利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短

你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律?

思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。

如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。

因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。

教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，使学生不仅获得数学

基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同

时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。

一、三角形中的轴对称

题目1： 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上的一动点,则EC+ED 的最小值是

__

点评：本题只要把点C 、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB 看成燃气管道a ，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

二、四边形中的轴对称

题目:2： 如图，正方形ABCD 的边长为8， M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的动点，则DN+MN 的最小值为多少

点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D 关于直线AC 的对称点正好是点B ，最小值为MB ＝10。

三、圆中的轴对称

A

C

第1题图

h

A B

第

4题图1 题目3：已知：如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。

点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B 的对称点B ′在圆上，AB ′交ON 于点p ′,由∠AON ﹦60°, ∠B ′ON ﹦30°，∠AOB ′﹦90°，半径长为1可得AB ′﹦2。当点P 运动到点p ′时，此时AP+BP 有最小值为2

四、立体图形中的轴对称

题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm ．

点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B 关于EH 的对称点B ′,作AC ⊥GH 于点C,连接A B ′。在Rt △A B ′C 中，AC ﹦16, B ′C ﹦12,求得A B ′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm 。 综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

E

F G

B ′

A C ·B

H

第4题图2

第3题图

11．(2015南宁）如图6，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，O

MAB 20=∠,

N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，若MN=1， 则PMN ?周长的最小值为（ ）

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

9．（2015资阳）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是

A ．13cm

B ．261cm

C ．61cm

D ．234cm

跟踪练习1： 如图7，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为_______________。

图7

3、变形3： 点A 的坐标为（0，2）点，点B 是半径为的⊙B 的圆心，点B 的坐标为（4，2），

请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ，使得AC+CD 最小，若存在，请你在图中作出点C 和点D ，并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值；若不存在请说明理由。

理解转化题意：点A 点B 在X 轴的同旁,作点A 关于x 轴的对称点E ，连结BE 交X 轴于点C, ，交⊙B 于点D ，点C 点D 即为所求。

解：作点A 关于x 轴的对称点E ，作直线BE 交x 轴于点C ，交⊙B 于点D ，连接AC ，则点C 、D 即为所求

∵A （0，2）∴E （0，-2） 设BE 的数学表达式为y=kx+b ，则

∴k=1

图6

P

O

N

M B

A

图5

∴y=x-2

∴C(2,0)

过点B作BG⊥x轴于点 G

则CG=4-2=2 BG=2

∴BC=2 BD=

∴CD=

∴AC+CD= 2+=3。

五、延伸拓展双重对称

24．（12分）（2015?德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

考

二次函数综合题．

点：

分

（1）利用根据与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案；析：

（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可；

（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．

解解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，

答：α+β=，αβ=﹣2，

∵=﹣2，

∴=﹣2，即=﹣2，

解得：m=1，

故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；

（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，

∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），

又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），

作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，

则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），

连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，

此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：

延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，

则D′E′===10，

设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

∴DE===2，

∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；

（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，

∴|y|=4，

∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，

解得：x3=2+，x4=2﹣，

故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键．

六、延伸拓展能力提高

22．（14分）（2015?日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交

x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在

点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每

秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的

坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少

考点：二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

专题：压轴题．

分析：

（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；

（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此

时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN．作点D关于AC的

对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，

DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．

解答：

解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得

，

解得：．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．

联立，

解得：或，

∴点B的坐标为（4，1）．

过点B作BH⊥x轴于H，如图1．

∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，

∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，

∴∠BCH=45°，BC=．

同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC===；

（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．

设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠ACB=90°．

若点G在点A的下方，

①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴==．

∴AG=3PG=3x．

则P（x，3﹣3x）．

把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得

x2﹣x+3=3﹣3x，

整理得：x2+x=0

解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．

②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得

整理得：x2﹣x=0

解得：x1=0（舍去），x2=，

∴P（，）；

若点G在点A的上方，

①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，

同理可得：点P的坐标为（11，36）．

②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：点P的坐标为P（，）．

综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．

在Rt△ANE中，EN=AE?sin45°=AE，即AE=EN，

∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．

作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，

则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，

∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

根据两点之间线段最短可得：

当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．

此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，

∴四边形OCD′N是矩形，

∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．

当y=0时，有x2﹣x+3=0，

解得：x1=2，x2=3．

∴D（2，0），OD=2，

∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，

∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，

∴点E的坐标为（2，1）．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1),要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析:如图２,我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点Ｍ，使AM与BＭ的和最小。设A′是Ａ的对称点,本问题也就是要使A′Ｍ与BＭ的和最小。在连接Ａ′Ｂ的线中,线段Ａ′B最短。因此,线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。 如图3，为了证明点Ｃ的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接ＡN、BN、Ａ′N。 因为直线ａ是Ａ,A′的对称轴,点M，N在a上，所以AＭ= A′M,AＮ= A′N。 ∴ＡM+BＭ= A′M+ＢM＝ A′Ｂ 在△A′BＮ中, ∵Ａ′Ｂ

