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第三章矩阵的初等变换与线性方程组

讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.２初等矩阵

教学目的和要求：了解矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念. 教学重点:矩阵的初等变换、初等矩阵教学难点：矩阵的初等变换. 教学方法与手段：传统教学,教练结合课时安排:2课时教学过程

§1 矩阵的初等变换

本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。一、矩阵的初等变换

在利用行列式的性质计算行列式时,我们对其行(列)作过三种变换——“初等变换”．定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.

初等变换行变换列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k

③ 倍加 j i r k r + j i c k c +

矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.

n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→.

定义２等价矩阵：若n m n m B A ??→有限次

, 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???. 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ? （２）对称性：n m n m B A ???n m n m A B ????

(３) 传递性：n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ????

定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行,台阶数即是

非零行的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为１,且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.

例1 设????

??????--=4131122122283

2A ,利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ??????????---→413144606690行A ????

??????-→00004460413

1行

行最简形：??????????-→0000323210413

1行

A B =????

??????-→0000232102301行

标准形：??????==????

?????→O O O E H A 000000100001行与列

§２初等矩阵

定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．

三种初等变换对应着三种初等矩阵．１. ２.

),()

()(0110Δ

j i E j i E E E E j i r r =???????

?????????→? )]([Δk i E E k E E i r k =

????

?????→ )0(≠k 3.

)](,[)

()(11Δ

k j i E j i E E k E E j i r k r =???

????

????????→+

设????????????=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211???

??????

????????????=m j i αααα 1[]n j i n m A ββββ,,,,,,1 =? 性质1 =A j i E m ),(??????

????

????????????m i j αααα 1, =

A k i E m )]([?

????????????m j i k αααα 1, =A k j i E m )](,[???????

?????????????+m j j i k ααααα 1 由此可得:对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.

性质2 =),(j i E A n []

n i j ββββ,,,,,,1

=)]([k i E A n []

n j i k ββββ,,,,,,1 =)](,[k j i E A n []

3Δ

1,,,,,,B k n i j i =+βββββ 注意:3B A i

j c k c +→

因此可得:对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵. 性质3 1),(det -=j i E , ),()]

,([1

j i E j i E =-

0)]([det ≠=k k i E ， )]1([)])(([1

i E k i E =- 1)](,[det =k j i E ， )](,[)]

)(,([1

k j i E k j i E -=-

定理1 n n A ?可逆A ?可以表示为有限个初等矩阵的乘积．

证必要性已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ??，故存在初等矩阵 Ps P ,,1???及Qt Q ,,1???, 使得

n E Qt AQ P Ps =????11, 1

11111----????=Q Q P P A t s 而1

-i P 与1

-j Q 都是初等矩阵．

充分性设l P P P A ???=21,因初等矩阵可逆,有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.

定理２设n m A ?，n m B ?, 则????n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ?和n n Q ?, 使得B PAQ =．证必要性已知n m n m B A ???, 则存在m 阶初等矩阵Ps P ,,1???和n 阶

Qt Q ,,1???,

使得B Qt AQ P Ps =????11, 令 Qs Q Q Ps P P ???=???=11, ,则有B PAQ =.

充分性已知B PAQ =，则由定理１知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积，即 Qs Q Q Ps P P ???=???=11, ,

故B Qt AQ P Ps =????11，也就是

n m n m B A ???. 由此可得矩阵求逆方法之二(初等行变换法）

0det ≠?n n A s P P P A 21=? (i P 都是初等矩阵）

??==-------1

1112111121A E P P P E A P P P s s ? [][]11

1121----=A E E A P P P s

由此可得：对n n 2?矩阵[]E A 施行“初等行变换”，当前n 列(A 的位置)成为E 时,

则后n 列(E 的位置)为1-A .

例２设 ????

??=431212321A . 用初等变换法求1

-A

解[]E A ??????????=100431010212001321??????????----→101110012430001321

行

??????????----→012430101110001321

行

????

??????----→315100101110203101行

??????????----→315100416010112001行

??????----→315100416010112

001行

故??

??????----=-3154161121

A ．例3 设??????

??=1010010001

232

a a a a a a

A ,试用初等变换法求1

-A 解 []E A ?

???

???????=100010100010010001000100012

a a a

依次作初等行变换 34ar r -, 23ar r -， 12ar r -可得

[]E A ?

???

???---→100100001001000010010

010001a a a 故 ?

????

???---=-11111a a a A . 例４判断方阵????

