薄膜干涉光程差公式推导过程中的近似问题

七年级数学下册教案_平方差公式

1．5平方差公式 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点) 2．掌握平方差公式的应用．(重点) 一、情境导入 1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答． 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究 探究点：平方差公式 【类型一】直接运用平方差公式进行计算

利用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25； (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【类型二】 利用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式计算： (1)2013×1923 ； (2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．

平方差公式(一)学案

平方差公式（一）导学案 一、学习目标 1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 3．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 4．培养学生观察、归纳、概括的能力． 二、学习重点：平方差公式的推导和应用． 学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 三、学法指导 （一）探究平方差公式 自主探究： 计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1）= （2）（m+2）（m-2）= （3）（2x+1）（2x-1）= （4）（x+5y）（x-5y）= 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式． 用字母表示： 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用． 在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算 （二）平方差公式的应用 例1：运用平方差公式计算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b． 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2 - 22 （a + b）（a - b）= a2 - b2 同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）． 如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．解：（1）（3x+2）（3x - 2）= （2）（b+2a）（2a - b）= （3）（-x + 2y）（- x- 2y）= 例2：计算： （1）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 解：（1）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 应注意以下几点：

平方差公式

14、2、1平方差公式 课标要求 能推导平方差公式：（a+b）(a-b) =a2-b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。 学习目标 1 基础知识目标：理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。 2 能力训练目标：进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学类比和建模的思想。 3个性品质目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验，树立自信心，学会在与同学的交流中获益。 教学过程 （一）、善激（创设情境，引入目标） 李大爷有一块菜地，如图正方形中的阴影部分。为了创建和谐社区，欲在此地建一个公园，以供居民休闲，李大爷非常高兴，欣然应允。办事处决定另批给李大爷一块长方形菜地，它的一边比原正方形边长多y米，另一边比原正方形边长少y米。你能帮李大爷判断一下，李大爷现在的这块长方形菜地与原来菜地的面积是否发生变化了?你会用几何方法解释吗？ 学生板书两块地面积的计算方法，教师提出问题：这两块地的面积相等吗？你会不会比较？ （二）：善习（回忆旧知引向新知）

习旧知 （1）（3x+2）（x－2）；（2）（1+a）（1－3a）； （3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+z）（y－z）． （三）：善学（依标自学，寻疑思疑） 预习课本P107页内容，根据多项式相乘完成下列问题。 （1）（x+2）（x－2） （2）（1+3a）（1－3a） （3）（x+5y）（x－5y） （4）（y+3z）（y－3z） 做完之后，观察以上算式及运算结果： 1、你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现． 2、那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？如何用语言来描述？ （四）：（善研）小组合作，问疑释疑 针对步骤三中的练习和问题，小组成员间互相对查答案，对于不同答案，要说明自己的理由。 【学生回答】 用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（五）善导（教师主导，点拨升华） 表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2． 【教师讲述】 平方差公式的运用，关键要认识到这里的字母a和b不单指数字还可以是单项式或者多项式。正确寻找公式中的a和b，一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发． 习新一：运用平方差公式计算： （1）（2x+3）（2x－3）；

平方差公式证明推导过程及运用详解(数学简便计算方法)

数学简便计算方法之平方差公式证明推导及运用详解 平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。 通常写为： a2-b2=(a+b)x(a-b) 它的几何方法推导过程是这样的： 如下图所示，四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，边长分别为a和b，求阴影部分面积。 显然，阴影部分面积有2种求法。 第一种方法 阴影面积=大正方形面积-小正方形面积 即，阴影面积=a2-b2 （G老师讲奥数） 第二种方法 作两条辅助线，延长FG、EG，分别交线段AB、BC与点H、J。 阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积 跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。