轴对称求最短路径小专题

轴对称求最短路径
——从将军饮马说起
□教研讲义 ■随堂讲义 ■课下练习 □测验卷
前情回顾 例 1、唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说： “白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河． ”诗中隐含着一个 有趣的数学问题：著名的“将军饮马”问题，有一位将军骑着马要从 A 地走到 B 地，但途中要到水边喂马 喝一次水，则将军怎样走最近？ 你可以在 a 上找几个点试一试,能发现什么规律?
在相应的资料类型前涂黑
·B ·A
a
·B ·A
a
·B ·A
N a
·A′
图1
M
·A′
M
图2
图3
作图集中营
作图： （ 1 ） 在 直 线 l 上 求 作 一 点 P ， 使 PA+PB 最 小 ；
（ 2 ） 在 直 线 l 上 求 作 一 点 P ， 使 PA-PB 最 小 ．
（ 3 ） 在 直 线 l 上 求 作 一 点 P ， 使 PA-PB 最 大 ．
特殊三角形中的轴对称 1

例 2 、如 图 ，正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2 ， M 是 BC 边 上 的 中 点 ， P 是 AC 边 上 的 一 个 动 点 ，求 PB+PM 的最小值．
练一练
1 、 如 图 Rt △ ABC 中 ， AB=BC=4 ， D 为 BC 的 中 点 ， 在 AC 边 上 存 在 一 点 E ， 连 接 ED ， EB ， 求 △ BDE 周长的最小值
2 、 如 图 ， 已 知 AB=3 ， BC=7 ， CD=
． 且 AB ⊥ BC ， ∠ BCD=135 °． 点 M 是 线 段 BC 上 的 一 个 动 点 ，
连 接 AM 、 DM ． 点 M 在 运 动 过 程 中 ， 求当 AM+DM 的 值 最 小 时 ， BM 的 值
；
这题和之前的有什么不同
例 3 、 如 图 ， 已 知 ∠ AOB 的 大 小 为 α ， P 是 ∠ AOB 内 部 的 一 个 定 点 ， 且 OP=2 ， 点 E 、 F 分 别 是 OA 、 OB 上 的 动 点 ， 若 △ PEF 周 长 的 最 小 值 等 于 2 ， 求 α 的 度 数
作图集中营②
已 知 ：如 图 2 ，在 △ ABC 中 ，若 在 上 一 题 的 条 件 改 为 D 是 AB 上 一 定 点 ，在 BC 、 CA 、上 分 别 找 一 点
2

第4讲 利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识·轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点·轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？ （2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．

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利用轴对称求最短距离问题 基本题引入：如图（1）,要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加 油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 使AM与BM的和最小。设A'是A的对称点，本问题也就是要使A M与BM的和最小。在连 接A B的线中，线段A B最短。因此，线段 A B与直线a的交点C的位置即为所求。 如图3,为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN BN A No 因为直线a是A A'的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A M,AN= A N。 ??? AM+BM= A M+BM= A B 在厶A BN中， ?/ A B< A N+BN ? AM+B< AN+BN 即AM+BMt小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道 中考题解决了。思路如下：②??? BC= 9 （定值），?△ PBC的周长最小，就是PB+ PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A,显然当P、A B三点共线时PB+ PA最小?此时DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90°,得厶DAF^A ABC. EF// BC, 1 15 9 得AE= BE= AB= , EF= . ? AF： BC= AD：AB, 即卩 6 : 9 = AD：15. ? AD= 10. Rt△ ADF 2 2 2 9 25 25 中，AD= 10, AF= 6,「. DF= 8. ? DE= DF+ FE= 8+ =一. ???当x = 时，△ PBC的周长 2 2 2