? ??----=21144

1521221111

1A 是否可逆.若可逆，求1-A 解

()???????

?----------→???????

??----=---10

0401020011000

1233023302330111110

000100

0010

000

1211441521221111

24 r r r r r r E A

因为

3302

23301111

-------,所以0||=A ，故A 不可逆,即1-A 不存在.

［注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中,即可看出逆矩阵是否存在，而不必

先去判断.

例5 解矩阵方程B AX =,其中

???? ??--=523012101A

??? ??-----=141254121B 解:

()?????

?--=10001000152301

210

1 E A ???

????

??----

→211

7115

211

00010

001 ???????

?----=∴-2112711

521125

????? ??-----???????

?----==-14125412121127115

211

B A X ???

?? ??----=640892521 思考与作业: 习题三 P79:１(1)（4)４, 5

讲授内容§3.３矩阵的秩

教学目的和要求:理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩．教学重点:矩阵的秩.

教学难点:矩阵的秩的定义及计算. 教学方法与手段:传统教学,教练结合课时安排:2课时

矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用. 一、矩阵的秩的基本概念

定义4. 子式:在n m A ?中，选取k 行与k 列, 位于交叉处的2

k 个数按照原来的相对位置构成k 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式，记作k D .对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有

k n k m C C 个.

定义5．矩阵的秩：在n m A ?中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；

(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）．称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(.规定：0rank =O 例6 求下列矩阵的秩

?????

??-=331211010011A ,??

?-----=36201301311201

解

()0

0012≠==

A D ,

而A 的所有三阶子式(4个)

031210

011=-,031210

1011=-,

32111001=,

31110

001=-

所以2)(=A R

2013013

1-----=

B 3

20140133120

0011

3-----=

-C C 3

6214

31-----=

0369001403

311

32≠-=----=-r r ()4=∴B R

二、矩阵的秩的性质及结论性质：

1. O A A R =?=0)(;

2. 对于n m A ?,有);,min()(0n m A R ≤≤

3. 若r A R =)(，则A 中至少有一个0)(≠A D r ，而所有的0)(1=+A D r .

4. 0≠k 时, )()(A R kA R =

5. )()(A R A R T

6. A 中的一个r A R D r ≥?≠)(0

7. A 中所有的r A R D r ≤?=+)(01

８. )()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤ 9. )}(),(min{)(B R A R AB R ≤

10．若O B A l n n m =??, 则n B R A R ≤+)()( [注] n m A ?, 若m A =rank ，称A 为行满秩矩阵; 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．

n n A ?, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵(可逆矩阵, 非奇异矩阵）; 若n A

A 为满秩方阵,0≠?A (A 可逆 A ?为满秩方阵). 判断1,,,=-???? ??bc ad d c b a d c b a 满足是否可逆，其中

．因为,01≠=-=bc ad d

c b a 所以可逆.

定理1 n m n m B A ???B A rank rank =?.

证明：只需证明n m n m B A ??→次

1B A rank rank =?. 设r A =rank , 仅证行变换之（３)的情形：

B k A j j i

r k r j i j i =?????

????

???

?+→????????????????=+

ααααα

(1) 若},{min n m r <，则有 )(1B r D +不含i r :0)

(1)(1==++A r B r D D

)

(1B r D +含i r , 不含j r :0)

(1)

(1=±=+++A r A r B r D k D D )

(1B r D

+含i r , 且含j r ：0)(1)(1

==++A r B r D D 倍加

故B 中所有的1+r 阶子式0)

(1=+B r D A r B rank rank =≤? A B j

i r k r -→B A rank rank ≤?, 于是可得B A rank rank =．（2) 若m r =或者n r =，构造矩阵 )1()1(1+?+????

??=n m O O O A A ， )

1()1(1+?+?

???=n m O O O B B 由(1)可得11B A j

i r k r +→11rank rank B A =?

==B B A A rank rank rank rank 11B A rank rank =?

其余情形类似.

定理2 若)0(rank >=?r r A n m , 则

??????

????

??????

????

?→00

00***00221111

r r

r ri i i i i i b b b b b b A 行

B =：行阶梯形

]

[][][21r i i i

???

????

????????????→0000*1*01*00100 行

A H =：行最简形

定理3 若)0(rank >=?r r A n m , 则??

???→O O O E A r , 称为A 的等价标准形．推论1 若n n A ?满秩，则n E A ?．推论2 n m n m B A ???B A rank rank =?.

