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波利亚《怎样解题表》

波利亚的怎样解题表

陕西师范大学罗增儒罗新兵

１乔治·波利亚

乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．

作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．

作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．

２怎样解题表

波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．

２．１ “怎样解题”表的呈现弄清问题

第一，你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

画张图，引入适当的符号．

把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?

拟定计划

第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．

你应该最终得出一个求解的计划你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?

你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?

看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．

你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?

你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?

回到定义去．

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?

你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?

实现计划

第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤．

你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?

回顾

第四，验算所得到的解．你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?

你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?

下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生．

２．２ “怎样解题”表的实践

例1 给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)

讲解第一，弄清问题．

问题1．你要求解的是什么?

要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1)．

问题2．你有些什么?

一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验．把已知的三个量添到图示处(图2)，就得到新添的三个点a、b、h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来．

第二，拟定计划．

问题3．怎样才能求得F?

由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积Ｆ＝Ｂ－Ａ． ①

我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的联系(图3，即①式的几何图示)．这就把求F转化为求A、B．

图3

问题4．怎样才能求得A与B?

依据棱锥的体积公式(V＝1

Ｓｈ)，底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个

棱锥的高．并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为ｘ＋ｈ．

我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A与x、ａ连结起来，表示A能由a、ｘ得

出，A＝1

ａ2ｘ；类似地，用斜线把B与b、ｈ、ｘ连结起来，表示B可由ｂ、ｈ、ｘ得

出，Ｂ＝1

ｂ2（ｘ＋ｈ）(图4)，这就把求A、B转化为求x．

图4

问题5．怎样才能求得x？

为了使未知数x与已知数a、ｂ、ｈ联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中，点Q)的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为平面几何问题)，由△ＶＰＯ1∽△ＶＱＯ2得

图5

x a

x h b

②

这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解方程②，便可由a、b、h表示x,在图示中便可用斜线将x与ａ、ｂ、h连结起来．至此，我们已在F与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．

第三，实现计划．

作辅助线(过程略)如图5，由相似三角形的性质，得

x a

x h b

，解得x=

b a

．

进而得两锥体的体积为Ａ＝1

ａ2x＝

a h

b a

，

Ｂ＝1

ｂ2（ｘ＋ｈ）＝

b h

b a

，

得棱台体积为

Ｆ＝Ｂ－Ａ＝1

()

b a h

b a

＝

（a2＋ab＋b2）h． ③

第四，回顾．

(1)正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的．再作特殊性检验，令ａ→０，由③可得正四棱锥体的体积公式；令ａ→ｂ，由③可得正四棱柱体的体积公式．这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆．

(2)回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息(如图1所示，有棱台，a、b、h、F共5条信息)，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息)，并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合．这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)．由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式．

(3)在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件．为了求F，我们只需求A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知，化归)；为了求A、B，我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单，降维)；为了求x，我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转化——数形结合)；最后，解方程求x，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上(图1)，形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5)，书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述．这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”．

(4)在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用．首先是一般性解决(策略水平上的解决)，把F转化为A，B的求解（Ｆ＝Ａ－Ｂ），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决(方法水平的解决)，发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决(技能水平的解决)，比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成．

(5)在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1～图5)，……直到条件与结论之间的网络沟通．这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思

维中心理过程的一种解释．

(6)在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用．首先把棱台补充(组合)为棱锥，然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥)，它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁．这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科． (7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象．对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可以有下面的解法．

如图6，正四棱台ABCD-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，连结DA 1，ＤB 1，ＤＣ1，ＤＢ，将其分成三个四棱锥Ｄ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1，Ｄ-ＡＡ1Ｂ1Ｂ，Ｄ-ＢＢ1Ｃ1Ｃ，其中

1111D A B C D V -＝13

b 2ｈ， 11D AA B B V -＝11D BB C C V -．（等底等高)

