高三数学专项训练：古典概型(二)
高三数学专项训练：古典概型（二）
一、选择题
1．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3的概率是（ ）
A
2．10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是( )
3．数列{n a }满足a 1＝1，a 2＝1，n a ＝1n a －＋2n a －（n ∈N ﹡，n ≥3）．从该数列的前15项中随机抽取一项，则它是3的倍数的概率为
A 4．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相
等
的
概
率
是
（ ）
5．将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（ ）
6．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为( ) A ．0.99 B ．0.98 C ．0.97 D ． 0.96 7．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是( )
A.
8．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）.
9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
10．现有编号为1—5的5名学生到电脑上查阅学习资料，而机房只有编号为1—4的4台电脑可供使用，因此，有两位学生必须共用同一台电脑，而其他三位学生每人使用一台，则恰有2位学生的编号与其使用的电脑编号相同的概率为（ ）
A
试的人中招聘3
推断出参加面试的人数为（）.
A．20 B．21 C．10 D．70 12．一个不透明的口袋中装有形状相同的红球、黄球和蓝球，若摸出一球为红球的概率
4个，则袋中蓝球的个数为（）.
A．5个B．11个C．4个D．9个
13．编号为1、2、3、4的四个人入座编号为1、2、3、4的四个座位，则其中至少有两个人的编号与座位号相同的概率是（）
A B C D
14．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a
b 的概率是( )
15．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是
A．恰有1名男生与恰有2名女生
B．至少有1名男生与全是男生
C．至少有1名男生与至少有1名女生
D.至少有1名男生与全是女生
16．从1、2、3、4、5五个数字中任选两个组成个位和十位数字不同的两位数，这个数字是偶数的概率为（）
17．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放在这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行每列的水果种类各不相同
18．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（）
19．某省举行的一次民歌大赛中，全省六个地区各选送两名歌手参赛，现从这12名歌手中选出4名优胜者，则选出的4名优胜者中恰有两人是同一地区送来的歌手的概率是（）
无法确定 21．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为
A B C D 22．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
二、填空题
23．在大小相同的2个红球和2个白球中，若从中任意选取2 个，则所选取的2个球中恰好有1个红球的概率为__________．
24．某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，其中女生当选为组长的概率是___________。
25．从6名男同学，5名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 __________。
26．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为c b ,，则方程 2
20x bx c ++=有实根的概率为_______________
27．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是_____
28．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .
29．分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是__________.
30．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是__________.
31．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m ，第二次掷得的点数为n ，则点(,)P m n 落在圆x 2
＋y 2
＝16内的概率是.
三、解答题
32．现有一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是7的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是7的概率是多少？
33．2013年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24
(Ⅰ)从样本中PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，
求恰好有一天PM2．5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
34．某班数学兴趣小组有男生3名，记为123,,a a a ，女生2名，记为12,b b ，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛 ⑴写出所有的基本事件
⑵求参赛学生中恰好有一名男生的概率 ⑶求参赛学生中至少有一名男生的概率
35
（Ⅰ）根据上表中的数据，判断甲，乙两人谁发挥较稳定；
（Ⅱ）把甲6次射击命中的环数看成一个总体，用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环数组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 36．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（1）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
（2）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； 37．一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆. （1）求z 的值 （2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.从这5辆车中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率。
38．一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y
（1）列出所有可能结果。
（2）求事件A=“取出球的号码之和小于4”的概率。 （3）求事件B=“编号X ＜Y ”的概率
39．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ）获得身高数据的茎叶图如下：
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高。 （2）计算甲班的样本方差。
（3）现从甲乙两班同学中各随机抽取一名身高不低于cm 178的同学，求至少有一名身高大于cm 180的同学被抽中的概率。
40．市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，
（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA 表示走D 路从甲到丙，再走D 路回到甲，然后走A 路到达乙）;
（2）假设从丙地到甲地时若选择走道路D 会遇到拥堵，并且从甲地到乙地时若选择走道路B 也会遇到拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？
41．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
42．袋中装着分别标有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球.
（1）从袋中任取2个小球，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；
（2）从袋中有放回的取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x ，第二次为y ，求点(,)M x y 满足2
2
(1)9x y -+≤的概率．
44．将一个质地均匀的正方形骰子先后抛掷两次，计算其中向上的数之和是5的结果有多少种；求向上的数之和是5的概率；求向上的数之和是3的倍数的概率。 45．从编号为1，2，3，4，5的五个形状大小相同的球中，任取2个球，求：（1）取到的这2个球编号之和为5的概率；（2）取到的这2个球编号之和为奇数的概率． 46．一箱里有10件产品，其中3件次品，现从中任意抽取4件产品检查. （1）求恰有1件次品的概率； （2）求至少有1件次品的概率.
