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高中数学真题解析-立体几何中线面位置关系

1.【2017课标1,文6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【考点】空间位置关系判断

【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力,属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面． 2.【2017课标3,文10】在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则（）

A ．11A E DC ⊥

B ．1A E BD ⊥

C ．11A E BC ⊥

D ．1A

E AC ⊥

【答案】C

【解析】根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那也垂直于斜线在平面内的射影,A.若11A E DC ⊥,那么11D E DC ⊥,很显然不成立；B.若1A E BD ⊥,那么BD AE ⊥,显然不成立；C.若11A E BC ⊥,那么

11BC B C ⊥,成立,反过来11BC B C ⊥时,也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立,D.若1A E AC ⊥,则AE AC ⊥,显

然不成立,故选C. 【考点】线线位置关系

【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

3.【2014高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线...,满足,

,则下列结

论一定正确的是( ) A .

B .

C ..既不平行也不垂直

D ..的位置关系不确定

【答案】D

【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定,属于中等题.

【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系,属于中等题．解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”,否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊图形进行检验,也可作必要的合情推理．

4.【2016高考山东文数】已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面相交”的（）

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：

“直线a 和直线b 相交”?“平面α和平面β相交”,但“平面α和平面β相交”?“直线a 和直线b 相交”,所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件,故选A ．考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.

【名师点睛】充要条件的判定问题,是高考常考题目之一,其综合性较强,易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系,突出体现了高考试题的基础性,能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.

5.【2015高考广东,文6】若直线1l 和2l 是异面直线,1l 在平面α内,2l 在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是（）

A ．l 至少与1l ,2l 中的一条相交

B ．l 与1l ,2l 都相交

C ．l 至多与1l ,2l 中的一条相交

D ．l 与1l ,2l 都不相交【答案】A

【考点定位】空间点、线、面的位置关系．

【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系,属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”、“至多”,否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊图形进行检验,也可作必要的合情推理．

6.【2016高考上海文科】如图,在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BC 、BB 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是（）

(A)直线AA 1

(B)直线A 1B 1

(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1 【答案】D 【解析】试题分析：

只有11B C 与EF 在同一平面内,是相交的,其他A,B,C 中直线与EF 都是异面直线,故选D ．考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.

【名师点睛】本题以正方体为载体,研究直线与直线的位置关系,突出体现了高考试题的基础性,题目不难,能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.

7.【2014辽宁文4】已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥,n α?,则m n ⊥ C ．若m α⊥,m n ⊥,则//n α D ．若//m α,m n ⊥,则n α⊥ 【答案】B

【考点定位】空间直线和平面的位置关系．

【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系及垂直关系.解题分关键是熟

记相关性质定理、判定定理等,首先利用举反例排除错误选项,是解答此类问题的常用方法. 本题属于基础题,覆盖面较广,难度不大.

8.【2015高考湖北,文5】12,l l 表示空间中的两条直线,若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交,则（） A ．p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件【答案】A .

【解析】若p ：12,l l 是异面直线,由异面直线的定义知,12,l l 不相交,所以命题q ：12,l l 不相交成立,即p 是q 的充分条件；反过来,若q ：12,l l 不相交,则12,l l 可能平行,也可能异面,所以不能推出12,l l 是异面直线,即p 不是q 的必要条件,故应选A .

【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线,属基础题.

【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机,重点考查空间中直线的位置关系,其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件,正确理解异面直线的定义,注意考虑问题的全面性、准确性. 9.【2015高考浙江,文4】设α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,且l α?,m β?（） A ．若l β⊥,则αβ⊥ B ．若αβ⊥,则l m ⊥ C ．若//l β,则//αβ D ．若//αβ,则//l m 【答案】A

【考点定位】直线、平面的位置关系.

【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系,从定理、公理以及排除法等角度,对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题,重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.

10.【2014年.浙江卷.文6】设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则（） A.若n m ⊥,α//n ,则α⊥m B.若β//m ,αβ⊥,则α⊥m C.若β⊥m ,β⊥n ,α⊥n ,则α⊥m D.若n m ⊥,β⊥n ,αβ⊥,则α⊥m 【答案】C 【解析】

试题分析：对A,若n m ⊥,α//n ,则α?m 或α//m 或α⊥m ,错误；对B,若β//m ,αβ⊥,则α?m 或α//m 或α⊥m ,错误；对C,若β⊥m ,β⊥n ,α⊥n ,则α⊥m ,正确；

对D,若n m ⊥,β⊥n ,αβ⊥,则α⊥m 或α?m 或α//m ,错误. 故选C.