图6 图7 为了求11D AA B B V -，我们连结A Ｂ1，将其分为两个三棱锥Ｄ-ＡＢＢ1与Ｄ-ＡＡ1Ｂ1（图7），因

11AA B S ?＝

b a 1

ABB S ?，故 11D AA B B V -＝b a

1D ABB V -，但 1D ABB V -＝1B ABD V -＝13·12ａ2·ｈ＝16a 2ｈ，故 11D AA B B V -＝1D ABB V -＋11D AA B V -

＝16a 2ｈ＋b a ·16a 2ｈ＝16

(a 2＋ａｂ)ｈ．从而1111ABC D A B C D V -＝11D AA B B V -＋11D BB C C V -＋1111D A B C D V -

＝1

(a2＋ａｂ)ｈ＋

b2ｈ

＝1

（a2＋ab＋b2）h．

(8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的)．注意到

a2＝Ｓ1，b2＝Ｓ2，ａｂ＝

S S，

可一般化猜想棱台的体积公式为

Ｖ台＝1

(Ｓ1＋

S S＋Ｓ2)ｈ．

３波利亚的解题观

对于波利亚的怎样解题表及有关著作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识(见参考文献)，我们将其归结为5个要点．

３．１程序化的解题系统

怎样解题表，就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统．既体现常识性，又体现由常识上升为理论(普遍性)的自觉努力．

这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容．

“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配．

于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体．

３．２启发式的过程分析

(1)还在当学生的时候，波利亚就有一个问题一再使他感到困惑：“是的，这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢?是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢?”从解题论的观点看，这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题，波利亚说，这“终于导致他写出本书”(指《怎样解题》)．

波利亚认为“数学有两个侧面”，“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．这两个侧面都像数学本身一样古老．但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有…照本宣科?地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生，或教师自己，或公众．”他以数十年的时间悉心研究数学启发法，其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识＋启发法”．

在解题表中，波利亚给出了“启发法小词典”，让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实践，自己学会怎样解题．

这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识，波利亚认为，数学教育应“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”；他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成，良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”，“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”；他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”．教师要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题”．波利亚提出“合情推理”的概念，号召：“让我们教猜想吧!”

(2)在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的方法和规律”．波利亚不断地提问、不断地建议，“怎样才能想出这样的解答呢?”“我自己怎样才能想出或发现它们呢?”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规律．波利亚在《数学的发现》序言中提出：“领会方法的最佳时机，可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候，也可能是阅读解法形成过程的时候”．

波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析，就是暴露数学解题的思维过程，也就是教人“怎样学会解题”．在例1中，数学操作与思维开展相结合的图解或阐释，使我们既领会到了这样的意图，也见到了这样的行动．

波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析，实质上已接触到心理层面，但没有用到多少教育学或思维学的相关名词，基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用．这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的“真刀真枪”，绝非“纸上谈兵”．波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在“知识”与“组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要．”用现在的话来说，波利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用．

３．３开放型的念头诱发．

波利亚解释说：“我们表中的问题和建议并不直接提到念头；但实际上，所有的问题和建议都与它有关(可以说解题表中的每一个问句，都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头．），弄清问题是为好念头的出现做准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我们试图更好地利用它．”他强调指出：“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头．”在《怎样解题》一书里，出现“念头”这个词不下四五十次．

念头有什么用?波利亚说：“它会给你指出整个或部分解题途径”．“也许有些念头会把你引入歧途”，但这并不可怕，“在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”会“突然闪出一个…好念头?”，最糟糕的是没有任何念头，还“笨头呆脑地干等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到．”

这里说的念头不仅在字面上比“问题表征”更为浅白，而且在内涵上更为丰富，其实质是开展积极活跃的思维活动，产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语．那么产生念头的基础是什么呢?波利亚的回答是：“过去的经验和已有的知识”．(解题力量)“如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的．如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头．” 波利亚一再提到“好念头”，其实这就是直觉、顿悟或灵感，“想出一个好念头是一种…灵感运动?”，“想像力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头，这是天才的一次闪烁”，“是我们观点上的重大突变，我们看问题方式的一个骤然变动，在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感”．

波利亚关于念头的种种议论，正是开展积极思维活动的激发与激活．

３．４探索性的问题转换

这里说的“问题转换”，在《怎样解题》一书中亦叫“变化问题”、“题目变更”，它揭示了探索解题思路的数学途径，也体现了解题策略的实际运用．波利亚强调：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试验，我们变更问题．”“变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们有关的元素接触的新可能性．”“新问题展现了接触我们以前知识的新可能性，它使我们做出有用接触的希望死而复苏．通过变化问题，显露它的某个新方面，新问题使我们的兴趣油然而生”．

在“怎样解题”表中，波利亚拟出了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议：把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，先解决一个更特殊的问题、或更一般的问题、或类似的问题……那些启发新念头的问句，也往往与问题转换有关．“如果我们不用…题目变更?，几乎是不能有什么进展的”——这就是波利亚的结论．