八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年解答题版

八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年解答题版 答案解析答案解析答案解析 2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_轴对称的应用-最短距离问题练习题 1. (2019洛阳.八上期中) 如图，在等边△ABC 中，AB ＝4，角BAC 的平分线交BC 于点D ，M 为AB 边中点，N 是AD 上的动点. ①在图上作出使得BN+MN 的和最小时点N 的位置，并说明理由. ②求出BN+MN 的最小值.（提示：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有AC +BC ＝AB 成立） 考点： 等边三角形的性质;勾股定理;轴对称的应用-最短距离问题 ;2. (2018徐州.八上期末) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x 的图象为直线l ． （1） 观察与探究 已知点A 与A′，点B 与B′分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出C （4，﹣1）关于线l 的对称点C′的位置，并写出C′的坐标 （2） 归纳与发现 观察以上三组对称点的坐标，你会发现： 平面直角坐标系中点P （a ，b ）关于直线l 的对称点P′的坐标为； （3） 运用与拓展 已知两点M （﹣3，3）、N （﹣4，﹣1），试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到M 、N 两点的距离之和最小，并求出相应的最小值． 考点： 轴对称的应用-最短距离问题;3. (2017海勃湾.八上期末) 如图，∠AOB 的内部有一点P ，在射线OA ，OB 边上各取一点P ， P ， 使得△ PP P 的周长最小，作出点P ， P ， 叙述作图过程（作法），保留作图痕迹． 考点： 轴对称的应用-最短距离问题;222121212

(完整版)利用轴对称求最短距离[1]

最短路径问题——和最小 【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小． l B A 【方法归纳】 ①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求． l A l ②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求． l B A l ③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点 C ， D 即为所求． O B O B ④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．

B O B O ⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求． l l ⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝1 4x 2）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求． 1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．

第十三章轴对称13.4最短路径问题(练习)

第十三章轴对称 13.4 最短路径问题（练习） 精选练习 一、单选题（共10小题） 1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停 靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（） A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间

【答案】A 【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程 之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米）， ④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的 和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500， ⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B 的路程最短的是( ) A．

2013中考数学求最短距离大全含答案

2013求最短距离问题大全 一、填空题（共6小题） 1、边长为2的正方形的顶点A到其内切圆周上的最远距离是_________，最短距离是_________． 2、已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为_________cm． 3、（2011?广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离 为5cm，则弦AB的长为_________． 4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D为SB上一点，且SD=，则点A沿圆锥表 面到D点的最短距离为_________． 5、如图，P为半圆直径AB上一动点，C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，若AB=2，则PC+PD的最短距离为_________． 6、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_________米． 二、解答题（共4小题） 7、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为多少？ 8、己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？

10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP． 三、选择题（共4小题） 11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（） A、4 B、8 C、10 D、5 12、（2003?贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（） A、B、 C、D、 13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（） A、12 B、4π C、D、 14、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题 欧阳学文 基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A′是A 的对称点，本问题也就是要使A′M 与BM 的和最小。在连接A′B 的线中，线段A′B 最短。因此，线段A′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A′N。

因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。 ∴AM+BM= A′M+BM= A′B 在△A′BN中， ∵A′B＜A′N+BN ∴AM+BM＜AN+BN 即AM+BM最小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB ＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD ＝10. Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF ＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长最小，y值略。

八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练

八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，从A 到B 最短的路线是（ ） A ．A G E B --- B ．A C E B --- C ．A F E B --- D ．A D G E B ---- 2．如图，点A ，B 在直线l 的同侧，若要用尺规在直线l 上确定一点P ，使得AP+BP 最短，则下列作图正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知30AOB ∠=?，点P 在AOB ∠的内部，8OP =，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使OMN ?的周长最短，则PMN ?周长的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 4．如图，点P 是直线a 外一点，PB ⊥a ，点A ，B ，C ，D 都在直线a 上，下列线段中最短的是( )

A ．PA B ．PB C ．PC D ．PD 5．已知M （3，2），N （1，－1），点P 在 轴上，且PM ＋PN 最短，则点P 的坐标是（ ） A ．（0，12） B ．（0，0） C ．（0，116） D ．（0，14 -） 二、填空题 6．如图，要从村庄P 修一条连接公路l 的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________． 7．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为2cm ，面积是6cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ．若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最短为____________cm ． 8．若ABC △中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，且最长边为10cm ，则最短边长为______cm . 三、解答题 9．如图，已知ABC ，请你用尺规在AB 边上找一点D ，使得CD 的长度最短． 10．在△ABC 中，已知∠A= 12∠B=13 ∠C，它的最长边是8 cm ，求它的最短边的长. 11．如图

轴对称最短路径问题

优学小班——提分更快、针对更强、时效更高 名师堂学校优学小班讲义 轴对称——最短路径问题 现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活? 数学”, “活动? 思考”为主线展开课程内容，注 重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马 问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型 做一个简单的归纳。 例1．如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若 点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？ 分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接 A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和 A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值． A′B=1000米． 故最短距离是1000米． 例2．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求： 最短距离EP+BP． 分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B，动点P所在有直线作为对称轴相当于例1 中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD 成立；所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位 置 例3．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线 OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短． 名师堂校区地址：南充咨询电话：