三、利用初等变换求矩阵的秩

利用定理4可以简化求秩)(A R 的计算,其常用的方法有: 1. 只用初等行变换,可把A 变成阶梯形矩阵. 例７求)(A R 其中

?---=14011313021512012

解

?????

?? ?

?---→??????? ??------→+--22200000001512012

12220015120151201221

12313142r r r r r r A ???

????

?---→?0000022200151

2012

2114

r r (阶梯形)，

有此可看出 .3)(=A R

２.进一步，再进行列初等变换，A 可化为标准型I .

在例7中,

A =??

??→

???????

?---→00000

00100

00010

0000100000222001512012

I 的特点：左上角为一个)(A R 阶单位矩阵，其它元素为0.

在具体的解题过程中，如果A 经过几次初等变换后即可看出)(A R 的秩时，就不必再继续将A 化为阶梯形.

例8 求)(A R 其中

???????

?------=0752132111132

1021101A

解

.264201

31013210211011314B 2A r r r r =???????

??-------→--

至此，易知2)(=B R （B 不是阶梯矩阵)所以 2)(=A R .

例9 试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答.

已知 ???

? ??-=5321A ，求1

-A

错误解答

???? ??-→???? ??-→????

??-→???? ??-11310010113110010110113010110530121

即 ???

? ??-=-113011

错误原因: 没有注意到利用 )()(1-→A E E A

来求1-A 时，要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换.

正确答案

??????-==-1325111*1

A A A

思考与作业:习题三 P79：6,7,10

第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解；

(C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组（1），（2）（3） 9．若方程组有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时，

3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使（1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，，

，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或（C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且（C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）.

（A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时，（C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件 . 16．设方程组有无穷多个解，则 . 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解（C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解（C）当时仅有零解（D）当时必有非零解

矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ，）排成m 行n 列的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0；矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。等价关系的性质（1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质设A 是一个m ×n 矩阵，则（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。（5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？）初等变换的应用（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。（2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节矩阵的秩

矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。问题2：线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=?x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。非齐次线性方程组b x A n m =?分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解： b x A n m =?无解)~()(A r A r ≠? b x A n m =?有解)~()(A r A r =? 有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯一解； b AX n A r A r =?==)~()(有无穷多解。其中),(~ b A A = 为增广矩阵。问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知 O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121 即s i Ab i ,...,2,1,0== 换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．（2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法．（3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质．教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合课时安排：2课时教学过程 §1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换行变换列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k ③ 倍加 j i r k r + j i c k c + 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→．定义2 等价矩阵：若n m n m B A ??→有限次 , 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???．矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ? (2) 对称性：n m n m B A ???n m n m A B ???? (3) 传递性：n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ???? 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.

初等变换与初等矩阵

2.3 初等变换与初等矩阵授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换（1）定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。（2）记法分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+，列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵（1）初等矩阵的定义

定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行列i 列j

用矩阵初等变换逆矩阵

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L

线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组

习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

高斯消去法与矩阵的初等变换

高斯消去法与矩阵的初等行变换刘智永一、教学目标： 1）使学生会用高斯消去法求解线性方程组 2）使学生熟练矩阵的初等行变换、会化阶梯型矩阵 3）使学生明白高斯消去法与矩阵初等行变换之间的内在联系二、教学方法：板书讲授三、教学用时：20分钟四、教学过程： 1.高斯消去法求解下面线性方程组注：1）求解n X n 阶线性方程组，高斯消去法的工作量是 0 （斤）o 例如求解一个 100万阶的方程组，高斯消去法的工作量为 0 （108）, 在一台每秒进行 1010次浮点运算的计算机上，需要 >3年的时间。 2 ）虽然高斯消去法有很大工作量，但今天仍得到广泛使用，例如它是超级计算机性能测评的一个重要基准（benchmark ）。在这个测评基准下中国的天河2 号超级计算机连续3次排名全球第一，2014年12月的测评基准已改变为共轭梯度法。 2.矩阵的初等行变换在高斯消去法中，加减乘除运算只与系数和右端项有关，与未知数无关。简单地，我们可以将线性方程组写成下面增广矩阵 (augme nted matrix)的形式 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 [1 2 2 2]? [0111] ? [0 1 1 1] 1 -13 0 0 -2 2 -1 0 0 4 1 当把线性方程组写成增广矩阵的形式以后，高斯消去法就表现为对增广矩阵进行的初等行变换：将某一行的非零常数倍加到别的行；给某一行乘上非零常数倍；交换两行的位置。注：1）上面最右端的矩阵被称为阶梯型（echelon form ）矩阵。这里详细解说阶梯型矩阵的特征（零元在下、行首元非零、下行缩进）！ 2 ）上面的箭头不能写成？'='或者？等。（学生书写容易出错处！）五、教学总结： 1）用高斯消去法求解线性方程组，以及对增广矩阵做初等行变换是两个完全一致的过程。但后者的出现，大大减少了高斯消去法书写上的困难。 2）这些内容也是后面学习矩阵的秩和逆矩阵的重要基础 x 1 + x 2 + x 3 =1 {x 1 + 2x 2 + 2X 3 = 2 X i - X 2 + 3x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 =1 { x + X 3 = 1 -2x 2 + 2x 3 = -1 x 1 + { X 2 + x 3 = 1 x + X 3 4x

