合： ____________________________________________ (2)第二象限角的集合： ____________________________________________ (3)第三象限角的集合： ____________________________________________ (4)第四象限角的集合： ____________________________________________ 轴线角的集合 (1)终边在x轴正半轴的角的集合：_____________________________________________ (2)终边在x轴负半轴的角的集合：_____________________________________________ (3)终边在y轴正半轴的角的集合：____________________________________________ (4)终边在y轴负半轴的佑的集合：____________________________________________ (5)终边在X轴上的角的集合：____________________________________________ (6)终边在y轴上的角的集合：____________________________________________ (7)终边在坐标轴上的角的集合： ____________________________________________ 三、课前练习 在百.角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。 30° ,150°,-60°, 390°, -390° ,-120° 【典型例题】 例1 (1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？ (2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度?
任意角与弧度制导学案
第一章 三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0 720”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。这样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ______. 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________. 象限角的集合
13.2.4.三角形的判定_角边角_角角边(1)_导学案
13.2.4.三角形的判定 “角边角 角角边 ” 学习目标 1．理解和掌握全等三角形判定：“角边角”和“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等． 2．能把证明一组角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 学习重点：掌握三角形全等“角边角”“ 角角边”的条件 学习难点：正确运用“角边角”“ 角角边”的条件判定三角形全等，解决实际问题。 一．课前准备： 1、全等三角形判定SAS ： 对应相等的两个三角形全等。 2、如图所示，已知AE=DB ，BC=EF ，BC ∥EF ， 说明△ABC 和△DEF 全等的理由． 二．自学教材。探索交流 （一）探索新知： 做一做 情况1、角边角 两角及这两角的夹边 分别对应相等 画两个角分别为45°.和60°其夹边为4cm 的三角形。 小组交流： 小组成员把你们画的三角形剪下看是否都能重合？ 归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） 情况2、角角边——两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等。 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？ A D
能利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？ 归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定： 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） （二）探索应用： 1.如图。已知，∠ABC=∠BCD. ∠ACB=∠DBC. 求证：△ABC ≌ △DCB ， AB=DC 2. ．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠， 求证：△ADC ≌ △AEB ;BE=CD B E A B C D O
七年级上数学4.3.2角的比较与运算(1)导学案
七年级上数学4.3.2角的比较与运算（1）导学案 课型：新授主备人：时间：11月30日二次备课人：审核:七年级组使用时间学习目标： 1、运用类比的方法，学会比较两个角的大小； 2、认识角的平分线，会画角的平分线； 3、角的计算。 重点：?认识角平分线及画角平分线，角的计算。 难点：认识角平分线及画角平分线，角的计算。 导学过程： 自主学习： 阅读课本138页，完成下面的问题 （一）角的比较 1、与线段长短的比较相类似，比较两个角的大小有2种方法： 方法一为：_________________________；方法二为：____________________________ 2、思考：如图，（1）图中共有几个角？怎么数的？在图中表示出来。 （2）下图中角之间的关系 填空：∠AOB=_________+____________；∠BOC=________________-__________ （二）角的平分线 1、如图，如果∠AOC=∠BOC，那么射线OC是∠AOB的角平分线。 角平分线的定义：_______________________________________________ 关键词是：___________________________
符号语言：∵OC 平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC (∠AOB=2∠ 或∠AOB =2∠ ;或∠AOC= 2 1∠ ，∠BOC = 2 1∠_____ ) 2、请画出下面两个角的角平分线， B O A B O A 尝试应用： 1、如图⑴所示：⑴∠DAB =∠DAC+ ⑵∠ACB =∠DCB – 2、如图⑵若∠AOB =∠BOC =∠COD ，则OB 是 的平分线， = 2 1∠AOC ， ∠BOC = 2 1 = = 2 1 = 3 1 3、O 是直线AB 上一点，∠AOC=53°，OD 平分∠BOC,求∠BOD 的度数？ 课堂小结： 通过学习，你对自己的学习做一下总结： 1． 你 学 会 的 ( 知 识 、方 法)有： 2． 需要注意的问题有： 综合检测： 1、如下图，用“＝”或“>”或“<”填空： （1）∠AOC_______∠AOB+∠BOC ； （2）∠AOC_______∠AOB ； （3）∠BOD-∠BOC______∠DOC ； D C B O A
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
1.2.1任意角的三角函数（A层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y； ②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x； ③y x 叫做α的________，记作______，即tanα＝ y x (x≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r=,那么任意角α的三角函数的定义为： sinα＝ cosα＝ tanα＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀：。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________， tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z. 角α0π 6 π 4 π 3 π 2 2 3 π 3 4 π 5 6 ππ 3 2 π2π sin αcos αtan α
二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.