47．为了解《中华人民共国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某学校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下： 5，6，7，8，9，10。
把这6名学生的得分看成一个总体。 （1）求该总体的平均数；
（2）求该总体的的方差；
（3）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，求该样本平均数于总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
48．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标(,)m n ，求： （1）点P 在直线7x y +=上的概率； （2）点P 在圆2225x y +=外的概率。
49．学校在开展学雷锋活动中，从高二甲乙两班各选3名学生参加书画比赛，其中高二甲班选出了1女2男，高二乙班选出了1男2女。
（1）若从6个同学中抽出2人作活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学，高二乙班男同学至少有一个被选中的概率。
（2）若从高二甲班和高二乙班各选一名现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率。
50．为了参加2012贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数
（Ⅰ）现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员，求应分别从这四个班抽出的队员人数；
（Ⅱ）该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军．若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率．
高三数学专项训练：古典概型（二）参考答案
1．A 【解析】
试题分析：∵从标注数字1，2，3，4，5的五个小球中随机取出2个小球共有2
510C =种不
同的情况，其中取出的小球标注的数字之和为3的情况有1种情况,∴取出的小球标注的数
字之和为3A 考点：本题考查了古典概型的运用 点评：古典概型公式的应用，关键是要求出分子A 包含的基本事件的结果数和一次试验中可能出现的总结果数；同时要注意这两种结果必须在等可能的前提下。 2．B 【解析】
试题分析：根据题意，由于10张奖券中只有3张有奖，那么5个人购买，每人1张，所有
的情况为510C ，那么对于没有人中奖的情况为57C ,那么可知没有人中奖的概率为5
7C ：
5
10
C =1:12，而至少有1人中奖的概率，根据对立事件的概率可知结论为为B.
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型概率的求解，属于基础题。 3．B 【解析】
试题分析：根据题意，由于数列{n a }满足a 1＝1，a 2＝1，n a ＝1n a －＋2n a －（n ∈N ﹡，n ≥3），则3456=2=3=5=8a a a a ，，，依次类推，则可知该数列的前
15
项为
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610，那么可知在这里是3的倍数的数有3个，3,21,144，则由古典概型概率可知，所求的概率为3:15=1:5=0.2，故答案为B. 考点：古典概型概率
点评：主要是考查了古典概型的概率的计算，属于基础题。 4．A 【解析】
试题分析：随机分成两组共1
2
3
77763C C C ++=种分法，两组和相等即各组和为14，共有4
种分组方法，分别是1.6.7,2.5.7,3.4.7,3.5.7考点：古典概型概率 点评：古典概型概率的求解需要找到所有基本事件种数与满足题意要求的基本事件种数，然后求其比值 5．C 【解析】
试题分析：根据题意，由于含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则所有的情况为62
4=C ,而甲、乙两名同学分在同一小组的情况有2种，那么可知由古典概
C 。 考点：古典概型
点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目． 6．D 【解析】
试题分析：只有抽到甲才是正品。则抽得正品的概率为1(0.030.01)0.96P =-+=。故选D 。
考点：古典概型的概率
点评：古典概型的概率总的概率为1. 7．B
【解析】
试题分析：掷一枚骰子，得到的点数可以是：1，2，3，4，5，6，其中奇数点数为1，3，5，所以掷得奇数点的概
B 。
考点：古典概型的概率
点评：求古典概型的概率，只有确定要求事件的数目和总的数目，然后求出它们的比例即可。 8．D 【解析】
试题分析：抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为
故选D. 考点：古典概率
点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m:n ．属基础题 9．A 【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有
3种结果，根据古典概型概率公式得到P=
考点：古典概型概率的计算。
点评：简单题，利用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，是常见方法之一。有时可以利用“坐标法”。 10．A
【解析】
故选A.
式子的分母是24
54C A ?是所有可能情况，即5个人里面选2个人做一堆即25C ，然后将剩余的3人和选好的两人共4堆做全排列即44A 对应于4台电脑的位置，所以是2454240C A ?=
分子是根据编号为5的同学来分成两种情况： （1）编号为5的同学和另外4人中的一人共用一台电脑.那么可以先将1到4编号的同学排好，再将某台电脑给编号5的同学共用。即是先从4台电脑里面选择两台，这两台编号与使
用者编号相同，共有2
4C 种，剩下的两台电脑和两名同学的配对关系则是固定的，即有1种，然后是给5号同学选择电脑14C 种，所以是2144
1C C ??种. (2）编号为5的同学单独使用一台电脑。那么是先从4台电脑里面选择两台，这两台编号与
使用者编号相同，共有24C 种，在剩下的两台电脑里面选择一台给5号同学单独使用，即有12
C 种，则最后一台电脑的使用者是固定的，再将最后一位同学放入先前编号与使用者编号相同
的两台电脑中，即有12C 种，所以是211422
1C C C ???种. 所以总共的情况是212114442211242448C C C C C ??+???=+=种.
考点：古典概型概率的计算，简单排列组合应用问题。
点评：中档题，古典概型概率的计算，关键是明确“事件数”，根据题目的条件，利用排列组合知识计算是常见方法。有时利用“树图法”、“坐标法”，更为直观。 11．B 【解析】
试题分析：设共有n 个人，然后根据每人被招的可能性相同得到二人同时被招的概率，使其
n 的值，得到答案．解：设共有n 个人参加面试，从n 个人中招聘3人的
所有结果数共有C n 3
=种,则此两个人同时被招进的结果有
C n-21
C 22
∴n （n-1）=420即n 2
-n-420=0,∴n=21,故选B
考点：古典概率
点评：本题主要考查古典概率以及其概率的计算公式．考查对基础知识的灵活运用 12．B 【解析】
m 个，那么根据题意，摸出一球为红球的概
m+n=16，同时可知m=5,n=11,故答案
为B.
