2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章章末小结含解析

1．导数的几何意义

导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．2．函数的单调性与导数

(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．

(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.

(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．

3．导数与函数的极值、最值

(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．

(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．

(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．

4．定积分与微积分基本定理

利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．

导数的几何意义

[例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－1

4x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 k ＝f ′(2)＝13.

∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)法一：设切点为(x 0，y 0)，

则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 2

0＋1，

∴直线l 的方程为

y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.

又∵直线l 过点(0,0)，

∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16.

整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)， 则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，

又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，

∴x 3

0＋x 0－16x 0

＝3x 20＋1. 解得x 0＝－2，

∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－1

4x ＋3垂直，

∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，

则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±

1. ∴????? x 0＝1，y 0＝－14或?????

x 0＝－1，y 0＝－18.

即切点为(1，－14)或(－1，－18)．

切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.

函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，于是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．

1．(天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．

解析：因为f ′(x )＝a －1

x ，所以f ′(1)＝a －1， 又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 令x ＝0，得y ＝1. 答案：1

2．已知函数f (x )＝1

3x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .

(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．

解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，

即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，

则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，????

?

k ≥－1，－1k ≥－1，

解得－1≤k ＜0或k ≥1，

故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).

导数与函数的单调性

[例2] (全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1

x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .

若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＜0，则当x ∈????0，－1

2a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈???

?－1

2a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在????0，－12a 上单调递增，在???

?－1

2a ，＋∞上单调递减．

(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0 的解集．

(2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．

3．证明：不等式ln x >2(x －1)

x ＋1，其中x >1.

证明：设f (x )＝ln x －

2(x －1)

x ＋1

(x >1)， 则f ′(x )＝1x －4

(x ＋1)2.

∵x >1，∴f ′(x )>0，

∴f (x )在(1，＋∞)内为单调增函数． 又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0， 即ln x －2(x －1)x ＋1>0，∴ln x >2(x －1)

x ＋1.

4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .

(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；

(2)若g (x )＝f (x )＋2

x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)

x

.

令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0

所以f (x )的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0,1)． (2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2

x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2.

若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数， 则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，

即不等式2x －2x 2＋a

x ≥0在[1，＋∞)上恒成立．

也即a ≥2

x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立．

令φ(x )＝2

x －2x 2， 则φ′(x )＝－2

x

2－4x .

当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2

x

2－4x <0，

∴φ(x )＝2

x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数． ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.

∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).

导数与函数的极值、最值及恒成立问题

[例3] 已知函数f (x )＝ln x －a

x

.

(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；

(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a

x

2(x ＞0)，

当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值； 当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 且0＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， x ＞－a 时，f ′(x )＞0.

∴x ＝－a 时，f (x )取极小值也是最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.

(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，

故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2

，则h ′(x )＝1

x －2x ＝1－2x 2x

，

由h ′(x )＝0及0＜x ≤e ，得x ＝22

. 当0＜x ＜

22时，h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，即h (x )在?

???0，22上为增函数，在????22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ???

?22＝ln 22－12.

所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时， a 的取值范围为???

?ln

22－12，＋∞.

一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．

5．(北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间???

?0，π

2上的最大值和最小值．

解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，

所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，

所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，

则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈????0，π

2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间????0，π

2上单调递减． 所以对任意x ∈????0，π

2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.

所以函数f (x )在区间????0，π

2上单调递减． 因此f (x )在区间????0，π

2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ????π2＝－π

2

. 6．设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )

围．

解：∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.

∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，f (0)＝8c ＜f (1)， ∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )9.

∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).

导数与不等式

[例4] 已知函数f (x )＝x 2e x －

1－13x 3－x 2.

(1)讨论函数f (x )的单调性；

(2)设g (x )＝2

3x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．

[解] (1)f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －

1－1)，

由f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 当－21时，f ′(x )>0； 当x <－2或0

所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减． (2)f (x )－g (x )＝x 2e x －

1－x 3＝x 2(e x －

1－x )．

因为对任意实数x 总有x 2≥0， 所以设h (x )＝e x －

1－x .