4.4角的比较导学案
1 4.4角的比较 主备人：李振超 审核人： 学习目标： 1.会比较角的大小，能估计一个角的大小。 2.会说出角平分线的定义。 3．会写出角平分线定义的简单应用格式。 学习重点：角的大小的比较方法 学习难点：角平分线定义的简单应用格式。 学习过程： 一 ：复习提问 1.如果观察直接难以判断，有哪些方法可以比较线段的大小？ 二 学习提纲一 角的比较 用5分钟自学课本118页的内容，如有疑问可小组交流。 自学检测：1、如果观察直接难以判断，有哪些方法可以比较角的大小？ 2.用叠合法比较角的大小 （1）.要让两个角的顶点及角的一条边 。 （2）.两个角的另一边落在重合一边的 。 （3）.看另一条边落在角内还是角外，分三种情况： 自学提纲一. 根据图形，求解下列问题： （1）比较∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 、∠AOE 的大小，并指出 其中的锐角、 直角、钝角、平角. （2）借助三角尺估测图中∠AOB 、∠AOD 的度数. D A E O B C
2 A O B C D 图1自学提纲二. 用2分钟自学课本第119页角的平分线内容，并完成下面的做一做，有疑问小组交流。 做一做：在一张透明纸上任意画一个角AOB ∠，把这张透明纸折叠，使角的两边OA 与OB 重合，然后把这张纸展开、铺平，画出折痕OC ．试比较AOC ∠与BOC ∠的大小． 自学检测二 1.从一个角的顶点引出的一条________，把这个角分成两个________的角，这条射线叫做这个角的平分线 2.射线OC 就是AOB ∠的平分线，这时∠_____=∠______=2 1∠_____．或∠AOB=2∠____=2∠_______ 三．归纳总结 1． 角的大小比较的主要方法：度量法、叠合法 2． 角平分线的定义。 四、达标检测 1、3∶30时，时针与分针所成的角是（ ）． A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．平角 2、填“>”或“<”． （1）直角 锐角，直角 钝角，钝角 锐角，直角 钝角 平角． （2）如图1， ∠AOC ∠AOB ∠BOD ∠COD ∠AOC ∠AOD ∠BOD ∠BOC 3、如图，点O 在直线AC 上，画出COB ∠的平分线OD ．若?=∠55AOB ，求AOD ∠的度数． A B C O 第4题 学后反思
5.1.1 任意角 导学案
5.1.1 任意角 重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 一、 预习导入 阅读课本168-170页，填写。 1．任意角(1)角的概念： 角可以看成平面内一条 绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的 ． (2)角的表示 如图，OA 是角α的始边，OB 是角α的终边，O 是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类：按旋转方向，角可以分为三类： 名称 定义 图示 正角 按 方向旋转形成的 角 负角 按 方向旋转形成的 角 零角 一条射线没有作任何旋转形 成的角 2．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边 上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的和． 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角都是锐角．( ) (2)终边相同的角一定相等．( ) (3)锐角都是第一象限角．( ) (4)第二象限角是钝角．( ) 2、2 020°是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 3、与30°角终边相同的角的集合是( ) A ．{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z} B ．{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z} C ．{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z} D ．{α|α＝－30°＋k ·180°，k ∈Z} 4、将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________． 题型一 任意角和象限角的概念 例1 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°，②855°，③－510°. 跟踪训练一 1．已知集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( ) A ．A ＝B ＝C B ．A ?C C ．A ∩C ＝B D ．B ∪C ?C 2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；
角导学案
课题 4.3.1 角 年级班姓名组号 学习目标： 1、知识和技能 （1）能在现实情境中，经历画图的数学活动过程，理解并掌握直线的性质，（2）能用几何语言描叙直线的性质。 会用字母表示直线、射线、线段，会根据语言描述画出图形。 2、过程与方法 （1）能在现实情境中，进行抽象的数学思考，提高抽象概括能力。 （2）经历画图的数学活动过程，提高学生的动手操作与实践能力。 3、情感态度与价值观 体验通过实验获得数学猜想，得到直线性质的过程 重、难点与关键 重点：理解并掌握直线的性质，会用字母表示图形和根据语言描述画出图形。难点：根据语言描述画出图形。 关键：理解画图语言，建立图形与语言之间的联系 一、学前准备（展示一） 1、你认为什么是角？。 2、举例生活中角的实例。 二、自主探究 1、角的概念（展示二） （1）由组成的图形叫做角。 （2）角也可以看作是由一条_____绕着它的端点旋转而成的图形。 2 3 请用适当的方法表示下图中的每个角． 4、阅读课本第129页有关内容。回答完成以下填空（展示五） 把一个圆360等分，每一份就是___度，记作___； 把一度的角60等分，每一份就是___分，记作___； 把一分的角60等分，每一份就是___秒，记作___。