分别计算出三个四边形的边长后， 我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。 接下来，我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。 即如下图所示，将③移到④后， 纯手绘，就认为和上边的图一样吧 此刻， 阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。 阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。 因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积， 所以它们的结果是相等的。 a2-b2=(a+b)x(a-b) 当然，代数方法也可以证明。 令A=(a+b)， (a+b)x(a-b) =Ax(a-b) =Axa-Axb (乘法分配律) =(a+b)xa-(a+b)xb（代入A=a+b） =a2+ab-ab-b2 =a2-b2 【例题】计算：48x52+37x43 分析：48和52刚好都与50相差2，37和43刚好与40相差3。 48x52+37x43 =(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3) =502-22+402-32 =2500-4+1600-9 =4087 这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算，关键在于自己要熟练掌握，牢记于心，灵活运用。（更多知识总结，在“G老师讲奥数”）

平方差公式教案(公开课)

《平方差公式》教学设计 教学目标： 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 教学重点： 1、学会平方差公式的推导和应用 2、理解和掌握平方差公式，并能灵活运用公式进行简单运算。 教学难点：能灵活运用公式进行运算. 教学课时：一课时 教学过程 复习回顾：复习多项式乘法法则 提问：（ a+b）（ m+n） =_____ 举例：计算（ x ＋ 2)( x ＋5） 创设情境，导入新课 问题：王剑同学去商店买了单价是9.8 元／千克的糖块 10.2 千克，售货员刚拿 起计 算器，王剑就说出应付 99.96 元，结果与售货员计算出的结果相同。售货员惊讶地 问：“这 位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了数学课上刚学过的一个公 式。”你知 道王剑同学用的是什么数学公式 吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了.探索新知，尝试发现 一、拼图游戏 45 45+15 45-15 452－152 151 1、边长为 45 的正方形去掉一个小正方形（边长为15）后剩下的面积 =45 2－ 152=2025 － 225=1800 2、用割补的方法得右边长方形，其面积=（ 45+15）（ 45－ 15） =60 ×30=1800 由此得：（ 45+15）（45－ 15） = 452－152

二、计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （ 1）（x+1 ）（x-1 ） = _____________； 1

（ 2）（2+ m）（ 2- m） =____________ ； （ 3）（2x+3 ）（2x-3 ） =____________ ． 依照以上三道题的计算回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这 两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a+b）（a- b）=a2- b2． 三、总结归纳，发现规律 你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （a b)(a b) a 2b2 四、剖析公式，发现本质 在平方差公式中，其结构特征为：（a+b）（a- b）=a2- b2 (1)公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项 相等、第二项符号相反 [互为相反数 (式 )]; (2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内第一项的平方减去第二项的平方. (3)公式中的 a 和 b 可以代表数，也可以是代数 式．五、巩固运用，内化新知 例1 利用平方差公式计算： （1）(5+6x)(5 - 6x) ； (2) (x+2y)(2y - x);(3) ( - a+2b)( - a- 2b). 解: (1)(5+6x)(5 - 6x) (2) (x+2y)(2y - x)(3)( - a+2b)( - a- 2b) =5 2－（6x）2 =(2y+x)(2y －x) =(-a) 2－ (2b) 2 =25－36x 2 =(2y) 2－x2 =a 2－4b2 =4y 2－x2 注意：当“第一 (二 )数”是一分数或是数与字母的乘积时 , 要用括号把这个数整 个括起来，最后的结果又要去掉括号。 情系中考 1、【上海】（ a-2b）（ a+2b） =____________ 2、【宁夏】（ x-y ）（ -y-x ）的结果是（） A.-x2+y2 B.-x2-y2 C.x2-y2 D.x2+y2 例 2 利用平方差公式计算： 102× 98 解: 102× 98 =(100 +2) (100×-2 ) =1002 - 22 2