则h ′(x )＝e x －

1－1，由h ′(x )＝0，得x ＝1，

当x <1时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减， 因此当x <1时，h (x )>h (1)＝0.

当x >1时，h ′(x )>0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增， 因此当x >1时，h (x )>h (1)＝0. 当x ＝1时，h (1)＝0.

所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0， 故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．

利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．

7．已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.

(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：当x ＞1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋1

2成立．

解：(1)原题即为存在x >0使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1， 令g (x )＝－ln x ＋x －1， 则g ′(x )＝－1

x ＋1＝x －1x .

令g ′(x )＝0，解得x ＝1.

∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0. 故a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明：原不等式可化为

12x 2＋ax －x ln x －a －1

2＞0(x ＞1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －1

2，则G (1)＝0.

由(1)可知x －ln x －1＞0，

则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立，

∴12x 2＋ax －x ln x －a －1

2＞0成立， 即12x 2＋ax －a >x ln x ＋1

2成立．

导数的实际应用

[例5] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域

内

有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园P Q CN ，问

如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．

[解] 以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系， 则D (4,2)．

设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p . 解得p ＝12

.

∴抛物线方程为：y 2＝x (0≤x ≤4)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点， 则|P Q |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为

S ＝|P Q |×|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得：S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0， 得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝2

3或y ＝－2(舍)．

当y ∈???

?0，2

3时，S ′>0，函数为增函数；

当y ∈????23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝2

3时，S 有最大值．

得|P Q |＝2＋y ＝2＋23＝8

3，

|PN |＝4－y 2＝4－????232＝32

9.

∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝256

27

(km 2)．

(1)解决实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解； (2)在实际问题中，f ′(x )＝0常常仅有一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内

部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．

8．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x .若每吨商品售价

为

ln x

x

万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式； (2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？

解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )

＝???

1 000ln x －???

?12x 2

－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000

x

，x ∈(80，100].

(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－(x －50)(x ＋20)

x

，

由L ′(x )≥0，得20≤x ≤50；由L ′(x )≤0，得50≤x ≤80， ∴L (x )在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250； 当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000

x

单调递增， ∴L (x )max ＝1 000ln 100 －2 000.

∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0， ∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元.

[例6] 求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线

y ＝cos x 在x ＝－

3π4到x ＝5π

4

之间围成的图形的面积．

[解] 如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在????－3π4，5π

4上的图象， 它们共产生三个交点，分别为????－

3π4

，－22，????π4，22，????5π4，－22. 在????－3π4，π4上，cos x >sin x ，在???

?π4，5π

4上，sin x >cos x . ∴面积S ＝??－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋??π45π

4

(sin x －cos x )d x

＝2??π4

5π

4

(sin x －cos x )d x .

取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2???

?F ????5π

4－F ?

???π4＝4 2.

不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．

9．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ????

12，0，求过点P 的切线l 与C 围成的图形的面积． 解：设切点A (x 0，y 0)， 则y ′＝6x 20－6x 0－2，切线l ：

y －[2x 30－3x 20－2x 0＋1]

＝(6x 20－6x 0－2)(x －x 0)过P ????12，0，

∴－[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝[6x 20－6x 0－2]·???

?12－x 0. 即x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0. ∴x 0＝0，y 0＝1，A (0,1)．

∴切线l 的方程为

y －1＝－2(x －0)． ∴2x ＋y －1＝0.

∴?????

y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝1－2x ???

???

x ＝3

2，y ＝－2，

∴B ????32，－2.

∴S ＝???

3

2

(3x 2－2x 3)d x ＝27

32.

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．y ′＝22cos ????2x －π4 B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ′＝22cos ????2x ＋π4 解析：∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′ ＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′ ＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22

???

?22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ????2x －π

4，故选A. 答案：A

2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1

e

D ．－1

e

解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝1

x 0，

∴切线方程为y －y 0＝1

x 0

(x －x 0)，

又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ， ∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1

e .