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

用矩阵的初等行变换分析线性方程的解

用矩阵的初等行变换分析线性方程的解摘要在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中,需要解决许多实际的问题,而这些许多实际的问题往往可以归结为解一个线性方程组,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。关键字增广矩阵;矩阵的初等行变换;标准型的阶梯型矩阵;矩阵的秩在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中往往需要解决许多实际的问题,而这些实际的问题在多数情况下往往可以归结为解一个线性方程组,解线性方程序的过程就是解决实际问题的过程,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。 1 n元m个方程的线性方程的一般结构形式 a11,x1+a12,x2+…a1n,xn=b1 a21,x1+a22,x2+…a2n,xn=b2 ………………………(*) am+1,x1+am+2,x2+…amn,xn=bm 说明:(1)a11,a12……amn为为未知量的系数; (2)b1,b2……bm称为常数项,均在等式的右端。 2 线性方程组所对应的增广矩阵将线性方程组(*)未知量的系数积常数项相对位置保持不变而构成的矩阵称为该线性方程组所对应的增广矩阵。即:线性方程组与增广矩阵之间具有一一对应关系。 3 矩阵的初等行变换将矩阵的行与行互换位置,或将矩阵的某一行同乘以一个不等于零的数;或将矩阵的某一行同乘一个不等于零的数加到另一行的对应元素上。当矩阵发生了这三种方式的任意一种,任意两种或三种,无论发生了多少次,但至少要有一次,我们就说该矩阵发生了初等行变换,任意一个非零矩阵经若干次的初等行变换一定能化为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵再经若干次的初等行变换一定能化为标准型的阶梯形矩阵,一个非零矩阵,它的阶梯形矩阵有无数个,但它的标准型的阶梯型矩阵有且只有一个。

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

矩阵的初等变换与线性方程组练习题

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1．已知1210 1125 1-?? ? = ? ?-? ? A ，求()R A . 2. 设矩阵X 满足关系2=+A X A X ，其中4 231 1012 3?? ? = ? ?-?? A ，求X . 3. 设矩阵1012 1032 5?? ? = ? ?--? ? A ，求1()--E A . 4. A 是m n ?矩阵，齐次线性方程组0=A x 有非零解的充要条件是 . 5. 若非齐次线性方程组=A x b 中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =A x b 必有无穷多解； (B) 0=A x 必有非零解； (C) 0=A x 仅有零解； (D) 0=A x 一定无解. 6. 若方程组 123232321 32(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-?? -=-??-=--+-? 有无穷多解，则λ= . 7．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=A x 的解，则=A ( ). (A)()2,1,1- (B)2010 1 1-??? ??? (C)1 020 1 1-?? ??-?? (D)0114 220 1 0-?? ??--?????? 8. 求解线性方程组 1234 234 124 2342344,3,331,73 3. x x x x x x x x x x x x x -+-=?? -+=-? ? +-=??-++=-?