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型概率的运用，属于基础题。
【解析】
试题分析：四个人座在四个不同的位置有44A 种不同的情况，其中两个人的编号与座位号相同的情况有6种，三个人（四个人）的编号与座位号相同的情况有1种，故至少有两个人的编号与座位号相同的情况有7
选A 考点：本题考查了随机事件的概率
点评：熟练掌握排列组合及古典概率的求法是解决此类问题的关键，属基础题 14．D 【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到
故选D. 考点：古典概型
点评：本题考查离散型随机变量的概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 15．A 【解析】 试题分析：互斥事件是二者一个发生了另一个就不能发生。对立事件是二者互斥并且二者必有一个发生。据此可知，互斥不对立的两个事件是“恰有1名男生与恰有2名女生”，选A 。 考点：本题主要考查互斥事件、对立事件的概念。
点评：简单题，互斥事件是二者一个发生了另一个就不能发生。对立事件是二者互斥并且二者必有一个发生。 16．A 【解析】
试题分析：总的选法为202
5=A ,所选的两位数是偶数的有81
412=A C ,
考点：古典概型 点评：本题考查概率的计算，关键是能准确判断要求事件包含的基本事件的个数，属基础题. 17．A 【解析】
试题分析：依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A 6
6＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96
种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有C 23·C 12·C 12·A 2
2
＝24种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有C 12·C 1
2＝4种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于96720＝2
15
，故选A
考点：本题考查了古典概型
点评：对于古典概型的概率的计算，首先要分清基本事件总数及事件Ａ包含的基本事件数，分清的方法常用列表法、画图法、列举法、列式计算等方法
【解析】
试题分析：取出的2个小球可以是：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、 （3，4）、（3，5）、（4，5），共10种情况，而取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的有：（1，3）、
（1，5）、（2，4）、（3，5），共4C 。 考点：古典概型
点评：求古典概型的概率，通用方法是列举法。 19．C 【解析】
试题分析：本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有4
12C 种 结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有1
1
1
6104C C C 种选法．可知概率为1
1
1
6104C C C ：4
12C =
C. 考点：古典概型
点评：本题考查古典概型，概率学习的核心问题是了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．要善于总结一些常见的题目类型． 20．B 【解析】
试题分析：∵从三件正品、一件次品中随机取出两件总的结果有6种不同的结果，取出的产
品全是正品的情况有3B 考点：本题考查了古典概型的概率求解
点评：如果试验的基本事件数有n 个，事件A 包含的基本事件数为m ，则事件A 发生的概率
．在保证能创建古典概型的情况下，首先要解决的问题如何求n 与m ,再利用公式计算概率 21．D 【解析】
试题分析：由于将一枚质地均匀的硬币连掷4次，所有的情况有4
216= ，那么“至少两次正面向上”情况有（反 反正 正）（正 正 反 反）（正 反 正 反）（正 反反正）（正 正 正 反）（反 正 正 正）（正 反 正 正）（正 正 反 正）（正 正 正 反）（正 正 正正），共有11
D. 考点：古典概型 点评：解决的关键是理解试验的基本事件空间，然后结合古典概型概率来计算，属于基础题。 22．D 【解析】
输了，则需要再赢第二局，
考点：本小题主要考查随机事件的概率.
点评：解决本小题的关键是搞清楚甲对要获得冠军有哪几种情况，概率分别是什么. 23
【解析】
试题分析：由题意知这是一个古典概型，∵在大小相同的4个球中任意选取2个球有2
4C 种
取法，∵题目要求所选的2个球恰好有1红球包含选的两个球一个红色一个白色，∴满足条
【解析】
试题分析：满足女生是组长的选法共有3种，任选一名共有5考点：古典概型概率
点评：古典概型概率的求解主要是找到满足题意要求的基本事件种数与所有的基本事件种数，然后求其比值 25【解析】
试题分析：根据题意，从6名男同学，5名女同学中任选3
名参加体能测试，共有3
11C ,其中选到的3名同学中既有男同学又有女同学的情况有1221
6565C
C C C +，则根据古典概型的概
考点：古典概型
点评：本题考查的是古典概型，可以从它的对立事件来考虑，概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．属中档题 26【解析】 试题分析：先根据题中的条件可判断属于古典概率模型，然后分别求解试验产生的所有结果
n ，基本事件的结果数m ，代入古典概率模型的计算公式. 解：将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，共有36种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）
（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6），属于古典概率模型．记“方程x 2
+bx+c=0有实根”为事件A ，则△=4b 2
-4c≥0?
