2020-2021学年河南省安阳市滑县九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年河南省安阳市滑县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）

A．B．C．D．

2．（3分）若x＝1是方程x2+kx+2＝0的一个根，则方程的另一个根与k的值是（）

A．2，3B．﹣2，3C．﹣2，﹣3D．2，﹣3

3．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x﹣2）2+6C．y＝x2+6D．y＝x2

4．（3分）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）

A．45°B．60°C．70°D．90°

5．（3分）如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB＝30°，则∠D的度数是（）

A．30°B．70°C．75°D．60°

6．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2

7．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（）

A．cm B．5cm C．3cm D．10cm

8．（3分）如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且AO＝3，CO＝6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）

A．4B．5C．6D．8

9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

x…﹣10123…

y…30﹣1m3…

有以下几个结论：

①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；

②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；

③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；

④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；

其中正确的是（）

A．①④B．②④C．②③D．③④

10．（3分）二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）

A．8B．﹣10C．﹣42D．﹣24

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）若点A（2，1）与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为．

12．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c＝．

13．（3分）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．

14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA＝4，则阴影部分的面积为．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．

三、解答题（共8题，共75分）

16．（10分）解方程

（1）2x2﹣4x﹣1＝0（配方法）．

（2）3x2﹣4x﹣4＝0（公式法）．

17．（8分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；

（2）求四边形ABCD的面积．

18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；

（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；

（3）在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

20．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；

（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．

21．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？22．（10分）正方形ABCD中，E是CD边上一点，

（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是，∠AFB＝∠；

（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠P AQ＝45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP＝PQ；

（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2＝

MN2．

23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC ＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若PC∥AB，求点P的坐标；

（3）连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．

2020-2021学年河南省安阳市滑县九年级（上）期中数学试卷

试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．【解答】解：A、最小旋转角度＝＝120°；

B、最小旋转角度＝＝90°；

C、最小旋转角度＝＝180°；

D、最小旋转角度＝＝72°；

故选：A．

2．【解答】解：设方程x2+kx+2＝0的另一根是x2．

∵x＝3是方程x2+kx+2＝0的一个根，

由韦达定理，得

故选：D．

3．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝（x﹣1+1）3+3，即y＝x2+7；

再向下平移3个单位为：y＝x2+2﹣3，即y＝x2．

故选：D．

4．【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，

∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，

∵AC′∥BB′，

∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．

故选：D．

5．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠CAB＝60°，

故选：D．

6．【解答】解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，

∴对称轴是x＝﹣1，

那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，

故选：A．

7．【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，

∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，

连接OA，OB交AC于N，

∵OA＝15cm，

∴AC＝2AN＝15（cm），

故选：B．

8．【解答】解：当点D恰好落在BC上时，OP＝OD，∠A＝∠C＝60°，如图．

∵∠POD＝60°

∴∠AOP＝∠CDO，

∴AP＝CO＝6．

故选：C．

9．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

将（﹣1，3）、（0，5）、（3，3）代入得：

解得：，

由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；

当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝4或x＝2，

当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；

故选：D．

10．【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣8x+m＝2（x﹣2）2﹣8+m的对称轴为直线x＝2，而抛物线在﹣5＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，当m＝﹣10时，则y＝2x2﹣8x﹣10，

解得x1＝﹣6，x2＝5，

当m＝﹣42时，则y＝2x2﹣8x﹣42，

解得x1＝﹣3，x2＝7，

当m＝﹣24时，则y＝4x2﹣8x﹣24，

解得x6＝﹣2，x2＝7，满足题意．

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．【解答】解：点A（2，1）与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为（﹣2，﹣1），故答案为（﹣8，﹣1）．

12．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0，

解得c＝4．

故答案为4．

13．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

如图所示，则圆心是（2，0）．

故答案为：（2，0）．

14．【解答】解：如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J．

∴CD∥AB，

∴OE⊥AB，

∵OC＝OD＝2，

∵∠COD＝90°，

∴S四边形OCED＝?CD?OE＝7，

故答案为：4π﹣4．

15．【解答】解：连结CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°

∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，

又∵旋转角为60°

∴△ACE是等边三角形

在△ABE与△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（SSS）

∴在△ABF中，∠BF A＝180°﹣45°﹣45°＝90°

在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2

∴BE＝BF+FE＝7+2

三、解答题（共8题，共75分）

16．【解答】解：（1）∵2x2﹣3x＝1，

∴x2﹣2x＝，

∴x﹣1＝±，

（7）∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣4，

则x＝，

即x8＝﹣，x2＝2．

17．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x6＝3，x2＝﹣4，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），（4）连接OC，如右图所示，

∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝＝9．

18．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝1＞0．∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵由x5﹣（2k+1）x+k2+k＝0，得（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，

∴x2＝k，x2＝k+1．

当AB＝BC时，即k＝5，满足三角形构成条件；

综上所述，k＝4 或k＝5．

19．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C，△A3B2C2，即为所求；

（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（1.5，﹣3）；

（3）如图所示：点P的坐标为：（﹣2，0）．

20．【解答】（1）证明：连接CD，

∴ED为⊙O切线，且∠ADC＝90°；

∴EC＝ED，

∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，

∴AE＝ED，

即E为AC的中点；

（2）解：连接OD，

∵∠ACB＝90°，

∵DE是⊙O的切线，

∴OE⊥CD，F为CD的中点，

∴OE＝AB＝＝5，

∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，

在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，即4×3＝5×DF，

在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝8.8．21．【解答】解：（1）根据题意，得

（100﹣80）×100＝2000．

（2）①根据题意，得

整理，得x2﹣10x+16＝0，

答：每件商品应降价2元或8元．

②y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）

＝﹣10x2+100x+2000

当x＝4时，y有最大值为2250．

当x取5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．

22．【解答】解：（1）如图1，∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，∵DE＝BF，∠AFB＝∠AED．

（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，即点E、B、P共线，∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ，BE＝DQ，

∴∠P AE＝45°，

在△APE和△APQ中

∴△APE≌△APQ（SAS），

而PE＝PB+BE＝PB+DQ，

（3）如图2，∵四边形ABCD为正方形，

如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，

与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN＝MK，

∴△BMK为直角三角形，

∴BM2+DN2＝MN7．

23．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，

而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，

则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝4，

（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，

（5）过点P作PH∥y轴交AC于点H，

则△P AC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×2×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．