1周角=_____°，1平角=1周角=_____°，1平角=_____° 1°=____′，1′=____″°，1°=____′，1′=____″ 5、∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α= 。（展示六） 三、应用尝试 1．如下左图所示，把图中用数学表示的角，改用大写字母表示分别是________． 2 3．（18）°=_____′=_____″；6000″=______′=_______°． 4．在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是（ ）． A ．150° B ．165° C ．135° D ．120° 5．下列各角中，不可能是钝角的角是（ ）． A ．13周角 B ．23平角 C ．23钝角 D ．23 直角 6．计算： （1）53°28′+47°32′； （2）17°50′-3°27′； （3）15°24′×5； （4）31°42′÷5（精确到1″）． 四、学习体会 1、本节课你有哪些收获？ 2、预习时的疑难问题解决了吗？你还有哪些疑惑？ _ A _ B
28.2.1 解直角三角形(导学案)
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 一、新课导入 1.课题导入 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线 的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题. 2.学习目标 （1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系. （2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 3.学习重、难点 重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形. 难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容. （2）自学时间：8分钟. （3）自学要求：完成探究提纲. （4）探究提纲： ①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. ②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90 °. b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2 . c.边角关系：sinA＝a c ，sinB＝ b c ； cosA＝b c , cosB＝ a c ； tanA＝a b , tanB＝ b a .
③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考） 已知其中两个元素（其中至少有一个是边）. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误. 4.强化 （1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）. （2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）. ①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边. ②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角. 1.自学指导 （1）自学内容：教材P73例1、例2. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠. （4）自学参考提纲： ①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC 、BC ，需求出的未知元素是：斜边AB 、锐角A 、锐角B. 方法一：∵tanA = BC AC ∴∠A= 60 °,∠B=90°- ∠A = 30 °. ∵，,∴AB = 方法二：∵，,∴由勾股定理可得AB= sinA= BC AB A= 60 °,∴∠B=90°-∠A = 30 °. 这里∠B 的度数也可用三角函数来求，你会吗？ ②比较上述解法，体会其优劣. ③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b 和一锐角B ，则要求的未知元素有直角边a 、斜边c 、锐角A. ④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.
高一数学《111任意角》学案