，A 包含的结果有：（1，1）（2，1）（3，1）
（4，1）（5，1）（6，1）(2,2)（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）(3,1)(3,2)(3,3)（4，3）（5，3）（6，3）(3,4)（4，4）（5，4）（6，4）(3,5)(4,5)（5，5）（6，5）(3,6)( 4,6)（5，6）（6，6）共29种结果，由古典概率的计算公式可得，P （A ）
考点：古典概率
点评：本题主要考查了古典概率的求解，此类型题的求解有两点：①首先清楚古典概率模型的特征：结果有限且每种结果等可能出现②古典概率的计算公式：P （A ）
n 是试验的所有结果，m 是基本事件的结果数．）也可以采用对立事件的概率公式。 27．
7
8
【解析】
试题分析：解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，至少一次正面朝上的对立事件的概率为3
11=28
，那么利用对立事件概率和为1，可知至少一次正面朝上
的概率是1-
3
117=1-=288，故答案为78
考点：概率
点评：本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了． 28
【解析】
试题分析：两只球颜色不同即取出的两球1黑1
考点：古典概型概率 点评：求解古典概型概率首先找到所有基本事件的种数及满足题意要求的基本事件种数，然后求其比值即可 29
【解析】 试题分析：依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率
考点：本题主要考查古典概型概率的计算。
点评：简单题，使用列举法、“树图法”、“坐标法”等，确定得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数。 30
【解析】
试题分析：它不是红球，可认为，将红球剔除，余下15个球，其中，绿球10个，所以，由
考点：本题主要考查古典概型概率的计算。
点评：简单题，注意理解题意，应用概率的计算公式。 31
【解析】
试题分析：由题意m 得值有6个，n 的值有6个，所以点P 共有36个，落在圆2
2
16x y +=内的点满足2216m n +<，将各点依次代入验证得有8
考点：古典概型概率 点评：古典概型概率问题要找到实验的所有基本事件总数及满足题目要的基本事件种数，然后求其比值即为所求概率
32．一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次的不同情况有36种，其中向上的点数之和为7 的结果有6种；向上的点数之和为7
【解析】 试题分析：（1）一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次的不同情况如下： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）， 共有36种不同结果。
（2）其中向上的点数之和为7 的结果有： （1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）共6种 （3）向上的点数之和为7
答：一枚质地均匀的骰子，连续投掷两次的不同情况有36种，其中向上的点数之和为7 的结果有6种；向上的点数之和为7
考点：古典概型概率的计算
点评：中档题，古典概型概率的计算问题，关键是计算事件数。为防止重复或遗漏，常常利用“树图法”或“坐标法”。 33．（1）0.6
（2）该居民区的环境需要改进 【解析】
试题分析：(Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为123,,A A A ，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为12,B B ．
所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，
32A B 共10种． 4分
其中符合条件的有：
11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种． 6分
8分 （
Ⅱ
）
去
年
该
居
民
区
PM2.5
年平均浓度为：12.50.2537.50?+?+?+?=（微克/立方米）． 10分
因为4035>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． 12分 考点：频率分布表、古典概型
点评：本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等 34．（１）
()()()()()()()()()()12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b
（２）（３）【解析】
试题分析：（1）从中任选
2
名共有
10
种情况，即
为 ()()()()()()()()()()12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ．
考点：本题考查了古典概型的运用 点评：本题看出等可能事件的概率和列举法表示出事件所包含的基本事件，本题是一个基础题，解题的关键是列举时要注意做到不重不漏．
35．（1）甲比乙发挥较稳定
（2【解析】
试题分析：解
2分
4分 ，22
12s s <，故甲，乙两人射击命中的环数的平均数相同，但甲比乙发挥较稳定．
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型的概率的计算，以及方差和均值的运用，属于基础题。
36．（1）0.4 （2【解析】
试题分析：解：（1） 甲校2男1女编号依次为：a,b,c 。 乙校1男2女编号依次为: E,F ，G 。 6名教师中任选2名，所有的结果有： （a,b ），（a,c ）,（a,E ）,（a,F ）,（a,G ）, （b,c ）,（b,E ）,（b,F ）,（b,G ）, （c,E ）,（c,F ）,（c,G ）,（E,F ）,（E,G ）,（F,G ）. 共有15种。 记“2名教师来自同一学校”为事件A,则A 包含 （a,b ），（a,c ）,（b,c ）,（E,F ）,（E,G ）,（F,G ）6种
（2）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有的结果有：
（a,E ）,（a,F ）,（a,G ）, （b,E ）,（b,F ）,（b,G ）, （c,E ）,（c,F ）,（c,G ）9种 记“选出的2名教师性别相同”为事件B, 则B 包含 （a,E ）,（b,E ）,（c,F ）,（c,G ）4种
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型概率的求解和简单运用，属于基础题。关键是对于基本事件空间的准确求解。
37．（1）400 （2
【解析】
试题分析：解：(1) Z=400
(2) 5
标准型辆
2 辆舒适型编号为：a,b 3辆标准型编号为：c,d,f
5辆车中任取2辆取法：（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,f）（b,c）,（b,d）（b,f）,（c,d）,（c,f）,（d,f）
共有10种
含有1辆舒适型共有6种。含有2辆舒适型共有1种
P(至少有1辆舒适型轿车（或者用对立事件做）
考点：古典概型
点评：主要是考查了分层抽样和古典概型概率的运用，属于基础题。
38．（1）16
（2
（3
【解析】
试题分析：解：（1）列出所有可能结果（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共有16种。（2）取出球的号码之和小于4共含有:
（1,1），（1,2），（2,1）3种
（3）编号“X＜Y”共含有:
（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6种
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型概率的求解和简单运用，属于基础题
39．
（1）乙班的平均身高较高
【解析】
∴乙班的平均身高较高。
（2
共有9种不同的取法：
()178,179，()178,179，()178,182，()179,179，()179,179， ()179,182 ，()181,179，()181,179，()181,182，
设A 表示随机事件“抽到至少有一名身高大于cm 180的同学”，则A 中的基本事件有5个，
()178,182，()179,182 ()181,179，()181,179，()181,182，
考点：平均值方差和古典概型 点评：主要是考查了茎叶图以及数据的平均值和方差以及古典概型的概率的运用，属于中档题。
40．（1）DDA ，DDB ，DDC ，DEA ，DEB ，DEC ，EEA ，EEB ， EEC ，EDA ，EDB ，EDC （2【解析】
试题分析：⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA ，DDB ，DDC ，DEA ，DEB ，DEC ，EEA ，EEB ， EEC ，EDA ，EDB ，EDC 共12种情况。
⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA ，DEC ，EEA ，EEC 共4种情况,所以从
考点：古典概型概率 点评：古典概型概率的求解首先找到所有基本事件总数与满足要求的基本事件种数，然后求其比值即可，第二问还可转化为两相互独立事件同时发生来考虑
41．（1
【解析】