考点：空间中的线线、线面、面面的位置关系,容易题.

【名师点睛】本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,考查空间想象能力能力． 11.【2017课标1,文18】如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=．

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8

,求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）326+．

由于AB CD ∥,故AB PD ⊥,从而AB ⊥平面PAD ．又AB ?平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD ．

（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥,垂足为E ．

由（1）知,AB ⊥平面PAD ,故AB PE ⊥,可得PE ⊥平面ABCD ．

设AB x =,则由已知可得AD =

,PE x =

．故四棱锥P ABCD -的体积311

P ABCD V AB AD PE x -=??=．由题设得

318

x =,故2x =．

从而2PA PD ==,AD BC ==,PB PC ==．

可得四棱锥P ABCD -的侧面积为

21111

sin 6062222

PA PD PA AB PD DC BC ?+?+?+?=+．【考点】空间位置关系证明,空间几何体体积、侧（表）面积计算

【名师点睛】证明面面垂直,先由线线垂直证明线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直；先利用线面平行说明点面距为定值,计算点面距时,如直接求不方便,应首先想到转化,如平行转化、对称转化、比例转化等,找到方便求值时再计算,可以减少运算量,提高准确度,求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出,不方便直接求出的看成三棱锥的高,利用等体积法求出．

12.【2017山东,文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1AO ∥平面B 1CD 1;

（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.

【答案】①证明见解析.②证明见解析.

所以1111//,AO OC AO OC =, 因此四边形11AOCO 为平行四边形,

所以1

1//AO O C , 又1O C ?面11B CD ,1

AO ?平面11B CD , 所以1

//AO 平面11B CD , (II)因为AC BD ⊥,E ,M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,

因为ABCD 为正方形,所以AO BD ⊥, 又1A E ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD 所以1,A E BD ⊥

因为11//,

B D BD

所以11111,,

EM B D A E B D ⊥⊥

又1,A E EM ?平面1A EM ,1A E EM E =.

所以11B D ⊥平面1,A EM

又11B D ?平面11B CD , 所以平面1A EM ⊥平面11B CD .

【考点】空间中的线面位置关系

【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．

13.【2017江苏,15】如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不

重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC .

【答案】（1）见解析（2）见解析

(第15题)

C E

所以AD ⊥平面ABC , 又因为AC ?平面ABC , 所以AD ⊥AC.

【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理,面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 14.【2016高考北京文数】（本小题14分）

如图,在四棱锥ABCD P -中,⊥PC 平面ABCD ,,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；

（III ）设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F,使得//PA 平面C F E ?说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在.理由见解析.

所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A , 所以DC ⊥平面C PA ．（II ）因为//DC AB ,DC C ⊥A , 所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB , 所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．

（III ）棱PB 上存在点F ,使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点F ,连结F E ,C E ,CF ．又因为E 为AB 的中点, 所以F//E PA ．又因为PA ?平面C F E , 所以//PA 平面C F E ．

考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力,推理论证能力

【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系),构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等. 15.【2014四川,文18】（本小题满分12分）

在如图所示的多面体中,四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形。

（Ⅰ）若AC BC ⊥,证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；

（Ⅱ）设D ,E 分别是线段BC ,1CC 的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论。

【答案】（1）证明详见解析；（2）存在,M 为线段AB 的中点时,直线DE

平面1A MC .

试题解析：（Ⅰ）因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形, 所以11,AA AB AA AC ⊥⊥.

因为AB,AC 为平面ABC 内的两条相交直线, 所以1AA ⊥平面ABC.

因为直线BC ?平面ABC 内,所以1AA BC ⊥.

又由已知,1,,AC BC AA AC ⊥为平面11ACC A 内的两条相交直线, 所以,BC ⊥平面11ACC A .

（2）取线段AB 的中点M,连接111,,,A M MC AC AC ,设O 为11,AC AC 的交点. 由已知,O 为1AC 的中点.

连接MD,OE,则MD,OE 分别为1,ABC ACC ??的中位线.

所以,11,,22

AC OE AC MD OE ∴, 连接OM,从而四边形MDEO 为平行四边形,则DE MO .

因为直线DE ?平面1A MC ,MO ?平面1A MC , 所以直线DE

平面1A MC .

即线段AB 上存在一点M （线段AB 的中点）,使得直线DE 平面1A MC .

【考点定位】空间直线与平面的位置关系.