平方差公式讲义

平方差公式专题 一、基本知识 1、公式推导 计算：()()a b a b +- 2、平方差公式及其特征 （1）符号描述：()()22a b a b a b +-=- （2）结构特征：左边是两个数的和与差的积，即含有相同项和互为相反数的项，右边为这两个数的平方差。 （3）文字描述：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差（符号相同项的 例1 计算：()()3232x x +- 变式：计算 ()()()()()12215y y y y +---+ ()()()222x y x y -+-- ()()()2232772m m --- 例2 计算：1001999? 变式：计算2 100991011 ?+ 2、公式的逆用 例3 22 5522x x ????+-- ? ????? 3、公式的推广 例4 计算：()()a b c a b c +++- 变式：计算 ()()x y c x y c --+-+- 4、公式的连续运用 例5 计算： 2111339224x x x ??????----- ??????????? 变式：计算 222221111111111234910??????????----- ????? ????????? ???? K

三、练习 1、下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 () A.()()2323a b a b --+ B.()()3443a b b a -+-- C.()()a b b a -- D.()()a b c a b c +---+ 2、用平方差公式计算()()() 2111 x x x -++结果正确的是 () A.4 1x - B.4 1x + C.()4 1x - D.()4 1x + 3、计算 ()1()()222323x y x y +- ()2()()66x x +- ()()()32323m n m n --- ()114111010???? + - ???? ??? ()5497503? () 2 220006199819971999 -? ()()()7x y z x y z +--+ ()()()82323a b c a b c -++- ()()()()2292x xy y x y x y ++-+- ()()()()21032422a a a b a b ??-+---?? ()()()()()442211x y x y x y x y +++- 4、先化简，再求值： ()()()211,x x x x +-+-其中1 2 x =- 5、解方程： ()()()()231231x x x x x -+=+-+

薄膜干涉中额外光程差的问题

编号 2012021241 毕业设计 （ 16 届本科） 设计题目：薄膜干涉中额外光程差的问题 学院：电气工程学院 专业：物理学 班级： 12级物理学本科（2）班 作者姓名：赵志斌 指导教师：付文羽职称：教授 完成日期： 2014 年 5 月 3 日

目录 诚信声明 (1) 薄膜干涉中的额外光程差问题 (2) 1 引言 (2) 2 半波损失的概念及产生条件 (2) 3 额外光程与介质的关系 (3) 3.1 薄膜处于同一介质中 (3) 3.2 薄膜处于不同介质中 (3) 4 牛顿环的明环半径公式 (3) 5 额外光程差取值同于不同的区别 (4) 6 结论 (5) 致谢 (5)

诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二O一年月日

薄膜干涉中的额外光程差问题 赵志斌 （陇东学院电气工程学院，甘肃庆阳745000） 摘要：就薄膜干涉中两反射光间的额外光程差问题展开论述。给出了半波损失的概念。并且将薄膜干涉中计算光程时，半波损失发生在膜上表面反射与发生在膜下表面的反射，额外光程差取值的相同与否加以说明。 关键词：额外光程差；半波损失；薄膜干涉； Additional optical path difference problem in thin film interference Zhao Zhi-bin (Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu,) Abstract：On film interference in the additional optical path difference between the two reflected light problem. The concept of half wave is given. And the thin film interference to calculate the optical path, the half wave loss on the membrane surface reflection and happen under the membrane surface reflection, additional optical path difference values of the same or not. Key words: additional optical path difference; Half wave loss; Thin-film interference; 1 引言 满足相干条件的两列波在空间相遇时会发生干涉，其强度分布主要取决于光程差，光程差每改变半个波长，就可使波长发生很大的变化。光在薄膜上下表面反射时，由于半波损失物理性质会相反，因此两束光反射光相遇时的光程差中会含有额外光程差。 2 半波损失的概念及产生条件 光在介质表面反射时产生π的相位跃变即为半波损失，当入射光在掠射或正射两种情况下，光由光疏介质射向光密介质时反射光产生半波损失。因为若不是上述两种情况，即便是光由光疏介质射向光密介质，根据菲涅尔公式，反射光的合振动失量与入射光的合振动矢量 并不是反向的，相位差不是π，所以不会产生半波损失。另外，此处的半波损失是无限