试题分析：解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种： 红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1， 红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外， 多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况， 其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题。
42． 【解析】
试题分析：(1)任取2次，基本事件有：[1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [2,3] [2,4] [2,5] [3,4] [3,5] [4,5]，记“两数之和为3的倍数”为事件A ，则事件A 中含有：[1,2] [1,5] [2,4]
[4,5]共4 (2) 有放回的取出2个，基本事件有： (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
记“点(,)M x y 满足2
2
(1)9x y -+≤”为事件B ，则B 包含：(1,1) (1,2) （1，3）(2,1)
(2,2) (3,1) (3,2)共7个基本事件 考点：本题考查了古典概型的求法
点评：对于古典概型的概率的计算，首先要分清基本事件总数及事件Ａ包含的基本事件数，分清的方法常用列表法、画图法、列举法、列式计算等方法
43．（I ）280天（II 【解析】 试题分析：（Ⅰ）样本数据的平均数为：
175×0.05＋225×0.15＋275×0.55＋325×0.15＋375×0.1＝280． 因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天． …5分
（Ⅱ）使用寿命低于200
…7分
记使用寿命低于200天的5件产品A ，B ，C ，D ，E ． 从中选出2件的不同情形为： AB ，AC ，AD ，AE ， BC ，BD ，BE ， CD ，CE ， DE ，
共10种可能．
其中某产品A
考点：频率分布直方图及分层抽样古典概率 点评：频率分布直方图中每一个小矩形的面积等于该组的频率，古典概型概率的求解需找到所有基本事件总数及满足题意要求的基本事件种数，然后求其比值 44．（１）4（3分）（２）
19（3分）（３）1
3
（4分） 【解析】
试题分析：(1)根据题意，将一个质地均匀的正方形骰子先后抛掷两次所有的情况有36种，其中和为5=1+4=4+1=2+3=3+2，共有4种；按照古典概型概率公式可知向上的数之和是5的概率4:36=1:9,而对于向上的数之和是3的倍数的情况有3=1+2=2+1,6=1+5=5+1=2+4=4+2=3+3,9=1+8=2+7=3+6=4+5,..12=6+6，故可知满足题意的概率
值为13
。故答案为4，19，13
考点：古典概型的概率
点评：主要是掌握基本事件空间以及事件A 发生的基本事件数，利用概率公式表示，属于基础题。 45．（1
2
【解析】
试题分析：（1）从编号为1，2，3，4，5的五个形状大小相同的球中，任取2个球的基本事件有10个 ；
设“取到2个球的编号和为5
（2）设“取到2
考点：古典概型的运用
点评：主要是考查了等可能事件低概率，以及运用古典概型来求解概率值的运用，属于基础题。 46．
（12【解析】
试题分析：（1
分 （2分
考点：古典概型概率
点评：古典概型概率的求解需找到所有基本事件的总数及满足题意要求的基本事件的种数，然后求其比值即可
高三数学专项训练：函数值的大小比较
高三数学专项训练：函数值的大小比较 一、选择题 1，则c b a ,,的大小关系是（ ）. A. b c a >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >> 2 ．设2 lg ,(lg ),a e b e c === ( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 3．设a b c ，，分别是方程的实数根 , 则有（ ） A.a b c << B.c b a << C.b a c << D.c a b << 4．若13 (1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ ） A ．a > B 、c a b >> C 、b a c >> D 、b c a >> 9．若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（ ） A B C D 10．若0m n <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22m n > B C ．22log log m n > D
高三数学专题训练--集合的概念与运算
高三数学专题练习1 集合的概念与运算 小题基础练① 一、选择题 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝() A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 答案：C 解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C. 2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?R A＝() A．{x|－1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 答案：B 解析：因为A ＝{x |0 高考数学选择题满分答题技巧 前面讲到，高考选择题占高考分数比重十分可观，750分中约有320分为选择题，占总分的45%左右。其中数学选择题的分数为60分，而且单项分数很高，两道选择题的分数等于一道大题的分数。学生的在选择题这类题型上，又普遍失分严重，据不完全统计，400分左右的学生，选择题丢分高达150~240分。500分左右的学生选择题丢分80~150分。所以，一直以来，选择题是拉开同学们分数距离的一条屏障，老师总是利用选择题的特点，让高考的选拔形成梯度。如果选择题不丢分，同学们的总分就可以大幅度的提升，快速跨越当前的局限。 解答高考选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”。我们都会有算错的时候，怎样才不会算错呢？“不算就不会算错” 因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定，重要的是这种解答的思想方式。下面略举数例加以说明： 快速解题思维一、利用题目中的已知条件和选项的特殊性。对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 大家看题目，就可以看到所有选项都是数值。并且这个数值正是我们所求的k1k2的值。这么说来，无论任何情况下，都能满足这个条件。于是我们可以令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为短轴上的一个顶点，那么就极大地简化了计算过程，省去了“标准答案”中提供的设置未知数，产生庞大的计算量。通过特殊图形的构建，就能简化整个计算过程，最终得出选项为B（请大家自行计算）。 例2 △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A和C的等差中项，则a+c与2b的大小关系是 （） A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c≤2b 大家看这道题，本题中没有给定三角形的具体形状，故说明任何三角形都可以得出一个唯一选项。所以我们不妨令A=B=C=600，则可排除A、B，再取角A，B，C分别为300，600，900，可排除C，故答案为D。 上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 数列 一、选择、填空题 1、（2018上海高考）记等差数列 {} n a 的前n 项和为S n ，若87014a a a =+=?，，则S 7= 2、（2017上海高考）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数， 若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 149161234lg() lg() b b b b b b b b = 3、（2016上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ， {}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 4、（宝山区 2018 高三上期末）若n （n 3≥，n N *∈）个不同的点 n n n Q a b Q a b Q a b 111222()()()L ，、，、、，满足：n a a a 12<< 2019学年高二数学古典概型知识点 古典概型是一种概率模型，是概率论中最直观和最简单的模型，小编准备了高二数学古典概型知识点，具体请看以下内容。 知识点总结 本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。 1、古典概型 (1)定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。 (2)特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性 (3)古典概型的解题步骤; ①求出试验的总的基本事件数 ; ②求出事件A所包含的基本事件数 ; 2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能 事件除外)。 