答案：C

3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )

A ．(0,1]

B ．[1，＋∞)

C ．(－∞，－1]，(0,1)

D ．[－1,0)，(0,1]

解析：∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2

－1)

x ，

当0＜x ≤1时，f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减． 答案：A

4．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1

D ．不存在

解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1， 于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1， 解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)． 答案：A

5.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )

的图象可能是( )

解析：由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当00，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.

答案：D

6．函数f (x )＝2x ＋1

x ，x ∈(0,5]的最小值为( )

A ．2

B ．3 C.174

D ．22＋1

2

解析：由f ′(x )＝

1x －1x

2＝x 32

－1x 2＝0得x ＝1，

且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0， ∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 答案：B

7．由直线x ＝－π3，x ＝π

3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )

A.1

2 B.1 C.32

D. 3

解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分??－π

3

π

3cos x d x ，

取F (x )＝sin x ，则F ′(x )＝cos x . ∴??－π

3

π3cos x d x ＝F ????π3－F ???

?－π3＝ 3. 答案：D

8．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( ) A ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e 2π

B ．－e 2π(1－e 2 019π)

1－e π

C ．－1－e 2 020π

1－e 2π

D ．－e 2π(1－e 2 018π)

1－e 2π

解析：∵f ′(x )＝2e x sin x ，

∴当x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z)时，f (x )取极小值， 其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π

(k ∈Z)，

又0≤x ≤2 019π，

∴f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π

－e 4π

－…－e 2 018π

＝－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π

.

答案：D

9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是(

)

解析：∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )＜0，当x ＜－2时，xf ′(x )＞0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )＞0，当－2＜x ＜0时，xf ′(x )＜0.

答案：C

10．函数f (x )＝??0x

t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－

32

3

C ．有最小值－32

3，无最大值

D ．既无最大值，也无最小值

解析：函数f (x )＝1

3

x 3－2x 2，所以f ′(x )＝x 2－4x ，所以f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,4]上单

调递减，在[4,5]上单调递增，进而可得f (x )在[－1,5]上既有最大值又有最小值．

答案：B

11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函

数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是

( )

A ．(－3,0)

B ．(－3,5)

C ．(0,5)

D ．(－∞，－3)∪(5，＋

∞) 解析：依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．

又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)． 答案：B

12．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.????e 2

8，＋∞ B.????0，e 2

8 C.????e 24，＋∞ D.???

?0，e 2

4 解析：根据题意，函数y ＝ax 2与函数y ＝e x 的图象在(0，＋∞)上有公共点，

令ax 2

＝e x

，得a ＝e x x

2.

设f (x )＝e x

x 2，则f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4，

由f ′(x )＝0，得x ＝2，

当0

x 2在区间(0,2)上是减函数，

当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x

x

2在区间(2，＋∞)上是增函数，

所以当x ＝2时， 函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 2

4.

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝

4x

x 2

＋1

在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 解析：f ′(x )＝4－4x 2

(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，

即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，

所以????

?

m ≥－1，m ＜2m ＋1，

2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.

答案：(－1,0]

14．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝

1x ln 2，∴k ＝1

ln 2， ∴切线方程为y ＝

1

ln 2

(x －1)， ∴三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝1

2 log 2e.

答案：1

2

log 2e

15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 解析：设曲线上一点的横坐标为x 0(x 0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1

x 0，

根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－1

2，

又∵x 0＞0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，

∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|

2＝ 2.

答案： 2

16．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1

3

或x ＝1.

又f ????－13＝5

27，f (2)＝2，f (1)＝f (－1)＝－1， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)

三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．

(1)求f (x )的表达式；

(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，

所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，

从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－1

3，b ＝0，

因此f (x )的表达式为f (x )＝－1

3

x 3＋x 2.

(2)由(1)知g (x )＝－1

3x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，

令g ′(x )＝0.解得x ＝－2(舍去)或x ＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝4

3

，

因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝4

3

.

18．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??01

f (x )d x ＝－2，

求a ，b ，c 的值．

解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.②

而??01

f (x )d x ＝??01

(ax 2

＋bx ＋c )d x .