【名师点睛】证明直线和平面垂直可以利用判定定理,即线线垂直到线面垂直；也可以利用面面垂直的性质定理,即面面垂直到线面垂直；立体几何中的“是否存在”问题解决办法通常为先取在证.

16.【2015高考四川,文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ,G ,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF 平面BEG

【解析】(Ⅰ)点F ,G ,H 的位置如图所示

B F

H E

G C

E A B

C D

又CH ?平面ACH ,BE ?平面ACH , 所以BE ∥平面ACH 同理BG ∥平面ACH 又BE ∩BG ＝B

所以平面BEG ∥平面ACH (Ⅲ)连接FH

因为ABCD －EFGH 为正方体,所以DH ⊥平面EFGH 因为EG ?平面EFGH ,所以DH ⊥EG

又EG ⊥FH ,EG ∩FH ＝O ,所以EG ⊥平面BFHD 又DF ?平面BFDH ,所以DF ⊥EG 同理DF ⊥BG 又EG ∩BG ＝G 所以DF ⊥平面BEG .

【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.

【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题,对空间想象能力要求较高.立体几何的证明一定要详细写出所有步骤,列举(推证)出所有必备的条件,如在(Ⅱ)中证明两个平面平行时,除了找到两组平行线外,一定不能忘掉“相交”这个条件；同样,(Ⅲ)中证明线面垂直,也不能忘掉“EG ∩BG ＝G ”这个条件.属于中档题. 17.【2014山东.文18】（本小题满分12分）

如图,四棱锥ABCD P -中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AD BC AB 2

==,F E ,分别为线段PC AD ,的中点. （1）求证：AP ∥平面BEF ; （2）求证：BE ⊥平面PAC .

【答案】（1）见解析；(2)见解析.

(2)由题意知可得四边形BCDE 为平行四边形,得到//BE CD . 又AP ⊥平面PCD,推出AP BE ⊥.

根据四边形ABCE 为菱形,得到BE AC ⊥.即得证. 试题解析：（1）设AC BE O =,连结OF,EC,

由于E 为AD 的中点,

,//2

AB BC AD AD BC ==

, 所以//,AE BC AE AB BC ==, 因此四边形ABCE 为菱形, 所以O 为AC 的中点, 又F 为PC 的中点,

因此在PAC ?中,可得//AP OF . 又OF ?平面BEF,AP ?平面BEF, 所以AP ∥平面BEF .

(2)由题意知,//,ED BC ED BC =, 所以四边形BCDE 为平行四边形, 因此//BE CD . 又AP ⊥平面PCD,

所以AP CD ⊥,因此AP BE ⊥. 因为四边形ABCE 为菱形, 所以BE AC ⊥. 又AP

AC A =,AP,AC ?平面PAC,

所以BE ⊥平面PAC .

考点：平行四边形、菱形,平行关系,垂直关系.

【名师点睛】本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系及几何体的特征.对于本题,适当添加辅助线,转化成平面问题,化难为易,体现了解题的灵活性.本题是一道能力题,属于中等题,重点考查空间垂直关系、平行关系、几何体的特征等基础知识,同时考查考生的计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、转化与化归思想及应用数学知识解决问题的能力. 18.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）在如图所示的几何体中,D 是AC 的中点,EF ∥DB .

（I ）已知AB =BC ,AE =EC .求证：AC ⊥FB ；

（II ）已知G ,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC . 【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.

试题解析：（Ⅰ））证明：因BD EF //,所以EF 与BD 确定一个平面,连接DE ,因为E EC AE ,=为AC 的中点,所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥,又因为D DE BD = ,所以⊥AC 平面BDEF ,因为?FB 平面BDEF ,FB AC ⊥。

（Ⅱ）设FC 的中点为I ,连HI GI ,,在CEF ?中,G 是CE 的中点,所以EF GI //,又DB EF //,所以

DB GI //；在CFB ?中,H 是FB 的中点,所以BC HI //,又I HI GI = ,所以平面//GHI 平面ABC ,因为

?GH 平面GHI ,所以//GH 平面ABC .

考点：1.平行关系；2.垂直关系.

【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题,

关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,给出规范的证明.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.

19.【2015高考山东,文18】如图,三棱台DEF ABC -中,2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；

（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .

【答案】证明见解析

又HM ?平面FGH ,BD ?平面FGH ,所以//BD 平面FGH .

