倒向随机微分方程和金融数学_彭实戈

倒向随机微分方程理论

倒向随机微分方程理论的一段往事 (2008-07-18 22:04:36) 转载 分类：数学江湖 标签： 杂谈 转自：https://www.wendangku.net/doc/951632509.html,/ 文章是中国金融数学届的狂牛的老头子：彭实戈写的，在这里转给大家欣 赏。按：这个文章回顾了倒向随机微分方程理论产生的一段往事，同样是数学上一个让人愉悦的故事。 当年，我和Ｐａｒｄｏｕｘ写的关于倒向随机微分方程 简称ＢＳＤＥ理论的那篇文章发表在一个叫《ＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌＬｅｔｔｅｒｓ》的“小杂志”上。那是一个“有心栽花花不开，无意插柳柳成荫”的故事。ＢＳＤＥ的文章发表于１９９０年，而这项研究的实际完成是在１９８９年４月。其时我从法国回来，正在复旦大学做博士后 １９８８年开始。数学系的李训经教授在复旦组织了一个每周一次的控制论讨论班，讨论班的一个重点是随机系统的最优控制问题。当时雍炯敏刚从美国回来，在复旦任副教授，陈叔平在浙大，经常到复旦来参加讨论班。李老师有两个博士生胡瑛和周迅宇 我刚到复旦时，周迅宇还在日本Ｎｉｓｉｏ教授那里，大概属于联合培养，他们都具备了非常好的概率论和随机分析的基础。我说非常好，是相对于我这个刚从法国著名的Ｐａｒｄｏｕｘ研究团体回来的“洋博士”而言的。当时从国外回来的“洋博士”还不算多，大家都对我们“另眼相待”。回国后看到复旦的这些博士生的基础打得如此之牢固，令我十分佩服。 讨论班的学术气氛很热烈，有两个主攻方向：一是无穷维系统最优控制的最大值原理；一是随机最优控制问题，扩散项含时间的随机控制系统最大值原理是当时大家关心的公开难题之一。那是一个硕果累累的年代，产生了一批令国际同行刮目相看的研究成果，称其为“ＦｕｄａｎＧｒｏｕｐ”。 复旦对于博士后的生活安排得非常周到。我有一个二室一厅的套间，里面是整套全新的家具。胡瑛是这里的常客——几乎每天都来。经常是进门后没说几句话就坐下来，拿出纸和笔来讨论问题，累了就到校园里去散一会儿步，饿了就出去找个饭店或到食堂吃一顿。我们两个合作写了好几篇文章，当时的主攻方向是广义的和无穷维随机系统的最大值原理。李训经和雍炯敏先生也经常来访，我们也经常去李老师家。我们有一些合作的具体题目。休息的时候，也经常谈及几个“大

随机微分方程

一、一维分岔 考虑一维随机微分方程 ()()()()()()()()() dX = m X dt +X dB t =m X +X X /2dt +X dB t 6.141σσσσ'-???? 生成的连续动态系统 ()()()()()()t t 00t x =x +m s x dx + s x dB s 6.142??σ?-?? () 它是以 x 为初值的（6.1-41）之唯一强解。假定 ()()m 0 = 00 = 0 6.143σ-，（） 从而0是?的一个固定点。对此固定点，dB(t)是随机参激。设m(x) 有界，对所有 x 0≠满足椭圆性条件 ()0 6.144x σ≠-() 这保证最多只有一个平稳概率密度。求解与（6.1-41）相应的平稳FPK 方程得平稳概率密度 ()()() () 12 2m u p x C x exp[ ] 6.145u x du σσ-=-? （） 于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。前者的不变测度0δ的密度为()x δ，后者的不变测度ν的密度为（6.1-45）。为研究 D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov 指数。为此，考虑（6.1-41）的线性化方程