常见考法 本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查 古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。 误区提醒 在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)。 【典型例题】 例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率. 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44=256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有433=36(种)涂法.②若△AOB与△COD不同色，它们共有43=12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4322=48(种)涂法.故相邻三角形均不同色的概率 例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地 课题:古典概型 导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 自主梳理 1．基本事件有如下特点： (1)任何两个基本事件是________的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________． 2．一般地，一次试验有下面两个特征 (1)有限性．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性．每个基本事件出现的可能性相同，称这样的概率模型为古典概型． 判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)＝________. 自我检测 1．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( ) A .16 B .14 C .112 D .19 2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是( ) A .112 B .110 C .325 D .12125 3．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________． 4．有100张卡片(编号从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为________． 5．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(用分数表示). 探究点一 基本事件的概率 例1 投掷六个面分别记有1,2,2,3,3,3的两颗骰子． (1)求所出现的点数均为2的概率； (2)求所出现的点数之和为4的概率． 变式迁移1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．问： (1)共有多少个基本事件？ (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？ 探究点二 古典概型的概率计算 例2 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张 学校 年级 姓名 装 装 订 线 一．选择题（共26小题） 1．设实数x ，y 满足 ，则z= +的取值范围是（ ） A ．[4，] B ．[，] C ．[4，] D ．[，] 2．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且，AC=2AB ，PA=1，BC=3， 则该三棱锥的外接球的体积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 3．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA=2，△ABC 是边长为的等边三角形， 则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ． B ．4π C ．8π D ．20π 4．已知函数f （x +1）是偶函数，且x ＞1时，f ′（x ）＜0恒成立，又f （4）=0，则（x +3）f （x +4）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） B ．（﹣6，﹣3）∪（0，4） C ．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞） D ．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞） 5．当a ＞0时，函数f （x ）=（x 2﹣2ax ）e x 的图象大致是（ ） A ． B ． C D ． 6．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线上的动点，又已知点N （﹣1，0），则 的取值范围是（ ） A ．[1，2 ] B ． [ ， ] C ．[ ，2] D ．[1， ] 7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．26 8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x 3+x 2，若不等式f （﹣4t ）＞f （2m +mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．将函数 的图象向左平移 个单位得到y=g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，|x 1﹣x 2|min = ，则φ的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的下顶点， M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈ （，]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．（0， ] B ．（0 ， ] C ．[ ， ] D ．[ ， ] 高三数学填空、选择专项训练（一） 班级_____________姓名________________成绩_____________ 1、已知集合{}{}Z n n x x B x x x A ∈+==<--=),13(2,012112， 则=B A ___________． 2、已知函数]3,1[,42∈-=x ax x y 是单调递增函数，则实数a 的取值 范围是_________________ 3、已知函数1)(-=x a x f 的反函数的图象经过点（4，2）则)2(1-f 的值为__________． 4、在复数集上，方程0222=++x x 的根是___________________． 5、已知5 3)4cos(=+x π , 则x 2sin 的值为 。 6、命题“若B A x ∈，则A x ∈或B x ∈”的逆否命题是 _______________________________________________________ 7、在ABC ?中，已知sinA:sinB:sinC=3:5:7，则ABC ?中最大角的值是_________ 8、已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += 9、方程P 412+n =140P 3n 的解为 10、在n b a )(+的二项展开式中，第二项与倒数第二项系数之和为14， 则自然数n= ． 11、设函数()()()x a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a 。 12、已知sin α=，则44sin cos αα-的值为 13、设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，若当1≤x 时12+=x y ， 江陵县实验高中2014届毕业生高三数学选填训练1 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知，为虚数单位，且，则的值为 ( ） A ．4 B ．4+4 C ． D ．2 2．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ?B ，则集合)(B A C U ? 的真子集共有 A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 3．要得到函数)4 2sin(π + =x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向左平移单位 B ．向右平移单位 C ．向右平移单位 D ．向左平移单位 4．半径为R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为（ ） A 、2 33R B 、2 3R C 、2 22R D 、2 2R 5．已知数据123 n x x x x ，，，，是某市n * (3 )n n N ≥∈，个普通职工的2013年的年收入,设这 n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收入 1n x +（约900亿元） ，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ） A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。 