证法二：在三棱台DEF ABC -中,由2,BC EF H =为BC 的中点, 可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形,可得//.BE HF 在ABC ?中,G H ，分别为AC BC ，的中点, 所以//,GH AB 又GH HF H ?=, 所以平面//FGH 平面ABED , 因为BD ?平面ABED , 所以//BD 平面FGH .

(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点,所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥,又H 为BC 的中点,所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形,所以//.CF HE 又CF BC ⊥,所以HE BC ⊥.

又,HE GH ?平面EGH ,HE GH H ?=,所以BC ⊥平面EGH , 又BC ?平面BCD ,所以平面BCD ⊥平面.EGH 【考点定位】1.平行关系；2.垂直关系.

【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系,从证明方法看,起点低,入口宽,特别是第一小题.证明过程中,关键是注意构造线线的平行关系、垂直关系,特别是注意利用平行四边形,发现线线关系,进一步得到线面关系、面面关系.

本题是一道能力题,属于中等题,重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关系和垂直关系等基础知识,同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.

20.【2015高考广东,文18】（本小题满分14分）如图3,三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直,D C 4P =P =,6AB =,C 3B =．

（1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3

试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形,所以C//D B A ,因为C B ?平面D P A ,D A ?平面D P A ,所以

C//B 平面D P A

（2）因为四边形CD AB 是长方形,所以C CD B ⊥,因为平面DC P ⊥平面CD AB ,平面DC

P 平面

CD CD AB =,C B ?平面CD AB ,所以C B ⊥平面DC P ,因为D P ?平面DC P ,所以C D B ⊥P

（3）取CD 的中点E ,连结AE 和PE ,因为D C P =P ,所以CD PE ⊥,在Rt D ?PE 中

,PE =

==,因为平面DC P ⊥平面CD AB ,平面DC P 平面CD CD AB =,PE ?平面DC P ,所以

PE ⊥平面CD AB ,由（2）知：C B ⊥平面DC P ,由（1）知：C//D B A ,所以D A ⊥平面DC P ,因为D P ?平

面DC P ,所以D D A ⊥P ,设点C 到平面D P A 的距离为h ,因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥,所以

D CD 11

33S h S ?P A ?A ?=?PE ,

即CD D 2

S h S ?A ?P A ?PE =

==,所以点C 到平面D P A

【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.

【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离,属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行,证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明线线垂直的关键是证明线面垂直,证明线面垂直可由面面垂直得到,但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线,否则很容易出现错误．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题,借助等积法来解决．

21.【2015天津文17】（本小题满分13分）如图,已知1AA ⊥平面ABC ,1

1,BB AA AB =AC

=3,

1BC AA ==

1BB =点E ,F 分别是BC ,1AC 的中点.

（I ）求证:EF 平面11A B BA ; （II ）求证:平面1AEA ⊥平面1BCB .

（III ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小

【答案】（I ）见试题解析;（II ）见试题解析;（III ）30. 【解析】

试题分析:（I ）要证明EF 平面11A B BA , 只需证明1EF

BA 且EF ?平面11A B BA ;（

II ）要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥;（III ）取1B C 中点N,连接1A N ,则11A B N ∠就是直线11A B 与平面

1BCB 所成角,Rt △11A NB 中,由11111

sin ,2

A N A

B N A B ∠=

=得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30.

（III ）取1BB 中点M 和1B C 中点N ,连接11,A M A N ,,NE 因为N 和E 分别为1B C ,BC 中点,所以1NE BB ,

NE BB =

,故1NE AA ,1NE AA =,所以1A N AE ,1A N AE =,又因为AE ⊥平面1BCB ,所以1A N ⊥平面1BCB ,从而11A B N ∠就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,在△ABC 中,可得AE =2,所以1A N AE ==2,因为11,BM

AA BM AA = ,所以11,,A M AB A M AB =又由1AB BB ⊥ ,有11A M BB ⊥ ,在Rt △11A MB 中,

可得114A B =

=,在Rt △11A NB 中,11111

sin ,2

A N A

B N A B ∠=

=因此1130A B N ∠=,所以,直线11A B 与平面1BCB 所成角为30

【考点定位】本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.

【名师点睛】空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.