３．５朴素的数学解题元认知观念．

元认知是对认知的再认知，包括元认知知识，元认知体验和元认知监控．虽然元认知概念提出较晚，但元认知思想早就存在，在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念．波利亚解题表的大量问句或建议，都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我诘问、自我反思．问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容，属于认知性的；另一部分则以解题者自身为对象，属于元认知性的．比如，“你以前见过它吗?”“你是否知道一个与此有关的问题?”“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?”等等，都不涉及问题的具体内容，都是针对解题主体、对其解题思维活动的反思，都属于元认知提问，而不完全是认知提问．

波利亚解题表中的“回顾”也并不完全是常规解题中的“检验”，主要是有分析地领会所得的解法(参见例1的回顾)，它包含着把“问题及其解法”(认知)作为对象进行自觉反思的元认知意图．至于解题表本身所给出的解题程序(一种程序性知识)，所体现的解题策略(一种策略性知识)及所进行的元认知提问，都属于元认知知识．波利亚对具体范例的分析，基本上是对“问题及其解法”的再认知，已反映出开发元认知的朴素意图．

波利亚的另一些问句，如“你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?”“你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?”(接近度)，“你能不能一下子看出它来?”(题感)等，则属于朴素的元认知体验．

至于解题表本身，则自始至终体现着元认知调控．

综上所述，“解题系统”是波利亚解题思想的整体框架，“分析解题过程”是波利亚解题思想的思维实质，“念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现，“问题转换”是波利亚解题思想的具体实现，朴素的元认知观念是波利亚解题思想的心理学基础．而这一切的背后，丰富的数学前沿研究经历和发现体验是波利亚解题思想的物质基础，现代启发法是波利亚解题思想的灵魂，揭示“发现和发明的方法和规律”是波利亚解题思想的目标．

４波利亚解题研究的发展

４．１反思

数学上存在证明的方法与发现的方法，在逻辑实证主义占主导地位的历史时期，关于数学发现方法的研究一度陷于停顿，波利亚的贡献就在于自觉承担起复兴数学启发法的重任，并提出合情推理，为数学启发法的现代研究提供了必要基础．20世纪80年代初期，美国数学教育界兴起的“问题解决”研究是对波利亚现代启发法的直接继承，曾经有“对波利亚的重新发现”、“数学启发法…几乎成了问题解决的同义词”等提法．但是，已有数学实践却未能

获得预期的成功，尽管学生已经具备了必要的数学知识，也已经了解了相关的方法原则，或者说已执行了解题表的建议，却仍不能有效地解决问题，这不能不引起数学教育界的反思． (1)波利亚构建的“四阶段”解题系统具有开创性的意义，但局限于“四阶段”对学会“数学地思维”而言是不是有点简单化了?对数学问题解决全过程的探索可能比解题表所简洁描述的

复杂得多．

(2)数学启发法的现代复兴及其所取得的成功，无论怎样评价都不算过分，但启发法能不能看成影响问题解决能力的惟一要素?“知识+启发法”之外可能还有更多的因素需要重视(如“元认知调节”、“观念”等)，“好念头”的出现可能也需要从方法论的角度做出更为自觉的分析． (3)波利亚从数学内部研究数学问题解决并强调解题实践是一个值得继承的研究方向(与那些连数学题都没有出现的解题研究形成鲜明对照，也与那些对中学教材作业题都不那么过关的研究者形成鲜明对照)，但局限于“解题”、专注于技能技巧是不是狭窄了点?至少“问题发现(提出)”、“实际应用”都与解决问题有同样的重要性．

４．２发展

近十几年来，通过反思和对解题实践活动的深入考察，数学教育界已经在“问题解决”的全过程和“高级数学思维”的内外部机制等研究方面取得了新的进展，中国式的“问题解决”