取F (x )＝13ax 3＋1

2bx 2＋cx ，

则F ′(x )＝f (x )．

∴??0

1

f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋1

2b ＋c . ∴13a ＋1

2

b ＋

c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.

19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－1

2x 2＋bx ＋c .

(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；

(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )

2.

解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b .

令f ′(x )＝0，由Δ>0得1－12b >0，即b <1

12.

∴b 的取值范围为????－∞，1

12. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，

∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2

3

，x 2＝1，

可以计算得到f (x )max ＝2＋c ， 所以2＋c 2或c <－1.

即c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． (3)可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－3

2

＋c .

∴对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2＋c －????－32＋c ＝72. 20．(本小题满分12分)已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x . (1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围；

(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )≤g (x )恒成立得 c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x )max .

令F (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x (x ∈[－3,3])， ∴F ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12. 又∵x ∈[－3,3]，

∴当x ∈[－1,2]，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当x ∈[－3，－1)和(2,3]，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 又∵F (2)＝20，F (－3)＝45. ∴F (x )max ＝F (－3)＝45，

∴c ≥45.即实数c 的取值范围为[45，＋∞)． (2)∵x 1∈[－3,3]， ∴f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c .

∵g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，∴g ′(x )＝6x 2＋8x －40. ∵x ∈[－3,3]，

∴当x ∈[－3,2]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减； x ∈(2,3]时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 又∵x 2∈[－3,3]， ∴g (x 2)min ＝g (2)＝－48. 又∵f (x 1)≤g (x 2)，

∴147－c ≤－48，即c ≥195.

∴f (x 1)max ≤g (x 2)min 成立时，c 的取值范围为[195，＋∞)．

21．(本小题满分12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6＜x ＜11)，年销量为u 万件，若已知585

8

－u 与????x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．

解：(1)设585

8－u ＝k ????x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴585

8－28＝k ????10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2????x －2142＋585

8

＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6＜x ＜11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．

令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0， 当x ∈(9,11)时，y ′＜0.

∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，

∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．

22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－4

3.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意，

得????? f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即????? 12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－4

3，解得?????

a ＝13，

b ＝4， ∴f (x )＝1

3

x 3－4x ＋4.

(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：

x (－∞，－2)

－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)

f ′(x ) ＋

0 －

0 ＋

f (x )

283

－43

因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值28

3，当x ＝2时，

f (x )有极小值－4

3

，

所以函数f (x )＝1

3

x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．

若f (x )＝k 有3个不同的根，

则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， ∴－43

.

∴实数k 的取值范围为????－43，28

3.

高中数学选修2-3知识点汇编 (2)

高二数学选修2－1知识点 第一章常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是假命题；若p是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有() p x成立”，记作“x ?∈M，() p x”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M中的一个x，使() p x成立”，记作“x?∈M，() p x”． 10、全称命题p：x ?∈M，() p x，它的否定p ?：x?∈M，() p x ?．全称命题的否定是特称命题． 第二章圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之和等于常数（大于 12 F F）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程() 22 22 10 x y a b a b +=>>() 22 22 10 y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 () 1 ,0 a A-、() 2 ,0 a A () 1 0,b B-、() 2 0,b B () 1 0,a A-、() 2 0,a A () 1 ,0 b B-、() 2 ,0 b B 轴长短轴的长2b =长轴的长2a = 焦点() 1 ,0 F c-、() 2 ,0 F c() 1 0, F c-、() 2 0, F c 焦距() 222 12 2 F F c c a b ==- 对称性关于x轴、y轴、原点对称 原命题逆命题否命题逆否命题真真真真 真假假真 假真真真 假假假假