平方差公式(一)

平方差公式(一) 一、教学目标 (一)知识目标 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力目标 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感目标 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. 二、教学重难点 （一）教学重点 平方差公式的推导和应用. （二）教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. 三、教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.7.1 A) 第二张：例1，记作(§1.7.1 B) 第三张：例2，记作(§1.7.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.7.1 D) 四、教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1 ［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，

2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即 (2000+1)(2000－1)=20002－12. 那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？ 我们不妨看下面的做一做. Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律 ［师］出示投影片(§1.7.1 A) 做一做：计算下列各题： (1)(x+2)(x－2); (2)(1+3a)(1－3a); (3)(x+5y)(x－5y); (4)(y+3z)(y－3z). 观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？ ［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法. ［生］上面四个算式每个因式都是两项. ［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积. ［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案. ［生］解：(1)(x+2)(x－2) =x2－2x+2x－4=x2－4； (2)(1+3a)(1－3a) =1－3a+3a－9a2=1－9a2； (3)(x+5y)(x－5y)

《平方差公式》教学案例

数学教学案例（人教版八年级数学上册14.2.1） 案例名称：《平方差公式》 所属课程：数学 所属专业：初中数学 授课课时：一课时

《平方差公式》教学案例 一、教学内容与分析 1．内容 平方差公式——两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.内容分析 本节内容主要研究的是平方差公式的推导和应用。平方差公式是学生学习了整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在已经掌握了单项式乘法、多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了方法，同时也为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有承上启下的作用。 3．教学重点与难点 本节课的重点：理解平方差公式，掌握其结构特点，并能运用公式进行运算。 本节课的难点：①理解公式中字母的含义，即公式：2 2 = a- +中 b - a ) )( (b b a

的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。正确找准哪个数或式相当于公式中的a，b.②平方差公式的变式应用。 二、教学目标与解析 1.目标 （1）知识目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算。 （2）能力目标：在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象研究问题的方法；在验证平方差公式的过程中，感知数形结合的思想，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数学应用意识。 （3）情感目标：让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、善于观察、大胆猜想的创新思维品质。 2.目标解析 （1）理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，加深学生对公式的理解。 （2）让学生经历具体——抽象的过程。从中发现、体会、理解公式，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、观察、归纳、猜想、推理能力，利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想。在运用

平方差公式完全平方公式

平方差公式完全平方公 式 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

乘法的平方差公式平方差公式的推导 两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差(a+b)(a-b)=a-b， 公式，22 平方差公式结构特征： 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ①右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 (5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b (x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b (-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b 填空： 1、(2x-1)( )=4x2-1 2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2 第一种情况：直接运用公式 1.（a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b) 3. (1+2c)(1-2c) 4. (- x+2)(-x-2)

5. (2x+12)(2x-12 ) 6. (a+2b)(a-2b) 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b) 第二种情况：运用公式使计算简便 1、 1998×2002 2、498×502 3、999×1001 4、× 5、× 6、（100-13）×（99-23） 7、（20-19）×（19-89 ） 第三种情况：两次运用平方差公式 1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) 2、(a+2)(a-2)(a 2+4) 3、(x- 12)(x 2+ 14 )(x+ 12) 第四种情况：需要先变形再用平方差公式 1、（-2x-y ）(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1) 第五种情况：每个多项式含三项 1.（a+2b+c ）(a+2b-c) 2.(a+b-3)(a-b+3) +z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p) 平方差公式（1） 变式训练：1、 2、填空： （1）()()=-+y x y x 3232 （2）()( )116142-=-a a （3）()949137122-=??? ??-b a ab （4） ()() 229432y x y x -=-+ ② 拓展： 1计算：（1）22)()(c b a c b a +--++ （2） ()()()()() 42212122224++---+-x x x x x x