也初成特色，这些都构成了对波利亚的超越．

（１）美国学者舍费尔德在名著《数学解题》一书中，提出了一个新的理论框架，描述了复杂的智力活动的四个不同性质的方面．

①认识的资源．即解题者所已掌握的事实和算法；

②启发法．即在困难的情况下借以取得进展的“常识性的法则”；

③调节．它所涉及的是解题者运用已有知识的有效性(即现代认知心理学中所说的元认知)；

④信息系统．即解题者对于学科的性质和应当如何去从事工作的看法．

（２）中国的数学教学历来重视解题训练、中国的数学教师历来重视解题研究，20世纪80年代，随着美国“问题解决”口号传入中国，波利亚的解题理论受到了重视也得到了发展．早在20世纪40年代，波利亚的《怎样解题》就曾有过中译本(周佐严译，中华书局出版)，到60年代曾有人翻译《数学的发现》但由于种种原因未能完成（见江泽涵．关于波利亚的《怎样解题》和《数学的发现》的一些往事．中学数学教学(皖)，1983，2，Ｐ．４）．８０年代以来，波利亚的三部著作都已翻译发行，其中的解题观点已成为许多同行研究解题的指导思想，国内一些学者多次召开了波利亚数学思想的讨论会，徐利治教授还提出研究波利亚的两项重要任务：一是培养和造就一批波利亚型的数学工作者，二是按照波利亚的思想改革数学教材和教学方法(后来有“MM教育方式”的理论与实践，见文［８］)．20世纪90年代，张奠宙教授组织“数学教育高级研讨班”，提出“提倡问题解决”作为进一步改革中国数学教育“突破口”的设计（数学素质教育设计．数学教学，1993，3）．这一切，促进了中国特色的解题研究(参见文［６］、［７］等)，并初步形成了“中国的数学问题解决”特色．主要表现有：

①注重研究数学解题的思维过程：

②强调数学方法论研究；

③提倡数学解题策略研究；

④应用问题、数学建模教学研究；

⑤开放题、情景题的教学研究及其在考试中的大规模运用；

⑥提倡探究性学习，进行“问题教学”、“情景教学”、“开放性教学”．

与此相关的是两个举世瞩目的事实：

①1992年，“国际教育成就评价”IAEP发表报告，在21个参加数学测试和科学测试的国家和地区中，中国内地以总平均80分的成绩名列第一，领先于第二名的中国台湾省和韩国

7分之多．

②在参加国际数学奥林匹克竞赛的19年中(1985～2003），中国中学生参赛104人次，得奖102人次(得奖率达98%)，其中金牌77个(占得奖牌数的75%)、银牌20个(占得奖牌数的20%)、铜牌5个(占得奖牌数的5%)；团体总分10次获第1名，4次获第二名，成为公认的竞赛强国．

参考文献

１波利亚．怎样解题．阎育苏译．北京：科学出版社，1982

２波利亚．数学的发现(一、二)．刘景麟、曹三江、邹清译．呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979～１９８１；欧阳绛译．北京：科学出版社，1982