()()()()dV =m X Vdt +X V dB t =[m (X)((X)(X))/2]Vdt VdB t 6.146σσσσ''''''++- （） 利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解 ()()()()()t t V t =V 0exp[(m +/2)X ds +X dB s ] 6.147 σσσ''''-??（） 动态系统?关于测度μ的Lyapunov 指数定义为 ()()1 lim ln V t 6.148t t ?λμ→∞=-（） （6.1-47）代入（6.1-48），注意()00σ=，得不动点Lyapunov 指数 ()()()()()()()()00 1() lim [ln 000]00 lim 0(6.1-49)?t t t t B t V m ds dB s m m t t ?λδσσ→∞→∞ '''''=++=+=??对以（6.1-45）为密度的不变测度ν，（6.1-47）代入（6.1-48）， 假定σ'有界，m /2σσ'''+可积，得Lyapunov 指数 ()0 1 lim (m /2)(X)ds [m (x)(x)(x)/2]p(x)dx 6.150t t R t ?λνσσσσ→∞''''''=+=+-??（） 进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得 ()2 m(x) -2p(x)dx 0 6.151(x)R ?λνσ?? =<-??? ??（） 随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形 ()()2dX X X dt X dB t 6.152ασ=-+- （） 生成的动态系统族α?

倒向随机微分方程的理论、发展及其应用

倒向随机微分方程的理论、发展及其应用 作者：周少甫， 黄志远， 张子刚 作者单位：周少甫(华中科技大学经济学院,湖北武汉430074)， 黄志远(华中科技大学数学系,湖北武汉430074)， 张子刚(华中科技大学管理学院,湖北,武汉,430074) 刊名： 应用数学 英文刊名：MATHEMATICA APPLICATA 年，卷(期)：2002,15(2) 被引用次数：11次 参考文献(38条) 1.Markowitz H Protfolio Selection 1952(07) 2.Black F;Scholes M The pricing of Options and Coporate Liabilities 1973 3.Sharp W F Capital asset prices:A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk 1964 4.LINTTNER J The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets 1965 5.Ross S The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing 1976(03) 6.Merton R C The Theory of Rational Option Pricing 1973 7.雍炯敏数学金融学中的若干问题 1999(02) 8.彭实戈;史树中倒向随机微分方程和金融数学 9.彭实戈倒向随机微分方程及其应用 1997(27) 10.史树中凸分析 1990 11.徐大江证投资决策的多目标线性规划方法 1995(12) 12.徐大江线性规划在证券投资有效集研究中的应用 1995(04) 13.Bismut J M Theorie Probabiliste de Controle Desdiffusions 1973 14.Huang Z Y On the Generalizied Sample Solutions of Stochastic boundary Value Problem 1984 15.Kunita H Stochastic Flows and stochastic Differential Equation 1990 16.Jeulin T Grossisserment dune Filtration et Applications 1979(721) 17.NUALART D;Pardoux E Stochastic Calculus with Anticipating Integrands 1988 18.Duffie D;Epstein L G Stochastic Differential Utility[外文期刊] 1992(02) 19.Karoui E L;Peng S;Quenez M C Backward Stochastic Differential Equations in Finance 1997 20.Pardoux E;Peng S Adapted Solution of A Backward Stochastic Differential Equations 1990 21.Peng S Backward Stochastic Differential Equations and Applications to Optimal Control 1993 22.Daring R;Pardoux E Backward SDE with Random Terminal Time and Applications to Semilinear Elliptic PDE 1997(03) 23.Mao X Adapted solutions of Backward Stochastic Differential Equations with No- Lipschitz Cofficients 1995 24.Cao zh;Yan J A Comparison Theorem for Solutions of Backward Stochastic Differential Equations 1999(04) 25.SITU R On Solution of Backward Stochastic Differential Equations with Jumps and Applications 1997 26.陈增敬带有停时的倒向随机微分方程解的存在性 1997(42)

随机信号处理

随机信号处理 大作业 学院：电子工程学院 、

马尔可夫过程概述 摘要:叙述了随机过程中的某一种--马尔可夫过程的基本定义 ,特点，以及它的应用领域；通过对离散时间马尔可夫链进行仿真分析，掌握马尔可夫的特点。 1. 随机过程发展简述 在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 2. 马尔可夫过程发展 2.1 马尔可夫过程简介 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。 2.2 马尔可夫过程的发展 20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。 出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在20世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了最重要的一类加以研究。1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大