平方差公式教案(公开课)上课讲义

《平方差公式》教学设计 教学目标：1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 教学重点：1、 学会平方差公式的推导和应用 2、 理解和掌握平方差公式，并能灵活运用公式进行简单运算。 教学难点：能灵活运用公式进行运算. 教学课时：一课时 教学过程 复习回顾：复习多项式乘法法则 提问：（a+b ）（m+n ）=_____ 举例：计算（x ＋ 2)( x ＋5） 创设情境，导入新课 问题：王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计 算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相同。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了数学课上刚学过的一个公式。”你知道王剑同学用的是什么数学公式吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了. 探索新知，尝试发现 一、拼图游戏 1、边长为45的正方形去掉一个小正方形（边长为15）后剩下的面积=452－152=2025－225=1800 2、用割补的方法得右边长方形，其面积=（45+15）（45－15）=60×30=1800 由此得：（45+15）（45－15）= 452－152 二、计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x-1）= _____________ ； （2）（2+ m）（2- m）=____________ ； （3）（2x+3）（2x-3）=____________ ． 依照以上三道题的计算回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a+b）（a- b）=a2- b2． 三、总结归纳，发现规律 你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 2 2 a- = （ b - + ) )(b a a b 四、剖析公式，发现本质 在平方差公式中，其结构特征为：（a+b）（a- b）=a2- b2 (1)公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)]; (2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内第一项的平方减去第二项的平方. (3) 公式中的a和b 可以代表数，也可以是代数式． 五、巩固运用，内化新知 例1 利用平方差公式计算： （1）(5+6x)(5?6x)； (2) (x+2y)(2y?x); (3) (?a+2b)(?a?2b). 解: (1)(5+6x)(5?6x) (2) (x+2y)(2y?x) (3)(?a+2b)(?a?2b) =5 2－（6x）2 =(2y+x)(2y－x) =(-a) 2－(2b) 2=25－36x 2 =(2y) 2－x2 =a2－4b2 =4y2－x2 注意：当“第一(二)数”是一分数或是数与字母的乘积时, 要用括号把这个数整个括起来，最后的结果又要去掉括号。 情系中考 1、【上海】（a-2b）（a+2b）=____________ 2、【宁夏】（x-y）（-y-x）的结果是（） A.-x2+y2 B.-x2-y2 C.x2-y2 D.x2+y2 例2 利用平方差公式计算：102×98 解: 102×98 = (100 +2) ×(100-2 )

平方差公式经典讲义

平方差公式 一、基本知识 1、公式推导 计算：()()a b a b +- 2、平方差公式及其特征 （1）符号描述：()()22 a b a b a b +-=- （2）结构特征：左边是两个数的和与差的积，即含有相同项和互为相反数的项，右边为这两个数的平方差。 （3）文字描述：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差（符号相同项的平方减去符号相反项的平方） （4）温馨提示： 1、两个多项式相乘必须具备平方差公式左边的结构特征才能运用； 2、因式的位置关系：通常完全相同的项在前面，互为相反数的项在后面，前后位置不能乱，运算是求差； 3、因为公式中的字母,,a b 可以是一个数，一个单项式或一个多项式，所以当这个字母表示一个负数、字母的积、多项式时，要准确无误地将它们用括号括起来，以免发生系数写错、指数写错和意义不同的错误。 二、典例分析 1、直接运用公式 例1 计算：()()3232x x +- 变式：()()()()()12215y y y y +---+ ()()()222x y x y -+-- ()()()2232772m m ---

例2 计算：1001999? （构造平方差公式做数的简便运算） 变式：计算2 100991011 ?+ 2、公式的逆用 例3 22 5522x x ????+-- ? ????? 3、公式的推广 例4 计算：()()a b c a b c +++- 变式：计算()()x y c x y c --+-+- 4、公式的连续运用 例5 计算：2111339224x x x ??????----- ??????????? 变式：计算 222221111111111234910??????????----- ????? ????????????? 逆用平方差公式做复杂的数的运算