6．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，2 475314))((a a a a a =++，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列}{n a 是递增数列； B ．数列}{n a 是递减数列； C ．数列}{n a 既不是递增数列也不是递减数列； D ．数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列． 7．已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 8．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA → ，x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 则CD →·BE →的最大值为 ( ) A ．－58 B ．－34 C ．－32 D ．－38 ,x y R ∈i (2)1x i y i --=-+(1) x y i ++i 4-i 4π4 π8π8 π 高三数学选填题专项训练（6） 一、选择题： 1. 已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是 A ．30? B ．45? C ．90? D ．135? 2. 设 70tan log 2 1=a 、 25sin log 2 1=b 、 25cos ) 2 1 (=c ，则它们的大小关系为 A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b << 3. 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是 A ．x 2sin B ．x cos C ．x sin D ．x sin 4. 设R x x f x f x F ∈-+=),()()(，若区间?? ? ?? ?- -2,ππ是函数()F x 的单调递增区间，现 将()F x 的图象按向量)0,(π=→ a 的方向平移得到一个新的函数()G x 的图象，则()G x 的一个单调递减区间可以是 A ．?? ?? ??-0,2π B ．??????ππ,2 C ．??????23,ππ D ．??????ππ2,23 5. 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区 域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域 的概率是 A ．49 B ．29 C ．23 D ．1 3 6. 数列{}n a 是各项为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且67a b =，则 A ．39410a a b b +≤+ B ．39410a a b b +≥+ C ．39410a a b b +≠+ D ．39a a +与410b b +的大小不确定。 7. 据有关资料表明，世界人口由1976年的40亿增加到1987年的50亿，经历了11年的时间，如果按此增长率增长，2020年的世界人口数将接近 A.88亿 B. 98亿 C. 108亿 D. 118亿 高三数学选填专项训练 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 江陵县实验高中2014届毕业生高三数学选填训练12 1．是虚数单位，复数 (2) 12i i i +-= A ．i B ．i - C ．1 D ． 2. 给出下列三个结论： （1）若命题p 为假命题，命题q ?为假命题，则命题“q p ∨”为假命题； （2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或 0y ≠”； （3）命题“,20x x ?∈>R ”的否定是“ ,20x x ?∈≤R ”.则以上结论正确的个 数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 3．若1 1 1 (1),(1),(sin 1)x a x dx b e dx c x dx =-=-=-???，则 A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b << 4．设正项等比数列 {} n a 的前n 项和为 n S ，公比为q ，若 223,15,63 k k k S S S -+===，则q = A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 5.函数的最小正周期是，若其图象向右平移 6 π 个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象 A 关于点对称B 关于直线对称C 关于点)0,6(π对称D 关于直线 对称 6.已知向量，，且，若实数满足不等式 ，则实数的取值范围为 A ．[－3,3] B ． C ． D ． i 1-()()sin 0,2f x x πω?ω?? ?=+>< ???π()f x ,012π?? ??? 12x π=6 π = x ()3,z x a +=()z y b -=,2b a ⊥y x ,1≤+y x z [] 2,2-[]1,1-[]2,2- 选填题专项练习（1） 一、选填题（本大题共10小题，每小题5分典50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1、 设0为坐标原点，M ()2,1，点N (),x y 满足433525,1x y x y x -≤-??+≤??≥? 则OM ON ?的最大 值为 A 、9 B 、2 C 、12 D 、14 2、若非零向量,a b 满足a b b -=，则 A 、22b a b >- B 、22b a b <- C 、22a a b >- D 、22a a b <- 3、在ABC 中，G 是ABC 的重心，且30aGA bGB cGC ++ =，其中,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边，则A ∠= A 、300 B 、600 C 、1200 D 、1500 4、已知t 〉0 ，关于x 的方程x + A 、0个或2个 B 、0个或2个或4个 C 、0个或2个或3个或4个 D 、0个或1个或2个或3个或4个 5、对于函数()1lg 1x f x x +=-，有三个数满足1,1,1a b c <<<，且1,1a b f ab +??= ?+??，21b c f bc -??= ?-??，那么1a c f ac +?? ?+?? 的值是 A 1- B 2lg C 10 D 3 6、给出下列命题，①方程x=sinx 的实根有3个；②y=sin 4x-cos 4x 的最小正周期为π；③ABC 中，若0OA OB OC ++=，则0为 ABC 垂心；④如果()()2log a g x ax =-在定义域内单调递增，设()x f x a =（a ＞0，a ≠1），则不等式()1 x f -＜0的解集为（-1，1）。其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 7、已知等比数列{}n a 中，11a =，公比q ，该数列各项的和S ，n S 表示该数列的 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 2020届高三数学立体几何专题(文科) 吴丽康 2019-11 1.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的点. （Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ； （Ⅱ）设AP=1，AD =，三棱锥P -ABD 的体积V = ， 求A 点到平面PBD 的距离. 2. 如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点． (1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面P AD ∥平面CEF ？ 若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． 3如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AC ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AC ，P A ＝AD ＝2， 四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点， 且PE PB ＝PF PC ＝λ(λ≠0)． (1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)当λ＝1 2 时，求点D 到平面AFB 的距离． 34 3 4.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l. 5..如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点， M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 7.