3.4.2 提高练习 1. 设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = . 2. 设1231 232 3k k k -?? ? =-- ? ?-? ? A , 问k 为何值，可使（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A . 3. 设n 阶方阵A 的每行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=A x 的通解为 . 4．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（）. （A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B 5．设方程组1231111 1111 2a x a x a x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?-? ????? 有无穷多个解，则a = . 6．设4阶方阵()()234234,,,,,,,,A B αγγγβγγγ==其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式4,3,A B ==求行列式.A B +

第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质一、矩阵的秩定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16

2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4

所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。定理满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3

线性代数习题[第三章]-矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

线性代数习题矩阵的初等变换与线性方程组讲课讲稿

线性代数习题［第三章］矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1矩阵的初等变换及初等矩阵 3 2 1 3 1 5的逆矩阵. 3 2 3 4.设A 是n 阶可逆矩阵将A 的第i 行与第j 行对换后得矩阵B . (1)证明B 可逆 ⑵求AB 1. 1?用初等行变换化矩阵A 1 0 2 1 2 0 3 1 为仃取简形 3 0 4 3 4 1 2 1 3 2 2 1 ,B= 2 2 ,求X 使AX B 3 1 1 3 1 3.设A 2?用初等变换求方阵A

习题3-2矩阵的秩1?求矩阵的秩: (1)A 1 2 3k 2.设A 1 2k 3问k为何值，可使 k 2 3 (1)R(A) 1 ； ⑵R(A) 2; ⑶ R(A) 3 qb o i 1,2, |||,n &1 b| &1 b? a? b| a?b? Ill III a n E a n b 2 a2b n III a n b n

3.从矩阵A中划去一行，得矩阵B,则R(A)与R(B)的关系是_______ a. R(A) R(B) b. R(A) R(B); c. R(B) R(A) 1 ; d. R(A) R(B) R(A) 1. 3 2 1 3 1 4.矩阵2 1 3 1 3 的秩R= 7 0 5 1 8 a.1; b. 2; c.: 3; d. 4. 1 a a a 5.设n(n 3)阶方阵 a A 1 a a 的秩R(A)=n-1,则 a a a a 1 a. 1; b. 1 ; c.—; d . 1 1 n n 1 6.设A为n阶方阵，且A2A,试证： R(A) R(A E) n

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:

(1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法. 定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B) 为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵

第三章矩阵的初等变换与线性方程.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 目的要求 1．掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法。了解矩阵等价的概念． 2．理解矩阵秩的概念并掌握其求法． 3．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件． 4．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法． 3.2 重要公式和结论 3.2.1 矩阵的秩 1．若，则. 2．对于任意矩阵，总可以通过初等行变换将其化为行阶梯形，的行阶梯形中非零行的行数就等于矩阵的秩. 3．矩阵秩的性质： ①； ②； ③若，则； ④若、可逆，则； ⑤； ⑥；

⑦； ⑧若，则. 3.2.2 初等矩阵与矩阵求逆 1．三种初等变换对应着三种初等矩阵，且初等矩阵具有以下性质：，，，，， . 2．设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵； 3．方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得 . 4．方阵可逆的充分必要条件是. 5．阵的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使． 6．对于方阵，若，则（1）可逆；（2）． 7．设有阶矩阵及阶矩阵，若，则（1）可逆；（2）． 3.2.3 线性方程组的解 1．元线性方程组， ① 无解的充分必要条件是；

② 有解的充分必要条件是； ③ 有唯一解的充分必要条件是； ④ 有无穷多解的充分必要条件是. 2．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是. 3.3例题分析例3.1 设，求．分析对于一个具体的矩阵求秩问题，先对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形，根据行阶梯形的非零行数判断矩阵的秩. 解，故. 例3.2设，则的秩( . (A 必为2 (B 必为3 (C 可能为2，也可能为3 (D 可能为3，也可能为4. 分析先将化成行阶梯形，再确定矩阵的秩. 解因为，可知，当时，，否则.

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第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解； (C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组

（1），（2）（3） 9．若方程组有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时， 3．设是矩阵，且，而，则 .

4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使（1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，，，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）.

（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或（C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且（C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）. （A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）.

（A）时，（B）时，（C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件. 16．设方程组有无穷多个解，则. 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解（C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解（C）当时仅有零解（D）当时必有非零解 19．求的值，使齐次线性方程组有非零解，并求出通解.

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用矩阵的初等变换求逆矩阵

4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即三，讲解例题 1. 求逆矩阵方法的应用之一例解： 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=? =?11121m R R R A E ---=1111 21m R R R A ----=()()122n n n n A E E A -???????→ 1112120,113A A -?? ?=- ? ???设求。112100120010113001A E ?? ?=- ? ??? （）2131r r r r +-112100032110001101?? ???→ ? ?-??110302030312001101?-? ??? →- ? ?-??132322r r r r --30211012010133001101??- ???→- ? ? ?-?? 313r ()()() 1111 A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()() 111121m R R R A E E A ----=

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