高中数学立体几何测试题及答案一)

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的面积为（）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，点P 到点Q 的最短距离是（） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（）

高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

高中数学立体几何题型

第六讲立体几何新题型【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题例1如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．

高中数学必修二立体几何入门试题精选

高中数学必修二立体几何入门试题精选内容：空间几何体与异面直线时间：90分钟分值：100分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法不正确的是（） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D .直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（） 3. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为（ B. ①正方体 A .①② B .①③ C .①④ D .②④ C. _2 D. 4 A i B i C i D i 中，既与 AB 共面也与CC i 共面的棱的条数为（ 4.平面六面体ABCD

5. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中厶 ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的 9. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2，则它们的面积比为 1 : 4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2,则它们的体积比为 _」 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 11.直三棱柱ABC A1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AAA 2 , BAC 120，则此球的表面积等于 _______________________ 侧视图的面积为（ )? A. 12 B . 2 3 C . 3 2 D . 6 6 ?—个骰子由1~6六个数字组成 ,请你根据图中三种状态所显示的数字，推出 “？ ”处的数字是（ : ) A. 6 B 3 C 1 D 7. 如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ) 3”2 A. 3 B . 2 C . 6 D . . 3 2 则该几何体的表面积为（） ?（不考虑接触点） A. 6+ .3 B. 18+ .3 4 C. 32 D. 18+ 2.3 亠「3 丿、填空题（本大题共5小题，每小题 4分，满分20分?把答案填在题中横线上正迄要 8.如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示, 俯视侧视

高中数学立体几何(北京题型)精选

2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ；（Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积；（Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. 7．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN. （Ⅰ）求证：AM ⊥PD ；（Ⅱ）求二面角P —AM —N 的大小；（Ⅲ）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小. 8．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°. BC=CC 1=a ，AC=2a . （I ）求证：AB 1⊥BC 1；（II ）求二面角B —AB 1—C 的大小；（III ）求点A 1到平面AB 1C 的距离. 9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB =BC =2，BB 1=3，连接BC 1，过B 1作B 1E ⊥BC 1交CC 1于点E (Ⅰ)求证：AC 1⊥平面B 1D 1E ； (Ⅱ)求三棱锥C 1－B 1D 1E 1的体积； (Ⅲ)求二面角E －B 1D 1－C 1的平面角大小

高中数学立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别为AB、PC 的中点； (1)求证：MN// 平面PAD (2)若∠ PDA=45 °，求证：MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12 分) 如图，在三棱锥P ABC中，E,F 分别为AC,BC 的中点． 1)求证：EF // 平面PAB ； 2)若平面PAC 平面ABC，且PA PC ，求证：平面PEF 平面PBC ． ABC 90 ， A P C F B

（1）证明：连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点， EF // AB. ???????? 2 分又EF 平面PAB ，AB 平面PAB ，EF∥平面PAB. ????????5 分（2）Q PA PC，E为AC的中点， PE AC ???????? 6 分又Q 平面PAC 平面ABC PE 面ABC ????????8 分 PE BC ????????9 分又因为F 为BC 的中点， EF // AB Q ABC 900, BC EF ????????10 分 Q EF I PE E BC 面PEF ????????11 分又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ????????12 分 3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。 1)求证：BC1// 平面CA1D； 2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。 4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F 分别是AB、PC的中点． (1) 求证：EF∥平面PAD； (2) 求证：EF⊥ CD； (3) 若∠ PDA＝45°，求EF与平面ABCD 所成的角的大小．

高中数学立体几何知识点及练习题

点、直线、平面之间的关系㈠平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理二：不共线的三点确定一个平面。推论一：直线与直线外一点确定一个平面。推论二：两条相交直线确定一个平面。推论三：两条平行直线确定一个平面。公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。即：a∥b，b∥c a∥c 1.2 异面直线定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵作异面直线成角的方法：平移法。注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理：

2 线面角： 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。㈣垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理：图2-3 线面角图2-5 判定1推论图2-6 判定2

高中数学立体几何经典题型的解法

解题技巧：立体几何中几类典型问题的向量解法一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP u u u r 的坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n ?=?<>=r u u u r u u u r r u u u r r （2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ uuu r 的模。（3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r 或PQ u u u r 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ u u u r 为点P 到直线AB 的距离。还可以在AB 上任取一点Q 先求>

高二数学立体几何试题及答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】【模拟试题】一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（） A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面，直线平面 αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥ αβ；④l m⊥?αβ//。其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③

7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（） A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（） A. m n m n ⊥，，////αβ B. m n m n ⊥=?，，αβα C. m n n m //，，⊥?βα D. m n m n //，，⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足： l l m m =?⊥βγααγ ，，，//，那么必有（） A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////，和m C. m l m //β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（） A. 13： B. 12： C. 2：3 D. 1：3 12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）二. 填空题（每小题4分，共16分） 13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的