(2018北京通州三模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,△PAB为等边三角形,E是PB中点,平面AED与棱PC交于点F. (1)求证:AD∥EF; (2)求证:PB⊥平面AEFD; (3)记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出的值. 高三数学选择填空训练题六 姓名：座号：成绩： 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的 四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．若集合A={x|?1＜x＜3}，B={?1, 0, 1, 2}，则A∩B=() A. {?1, 0, 1, 2} B. {x|?1＜x＜3} C. {0,1, 2} D. {?1, 0, 1} 2．已知复数z满足z i=2+i，i是虚数单位，则|z|=() A. B. C. 2 D. 3．在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是() A. 1 4 B. C. 1 2 D. 4．已知变量,x y满足约束条件 2, 4, 1, y x y x y ≤ ? ? +≥ ? ?-≤ ? 则3 z x y =+的最小值为() A. 11 B. 12 C. 8 D. 3 5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9= () A. 20 B.35 C. 45 D. 90 6．已知抛物线28 y x =的准线与x轴交于点D,与双曲线221 x y -=交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是() A. B. C. D. 7．已知函数f(x)=sin(ωx+?) (ω＞0, 0＜?＜ 2 π)，f(x 1 )=1，f(x2)=0，若|x1–x2|min=1 2 ， 且f(1 2 ) =1 2 ，则f(x)的单调递增区间为() A. 5 1 [+2,+2], 66 k k k Z -∈ B. 51 [+2,+2],. 66 k k k Z -∈ C. 51 [+2,+2], 66 k k k Z ππ -∈ D. 7 1[+2,+2], 66 k k k Z ∈ 8．函数|| e () x f x=的部分图象大致为() 9． 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. 专题训练（一） （每个专题时间：35分钟，满分：60分） 1 ．函数y = 的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2 3(,)+∞ C ．2 3[,1] D ．23(,1] 2．函数221 ()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35 D ．3 5- 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ） A ．2 B C ．1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是 （ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．sin163 sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．12 C ． D 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ） ① ////m m αββα? ???? ② //////m n n m ββ? ??? ③ ,m m n n αβ?? ???? 异面 ④ //m m αββα⊥? ?⊥?? 其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 10．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此 双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮 使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ） A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．7120 12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形 孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 高三数学选择题、填空题专项训练（1） 1．sin600 = ( ) (A) – 23 (B)–21. (C)23. (D) 2 1. 2．设A = { x| x 2}, B = { x | |x – 1|< 3}, 则A ∩B= ( ) (A)[2，4] (B)（–∞，–2] (C)[–2，4] (D)[–2，+∞） 3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为 ( ) (A) 23. (B)3. (C)32. (D)2 1. | 4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为 ( ) (A)b. (B)2 c b +. (C)2cosB. (D)2sinB. 5．当x R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a f ( x ) b, 则a + b 等 于 ( ) (A)0 (B) 1 + 22. (C)1–22. (D)2 2–1. 6、函数123 2)(3 +-= x x x f 在区间[0,1]上是（ ） （A ）单调递增的函数. （B ）单调递减的函数. （C ）先减后增的函数 . （D ）先增后减的函数. 7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b > 0是使ax + b > 0恒成立的（ ） ; (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ） (A)90个 . (B)120个. (C)180个. (D)200个. 江苏省高考数学填空题训练100题 1．设集合}4|||}{<=x x A ，}034|{2 >+-=x x x B ，则集合A x x ∈|{且=?}B A x I __________； 2．设12)(2 ++=x ax x p ，若对任意实数x ，0)(>x p 恒成立，则实数a 的取值范围是________________； 3．已知m b a ==32，且21 1=+b a ，则实数m 的值为______________； 4．若0>a ，94 32= a ，则=a 3 2log ____________； 5．已知二次函数3)(2 -+=bx ax x f （0≠a ），满足)4()2(f f =，则=)6(f ________； 6．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当),0(+∞∈x 时，22)(-=x x f ， 则方程0)(=x f 的解集是____________________； 7．已知)78lg()(2 -+-=x x x f 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是________________； 8．已知函数x x x f 5sin )(+=，)1,1(-∈x ，如果0)1()1(2 <-+-a f a f ，则a 的取值范围是____________； 9．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负数解，则实数a 的取值范围是______________； 10．已知函数)(x f 满足：对任意实数1x ，2x ，当2`1x x <时，有)()(21x f x f <，且)()()(2121x f x f x x f ?=+． 写出满足上述条件的一个函数：=)(x f _____________； 11．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ，则=)(x f ______________； 12．函数1 22)(2+++=x x x x f （1->x ）的图像的最低点的坐标是______________； 13．已知正数a ，b 满足1=+b a ，则ab ab 2 + 的最小值是___________； 14．设实数a ，b ，x ，y 满足12 2=+b a ，32 2 =+y x ，则by ax +的取值范围为______________； 15．不等式032)2(2≥---x x x 的解集是_________________； 16．不等式06||2 <--x x （R x ∈）的解集是___________________； 17．已知???<-≥=0 ,10 ,1)(x x x f ，则不等式2)(≤+x x xf 的解集是_________________； 18．若不等式 2 22 9x x a x x +≤≤+在]2,0(∈x 上恒成立，则a 的取值范围是___________； 19．若1>a ，10<-x b a ，则实数x 的取值范围是______________；高考数学选择题满分答题技巧
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