高一数学老师工作总结5篇

高一数学老师工作总结5篇 工作总结，以年终总结、半年总结和季度总结最为常见和多用。就其内容而言，工作总结就是把一个时间段的工作进行一次全面系统的总检查、总评价、总分析、总研究，并分析成绩的不足，从而得出引以为戒的经验。下面是小编收集整理的高一数学老师工作总结5篇范文，欢迎借鉴参考。 高一数学老师工作总结5篇(一) 人生倏忽兮如白驹之过隙，本学期，我担任高一(11)的数学，我内心深处时时充盈着感动。是领导的关怀，同事间的互助，师生间的灵犀，让我感到了生活的意义，感到了生命的美好，也给了我在单调机械的工作中坚持下去的理由和信念。我感动着这一切，所以我也努力工作着，回报着。 转眼间，一年过去了，在这一年的工作有成功与失败、有欢笑与泪水。这一年是我人生中最亮丽的一年，是几年教学中收获最多的一年，虽然这一年的工作还有缺憾、还有不足，但绝对是我成长最快的一年，是我经验积累最多的一年。现就这一年的工作总结如下：

一、收获 1、备课：这学期的备课在去年的基础上去繁就简，简化了知识上的抄写，强调教学过程的设计、教学语言的组织、教学环节的过渡;依据中考要求、学校招生考试试题难度要求，简化了去年过繁、过深的知识传授，尽量将教学难度降到合适的要求，并充分注重基础知识的掌握与记忆;根据学生实际，简化了过多、过细的教学内容，重点强化重点知识的讲解，让学生学会举一反 三、由此及彼的学习方法，从而减轻了学生的记忆负担。 2、教学方法 今年，我积极参加省教育厅组织的“课内比教学”活动，另外在与教学不相冲突的情况下，尽量多听课，多听有经验教师的评课，多总结别人的优点，并根据自己的教学实际加以借用。在教学中，我还十分注意向有经验的教师请教，学习他们管理学生的方法、学习课堂教学的语言、学习教学过程的组织、学习各种课型的的授课方法、学习课件制作的经验，努力使自己的教学逐渐成熟。 3、课堂管理 通过一年的带班，自己最深刻的体会学生管理真是一门博大精深的艺术，怎样使自己管理学生严而有度、活而不乱，怎样使课堂教学轻松的氛围中进行，都是自己今后还应努力的地方。

【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案(23套,含答案)

1.1.1 命题 学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类 命题? ?? ?? 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题． ( ) [解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③ B ．①③④

高中数学选修2-2-2-3知识点

-可编辑- 高中数学选修2----2知识点 第一章 导数及其应用 知识点： 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割 线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ', 即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 考点：无 知识点： 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()() [ ]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 3）复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 考点：导数的求导及运算 ★1、已知 ()22sin f x x x π=+-，则()'0f = ★2、若()sin x f x e x =，则()'f x = ★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ， 4)1(=-'f ，则a=（ ） 3 19.3 16 .3 13.3 10.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4 1,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° ★★5.如果曲线2 932 y x = +与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点： 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;

高一数学工作总结

高一数学工作总结 一名优秀的教师应充分利用班会,做好思想工作，积极学习教育理论知识，注重学生学习兴趣的培养。《高一数学工作总结》是教学工作总结栏目为您精心准备的，更多精彩内容请收藏本站(ctrl+D即可)! 我****年毕业于**大学, ****年8月进入**市第一中学,现在已是我在**市第一中学工作的第六个年头了.参加工作以来,我认真学习马列主义,毛泽东思想,邓小平理论和江泽民同志”三个代表”的论述,使自己的政治理论水平和思想素质有了一个较大的提高.严格遵守学校各种规章制度,积极参加学校各种活动,加强师德修养,严格约束自己,教书育人,为人师表,服从领导安排,与同事,学生关系融洽.在日常工作中虚心向老教师学习.现就我的工作总结如下: 一,思想政治方面 本人能积极参加政治学习,关心国家大事,拥护以吴锦涛同志为核心的党中央的正确领导,坚持四项基本原则,拥护党的各项方针政策,遵守劳动纪律,团结同志,热心帮助同志;教育目的明确,态度端正,钻研业务,勤奋刻苦;班主任工作认真负责,关心学生,爱护学生,为人师表,有