1.1.1 任意角 学习目标：1.理解任意角的概念 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的写。 学习重点：将0360?? ~的角的概念推广到任意角. 学习难点：1.角的概念推广到任意角 2终边相同的角的表示。 复习：1．初中所学角的概念。 2．实际生活中出现一系列关于角的问题 新授探究案： 1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成一个角α，点O 是 角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。 说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类： 正角： 负角： 零角： 3．象限角： 非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 4．终边相同的角的集合： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 例1:在0360??~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几象角. 练习1.在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120- （2）640 （3）95012'- 例2写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?-≤ 720?<的元素β写出来. 练习2. 写出下列各边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤≤的元素β写出来： （1）60； （2）21-； 当堂检测 1. 下列命题中正确的是( ) A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角 B ．第二象限角一定是钝角
(新)角的初步认识导学案
《角的初步认识》导学案 涌泉完小雷玲 【学习目标】 1、我能认识角， 2、我知道角有一个顶点，两条边。 3、我会用尺画角。 【学习重点】认识并会画角，知道角的各部分名称。 【学习难点】能正确地画角。 【学习过程】 一、情景引入，揭题展标 同学们好，我们先来做一个猜图形游戏，看看这个可能是什么图形？（师出示图形） （预设：生：圆形、半圆。学生猜后，取出这个圆形） 教师在出示另一个图形露出一个角猜测。 （预设：生：三角形、正方形、长方形.、、、、）师追问：“咦！为什么不是圆形？生：这里的图形有一个角。 师：原来同学们师根据图形上的角来猜的。 今天我们就一起来认识角这位新朋友。（板书：角的初步认识） 二、学案引导自主学习 1、出示38页的主题图 师：这位新朋友他最害羞总是喜欢躲起来。请同学们找一找哪里有角 现在在小组内把你看到的角说给别人听，看哪个小组找到的角最多。 （小组活动：找角） 师：哪个组的同学想先把你们组找到的角指给大家看？ 师：同学们观察得很仔细，这些都是角。（板书：我会找角） 2、我们生活中许多物品都有角，你还能举出那些例子？ 3、出示教材39例1，
师：老师也找了几个，我们一起来看一看，角在哪里？描一描。 师：上面的图形都是角。请小组讨论角由哪几部分组成。 师：哪是角的顶点，哪是角的边。小组内指一指看一看。（标示角的顶点和边）（板书：我知道角有一个顶点，两条边。） 3、自己画出一个角。 师：刚才我们认识了新朋友——角，你能把它画在纸上吗？自己先试一试。师：谁愿意到黑板上来画一个？（请几个同学板演） 教师归纳画角的方法：从一个点起，用尺子向不同的方向画两条线，就画成一个角。 师：大家会画角了吗？（板书：我会用尺画角） 老师送你们一首儿歌帮你记住“角”吧！ 小小角，真简单， 一个顶点两条边。 画角时，要牢记， 先画顶点再画边。 三、整合提高达标检测 1、下面的图形，哪些是角？在角的下面画“√”，不是的画“×”。 2、数出下面的图形中各有几个角
《解直角三角形》导学案
28．2．1 解直角三角形 【学习目标】 ⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】 直角三角形的解法． 【学习难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 【导学过程】 一、自学提纲： 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精 确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子 三、教师点拨： 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．
角的比较与运算导学案
华亭县西华初中 七年级上册数学导学案 主备：王平 审阅：韩彩琴 班级 ：七（1） 多一份睿智 少一份嬉戏 展一份风采 第 1 页 共 1 页 课题：4.3.2 角的比较与运算（1） 【学习目标】 1.掌握比较角的大小的两种方法，理解角的平分线的概念，会进行角的加减运算； 2.通过动手操作，体会数形结合思想。 【学习重、难点】 重点：角的大小的比较方法； 难点：角的加减运算。 一、自主学习（一）:请同学们认真阅读课本134页“角的比较与运算”课题之下，“思考”之上的内容，2分钟后完成下列问题： 1.角的大小比较方法有两种，分别是 和 。 2.尝试练习：如图，用量角器量出角的度数，然后比较它们的 大小。 ∠AOB= ； ∠BOC= ； ∠AOC= ∠AOB ∠BOC ∠BOC ∠AOC ∠AOB ∠AOC 二、自主学习（二）：请同学们对照图形仔细阅读课本134页“思 考”至135页“第一个探究”之上的内容，3分钟后完成下列尝试练 习： 在上图中，若 (1)∠BOC=350,∠AOB=400,则∠AOC= + = (2)∠AOC=580,∠BOC=270,则∠AOB= - = (3)∠BOC=x 0,∠AOB=y 0,则∠AOC= (4)∠AOC=m 0,∠BOC=n 0,则∠AOB= 三、合作探究： 1.一副三角板的各个角分别是多少度？借助三角尺画出150、750的角。 2.用一副三角板，你还能画出哪些度数的角？试一试 3.画出的这些角有什么规律吗？规律是：凡是 的倍数的角都能画出。 四、自主学习（三）：请同学们自学课本135页“第一个探究”之下至“第二个探究”的内容，3分钟之后完成下列问题： 1.角的平分线：从一个角的_____出发，把这个角分成 的角的 ，叫做这个角的平分 线。 2.数学符号表示：如右图，OB 是∠AOC 的平分线,可以 记作: ∠AOC=2 =2 或∠AOB=∠BOC=2 1 。 3. 如右图： (1) 如果AC 平分∠BAD ，那么∠ =∠ ； (2) 如果∠BAC=∠DAC ，那么 是 的角平分线。 五、当堂训练： 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COD 的平分线， 1.若∠AOC ＝50°，∠COD ＝80°，∠BOE= 2.若∠AOD ＝130°，那么∠BOE = 3.若∠BOE ＝60°，那么∠AOD = 4.由上可知: ∠BOE ＝_____∠AOD 。 5.∠AOC= + =∠AOD- 六、课堂小结：本节课你的收获？ A O B C A O B C A C B O E D
