《椭圆及其标准方程》优秀教学设计

课题：《椭圆及其标准方程》第一课时

泉州市第六中学谢晓霞

一、教材分析

[教学内容]：教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修1-1§2.1.1《椭圆及其标准方程》。

[教材处理]：

①《椭圆及其标准方程》共两课时，本节是第一课时，主要完成椭圆定义及其标准方程的探索。第二课时对椭圆定义及其标准方程的拓展及应用。

②提前介绍根式方程的解法。

[教材地位与作用]：

《椭圆及其标准方程》是继圆之后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。

[教学重点与难点]

教学重点：椭圆的定义及其标准方程。

教学难点：椭圆图形的形成条件的探究；椭圆定义和椭圆标准方程的联系。

二、目标分析

【知识与技能】

①掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程；会根据条件写出椭圆的标准方程；会根据标准方程求焦距与焦点坐标。

②通过对椭圆标准方程的探求，进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高运用坐标法的自觉性。

【过程与方法】

在探究椭圆的画法、椭圆形成的条件、归纳椭圆的定义，获得设焦点在不同位置的椭圆标准方程的过程中，提高学生的动手操作能力，养成学生运用数学思想方法解决问题的意识，获得运用知识解决实际问题的能力。

【情感与态度】

①通过创设问题情景，激发学生学习数学的兴趣；

②通过研究方程揭示椭圆的内在性质与规律，培养学生锲而不舍的钻研精神；

③从椭圆的图形及其标准方程中体会数学的对称美，数与形结合的和谐美，提高学生审美情趣；

④通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

三、教法与学法

【学情分析】：学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，对用坐标法研究几何问题也有初步的认识。所以学生基本具备独立探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。但由于学生学习解析几何时间还不长，且受高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会遇到一些困难，再对于我们学校学生相对数学基础比较薄弱，独立解题能力也相对比较薄弱。但是在老师问题的引导与启发下，学生凭借原有的认知，采用类比与联想的方法，是可以通过自主探索、合作交流的形式完成本节的学习内容。

【教法】:引导探索法，并以讲授法、讨论法相佐.

【学法】:导学式与自主探索、合作交流相结合

【教学手段】：

(1)采用多媒体技术，目的在于充分利用其优良的传播功能。大容量信息的呈现和生动形象

的演示（尤其是动画效果）对提高学生学习兴趣、激活学生思维、加深概念理解有积极作用。制作中，采用交互技术，使课件的机动性得到加强。

(2)采用实物投影仪，目的在于利用操作方便、反馈及时的优点，弥补多媒体技术在即时信

息反馈方面的不足。

(3)通过多媒体技术和实物投影仪的交替使用，取长补短。但必要时仍然要借助课本、黑板

等其它教学媒体。

＊教具与学具：一台电脑、一台投影仪、一条长为十厘米且不能伸缩的绳子及其图钉两个，木板一个。

四、教学过程

教学基本程序为“创设问题情景----建立模型----应用巩固”：

流程一、创设问题情景，引入新课

学生对椭圆并不陌生，但这只局限于对生活中具体实物的感性认识，为了从圆过渡到对椭圆的研究，本节课从学习已有的认知出发创设如下情景问题。

【情景问题】：已知直角三角形ABC，斜边BC的长等于10cm，求顶点A的轨迹方程并画出图形。

【活动方式】学生先独立完成后班级交流。

【教师点拨】在班级交流反馈之后，老师介绍另一种画法：画轨迹时，取长度为10cm的细绳，将两个端点两点合一固定在画图板上，用铅笔尖拉着细绳滑动形成圆。这种画法将为下面椭圆图形的形成做铺垫。

【设计意图】：

①通过该题复习动点轨迹方程的求法及其圆的画图方法，特别强调找轨迹图形形成的条

件。

②为采用类比的思想对动点有规律的运动作进一步的探索和研究，为获得椭圆的相关知识

做铺垫。

【拓展延伸】：依照上题老师介绍的画法，将合而为一的两个端点F1，F2（两个端点记为F1，F2）拉开，向两边移动形成一定的距离后，用图钉固定绳子的两个端点，铅笔拉直绳子运动。请同学们通过实验看一看所画出的图形是什么形状？

【活动方式】分组实验，然后互相交流实验结果。

第一组：两个端点距离为6cm时；（椭圆）

第二组：两个端点距离为8cm时；（椭圆）

第三组：两个端点距离为10cm时；（线段F1F2）

学生在实验过程中可能将两点F1，F2向x轴方向、y轴方向、或者其他方向移开，但是最终得到的形状是一致的。

【教师点拨】完成活动后，展示部分学生作品（主要展示向x轴方向，y轴方向移开这两种，如下图），同时教师运用多媒体演示动画过程验证学生的结果。此外，教师再演示固定两端距离为6cm时，拉长绳子，铅笔拉直绳子运动。获得其轨迹也是椭圆。

①

三角形时画出的是椭圆。

②展示学生的作品，定点在X轴或y轴滑动的两副图，为下面探索椭圆标准方程提供直观

地感知。

③通过参与实践，培养学生的动手操作能力；通过多方位的思考问题，养成勤于动脑的良

好习惯。当然，学生对下一步椭圆形成的条件的理解就水到渠成。事实上，沿着学生的思维轨道展开思维，才是对学生最大的尊重，才是以人为本。

【生活中的椭圆】：教师用多媒体演示地球绕太阳运行的轨道录像及其生活中的椭圆物体。

【设计意图】：学生感受生活中处处存在椭圆，认识到进一步研究椭圆的必要性。

【师生互动，总结定义】把平面内到两个定点F1 ，F2的距离之和等于定长

（定长大于定点间的距离），这样的点的集合叫做椭圆。这两个定点F1 ，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

