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网络热传_浪漫心形函数图像全解析

微博上最近流传这这样一个段子：老师说，把这个函数()3222310x y x y +--=图像画给喜欢的人看。（附图）作为一个专业人士我不得不说“这不是一个函数，好不好；这是一个方程，好不好”。当然方程也有图像，但是这个方程图像是不是如上图就不得而知了。作为一个专业人士（嘿嘿，见笑见笑！），我还是有必要对其验证一下的准备工作：1.笔，纸，几何画板，QQ 截图 2.整理方程（因为几何画板只能画函数图像，所以先得把方程整理成函数形式）整理得24233442x x x y ±-+= 3.几何画板输入函数得到

哇哈哈哈哈。。。。。。。！！！

小朋友们，快进来膜拜吧！！！

首先屁股线、椭圆对称什么的弱爆了，一个难看，另一个绝对值符号又不好消，于是乎我们瞄准了等速螺线。

设图上一点(x,y)，由几何意义可以得到

x2+y2=arc tan2(y/x)

考虑到tan x与x3的相似性，可以有

(x2+y2)3=(y/x)2

考虑到图象的不对称性，我们将y2换成y3；

考虑到tan x与x3的偏差随x 增大而增大，在角端乘以x?；

然后画图发现有点太过饱满，于是在半径端减1……

然后我很没脸地告诉大家，我知道人家大神是怎么弄出这么漂亮的一方程来的啦……

也许下面这个才是真相：

原作先选取了一个简洁的斜椭圆：x2+y2-xy=1

接下来的一步我不说你们也能猜到……

转化为x2+y2-1=|x|y

消去绝对值符：x2+y2-1=x2y2

此时我们损失了“x2+y2-1与y的符号相同”这一约束，考虑是否可以同乘该因子。

由于要消去“|x|”，我们考查这一转化对图形的影响：

设前后图形某点服从{x'=ax,y'=by}的变化，那么

(a2x2+b2y2-1)^(2k+m)=(by)^m*(abxy)^2k

令a、b→1，有

(x2+y2-1)^m=y^m

故有

|x|^m=((x2+y2-1)/y)^m=1

观察x2+y2-xy=1的图形与x2+y2-y=1的图形，注意到两者仅在x∈[-1/2,1/2]有显著差异故m→0于是我们将m 确定为1，令k→+∞

通过尝试，我们发现仅需取k=1 即可获得很好的效果和优美的方程。

至此，我们确定一个心形曲线的方程为

(x2+y2-1)3=x2y3

再次膜拜一下第一个做出这个无敌结果的大神：Siehe Beutel

北师大版数学高一-必修4学案 1.8函数y=Asin(ωxφ)的图像

§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像问题导学 1．用“五点法”作正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像活动与探究1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ????2x ＋π 3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间．迁移与应用用“五点法”作出函数y ＝3sin ???? 12x －π4的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、相位． “五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx ＋φ分别取0，π2，π，3π 2 ，2π，然后求出相应的x ，y 值，作出图像． 2．图像变换活动与探究2 用两种方法将函数y ＝sin x 的图像变换为y ＝2sin ????3x ＋π 4的图像．活动与探究3 将函数y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标变为原来的12，再将横坐标变为原来的1 2，最后将整个图像向左平移π 3 个单位，可得y ＝sin x 的图像，求函数f (x )的解析式．迁移与应用函数y ＝12sin ????2x －π4的图像可以看作把函数y ＝1 2sin 2x 的图像向__________平移__________个单位得到．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像与y ＝sin x 的图像的关系； (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)中的A ，ω，k ，φ变化时，函数图像的形状和位置会相应地发生变化，其中A 和ω确定图像的形状，φ和k 确定图像与坐标轴的相对位置关系，图像的基本变换有以下几种： a ．振幅变换：由A 的变化引起．

b ．周期变换：由ω的变化引起． c ．相位变化：由φ的变化引起． d ．上下变化：由k 的变化引起． (2)图像变换的两种途径的差异：a ．先相位变换后周期变换；b ．先周期变换后相位变换． ①y ＝sin x ―————————―→φ>0，图像左移φ个单位 φ<0，图像右移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝ sin(ωx ＋φ) ――————————→A >1，纵坐标伸长到原来的A 倍 01，纵坐标伸长到原来的A 倍 0