高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

高中数学立体几何习题

1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。 A E D 1 C B 1 D A A H G F E D C B A E D B C

4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C

N M P C B A 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o ，24AB BC ==时，求MN 的长。 A A B 1 C 1 C D G E F

高考数学各题型解法：立体几何篇

2019年高考数学各题型解法：立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道（选择、填空题3道，解答题1道），共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。知识整合 1.有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等）中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2.判定两个平面平行的方法：（1）根据定义--证明两平面没有公共点；（2）判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另

一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的

高一数学立体几何解答题汇总

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112 A C B C A A ==， D 是棱1A A 的中点，1D C BD ⊥。（Ⅰ）证明：1D C BC ⊥ （Ⅱ）证明：A C ⊥BC. 12全国文19)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1， D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 A 1 B 1 C B A D C 1 A 1

如图1，在R t ABC △中，90C ∠=?，3B C =，6A C =．D ， E 分别是A C ，AB 上的点，且D E BC ∥，2DE =，将A D E △沿D E 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图2. （1）求证：1A C ⊥平面B C D E ； 12北京文如图1，在R t A B C ?中，0=90C ∠，D,E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将AD E ?沿DE 折起到1A D E ?的位置，使1A F C D ⊥，如图2. （Ⅰ）求证：DE ∥平面1A C B （Ⅱ）求证：1A F BE ⊥ A C D E A 1 M C B E D 图1 图2

上海理19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面 ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。天津理（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ， AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC ⊥AD ；（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值；

立体几何经典题型汇总

1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角]90,0[? ? ∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）

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专题三立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．【例题解析】题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算例 1（ 2008 高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和b的线段，则a b 的最大值为 A．22B．23C． 4D．25 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为 m, n, k ，由题意得m2n2k27 ，m2k26n 1 ， 1 k 2 a ， 1m2 b ，所以( a21)(b21)6 a2b28，∴ (a b)2a22ab b282ab8 a2b216 a b 4当且仅当 a b 2时取等号．

》《高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱 , 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角 S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（ F ）；在另一半平面 ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如图，四棱锥 S ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD 底面ABCD ， 2 AD 2DC SD ，点M 在侧棱SC 上， ABM =60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B 的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM 交AM 于点F ，则点F 为 AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点，∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点 G 是AS 的中点。则 GFB 即为所求二面角.∵2SM ，则2 2GF ，又∵ 6AC SA ，∴2AM ，∵2AB AM ， 60ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3BF 。在△GAB 中，2 6AG ，2AB ， 90GAB ，∴2 114 2 3BG 3 66 23 2 22 211321 2cos 2 22 FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B 的大小为) 36arccos( F G F G

立体几何题型归类总结

立体几何专题复习 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ① ???????? →???????→?? ??? 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为正方形 2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★② r d 、球的半径为R 、截面的半径为r ） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）

俯视图 1 1_________________. 第1题 2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________. 第2题第3题 3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 . 4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 . 第4题第5题侧(左)视图正(主)视图 3 俯视图

5．如图5 是一个几何体的三视图，若它的体积是 a . 6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 . 7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3 。第 7题第8题 9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________. 图9 正视图侧视图俯视图俯视图正 ( 主) 视图侧(左)视图

高中数学立体几何测试题及答案

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n 个部分，n 的取值为（） A ，4； B ，4，6； C ，4，6，7 ； D ，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a 、b ，必存在平面α，使得（） A ，a ?α、b ?α； B ，a ?α、b ∥α ； C ，a ⊥α、b ⊥α； D ，a ?α、b ⊥α。 3，若p 是两条异面直线a 、b 外的任意一点，则（） A ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都平行； B ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都垂直； C ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都相交； D ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A ，3 ； B ，5 ； C ，7； D ，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A ，必有三点共线； B ，至少有三点共线； C ，必有三点不共线； D ，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A ，0； B ，1； C ，无数； D ，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n 边形，则（） A ，3≤n ≤6 ； B ，2≤n ≤5 ； C ，n=4； D ，上三种情况都不对。 8，a 、b 为异面直线，那么（） A ，必然存在唯一的一个平面同时平行于a 、b ； B ，过直线b 存在唯一的一个平面与a 平行； C ，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a 、b ； D ，过直线b 存在唯一的一个平面与a 垂直。 9，a 、b 为异面直线，p 为空间不在a 、b 上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p 总可以作一条直线与a 、b 都垂直；②过点p 总可以作一条直线与a 、b 都相交；③ 过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的面积为（）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，点P 到点Q 的最短距离是（） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（）A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（）