广东省2019届高考适应性考试理科数学试卷含答案

广东省2019届高考适应性考试

理科数学试卷

本试卷6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡

上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1． 已知集合{}

{}2

2|20,|log 2A x x x B x x =-->=≤，则A

B =

A ．(,1)(0,)-∞-+∞

B ．(2,4]

C ．(0,2)

D ．(1,4]-

2． 复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程260z z b -+=（b R ∈）的根，则b =

A

B ．13 C

D ．5

3． 曲线4()2x f x e x =--在点(0,

(0))f 处的切线方程是

A ．310x y ++=

B ．310x y +-=

C ．310x y -

+= D ． 310x y --=

4． 已知实数,x y 满足约束条件133x x y y x ≥??

+≤??≥-?

，则2z x y =-+的最小值为

A ．6-

B ．4-

C ．3-

D ．1-

5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为

A ．

932 B ．516

C ．38

D ．

7

16

6．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若

60NFR ∠=?，则NR =

A ．2

B

C ．

D ．3

7．直线x y 2=绕原点顺时针旋转45o 得到直线l ，若l 的倾斜角为α，则α2cos 的值为 A ．

10

10

8+ B ．

10

10

8- C ． 5

4

-

D ．

5

4 8．函数1

sin 1

x x e y x e +=?-的部分图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

9．平面四边形ABCD 中，AD AB ==

，CD CB ==且AD AB ⊥，现将△ABD

沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为

A ． 2

B ．

1

2

C

D ．

10．已知函数()2sin()1(0,)f x x ω?ω?π=+-><的一个零点是3

x π=

，6x π=-

是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是

A ． 51[3,3],36k k k Z ππππ-

+-+∈ B ． 71

[3,3],36

k k k Z ππππ-+-+∈ C ． 21[2,2],36k k k Z ππππ-

+-+∈ D ．

11

[2,2],36

k k k Z ππππ-+-+∈ 11．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之

一用于加工为芒果罐头。被加工为罐头的新芒果最多为1()f kg ，最少为2()f kg ，则下列坐标图最能准确描述1f 、2f 分别与n 的关系的是

12．若向量,,a b c 满足,0a b c ≠≠，且()()0c a c b -?-=，则

a b a b

c

++-

的最小值是

A

B ．

C ． 2

D ．

3

2

A

新芒果购进量

D

新芒果购进量

f

2

C

新芒果购进量

B

新芒果购进量

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．()5

1112??+

- ???

x x 的展开式中2x 的系数为 ． 14．已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log 3f x x x =-，则

(1)f -= ．

15．已知点,,,A B C D 在球O 的表面上，

且2,AB AC BC ===若三棱锥A BCD

-

的体积为

3

，球心O 恰好在棱AD 上，则这个球的表面积为 ． 16．如图，在矩形OABC 与扇形OCD 拼接而成的平面图形中，

3OA =，5AB =，π

6

COD ∠=

．点E 在弧CD 上，F 在AB 上，π

3

EOF ∠=

．设A

O F x ∠=，则当平面区域OECBF （阴影部份）的面积取到最大值时，cos x =__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n

S

，且11a =

，n a =（*

n N ∈，且2n ≥） （1）求数列

{}n a 的通项公式；

（2）证明：当2n ≥时，123

111

13232

n a a a na ++++<

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥F ABCD -中，底面ABCD 为边长是2的正方形,E ，G 分别是CD ，

AF 的中点，4AF =，FAE BAE ∠=∠，且二面角F AE B --的大小为90?．

（1）求证：AE BG ⊥；

（2）求二面角B AF E --的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知函数1()ln (0)x f x x a R a ax -=+

∈≠且，1

()(1)()x g x b x xe b R x

=---∈ （Ⅰ）讨论函数

()f x 的单调性；

（Ⅱ）当1=a 时,若关于x 的不等式

()()2f x g x +≤-恒成立,求实数b 的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为，且离心率为1

2

，圆

2222

:D x y a b +=+．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）点P 在圆D 上，F 为椭圆右焦点，

线段PF 与椭圆C 相交于Q ，若P F Q F λ=，

求λ的取值范围．

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．

22．【选修4—4：极坐标与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y α

α

=??

=+?（α为参数）．P 是曲线1

C 上的动点，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线3

π

θ=

（0ρ≥）与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)M ，求MAB ?的面积．

23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）

已知函数()23f x x m x m =--+()0m >． （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；

（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围．

广东省2019届高考适应性考试

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 40- 14. 3 15. 16π 16. 3

5

三、解答题

17.解：（1）由n a =，得1n n S S --=，即1

-=（2n ≥），

所以数列{}n S 1=

=为首项，以1为公差的等差数列，

1(1)1n n =+-?=，即2

n S n =， 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，

当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-； ……………6分

（2）当2n ≥时，

11111111()(21)(22)2(1)21n na n n n n n n n n

=<==-----， 所以

123

1111111111313

1(1)232223

1222

n a a a na n n n ++++

<+-+-++

-=-<- ……………12分

18.解：18.解：（1）证明：作GO AE ⊥于点O 连接BO ，

∵2AG AB ==，GAO BAO ∠=∠，AO AO =， ∴AOG AOB ?=?，∴90AOB AOG ∠=∠=?， 即GO AE ⊥，BO AE ⊥，又GO

AO O =，

∴AE ⊥平面OGB ，又GB ?平面OGB ，

∴AE BG ⊥. ………………5分 （2）∵平面AEF ⊥平面AEB ，平面

AEF

平面AEB AE =，

GO AE ⊥，∴GO ⊥平面AEB .

以点

O 为原点，OA ,OB ,OG 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系

O xyz -，

∵11

22

ABE S AB BC AE

BO ?=

??=?