３波利亚．数学与似真推理．杨迅文、王学沂、汪成钦译．福州：福建人民出版社，1984；李心灿、王日爽、李志尧译(书名为：数学与猜想)．北京：科学出版社，2001

４徐利治，朱梧槚，郑毓信．数学方法论教程．南京：江苏教育出版社，1992

５郑毓信，肖柏荣，熊萍．数学思维与数学方法论．成都：四川教育出版社，2001

６戴再平主编．开放题——数学教学的新模式．上海：上海教育出版社，2002

７罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997

８杨世明，周春荔，徐沥泉，王光明，郭璋．ＭＭ教育方式：理论与实践．香港：香港新闻出版社，2002

９Ｇ．Ｌ.Ａlexanderson. George Polya著.袁向东译．数学译林，1986，１

１０过伯祥．波利亚的解题观，中等数学，1988，2

１１杨之，劳格．波利亚的生平与事业．中等数学，１９８８，４

１２赵雄辉．数学教师的良师——波利亚．数学教师，１９８８，７

１３薛迪群．乔治·波利亚的数学教育思想初探．教育研究，１９８７，２

１４谷政．略论波利亚教育思想与当代数学建构教学观．福建中学数学，2002，２

１５庞征球，陈建华，靳卫军．波利亚数学教育思想简略评述．数学教育学报，１９９３，第２卷，第2期

１６沈南山．发掘元认知实现对波利亚解题思想的超越．数学教育学报，2001，第10卷，第3期

１７涂荣豹．数学解题学习中的元认知．数学教育学报，2002，第１１卷，第4期

１８杨骞．波利亚数学教育理论的现代启示．数学教育学报，2002，第11卷，第2期１９缪雪松．用波利亚解题思想解函数应用题的实验研究．中学数学教学，２００４，４

２０荣国华．从波利亚的审题观谈起．中学数学教学参考，2003，１２

波利亚解题四步骤

波利亚解题四步骤 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

第一，弄清问题? 未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？第二，拟定计划? 找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗你能不能利用它你能利用它的结果吗为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素你能不能重新叙述这个问题你能不能用不同的方法重新叙述它回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题一个更普遍的问题一个更特殊的问题一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能想出适合于确定未知数的其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近你是否利用了所有的已知数据你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念第三，实现计划? 实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步是正确的你能否证明这一步是正确的第四，回顾反思? 你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果你能否一下子看出它来你能不能把这结果或方法用于其它的问题？下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2 (x＋π12)，g(x)＝1＋12 sin2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．第一步：弄清问题。已知条件是什么如本题中，已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝ Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π 6 )]，h(x) ＝12sin(2x＋π3)＋32

浅谈波利亚解题理论

对“怎样解题表”的认识乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。上中学时，他就是一个很有上进心的学生。但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？” 怎样解题表第一步：弄清问题第二步：拟订计划第三步：实现计划第四步：回顾我的认识与看法学习数学的目的，通常人们认为主要有两个，一是掌握必要的数学知识，二十提高分析的能力、解决问题的能力。其中后者是数学教学的根本目标，但是，要有效的提高学生的分析和解决问题的能力却并非易事。我认为乔治·波利亚有效地帮教师解决了这一难题。但是要看教师个人怎样去用和实现这四部的教学法。在我们看来这四个步骤十分的简单，但我们真的实施起来真的是那么回事吗？我想答案肯定是很难吧！下面我就这四步进行概括的说说我的看法。 ①弄清问题，拟定计划这是解决数学问题的关键因素，探求解题思路的过程是训练学生良好思维方式的过程，也是教给学生恰当选取解题策略的过程。在拟定计划中需要对问题不断地修正、转化，还经常需要类比等。当我们引导学生将复杂问题转化为简单问题，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题，这样一个解题的计划就基本形成了。 ②回顾解答，深化理解这是巩固知识，提高解题能力的重要环节，在日常数学学习和活动中，我们往往在解答出某道题目后就立即进入另一个问题或找点别的事来干。比利亚告诉我们：“没有任何一个题目是彻底完成了的……”。所以当我们解决了一个问题后应该及时的进行反思，只有这样我们的解题水平才能得到有效的提高。如果缺乏对问题本质的理解和更高层次的认识。也失去了一个提高解题能力的好机会。 ③小结应试教育，是中国平等待人的政治手法的灵活应用。这样可以达到知识的普集和教育的平衡。但是限制了学生的特长，使人从小养成了定向思维的习惯。而且广大师生沉迷于“题海战术”，这不仅给学生带来了相当大的负担，而且还给教师带来了很大的负担。但是波利亚倡导的解题训练不同于这种题海战术。对于“怎样解题表” 如果我们能够合理的应用，我们将能获得事半功倍的成效！

波利亚_数学解题表(精) 2

乔治．波利亚的数学＂解题表＂学习法Ｇ．波利亚，是美籍匈牙利数学家，教育家．他十分重视解题在数学学习中的重要作用，数十年如一日对解题方法进行研究，凝聚成一张＂解题表＂（如有条件，参见乔治．波利亚的原著）．这张表提供了一套解决数学问题的一般方法与模式，为解决问题指明了方向，并揭示了解题中的思维过程和思维方法．悉心体会这张表中层层递进的各个问题，相信会对我们的数学学习有所启迪．一．弄清问题．１，已知是什么？未知是什么？２，条件是什么？结论是什么？３，画个草图，引入适当的符号．二，拟定计划．１，见过这道题或与之类似的题吗？２，能联想起有关的定理或公式吗？３，再看看未知条件！４，换一个方式来叙述这道题．５，回到定义看看！！６，先解决一个特例试试．７，这个问题的一般形式是什么？８，你能解决问题的一部分吗？９，你用了全部条件吗？三，实行计划．１，实现你的解题计划并检验每一步．２，证明你的每一步都是正确的．四，回顾反思．１，检查结果并检验其正确性．２，换一个方法做做这道题．３，尝试把你的结果和方法用到其他问题上去．这张解题表看似简单，实际上它给出了一套解决数学问题的一般方法与模式，同时还揭示了解题中的思维方法和思维过程。你的解题习惯和这个“解题表”一样吗？如果你觉得自己常常不会思考——“不知道怎么想”，请你参考“一.3.”和“二.3.4.5.6.8.9.”；如果你常常做错题——“会做，但未做对”，请你参考“三.四.”。悉心体会并把握表中各层的要领，相信对你的数学学习会起到很大的帮助作用。在这里提醒两点，一是一定要画图，并标上符号和数字，二是一定要重视回顾反思这一步，只有这一步才能从题海中解放出来，才能做到：虽然只做了有限的题目，但能够解无限的问题．