8.1角的表示导学案
8.1 角的表示 导学案 【学习目标】： 1、使学生进一步认识角的有关概念，掌握角的表示方法. 2、理解平角、周角的意义. 【重点难点】： 1、 重点：角的概念和角的表示法、角的多种表示法，从运动的观点给出的角的概念 【课前自学、课中交流】：阅读课文P4-5内容，完成下列问题 【自主探究一】: 1.角的两种定义： （1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.这个公共端点叫做角的 ，这两条射线叫做 角的 . （2）角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形(如图).起始位置的射线叫做角 的 ，终止位置的射线叫做角的 . 【练习1】下列说法中，正确的是（ ） A.两条射线组成的图形叫做角 B.角是一条射线绕着它的一个端点旋转而成的图形 C.有公共端点的两条线段组成的图形叫角 D.角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形 2.角的4种表示方法：（请根据下面的四个图，把四种不同的表示方法写在横线上。） 、 、 、 【练习2】：如图，由点O 引射线OA 、OB 、OC ，则这三条射线 组成_______个角，分别是___ _ ___， 其中∠AOB 用字表示为________，∠2用三个字母表 示为_________________.注意：∠2 （填“能”或“不能”）用∠O 表示，理由是 。 3.小结：角的表示： 角用符号“∠”表示，读做“角”，通常有以下几种表示方法： （1）用三个大写字母来表示，其中表示顶点的字母一定要写在另两个字母的中间. 中间的字母表示顶点，其他两个字母分别表示角的两边上的点． （2）用一个数字或希腊字母(如α，β，γ)表示． （3）用顶点的字母表示（当以某一点为顶点的角多于一个时，不能用这种方法表示角，因此，这种方法虽然简单，但局限性大） 【自主探究二】: 1.平角、周角的概念： 如图a ，如果终边继续旋转，旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做 ； 如图b ，如果终边继续旋转，旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做 . （图a ） （图b ） 【练习3】：判断 因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看做是一个平角。（） O
先学后教：边角边定理导学案--学生专用
八年级数学导学案 §11.2 三角形全等的判定---—“边角边”定理主备人：审核人：班级：姓名： 【学习目标】 1、理解并掌握三角形全等的“SＡS”判定方法。（重点） 2、运用“SAS”证明三角形全等，进而证明线段或角相等（难点） 【学习过程】 一、板书课题：§11.2三角形全等的判定---—“边角边” 二、学习目标： 1、理解并掌握三角形全等的“SＡS”判定方法。 2、运用“SＡS”证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等。 三、自学比赛：认真看课本P8-10的内容. ①第八页“探究3”反映的是什么规律？ ②在两个三角形中只要找出几对相等的条件，就能判定它们全等？ ③注意例题的步骤和格式。 ④想证明两条线段或两个角相等，只要通过证明什么，就能够解 决这个问题？ 四、引导探究： 1、课本P8“探究3”：三角形全等的条件---边角边 （1）如图所示：在△ABC和''' 中, AB= =3厘米， A B C ∠B=∠B′=30°，BC==5厘米，则≌。 （2）三角形全等的SAS判定定理：和它们的对应相等的两个三角形全等。
C ' B 'A ' C B A 2、课本P10“探究4” ： 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形，是否全等？ 观察下图中的两个三角形，它们 （“全等”或“不全等”） 。 3、用符号语言来表述，两个三角形全等的判定：边角边 在△ABC 和'''A B C 中 , ∴△ABC ≌ （ ） 4、 仿照课本第9页例题2，完成下题： 如图所示：∠CAB=∠FED ，AC=EF ，AE=BD 。求证：△ABC≌△EDF。
五、知识反馈： 1、已知：OD = OB,应添加 = ，就可以得到： △AOB ≌△COD，请你写出理由。 2、已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2．求证：△ABD≌△ACE． 六、能力提升： 1、下列条件中，能让△ABC≌△DFE的条件是（） （A）AB=DE，∠A=∠D，BC=EF；（B）AB=DF，∠B=∠E，BC=EF； （C）AB=EF，∠A=∠D，AC=DF；（D）BC=EF，∠C=∠E，AC=DE； 2、如图所示：AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C 第2题