奉献精神. 二,教学工作方面 在这六年的教学工作中,我担任学校数学教学工作.认真备课,上课,听课,评课,做好课后辅导工作,挖掘教材,思索教法,研究学生.平时上课严格要求学生,尊重学生,发扬教学民主,使学生学有所得,不断提高自己的教学水平和思想觉悟,顺利的完成了教育教学任务. 1.备课深入细致,平时认真研究教材,多方参阅各种资料,力求深入理解教材,准确把握难重点.在制定教学目标时,非常注意学生的实际情况.教案编写认真,并不断归纳总结经验教训. 2.注重课堂教学效果,针对学生特点,以互动教学为主,不搞满堂灌,坚持学生为主体,教师为主导,教学为主线,注重讲练结合.在教学中注意抓住重点,突破难点.在整个课堂教学中,充分调动每一个学生的积极性,不忽略每一个细节,力图在45分钟掌握本节课的所有知识点. 3.课后作业人正挑选,精选精炼,不搞题海战术.并且注意学生实际情况,实行分层作业,即在基本作业的情况下,有能力的同学布置提高题.在第一年担任高一7班教学工作中,组织班级内优秀学生有计划的做

高中数学选修11人教A教案导学案充分条件与必要条件

1. 2.1充分条件与必要条件 教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。 教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念. 教学过程： 一、复习准备： 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0ab =，则0a =； （2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. 二、讲授新课： 1. 认识“?”与“”： ①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >?函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. ②练习：教材P10 第1题 2. 教学充分条件和必要条件： ①若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=； （3）若()3x f x =- ，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. （5）若12//l l ，则12k k =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则p 是q 的充分条件 解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。 点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ③变式练习：P10页 第2题 ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若0a =，则0ab =； （2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >； （4）若x y =，则22x y =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则q 是p 的必要条件。 解：（1）（4）q 是p 的必要条件。 点评：判断q 是不是p 的必要条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ⑤变式练习：P10页 第3题 ⑥例3：判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）

高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内

高中数学选修2-3知识点总结

高中数学选修2-3知识点总结

第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的 方法，在第二类办法中有M 2种不同的方 法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的 方法，那么完成这件事情共有 M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要 分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的 方法，做第二步有M 2不同的方法，……， 做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件 事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元 素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个 元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+

7、二项式定理 ：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 9.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ， （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1 2n n C -，1 2n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L ， 令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++L L 第二章 随机变量及其分布 知识点： （3）随机变量：如果随机试验可能出现的结果 可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着 试验的结果的不同而变化，那么这样的变量 叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、 Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 （4）离散型随机变量：在上面的射击、产品检 验等例子中，对于随机变量X 可能取的值， 我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量．

高中数学教师年度工作总结

高中数学教师年度工作总结 高中数学教师年度工作总结3篇 总结是在某一特定时间段对学习和工作生活或其完成情况，包括取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训加以回顾和分析的书面材料，他能够提升我们的书面表达能力，因此，让我们写一份总结吧。那么你真的懂得怎么写总结吗？以下是小编帮大家整理的高中数学教师年度工作总结3篇，希望对大家有所帮助。 高中数学教师年度工作总结篇1 时间过得真快，一转眼踏上工作岗位已经两年了，从初出茅庐的大学生到现在，我成长了许多，无论在教学和学生管理方面都积累了不少经验。一学期来，本人认真备课、上课、听课、评课，及时批改作业、讲评作业，做好课后辅导工作，广泛涉猎各种知识，形成比较完整的知识结构，严格要求学生，尊重学生，个人发扬教学民主，使学生学有所得，从而不断提高自己的教学水平和思想觉悟，并顺利完成教育教学任务。下面是本人的教学经验及体会： 1、要提高教学质量，关键是上好课。为了上好课，我做了下面的工作： （1）课前准备：备好课。 ①认真钻研教材，对教材的基本思想、基本概念，