随机微分方程在物理学中的应用

科技大学 本科毕业论文 论文题目：随机微分方程在物理学中的应用院系：物理科学与技术学院 专业：应用物理 姓名：vvv 学号：0700000069 指导教师：xxx

二零一二年三月 摘要 牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，以及对模型精确性要求和实际问题复杂性认识的不断提高，不确定性因素越来越多的被考虑到模型的建立中，这就在微分方程的基础上引入了随机因素，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。 随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。 关键词：随机微分方程；布朗运动；matlab模拟；

Abstract. Newton and Leibniz created calculus, in order to describe the mechanical dynamics, astronomy and other fields of physics, the establishment of a deterministic differential equation. Deterministic differential equations large number of practical problems in application. However, the actual physical phenomena in the study mathematical model to describe the physical phenomenon of a specific set of mathematical equations used to not be completely accurate. Practical problems of uncertainties abound and often the crux of the problem can not be ignored. Since the mid-twentieth century, a lot of uncertainty with the actual problems, and the accuracy of the model and actual problems requires understanding the complexity of continuous improvement, more and more uncertainty to the model to be considered in This is the basis of the differential equations introduced random factor

倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计(精)

倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计 倒向随机微分方程(BSDE)是一个相对比较新的研究方向。1973年Bismut[9]研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广。非线性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。Duffie和Epstein[28]于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念,也可以看作某些特殊的BSDE的解。从那以后,关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展,其中包括:反射倒向随机微分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等。在El Karoui和Mazliak[30],Ma和 Yong[5l],Yong和zhou[86]写的书以及综述论文El Karoui,Peng和Quenez[33]中,详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用。倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标。但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的,因此我们需要计算BSDE的数值解。相对于正向随机微分方程的数值解法,无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看,BSDE都要落后很多。出现这 一问题不外乎有以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别,从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方法。其次,从应用的角度讲,正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。在过去的十几年里,许多学者做出了很大的努力,在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果。这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类:第一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程;另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算。2006年,Zhao,Chen和Peng[89]提出了解BSDE的θ格式,该方法结合PDE数值解法的特点,使用随机的思想来解释高精度的差分方法,对BSDE进行时间空间离散,用Monte Carlo方法结合插值近似计算条件数学期望,在数值实验中得到了较好的结果。本文主要研究了BSDE的几种数值方法,在Zhao,Chen和Peng[89]的基础上,离散BSDE时用Gauss-Hermite积分替代Monte Carlo方法近似条件期望,并得到了θ格式的误差估计;提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计;对一种更高阶的Adams方法也提出了BSDE的离散格式且得到了格式的收敛误差。下面我们列出本文的主要结果。第一章:简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路,介绍了BSDE,Feynman-Kac公式的基本概念,对BSDE已有的数值解法进行了简要的回顾总结。第二章:给出了BSDE(2-1)的θ格式的误差估计。证明了对一般的θ,格式一阶收敛,特别当θ=(?)时,格式二阶收敛。当 θ=1时,我们得到θ格式对(2-1)的适应解(y_t,z_t)一阶收敛。在θ=(?)的情形,我们还得到解z_t的误差估计。我们称下面两个解(?)的方程为离散 BSDE(2-1)的θ格式:对该格式的误差估计主要有下面的定理。定理2.1.假设2.1成立,令y_t和y~n分别是BSDE(2-1)和θ格式(2-12)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有其中C是一个正常数,它仅依赖于T,φ和f导数的上界和(2-3)的解u(t,x)。定理2.3.假设2.1成立,令y~n(n=N,…,0)是θ格式(2-12)在θ=(?)时的解,y_t(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有定理2.4.假设2.1成立,令(y~n,z~n)(n=N,…,0)是θ格式

