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江苏省南京市2018届高三第一次月考数学试卷

南京市2018届高三数学试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则A B =I ▲ ．

2．复数(1i +2)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．

4．为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数为 ▲ ．

5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的值是 ▲ ．

6．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是 ▲ ． 7．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点．若

14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -的体积为 ▲ ．

8. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则

S 7 = ▲ ．

9. 设为锐角，若，则 ▲ .

10. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a

（1 t ）b ．若b ·c = 0，

则实数t 的值为 ▲ ．

11. 已知2

2(0),

()(0)

x x x f x x x x ?+?=?-+

12. 在直角坐标系xOy 中，已知A （1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且

在圆224x y +=上的点P 的个数为 ▲ ． 13. 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x

y 的最小值为 ▲ ．

14. 若21

m x mx -<+（m 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．第5题

开始

是

输出S 否 n ←1，S ←0 n ≤3

S ←2S +1

n ←n +1

结束

二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）

在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2

a C c

b +=．（1）求角A 的大小；

（2）若15a =，4b =，求边c 的大小．

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：

（1）PA ∥平面MDB ；（2）PD ⊥BC ． 17.（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右准线方程为4x =，

右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到

直线l 的距离为25

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.

18.（本题满分16分）

如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN . （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ；

（2）设AOB θ∠=，求A 在?MN

上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大最大值为多少

19．（本小题满分16分）

设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点．（1）求函数f (x )的单调区间；

（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，

k ≥－1

恒成立，求t 的最大值；

（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值． 20．（本小题满分16分）

已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：

（1）若数列{a n}是等差数列，求a的值；

（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．

南京市2018届高三数学试卷参考答案

1.{1}∞（3,+）1

（-1，2）

. 14.1-2

∞（，-）

17.解：（1）由题意知，直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=，

∴右焦点F 到直线l

，1a c ∴-=， ……………………2分又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以2

a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，23

b ∴=，

∴椭圆C 的方程为22

143

x y +=； ……………………6分

（2）由（1

）知B ，(1,0)F ，……………………8分

∴直线BF

的方程为1)y x =-， ……………………10分

联立方程

组22

1)143y x x y ?=-??+=??，解

得855x y ?

=????=-??

或0x y =??

?=??（舍），

即8(,5P ， …………12分 ∴直线l

的斜率0(5825

k --==-……………………14分

方法二: 由（1）

知B ，(1,0)F ，∴直线BF

的方程为1)y x =-，由题(2,0)A ，

显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-

，联立方程组1)

(2)y x y k x ?=-??=-??

，解

得x y ?=

??=??

，

代入椭圆解得：2k =

或2k =-，

又由题意知，0y =<得

0k >

或k <

k = 方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)14

3y k x x y =-???+

=??，得()2222

431616120k x k x k +-+-=，2

1643A P k x x k +=+，

所以

2222168624343P k k x k k -=-=++,2

1243P k y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，

即22212438643

k k k -+=-+，

解得k =

或k =，

又由题意知，0y =<得0

k >

或k <

k =.

18.解：（1）如图，作于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，， …………2分，

…………4分

…………6分

（2）设 …………7分则，

…………9分 …………12分，即时，

，此时A 在弧MN 的四等分点处…………15分

答：当A 在弧MN 的四等分点处时， …………16分 19．（本小题满分16分）

解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )

＞0，

所以(－∞，0)和(2t

，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；

当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t

3)为函数f (x )的单调减区间．………………

4分

（2）因为k ＝3x 02

－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0

恒成立，…………………6分

因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋1

2x 0

≥2

3x 0×1

2x 0

＝6，

即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝6

6时取等号．

所以2t ≤6，即t 的最大值为

．…………………8分（3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t

27．

因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，所以直线l 的方程为y ＝－4t

．…………………10分

令f (x )＝－4t 3

27，所以x 2

(x －t )＝－4t 3

27，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3

．

所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t

27）．…………………12分

因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．

AD ＝

(－t 3)2

＋(－4t 3

，且AD ＝AB ＝t ，所以

(－t

3)2

＋(－4t 3

27)2＝t ，解得：t ＝3

．…………………16分 20．（本小题满分16分）

解：（1）在S 2n ＝3n 2

a n ＋S 2

n －1中分别令n ＝2，n ＝3，及a 1＝a 得

(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2

，

因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．…………………2分

因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3．……4分

经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2

满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2

n －1．（2）由S 2n ＝3n 2

a n ＋S 2n －1，得S 2n －S 2n －1＝3n 2

a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2

a n ，

即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2

，(n ≥2)，①……………6分

所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2

，②

②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)．③………………8分所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④

④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)

即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列，………10分因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．

所以a n ＝?????a ，n ＝1，

3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，

…………………12分

要使数列{a n }是递增数列，须有

a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1，即a ＜12－2a ，

3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)， 3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)，解得94＜a ＜154

．

所以M ＝(94，15

)，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．………………16分

高三数学第一次月考试题(文科)

高三数学第一次月考试题（文科）一、选择题（四个选项中只选一项，每小题5分，共60分） 1. 设集合V={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ?（CuB ）= （） A. {2} B. {2，3} C. {3} D.{1，3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件，S 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为（） A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是（） A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于（） A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax ＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于（） A. 8 B. 2 C. －4 D.－8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于（） A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书，全部分给4名学生，每名学生至少1本不同分法的种数为（） A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P 则||2PF = （） A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1，2)、B （3，1）则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是（） A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。（用数字作答） 14. 设x 、y 满足约束条件，?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样

宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案

银川一中2020届高三年级第四次月考理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是

高三数学第一次月考数学(理)试题

河南内乡一高高三数学第一次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （注意：在试题卷上作答无效） 1..已知集合 {}1|23,|lg 4x x A y y B x y x -? ?==+==?? -??，则A B =（） A. ? B. ()3,+∞ C. ()3,4 D. ()4.+∞ 2. 若函数()(1)cos f x x x =， 02x π ≤< ，则()f x 的最大值为（） A ．1 B ．2 C 1 D 2 3.命题“存在0x ∈R ，0 2 x ≤0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）（A ）不存在 0x ∈ R, 0 2x >0 （B ）存在0x ∈R, 0 2 x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0 4.“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的（）条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.既不充分又不必要 5.定义在R 上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. B. C. D. 6.设＜b,函数的图像可能是（）（） 7.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则(2009)(2010)f f -+的值为 A ． B ． C ． D ． )(x f (4)()f x f x -=-(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)f f f -<