每句话、每个字都弄清楚，了解教材的结构，重点与难点，掌握知识的逻辑，能运用自如，知道应补充哪些资料，怎样才能教好。 ②了解学生原有的知识技能的质量，他们的兴趣、需要、方法、习惯，学习新知识可能会有哪些困难，采取相应的预防措施。 ③考虑教法，解决如何把已掌握的教材传授给学生，包括如何组织教材、如何安排每节课的活动。 （2）课堂上的情况。 组织好课堂教学，关注全体学生，注意信息反馈，调动学生的有意注意，使其保持相对稳定性，同时，激发学生的情感，使他们产生愉悦的心境，创造良好的课堂气氛，课堂语言简洁明了，克服了以前重复的毛病，课堂提问面向全体学生，注意引发学生学数学的兴趣，课堂上讲练结合，布置好家庭作业，作业少而精，减轻学生的负担。 2、要提高教学质量，还要做好课后辅导工作。 我现在带两个班的数学教学工作，而数学每个班中的后进生肯定存在，给我的课后辅导工作带来了很大的难度。因此我在班级中设置“小组帮”的活动：将一个班级的学生分为八个大组，一个大组长和一个小组长，这两个人齐心协力管理好六个组员的各方面，每个小组中分配一个后进生，进行重点帮助。一个学期下来，效果还是不错的。当然

高中数学选修2-1学案：1.1.1命题

1.1.1 命题 [学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 知识点一命题的定义 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考](1)“x>5”是命题吗？ (2)陈述句一定是命题吗？ [答案](1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.

知识点二命题的结构 从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 题型一命题的判断 例1(1)下列语句为命题的是() A.x－1＝0 B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③22 015是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}的元素； ⑤作△ABC≌△A′B′C′. [答案](1)B(2)①④ [解析](1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故

高中数学教材选修2-2知识点

高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)

高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式

常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

高中数学组工作总结

2015年秋期数学组工作总结 一. 课程标准走进教师的心 我们怎样教数学,《普通高中数学课程标准（试验）》对数学的教学内容，教学方式，教学评估，教育理念等都提出了许多新的要求.我们每位数学教师置身其中去迎接这种挑战，是我们必须重新思考的问题. 二. 集体备课体现大智慧 数学组作为一个强有力的整体，也体现在日常备课之中.本着“一切为了学生，为了一切学生，为了学生一切”的教学理念,在平时的备课活动中不但注重备教材，备教法,更注重备学生.根据学生具体情况结合新教材实际，科研处拿出指导性意，提出“八字”教学模式，数学组认真学习新的教学模式，并圆满地完成了新模式教学任务。对“八字”模式，全组教师积极讨论，并结合自已的见解各抒己见，提出建设性的意见以及更加合理的建议.尽量做到每一份教案都尽善尽美，更有利于课堂教学. 紧扣新课程标准，在有限的时间吃透教材，分组讨论定稿，每个人根据本班学生情况说课、主讲、自评；积极利用各种教学资源，创造性地使用教材公开轮讲，反复听评，从研、讲、听、评中推敲完善出精彩的案例.实践表明，这种备课方式，既照顾到各班实际情况，又有利于教师之间的优势互补，从而整体提高备课水平. 三.课堂教学，交往互动、共同发展 为保证新课程标准的落实，我们把课堂教学营造成学生主动探索的学习环境，学生在获得知识和技能的同时，在过程方法、情感态度价值观等方面都得到了充分发展，把数学教学变成了师生之间、学生之间交往互动，共同发展的过程. 在平时的教学实践中，我们还注意记下学生学习中的闪光点或困惑，记下自已的所感、所思、所得，积累宝贵的第一手资料.教学经验的积累和教训的吸取，对今后改进课堂教学和提高教学水平十分有用. 课前准备不流于形式，变成一种实实在在的研究，教师的集体智慧得到充分发挥，课后的反思为以后的教学积累了许多有益的经验与启示。“学生是教学活动的主体，教师成为教学活动的组织者、指导者、参与者.”这一观念的确立，满堂灌的教法就没有了市场.无论是问题的提出，还是已有数据处理、数学结论的获得等环节，都体现学生自主探索研究.突出过程性，注重学习结果更注重学习过程以及学生在学习过程中的感受和体验.学生的智慧、能力、情感、信念水乳交融，心灵受到震撼，心理得到满足，学生成了学习的主人，学习成了他们的需求，学中有发现，学中有乐趣，学中有收获.实践证明：营造情境，培养学生的主动探究精神是探究性学习的新空间、新途径. 四．加快新教师的培养，做学者型教师 通过新老教师结对子等活动，数学组新教师在两位老教师的悉心指导下，通过自身努力，半年时间内在课堂教学的各个方面都取得了长足进步，现在已经能够胜任正常的教育教学工作.新教师的汇报课得到了上级主管领导及校领导的高度评价和充分肯定，每位教师在做好正常教育教学工作的同时，通过多种途径不断学习提高，争做研究性、学者型教师. 一份耕耘，一份收获，教学工作苦乐相伴.我们将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再厉，把教学工作搞得更出色.