波利亚解题实例

用波利亚的解题方法解题在△ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是c b a ,,，且,43 cos cos ,10===a b B A c p 为 ABC V 内切圆上的动点.求点p 到顶点C B A ,,的距离的平方和的最小值与最大值。【分析】：第一步：理解题意。本题的条件是(i)c=10,(ii),43 cos cos ==a b B A (iii)P 是ABC V 内切圆上的动点，所求的结论是要求出P 点到A ，B ，C 三顶点的距离的平方和的最值。由此可得，这是一道关于图形的最值问题。第二步：拟订计划．设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题：第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和平方和的最小值。于是原问题可分列为两个较为简单的问题： ① a ，b ，c 为ABC V 的三边，且c=10，,43 cos cos ==a b B A ，试确定△ABC 的形状及其大小。 ② 确定的ABC V 的内切圆上有一动点P ，试求PA 2+PB 2+PC 2的最小值与最大值。对①小题，ABC V 已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来．对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。第三步：实现计划：由,cos cos a b B A =用正弦定理做代换，得,sin sin cos cos A B B A = 即B B A A cos sin cos sin ?=?或A B 2sin 2sin =，因为,34 cos cos =B A 知B A ≠，且B A ,是三角形内角，所以,22B A -=π即,2π =+A B 所以ABC V 是直角三角形. 再由c=10，43 =a b 及222c b a =+，可解得a=6,b=8. 如图1，建立直角坐标系，使直角△ABC 的三个顶点为A （8，0），B （0，6），C （0，0）.在直角ABC V 中，有,2,2=+=+r r c b a

对于波利亚的解题表的认识和看法

对于波利亚的解题表的认识和看法我想学习过数学的人都有过这种感觉：一道题，自己百思不得其解，而老师却能给出绝妙的解法！为此无不赞叹叫好！ “一个好的解法是如何想出来的？”“为什么我想不出来？”。相信每个人都有过类似的经历：对某件事或某道题我们若是按照一定的规律对它进行处理或求解，我们的思路会相对清晰很多。天地间的一切事物都在数中，万事万物的发生、发展、旺盛、衰亡都有定数，事物总是按照其生长基因及时空规律有序地进行演绎的。也即是“因”与“果”相应。若是违背了这些规律就必然要受到惩罚。因此，解决数学问题时也需要遵行一定的规律，否则，我们就算把数学问题解决了也是走了很多的弯路，耗费了很多的时间。下面我们就一起来应用波利亚的“怎样解题”表来看看当我们遵行一定规律去解决数学问题时我们会有哪些收获？如图，在△ABC中，∠B=∠C，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED A B D E C 根据波利亚的“怎样解题”表可以知拿到一个题目我们要做的第一步就是：了解问题。先明白要求的是∠ADE=∠AED，然后找出我们已有哪些已知条件：∠B=∠C，BD=CE。第二步：拟定计划。回忆所学知识：要证∠ADE=∠AED那么先要证明△ADE是等腰三角形（AD=AE），又由图可以知AD与AE分别在△ABD和△ACE中，要证两个三角形中的对应边相等则转化为证△ABD=S△ACE。怎样证两角形全等呢？因为∠B=∠C，那么在△ABC中，AB=AC（等角对等边），由此想到用SAS来证明两三角形全等。第三步：实现计划。 AB=AC 由∠B=∠C 得△ABD=S△ACE BD=CE 故 AD=AE 即∠ADE=∠AED（等边对等角）第四步：回顾。正面检验每一步，看推理是否正确有效；总结解决该问题时我们是从结论出发由后往前从而找到成立的充分条件，由此得到启发:我们在解决问题时,是可以由果到因的。通过上述的例子我们可以发现波利亚的“怎样解题”表描绘出解题理论的一

波利亚怎样解题实例分析

怎样解题一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C

分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：∠B=∠C 问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

波利亚怎样解题表

波利亚怎样解题表集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．着名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１“怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么已知是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来拟定计划第二，找出已知数与未知数你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理

波利亚怎样解题实例分析

怎样解题一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2 、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？例 1 、已知：如图，在△ ABC中，AB=AC 求证：/B= ZC

分析：冋题i、未知是什么？你能复述它吗？答: ZB=Z C 冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求Z B= zC，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分

数学思维新方法表(波利亚)

波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．

波利亚的怎样解题表

波利亚的怎样解题表１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１怎样解题”表的呈现弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?