平方差公式案例

15.2.1平方差公式 授课时数：二课时 一、学习目标 1．知识与技能 会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算． 2．过程与方法 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式． 3．情感、态度与价值观 通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性． 二、学习重、难点与关键 1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解． 2．难点：平方差公式的应用． 3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、?总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键． 三、知识梳理 平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2 四、学法指导 采用“自学-讨论-练习”的教学方法，让学生在组内合作中总结出平方差公式． 五、学习过程 （一）出示目标流程（学生阅读黑板） 流程：课前随堂设计 （二）自学讨论释疑 出示自学提示： 1、【问题牵引】计算： （1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）； （3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）． 做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现． 2、那么如何用字母来归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？ 【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果： （1）（x+2）（x－2）=x2－4； （2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2； （3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2； （4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2． 学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．【教师引导】用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律（a+b）（a－b）=a2－b2．用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （三）练习实践互帮 运用平方差公式计算：

平方差公式

探索构建新课程理念下的课堂教学有效模式 ——“小组合作学习研究”之教案设计 教学内容：平方差公式 教学目标：1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能使用公式实行简单的运算． 教学重难点：平方差公式的推导和应用．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．课前准备： 课时安排： 教学过程 一、情景导入你能用简便方法计算下列各题吗？ （1）2001×1999 （2）998×1002 直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001能够写成2000+1，1999能够写成2000-1，那么2001×1999能够看成是多项式的积，根据多项式乘法法则能够很快算出． 那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了． 二、自主学习1）2001×1999=（2000+1）（2000-1） =20002-1×2000+1×2000+1×（-1） =20002-1 =4000000-1 =3999999． （2）998×1002=（1000-2）（1000+2） =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996． 2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续实行探索．

三、合作探究计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现． （学生讨论，教师引导） 上面四个算式中每个因式都是两项． 我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1?这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积． 四、交流反馈解：（1）（x+1）（x-1） =x2+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2×2=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1） =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12 （4）（x+5y）（x-5y） =x2+5y·x-x·5y-（5y）2 =x2-（5y）2 从刚才的运算我发现：

人教版【说课稿】 平方差公式

平方差公式 《平方差公式》是义务教育课程标准实验教科书(人教版)《数学》八年级上册第14章第2节的内容，下面我就这一节的教学谈谈自己的想法。 一、教材分析 1、教学内容：根据《新课标》要求和教材的编写意图，本节课的教学内容有三点：（1）平方差公式的推导（2）平方差公式的几何论证（3）平方差公式的应用 2、教材的地位、作用及前后联系： 平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果，它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此，它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材。 3、教学重点难点和关键 《新课标》明确指出：“经历知识的形成与应用的过程，将有利于学生更好的理解数学、应用数学，增强学好数学的信心”，因此本节课采用“问题情景——自主探究---合作交流----建立模型——解释、应用与拓展”的模式进行教学。重点定为平方差公式的理解，难点应为平方差公式的应用。 二、教学目标分析 1、知识与技能目标 (1)经历探索平方差公式的过程，熟悉平方差公式； (2)能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行简单运算； (3)会推导验证平方差公式，能灵活运用平方差公式进行运算。 2、过程与方法目标：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。培养学生的数学建模能力，抽象思维能力，感悟换元变换的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维，从而提高学生灵活运用公式的能力。 3、情感态度价值观目标：让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中许多问题的工具，学习是有价值的学习，从而促使学生热爱数学研究数学。 三、教法分析 《新课标》强调“让学生经历数学知识的形成与应用过程”，充分调动学生思维的主动性、积极性，根据这样的原则和所要完成的教学目标，我采用启发式、讨论式相结合的教学方法。启发、引导学生积极地思考，帮助学生优化思维过程，在此基础上，提供学生交流讨论的机会，学生学会对自己的数学思想进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思想，能通过对其他人的思维和策略