新编人教A高中数学选修2-1全册导学案

人教版高中数学选修2-1 全册导学案

目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法

§1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结

高二数学教学工作总结

高二数学教学工作总结 高二二部张艳华 临近期末，回顾这段教学，我有种沉重的感觉。本学年我担任高二年级14、16班的数学教育教学工作。学生学习数学突出问题：有的根本不学，有的一讲又听得懂，一到自己做就不会，常找不到解题思路，眼高手低。学期即将结束，做本学期个人教学工作总结如下一、学情分析： 高二数学学期学必修二与选修1-1两本教材，课时吃紧，教学进度较快，增加了教与学难度，不可避免造成学生不适应高中数学学习，影响成绩的提高。概念抽象，定理严谨，逻辑性强，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维明显提高，知识难度加大。基础知识掌握不好，更没有查漏补缺，及时衔接，导致新旧知识的断链，形成学生在“空中楼阁”的基础上学数学，造成基础知识的破网。 现在的学生，好高骛远，空中建楼，目中无人，急功近利。现在的学生思想品德意识淡漠，懂得诸多大道理，爱国、民族、团结、友爱，讲起来头头是道，但是做人的最其码的道理却不懂。学生处于青春期，自主性差，往往是课上听课，课后完成作业了事。大多数学生被动学习，习惯听老师讲课，做题时习惯认为把题做完就是完成学习任务，缺乏主动思考能力，大部分的数学知识可以说都是老师的、课本的。不会科学地安排时间，缺乏自学、阅读、动手能力。 二、具体措施：

每个班里几乎有五分之二学生根本不学，针对上述问题，我采取如下措施： 1、建立数学信心。 师生协作尽自己所能，让每一名学生在数学上都有发展，每个人都学到属于自己的数学，确保打好基础。要相信，成绩越低，提升的空间越大，建立学好数学的信心。 2、把握学生的心理特征，有效指导学习策略。 在高二所形成的心理态势、学习方式、思维习惯和知识结构将会对高中三年的发展产生重大的甚至是决定性的影响。要正视“转折点”，引导学生自觉地实现“转轨”。向学生讲清高中数学的特点，激励他们与时俱进，认真的学习、领悟数学学习的科学理念与以理论型抽象思维水平为主导的数学学习方法，自觉地、尽快地按照“数学学习的基本结构”高质量地完成从初中到高中学习的转轨，形成良好的数学学习习惯与方法。 3．搞好初高中数学知识衔接教学。 在教学中必须采用“低起点，小步子”的指导思想，帮助学生温习旧知识，恰当地进行铺垫，以减缓坡度。分解教学过程，分散教学难点，让学生在已有的水平上，通过努力，能够理解和掌握知识。4．加强学法指导，培养良好学习习惯。 良好的学习习惯，有利于激发学生学习的积极性和主动性，形成学习策略，提高学习效率，培养自主学习能力，培养学生的创新精神和创造能力，使学生终身受益。

高中数学 选修2-1双曲线导学案

双曲线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2 探究点一 双曲线的定义 问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程 问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？ 例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的 中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.

高中数学选修2-3知识点72534

111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点 第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一 个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。 ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、公式： ， 11 --=m n m n nA A 6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 8、二项式定理： ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 10、二项式系数C n r 为二项式系数（区别于该项的系数） 11、杨辉三角： () （）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n n n n 012+++=