流程二、建立模型，形成概念

【去掉背景、突出本质】：列上面第①②组试验中椭圆轨迹的形成条件并求轨迹方程。

学生对于轨迹条件的总结如下：

①：已知定点F1，、F2，│F1F2│=6，且│MF1│+│MF2│=10，则点M的轨迹是椭圆。

②：已知定点F 1，、F 2，│F 1F 2│=8，且│MF 1│+│MF 2│=10时M 的轨迹是椭圆。

而对于轨迹方程的结果则可能出现以下几种情况：①方程为（）或者（），2212516x y +=400251622=+y x 2211625

x y +=400162522=+y x ②方程为（）或者（）221259x y +=22925225x y +=221925x y +=22592522=+y x 【教师点拨】根据椭圆图形的对称性，引导学生考虑方程是否也能体现对称性，从而将椭圆的方程统一成标准形式。

【设计意图】：①让学生从轨迹运动的过程找出轨迹形成的条件，获得椭圆轨迹形成的条

件；同时明确椭圆标准方程的表达形式。通过从特殊到一般的归纳过程培养了数学的数形结合思想，提高了学生的几何直观能力，观察分析能力和归纳概括能

力。

②进一步巩固求曲线方程的一般方法，提高运用坐标法的自觉性。

③我班学生相对基础薄弱，选择特殊数字的推导，学生容易理解和接受。

【观察归纳，提出猜想】

1、根据（1）、（2）组实验结论，观察椭圆上一些特殊点的坐标与相应的椭圆方程中的系

数，还有形成椭圆条件中的数据，看看它们之间有什么内在的联系？

2、（1）若│F 1F 2│=7，且│MF 1│+│MF 2│=9。依照上面结论不计算过程直接说出M 的轨迹方程。

（2）若│F 1F 2│=10，且│MF 1│+│MF 2│=26

3、用符号语言表达出椭圆的定义，猜想椭圆的标准方程

【设计意图】让学生从特殊点的坐标及方程中相应的值找到相关关系，这样学生能突破难点理解a,b,c 的引入。

【符号语言表示定义，并推导椭圆标准方程】已知平面内两个定点F 1，F 2，

│F 1F 2│＝2c ，动点M ，其中│M F 1│+│M F 2│＝2a ，当2a>2c 时， M 的轨迹是椭圆，猜想椭圆的轨迹方程：

焦点在x 轴上的椭圆标准方程为 其中(a 2-c 2=b 2)焦点为 (-c,0)，(c,0),焦点在y 轴上的椭圆标准方程为 焦点为(0,-c)，(0,c)【验证猜想】学生阅读课本，验证标准方程推导过程。

教师强调说明：①是；②是（要区别与习惯思维下的勾股定理0>>b a 222c b a +=）；③是定方程“型”与曲线“形”。

222b a c +=【设计意图】我们的学生相对数学基础薄弱，用特殊数字猜想一般结论，学生更容易接收，学生可以在对比、观察、思维的基础上提升自己的思维，使新知识与旧知识尽可能产生天然的联系，而不是人为的告诉其正确的结果，把经验强加给学生。尊重学生，首先要接纳学生的认知基础，并适时诱导，使不同层次的学生都得到发展，这也正是“双自主”实验所倡导的。

流程三、知识运用 技能演练

122

22=+b

y a x 12

2

22=+b x a y

一、练一练：（口答）

1、如果椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离136

1002

2=+y x 是 。

2、动点p （x,y ）若满足①，则P 点的轨迹方程是 ;若满

+

++22)3(y x 10)3(22=+-y x 足+++22)3(y x 10)3(22=-+y x 3、判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

（1） （2）14

32

2=+y x 84222=+y x 【目的】：通过本题组的练习，再次巩固椭圆的定义，加深椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时会求焦点坐标、焦距等基本量(求前要将方程先化成标准式)，教学时采用学生自主完成的方法。

【设计意图】：通过练习检测巩固知识。特别a,b,c 的关系。【归纳小结，提炼精华】（整理知识、形成网络）

1、

椭圆形成的条件及椭圆的定义；2、

焦点在分别在轴、轴的上的两个标准方程；x y 3、椭圆的焦点坐标及焦距的求法。

【设计意图】：发挥学生的主体地位，使学生加深对本课内容的理解，提高学生的概括

能力和表达能力。

【练习作业、巩固提高】（分层练习）

[基础题] 1、 第46页习题2.1 ：第2题

[提高题]：2、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M 、N 两19

252

2=+y x 点，则的周长为 。2MNF ?3、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 。116252

2=++-m

y m x y m 4.【思考题】1.教师动画演示右图轨迹运动过程，请学生找

出轨迹条件。（过程说明：以A 为圆心画圆，在圆内任意取

一点C ，在圆上取一点D ，做CD 的中垂线与AD 相交与一点

F ，那么D 点在圆上运动的过程，F 点的轨迹就是椭圆，请找

出轨迹条件。）

【设计意图】：①巩固知识、运用知识，形成技能。

②通过练习和作业，得到两个方面的反馈：学生的反馈让学生会自我调节如何学

习，教师的反馈将调整怎样继续教学。

③这样分梯度布置作业主要为了检测不同基础的学生知识掌握情况，贯彻因材施

教。

④补充的两题也为下节课对椭圆定义及其标准方程的拓展应用做过渡。

【板书设计】