随机微分方程

随机微分方程在水库防洪中的应用 本学期有幸跟着袁老师学习随机微分方程这门课程，收获甚丰，感受颇多。在此之前，我从未接触过任何关于随机的概念，在听完袁老师的课程，特别是袁老师在中间穿插的讲诉随机微分方程在某些领域的实际应用案例，让我感觉在水利工程中确实有很多问题都应该通过随机这个概念来解决。在阅读过相关的一些 文献过后，发现在水库的防洪中随机微分方程可以利用的价值特别高。 水库的防洪是水利工程流域管理的重要内容，其中各环节都存在诸多的不确定性。包括水雨情信息采集中由于设备故障、通讯不畅、误码和量程不足等原因导致的信息无法获取或无法及时传达、信息错误，实时洪水预报中水文气象条件、模型结构、模型参数等导致的预报误差，调洪演算中的水库泄流和库容曲线等水力不确定性等。由于各环节的多种不确定性因素，随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析，近年来，这方面的很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程，随机微分方程被引入和运用,为解决这一难题提供了有效的数学工具，以概率论和微分方程为基础的随机微分方程模型,可以对调洪过程中的随机现象和规律进行数学描述和分析,可以正确地综合各种随机输人过程和随机初始条件对泄洪风险率的影响, 为经济合理地选择大坝泄洪建筑物规模和调度运行方式, 提供科学的依据。 传统的确定性调洪演算方法，根据的是简单的水库蓄量平衡关系，建立有如下的微分方程： （1） 若令/()d d h G h ω=,并加入初始条件,则有： （2） 式中，h(t)为库水位，h 0为初始库水位，Q(t)为调洪过程任一时刻的来洪 流量，q(h,c)为相应时刻的泄洪流量，在泄洪建筑物规模确定的情况下，可表述为h 和流量系数等水力参数c 的函数，w(h)为水库的库容量。上述的各函数均

随机微分方程在数理金融中的应用硕士学位

随机微分方程在数理金融中的应用硕士学位

摘要 复杂数据主要表现在相依、非线性、维数高与不完全观测等，在股市、基因序列和经济等领域中经常出现。为解决巨型数据集合问题，数据挖掘的理论、方法和技术已应运而生。而针对诸如怎样同时检验成千上万个基因中哪些基因的表达水平有显著性差异之类的高维统计推断问题，以错误发现率为主要特征的非参数估计方法无疑为其提供了一个有效的解决途径。 本文主要研究考察错误发现率的在各种参数模型和非参数模型下的控制检验方法，全文共分为四章。文章首先介绍了所选取课题的背景和意义，以及国内外在该方向的研究现状。在多重假设检验的背景下，给出了错误发现率的定义，提出利用p值进行假设检验，并在假设检验独立和相依的情形下对错误发现率的控制方法进行了探讨。在研究错误发现率的控制方法时，发现在处理多重假设检验问题时，核心的问题是如何估计真实零假设的个数，因此本文采用经验贝叶斯估计来估计它的值。在参数混合模型和非参数混合模型中研究真实零假设的估计问题是本文的核心内容。针对正态混合分布模型和Beta混合分布模型两种参数混合模型，文章采用矩估计方法和基于p值的最小二乘估计方法进行研究；在研究非参数混合模型时，分别介绍了最小二乘估计方法、Beta分布拟合模型和Beinstein多项式拟合模型的方法。文章的最后以Hedenfalk报告的一组乳腺癌患者的基因数据为例进行仿真研究，发现错误发现率为微阵列数据的多重假设检验提供了合适的错误控制指标。 关键词：错误发现率；多重假设检验；p值；非参数估计；微阵列数据