波利亚怎样解题表

波利亚的怎样解题表 1 乔治波利亚乔治波利亚（George Polya , 1887?1985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱?由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他 93岁高龄时，还被I CME （国际数学教育大会）聘为名誉主席. 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容. 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》（1945年卜《数学与似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）三部世界名著上，涉及解题理论”、解题教学”教师培训”三个领域?波利亚对数学解题理论的建设主要是通过怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在解题讲习班”中对教师现身说法?他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的万能方法”而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用. 他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效.尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义.著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”（195年 2 月 2 日）. 2 怎样解题表波利亚是围绕怎样解题”、怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对问题解决”研究兴趣集中在启发法上?波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的怎样解题表”正是一部启发法小词典” 2.1 怎样解题”表的呈现弄清问题拟定计划第一，你必须弄清问题

波利亚的怎样解题表

波利亚的怎样解题表怎样解题第一步：弄清条件第一：你必需弄清问题未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来。怎样解题第二步：拟定计划第二：找出书籍数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。表中列出了了若干辅助问题，在遇到困境时你可以逐一把这些问题搜索一遍，每个问题的解决都可能是朝向胜利的关键一步！你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与些有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题？这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？

你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使尊长未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？怎样解题第三步：实现计划第三：实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？怎样解题第四步：回顾第四：验算所得到的解验算所得到的解。你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？现在你能不能一下了看出它来？你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？若条件或结论做些改变，又将如何解决？

波利亚解题——案例分析(0507)

波利亚解题——案例分析例题：给定正四棱台的高h ，上底的一条边长a 和下底的一条边长b ，求正四棱台的体积V ．(学生已学过棱柱、棱锥的体积) 波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些本题的未知是什么 ①正四棱台的高h ； ②上底边长a ；正四棱台的体积V ． ③下底边长b 二、：三、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系） 1）怎样才能求得V 由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积1V 和2V ，我们就能求出棱台的体积21V V V -=。① 这样我们就引入两个新的符号1V 和2V ，同时也找到了V 、1V 、2V 三个量之间的联系，这就把求V 转化为求1V 和2V ． 2）怎样才能求得1V 和2V 据棱锥的体积公式（Sh V 3 1=），底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。并且，一旦求出小棱锥的高x ，大棱锥的高也就求出，为h x +．我们再次引入了一个新符号x ，

于是根据棱锥的体积公式就有x a V 2231=，)(3 121h x b V +=， … 这样，问题就由求1V 和2V 转化为了求x 。 3）怎样才能求得x 为了使未知数x 与已知数a 、b 、h 联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a 、b 、h 、x 联系起来（转化为平面几何问题），由三角形相似的性质得： h x x b a += ② 这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解上述方程，便可由a 、b 、h 表示x ，至此，我们已在V 与已知数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通． | 三、实现计划（利用找到的联系进行解题）作辅助线，由相似三角形的性质可得，h x x b a +=，解得a b ah x -=。所以两椎体的体积分别为有：

波利亚的解题过程

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答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可： OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 5．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。 6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。 7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠A OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 （1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。 (二)通过探求解题方法,培养学生拟定解题计划的习惯

波利亚解题方法

题目： 1 ,,,,,, 2 , 6 ABC A B C a b c a B C b π == = 设的内角的对边分别为若则求. 第一，弄清问题问题1：你要求解的是什么？要求解的是ABC 的一条边b的长度。问题2：你有些什么？一方面是题目条件中给出的3个已知量,sin,. a B C 另一方面是已学过的正弦定理和余弦定理, 将边和角联系起来。第二，拟定计划问题3：怎样求得b? 由正弦定理可得 sin sin a B b A =，题目已知,sin a B，只需求出A ∠的度数即可求得b，于是将求边b的长度转化为求A ∠的度数。问题4：怎样求得A ∠的度数? 根据三角形内角和等于180°，可得180 A B C ∠+∠+∠=?，所以180 A B C ∠=?-∠-∠，题目已知C ∠的度数，因此只要求得B ∠的度数即可。问题5：怎样求得B ∠的度数。题目已知 15 sin,0. 266 B B B ππ =<<∠= ，求得第三，实现计划