,∴11

2222

BO

??=.

∴BO =

，即

GO AO =?=

∴

(55F -

，(5A ，(0,5B ，(0,0,5

G .

∴4(

FA =,2(BA =， 设平面ABF 的法向量(,,)m x y z =，

由00

m FA m BA ??=???=??，得0,0.x z x y ==令1y =，得(2,1,1)m = 由BO ⊥平面AEF ，易知5

(0,1,0)n OB =

=为平面AEF 的一个法向量. 设二面角B AF E --为θ，θ为锐角，则6

cos 6

m n m n

θ?=

=

?.………………12分 19.解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有2

2

5(1)9p p +-=

．解得2

3

p =或13p =（舍）．………………5分

20.解：（Ⅰ）11()ln f x x ax a =+- 22111

()(0)ax f x x x ax ax

-'∴=-=> …………1分

当0a <时，()0f x '∴>，()f x ∴在(0,)+∞单调递增； …………2分 当0a >时，由()0f x '>得：1x a >

；由()0f x '<得：1

0x a

<<， ()f x ∴在1(0,)a 单调递减，在1

(,)a

+∞单调递增 ……………………4分

综上：当0a <时，()f x 在(0,)+∞单调递增；

当0a >时，()f x 在1

(0,)a 单调递减，在1(,)a

+∞单调递增. ……………5分 （Ⅱ）由题意：当1a =时，不等式()()2f x g x +≤-，

即11

ln 1(1)2x x b x xe x x

+

-+---≤-

即ln 1

1x

x b e x x

-≤-

-在(0,)+∞恒成立， ……………6分 令ln 1()x

x h x e x x =--，则22221ln 1ln ()x x

x x e x h x e x x x

-+'=-+=，………7分

令2()ln x u x x e x =+，则2

1

()(2)0x

u x x x e x

'=++

>， ()u x ∴在(0,)+∞单调递增

又1u(1)e 0,u()ln 202

4

=>=

-<，

所以，()u x 有唯一零点0x （0112x <<） 所以，0()0u x =，即0

00

ln x x x e x =-

--------（※） ………………9分 当0(0,)x x ∈时，()0u x <即h ()0x '<，()h x 单调递减；

0(,)x x ∈+∞时，()0u x >即h ()0x '>，()h x 单调递增，

所以0()h x 为()h x 在定义域内的最小值. ……10分 令1()(1)2

x

k x xe x =<<则方程（※）等价于()(ln )k x k x =-

又易知()k x 单调递增，所以ln x x =-，1

x

e x

=

………………11分 所以，()h x 的最小值0

00000000

ln 111

()1x

x x h x e x x x x x -=-

-=--= 所以11b -≤，即2b ≤

所以实数b 的取值范围是(],2-∞ ………………12分

21.解（1

）由题可知222212b c a a b c

?=?

?=???=+?

，解得2b a ?=??=??C 的方程为22143x y +=；

（2）圆D ：2

27x

y +=，焦点(1,0)F ，设1100(,),(,)P x y Q x y ，

由PF QF λ=得1100(1,)(1,)x y x y λ--=--，（0λ>）， 所以1010

1x x y y λλλ=+-??

=?，由22

117x y +=，得2200(1)()7x y λλλ+-+=，

又2

200334y x =-

，代入整理得222001

2(1)42604

x x λλλλλ+-+--=， 此方程在[2,2]-上有解.

令22

21()2(1)4264

f x x x λλλλλ=

+-+--， 则2(2)966f λλ-=--，2(2)26f λλ=+-，2(106)λλ?=-，

若(2)0f -=

，则λ=

λ=（舍）， 若(2)0f =

，则1λ=-+

1λ=--，

若()0f x =在(2,2)-上有且仅有一个根，则(2)(2)0f f -?<，

1λ<<-+ 若()0f x =在(2,2)-上有两个根，则2(2)0(2)004(1)22

f f λλλ->??>??≥??

-?-<-

，解得5

13λ-+≤，

综上可得：λ

的取值范围是15

[

,]33

+.

22.解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为2

2(1)1x

y +-=，即2220x y y +-=，

因为cos ,sin x y ρθρθ==，故1C 的极坐标方程为2sin ρθ=， 设点(,)Q ρθ（0ρ≠），则(,)2P πρθ+

，代入1C 的极坐标方程得2sin()2

π

ρθ=+， 即2cos ρθ=（0ρ≠）； ………………………………………5分

（2）将3

π

θ=

代入1C ，2C

的极坐标方程得),(1,)33A B ππ，

又(4,0)M ，所以1sin 323MOA S OA OM π?=?=

，1sin 23

MOB S OB OM π

?=?=

所以3MAB MOA MOB S S S ???=-= (10)

分

23.解：（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ?

+ <-??

?

=--+=-- -≤≤??

-- >???

……………1分

因为()1f x ≥，所以3241x x ?<-???+≥?或者3

1

2

321

x x ?-≤≤???--≥?或者141x x >??--≥?…………………3分 解得：332x -≤<-

或者3

12

x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}

31x x -≤≤-. …………………………………5分 （2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于

()()max min 21f x t t <++-……………………………………………………………6分

因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()

min

21

3t t ++-=……………………………………………………………7分

因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ?

+ <-??

?

-- -≤≤??

-- >???

函数()f x 单增区间为3,2m ?

?-∞-

??

?，单间区减为3,2m ??

-

+∞ ???

， 所以当32m x =-

时，()max 3522m m

f x f ??=-=

???

……………………………………9分 所以

532

m

<， 所以实数m 的取值范围6

05

m <<

.……………………………………………………10分