Abstract Complex data always appear in the stock market, gene sequences, economic and other fields, which mainly show the characteristic of dependent, nonlinear, high dimension and incomplete observations. In order to solve the problem of huge data collection, the theories, methods and techniques of data mining are proposed. While how to examine the high-dimensional statistical inference problem, such as the significant differences of expression levels in thousands of genes, the non-parametric estimation of false discovery rate provide an effective solution. This paper mainly investigate the test method based on the false discovery rate of various parametric model and non-parametric model, which is divided into four chapters. Firstly, this paper introduce the background and significance of the topic, and the current studies in this direction at home and abroad. Under the background of multiple hypotheses testing, the paper describe the definition of the false discovery rate, propose using the p-value to test the hypothesis testing, and discuss the controlling method of the false discovery rate when the hypotheses testing is independent or dependent. When we investigate the controlling method of the false discovery rate and studied the multiple hypothesis testing problem, we find that the central problem is how to estimate the number of true null hypothesis, so this paper use the empirical Bayes estimation to estimate its value. Investigating the estimation of true null hypothesis in the mixing parametric model and non-parametric model is core of the dissertation. Aiming at the mixed normal distribution model and Beta mixture distribution model, This paper use the method of moment estimation and least squares estimation method based on the p-value to estimate its value; On studying the non-parametric mixture model, the paper introduce the least square estimation method, Beta distribution fitting model method and the Beinstein polynomial fitting model method. Finally, the paper conduct the simulation research based on a group of patients with breast cancer gene data by Hedenfalk, and find that the false discovery rate is able to provide a suitable error control targets for the multiple hypothesis testing of microarray data.

常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析

常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析 (function() { var s = "_" + Math.random().toString(36).slice(2); document.write(''); (window.slotbydup = window.slotbydup || []).push({ id: "u3686515", container: s }); })(); [摘要] 期权是一类重要的金融衍生产品，它赋予持有者的是一种买权或卖权，

而并非义务，所以期权持有者可以选择行使权利，也可以放弃行权。那么，如何对期权定价才能对期权的发行者、持有者双方更加合理？于是就产生了期权的定价问题。在现代金融理论中，期权定价已经成为其重要的组成部分，关于对期权定价模型的研究成果也是层出不穷，文章主要介绍在连续时间下常用的三种期权定价模型：Black-Scholes模型、 Ornstein-Ulhenbeck过程模型以及跳跃-扩散模型，并对这三种模型作简要的对比分析。 [关键词] Black-Scholes期权定价模型；Ornstein-Ulhenbeck过程的期权定价模型；跳跃-扩散过程的期权定价模型；风险中性定价 doi ：10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 23. 050 [中图分类号] F830.9 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2018）23- 0117- 04 1 Black-Scholes期权定价模型 1970年初，美国经济学家布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发现无支付红利的股票的衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解，并得到了欧式看涨、看跌期权的价格。该理论被视为期权定价史上的丰碑，为此，斯科尔斯