15sin ,0,.266 2.63 1sin sin , 1.2sin B B B C A B C a B A b A πππππ=<<∠==∠=-∠-∠=====因为所以又因为所以所以所以第四，回顾（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。再作检验，将过程中求得的未知量以及题目的已知量代到正弦定理或者余弦定理中，检验未知量的正确性。（2）回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息（13,sin ,26a B C π===），同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：正弦定理，余弦定理，正弦定理变形公式，余弦定理变形公式，三角形内角和等于180°，将求边问题转化为求角问题的经验积累等不下6条信息)，并相应地将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合。这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)。（3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件。为了求b ，只需求A ∠的度数。（求边转化为求角）为了求A ∠的度数，只需求B ∠的度数。为了求B ∠的度数，只需根据15sin ,026 B B π=<<这两个已知条件即可求得。（利用三角函数关系）这个过程显示了分析与综合的关系：“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划。” （4）在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在已知三角形一边长，一角度数以及一角的正弦值的启引下，激活了记忆网络中正

波利亚的解题理论

波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？” 要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表200多篇论文和许多专著。他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。著名数学家范。德。瓦尔登 1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。在他看来，中学数学教育的根本目的就是“教会学生思考”，意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他应

波利亚《怎样解题》读后感

《怎样解题》读书笔记 “学习难，学习数学更难”，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。大家都有这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的？为什么我没有想到呢？”有这么一个人，为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，很早就开始探索数学中的发明创造，他利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，终于完成一篇著作，这本书指导了人们不仅仅是在数学中，乃至在任何其他领域中怎样进行正确思维，引导了一代又一代读者在学习中走上正确的道路。这个人就是著名数学家乔治?波利亚，这本著作就是《怎样解题》。波利亚(1887-1985)是美国著名的数学家和数学教育家。上中学时，他就是一个很有上进心的学生，但每当遇较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，他看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，他看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”为了解决这个困惑，波利亚经过多年教学经验的累计以及与一批数学大家的交流，最终著出《怎样解题》这本书，一经出版，畅销全球。在这本书中，波利亚表达了这样的观点：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，在这其中，对第二步

波利亚的解题过程

波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A． (1)求证：BC与⊙O相切． (2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长． (一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。讲解第一步、弄清问题： 1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么?你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。 2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗? 答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 3．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A 4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长? 答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可： OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 5．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。 6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义? 答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。 7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？

波利亚解题心得体会

波利亚解题心得体会一道题，自己总也想不出解法，而老师却能给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的?”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢?” 有人听到“数学”就会头痛，为什么又会有人热衷于解题呢？在解答这道或那道不涉及物质利益的题目的愿望背后，也许有着一个更深切的好奇心，一个要求理解解答的各种途径和方法、动机和步骤的愿望，当我们绞尽脑汁想的题突然被我们解答出来，那种心情只有真正经历过的人才懂。不管是我们自己或者我们去帮助别人，我们不仅要尽力去理解这道或那道题目的解答，而且要理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤。在老师上课的时候，为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案，总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢？这是因为学生不懂得思考的方法，大多数老师讲题总是“头痛医头，脚痛医脚”，只有实战经验，没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目，而是面对任何一道题目时的思维方法。这也就是波利亚要告诉我们的。波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”，即未知

量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？“拟定计划”，找出已知数据与未知量之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。“实现计划”和“回顾”，我自己认为回顾在解题中是很重要的一个步骤，很多同学却不以为然，你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？回顾能让我们更加理解这一类题目的解题方法。解答其实也是一种创造，当找到一个方法解决了一道题目，我们同时也应该思考“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？”有时我们要举一反三，改造一道题目。基本的方法有：普遍化、特殊化、类比、分解和重组等。大二的时候修了初等数论这一门课程，它主要研究整数最基本的性质，是一门基础课程，蕴含了丰富的数学思想方法（整体化、转化、构造、反证），上这门课时，老师讲的都能听懂，课后解题却不知所措。还有一些需要证明的习题也是今后能够用到的结论，却不懂得如何运用和解答。自己不去反思、去领悟、去归纳，纵使心中方法无数，下笔也只能低头苦思。“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长。找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的。”