随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍

文章编号：１００９－１１３０（２００７）０４－００３５－０４ 随机微分方程２种数值方法的稳定性分析 邱妍，朱永忠 （河海大学理学院，江苏南京２１００９８） 摘要：给出了求解随机微分方程的２种数值方法：有限差分法和向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法，基于随机微分方程的试验方程分析讨论了２种数值方法的均方稳定性和Ａ!稳定性，得到了相应的稳定性条件和稳定域．最后应用ＭａｔＬａｂ进行模拟演示，模拟演示结果表明，有限差分法和向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法都全局一阶强收敛于随机微分方程的求解过程，并且验证了均方稳定理论的正确性． 关键词：随机微分方程；均方稳定；Ａ!稳定；向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法；有限差分法 中图分类号：Ｏ２４１．８文献标识码：Ａ 收稿日期：２００７－０６－１９ 作者简介：邱妍（１９８４－），女，江苏扬州人，硕士研究生，应用数学专业． 随机微分方程是针对物理、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其理论研究和实际应用均取得了丰富而又成熟的成果．但在多数情况下随机微分方程与常微分方程类似，其解析解不易求出，因此，构造有效的数值方法进行数值求解显得十分重要．近２０年来，随机微分方程数值计算方法不仅作为随机分析、微分方程数值分析的交叉研究方向得到了高度重视和发展，而且在自然科学以及工程领域得到了广泛的应用，但随机变量的存在给数值方法的构造和各种性质的研究带来了一定的难度．本文中作者在Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法的基础上建立有限差分格式，讨论了向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法［１］和有限差分法的均方稳定性和Ａ!稳定性． １求解随机微分方程的２种数值方法 考虑如下标量自治初值问题： ｄＸ（ｔ）＝ｆ（Ｘ（ｔ））ｄｔ＋ｇ（Ｘ（ｔ））ｄＷ（ｔ）Ｘ（０）＝Ｘ０ｔ∈［０，Ｔ"］（１） 式中：参数ｔ表示时间；指标集Ｔ是一个有限或无限区间，通常取为实轴或实轴上的一个区间；ｆ（Ｘ）和ｇ（Ｘ）是区间［０，Ｔ］上的连续可测函数，分别称为偏移系数和扩散系数；Ｗ（ｔ）为标准Ｗｉｅｎｅｒ过程，其增量"Ｗ（ｔ）＝Ｗ（ｔ＋ｈ）－Ｗ（ｔ），ｔ＋ｈ∈［０，Ｔ］，若步长ｈ充分小，则ΔＷ（ｔ）的均值和方差分别为 Ｅ"Ｗ（ｔ"# ）＝０，Ｅ［"Ｗ（ｔ）］"$２＝ｈ为讨论２种数值方法的均方稳定性和Ａ!稳定性，给出式（１）的２类试验方程，即 ｄＸ（ｔ）＝!Ｘ（ｔ）ｄｔ＋"Ｘ（ｔ）ｄＷ（ｔ） （２）ｄＸ（ｔ）＝!Ｘ（ｔ）ｄｔ＋#ｄＷ（ｔ） （３） 式中：!，"，#是常系数． 对于求解随机微分方程的数值方法，１９７４年，Ｍｉｌｓｔｅｉｎ给出了以下差分格式［２］：Ｘｎ＋１＝Ｘｎ＋ｆ（Ｘｎ）ｈ＋ｇ（Ｘｎ）"Ｗｎ＋１２ ［ｇ′ｇ］（Ｘｎ）［（"Ｗｎ）２－ｈ］ｎ＝０，１，…（４）并证明了该方法在均方意义下的收敛阶为Ｏ（ｈ）．本文在此基础上给出了２种数值方法：第１种为向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法，即将式（４）中偏移系数变为隐式；第２种为有限差分法，即将式（４）中的微分用有限差分代替．有限差分法是十分有用的，因为在通常情况下用式（４）求解随机微分方程（１）时需要对其中的ｇ（Ｘｎ）求导，若ｇ（Ｘｎ）的值是由试验得出的具体数据，则无法进行求导计算，而采用有限差分法将微分转化为差分，避免 第２１卷第４期２００７年１２月Ｖｏ１．２１Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．２００７河海大学常州分校学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＯＨＡＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＣＨＡＮＧＺＨＯＵ

。随机微分方程的数值解读后感

随机微分方程的数值模拟算法的读后感 本文主要分为九个部分，对随机微分方程的数值模拟进行了介绍。这篇文章建立在MATLAB程序的基础上，主要包过随机积分、欧拉—丸山法、米尔斯坦法，强弱收敛性、线性稳定性，随机链法则。 第一部介绍了随机微分方程的应用领域，研究需要的背景知识，以及下面几部分的研究你内容和参考文献介绍。 第二部分介绍了布朗运动和计算布朗路径。首先规定了满足布朗运动的三个条件；然后用随机号码发生器通过for循环或randn(1.N)创建一维数组来模拟布朗路径；最后找出通过1000点布朗路径的函数，并与五个独立路径对比。同时也为下面的研究作铺垫。 第三部分我们验证了关于布朗运动的积分并说明了与Ito积分与斯特拉托诺维奇积分的不同点。我们通过两种黎曼和来类比的得到ito积分和斯特拉托诺维奇积分。同时也给出了他们两个的区别，最后给出精确估计随机积分的办法。 第四部分叙述了欧拉—丸山法怎样模拟随机微分方程的。首先引入自治标量的随机微分方程的积分式，通过变形，变量的重新定义得到EM法的表达式。后来通过一个在金融数学中资产价值的模型——毕苏期机定价模式的偏微分方程来进一步说明。 第五部分介绍了强弱收敛性概念，在数值上证明了欧拉—丸山的收敛区间[0.5,1]. 第六部分通过研究米尔斯坦方法来校正欧拉—丸山的收敛性，使强收敛性为1。从第一部分我们知道欧拉—丸山的收敛性为1时才起决定性作用，但是前面满足条件的值是0.5。这一部分就通过米尔斯坦高阶法用在随机增量增加修正值的办法使收敛性为1。 第七部分介绍两种不同的线性稳定性，进而强调随机分析不同与基本定积分。稳定性部分理论是依据变量趋于无穷条件子啊拟合的数值结果，这种数值方法应用于一些定性描述的问题上的，这种方法重现部分性质的能力也是可以分析的。关于稳定性的度量这里只考虑两种，均方数和渐进性。我们通过matlab编程改变参数值和步长来观察均方稳定性和渐进稳定性，最后得到参数和步长变化所对应的不同稳定性的区域。 第八部分引出并证明随机链法则。在第三部分我们发现不只是一种办法可以对随机函数的积分的扩展，这种办法有点像黎曼积分的链式法则，然后对以前的式子进行改进，然后通过matlab编程实现。 第九部分对重要结论简要的叙述。同时指出了一些不足，如没有讨论许多额外的条件，仅仅为了能产生我一定结果，没有提及到随机微分方程和有时间决定的偏微分方程之间的联系，没有注意到标量问题等。 通过这篇文章的学习使我对随机过程有了一定了解，对matlab软件有了更深的认识。同时通过查阅专业数学字典和相关文献使我对专业英文论文的阅读能力有一定的提高。我相信一个暑假的努力对我以后研究生的会有很大的帮助的。 朱园珠 2011年9月1日

倒向随机微分方程的理论_发展及其应用_周少甫

应用数学 M ATHE M ATIC A APP LIC AT A 2002,15(2):9～13 倒向随机微分方程的理论、发展及其应用 Ξ 周少甫1,黄志远2,张子刚3 (1.华中科技大学经济学院,湖北武汉430074;2.华中科技大学数学系,湖北武汉430074;3.华中科技大学管理学院;湖北武汉430074) 摘要:本文全面综述了倒向随机微分方程理论的出现、发展、应用及研究现状,介绍了 作者博士论文的主要工作. 关键词:金融数学;倒向随机微分方程;随机微分效用;正—倒向随机微分方程 中图分类号:O211.63 AMS(2000)主题分类:60H30 文献标识码:A 文章编号:100129847(2002)022******* 一般认为金融学从一门描述性的科学向金融数学的转变始于Harry Markowitz[1]在1952年的开创性工作,他为现代有价证券的组合理论奠定了基础,他的理论引发了所谓的第一次“华尔街革命”.许多学者进一步发展了他的理论.下一步重要的发展是1964年Sharpe[2]和1965年Lintner[3]提出的资本资产定价模型(C APM)及1976年R oss[4]把C APM模型扩展成套利定价模型(APT).1973年,Fisher Black和Myron Schole[5]发展了“期权及公司债务的定价”,提出了第一个完整的期权定价模型.同一年,R obert Merton[6]发表了“计算期权合理价格的理论”.这些里程碑式的成果,引发了第二次“华尔街革命”,在理论和实践中都有特别重要的意义.Fisher Black和Myron Schole的期权定价模型提出之后,金融数学以前所未有的的速度发展.许多现代的数学工具,如随机微积分[7,8,9],鞅方法,凸分析[10],随机最优控制,多元统计分析,数学规划[11,12],现代计算方法等在金融理论与实践中起着关键作用.许多经济学家和数学家都为金融数学的发展作出了贡献.他们中的佼佼者不少已先后获得了诺贝尔经济学奖。金融数学的发展,也促进了一类新的随机微分方程理论———倒向随机微分方程的出现,发展和逐步完善. 倒向随机微分方程理论研究的历史较短,但进展却很迅速,除了其理论本身所具有的有趣数学性质之外,还发现了重要的应用前景.1973年,法国数学家Bismut[13]在研究随机最优控制时,研究了线性BS DE的适应解。而一般形式的非线性倒向随机微分方程: d X(t)=b(t,X(t)d t+σ(t,X)d W(t), (1) X(T)=X,0≤t≤T. 实际上是伊藤随机微分方程初值问题的反向问题,即终值问题,在金融理论中,递归效用,微分 Ξ收稿日期:2001212205 基金项目:国家自然科学基金项目(70071011) 作者简介:周少甫(19632),男,汉,华中科技大学管理学院博士后,副教授,研究方向:随机过程.

随机微分方程在图像恢复中的应用

随机微分方程在图像恢复中的应用 图像在传送、保存、应用过程中受实际因素影响时，会出现图像不清晰的现象。但是在实际应用中，我们需要辨识度高和清晰程度高的图像，因此需要对不清晰图像恢复方法进行研究。在图像恢复模型中，偏微分方程的模型居多，利用费曼一卡茨公式可以建立偏微分方程与随机微分方程的关系，所以文章采取随机微分方程对图像进行恢复。 标签：随机微分方程；热方程；灰度图像 一、引言 图像是指各种图形和影像的总称。在传送、保存、应用图像过程中受实际因素影响，就会出现图像不清晰的现象。但在实际生活中，人们希望能够得到高质量的图像，因此有必要对图像复原领域进行研究，从而在图像应用时得到高质量的图像。图像恢复包括很多方法，本文主要研究灰度图像的复原问题。 虽然在图像复原领域偏微分方程模型应用广泛，但在图像复原中应用偏微分方程模型仍有很多弊端，本文利用费曼—卡茨公式在偏微分方程与随机微分方程之间建立关系，以解决相关问题。本文用随机微分方程的方法对噪声图像进行滤波，使图像满足人们的需要。 二、噪声图像的数学模型 定义u：D→R2是初始采集的灰度图像，u0：D→R2是带有高斯噪声的图像（即传输过程中得到的不清晰图像），可以这样表示：u0=u+η，其中η代表高斯白噪声。图像复原问题等价于已知u0，以此为条件复原初始采集的灰度图像u。用随机微分方程构造的模型为图像复原提供一个新思路。 笔者利用费曼—卡茨公式在偏微分方程与随机微分方程之间建立关系，建立了随机微分方程模型。 三、随机微分方程模型的热方程解法 图像复原问题等价于对图像进行滤波，高斯滤波过程等价于求解热方程的初值解，利用费曼—卡茨公式构造图像复原模型，二维高斯函数与污染图像卷積的结果是图像复原之后的结果。定义X过程是反射型随机过程。可以用下式表示：

随机过程课程设计

《随机过程》 课程设计（论文） 题目: 连续马尔科夫过程的转移 概率及应用 学院：理学院 专业：数学与应用数学 班级：数学09-2班 学生姓名：姜德月 学生学号：2009026249 指导教师：蔡吉花 2011 年12 月20 日

目录 课程设计任务书--------------------------------------------------------------- I 摘要----------------------------------------------------------------------- II 第1章绪论-------------------------------------------------------------- - 1 - 第2章连续时间马尔可夫链基本理论----------------------------------------- - 2 - 2.1定义.................................................................................................................................... - 2 - 2.2转移概率 ........................................................................................................................... - 2 -第3章柯尔莫哥洛夫微分方程----------------------------------------------- - 3 - 3.1跳跃强度 ........................................................................................................................... - 3 - 3.2 Q矩阵 ............................................................................................................................ - 4 - 3.3柯尔莫哥洛夫向后方程 .................................................................................................. - 4 - 3.4柯尔莫哥洛夫向前方程 .................................................................................................. - 5 -第4章马尔可夫过程研究的问题的分析--------------------------------------- - 5 - 4.1连续参数随机游动问题 .................................................................................................. - 5 -第5章计算结果及程序---------------------------------------------------- - 6 - 第6章结论和展望------------------------------------------------------- - 16 - 参考文献----------------------------------------------------------------- - 16 - 评阅书------------------------------------------------------------- - 17 -