分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点． 分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短． 例４．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？ 分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接 转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问 题解答． 这就是“造桥选址问题” 解：作AF⊥CD，且AF=河宽， 作BG⊥CE，且BG=河宽， 连接GF，与河岸相交于E′、D′． 作DD′、EE′即为桥． 证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形， 于是AD=FD′， 同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，GF最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短． 例５．（2008?内江）如图，当四边形PABN的周长最小时，a= 。。 分析：因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．再求a的值． 此题中的PN就相当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平行四边形和轴对称将折线转之和最短转化为两点之间线段最短．

巧借轴对称求最短距离

a b A B M D C 图 6 a b P M 图5 l B 图1 A 巧借轴对称求最短距离 大家知道“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题. 例1如图1，公路l 两旁有两工厂A 、B ，现要在公路上建一仓库. ⑴若要使仓库到A 、B 两工厂的距离相等，仓库应建在何处？ ⑵若要使仓库到A 、B 两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？ 分析：⑴线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”可知仓库应建在AB 的垂直平分线上，又因为仓库在公路上，所以AB 的垂直平分线与公路l 的交点即为仓库应建的地点. ⑵ 如果A 、B 两点在直线l 的两侧，那么连接AB 与l 的交点即为所求，由于现在A 、B 两点在l 的同侧，因此可考虑作A （或B ）点关于l 的对称点C ，由轴对称的性质可知，直线l 上任意一点到A 、C 的距离相等，这样就把直线l 上一点到点A 的距离转化为到点C 的距离，因此连接CB 与l 的交点即为所求. 解：⑴如图2，作AB 的垂直平分线交l 于点P ，点P 就是所要求作的仓库的位置. ⑵如图3，作点A 关于l 的对称点C ，连接AC 交l 于点D ，点D 就是所要求作的仓库的位置. 例2如图4，已知牧马营地在点M 处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水. ⑴求到河边饮水的最短路线. ⑵如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图. 分析：这是一道实际问题，从中抽象出数学问题是解题的首要. ⑴可抽象为点M 到直 图4 P l B 图2 A C A D l B 图3 A

第4讲--利用轴对称破解最短路径问题

第4讲--利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识·轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点·轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到

有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？ （2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点， ∴PB=PB′，∵AB′ =AP+PB′， ∴AB′=AP+PB． （2）如图：连接AN，BN， B′N， ∵AB′=AP+PB， ∴AN+NB=AN+NB′＞AB′， ∴AN+NB＞AP+PB．

利用轴对称求最短距离

利用轴对称求最短距离 轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最短距离问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最短距离问题呢？根据本人多年从事初三数学教学工作的一些体会。概括一些一些常见的题型。 一、基础知识 如图直线l 同侧有两点A 、B ，在直线l 上找点P ，使得PA+PB 最短，并简要说明理由。解：作点关于直线l 的对称点A ′，连A ′B 交直线l 于点P,则点P 即为所求，此时PA+PB=PA ′+PB= A ′B 。 A 1 二、典型例题： A 组（1）以菱形为载体的最短距离问题： 如图所示，菱形ABCD 中， ∠ BAD=60°，AB=4，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PM+PB 的最小值是_________。 解：∵菱形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。 ∴点B 关于直线AC 的对称点为点D, A B L P

连接DM 交AC 于点P,则PM+PB 的最小值即为线段DM,此时DM=32 ∴PM+PM 的最小值为32. （2）以矩形为载体求最短距离问题 在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为为边CD 中点。P 为边BC 上的任一点，求PA+EP 的最小值。 解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连A ′E 交BC 于点P,则点P 为所求，此时PA+PE 的最小值即为A ′E, 过点E ，作EF ⊥AB ， A ′E=2243 =5 ∴PA+PE 的最小值为5。 M A A 1 E D

中考数学压轴题专项汇编专题轴对称之最短路径

专题6 轴对称之最短路径 破解策略 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题．常见的题型有： 1．已知：在直线l 同恻有A ．B 两点，在l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小． 作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结A 'B ，与直线，的交点就是点P 2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小 作法：如图，连结，作线段的垂甫平分线．与直线l 的交点就是点P 3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大 作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P A B l B A P l A B l A B l P A B l l A B P

4．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点．在l 上找两点C ，D （其中CD 的长度固定，等于 所给线段d ），使得AC ＋CD ＋DB 最小， 作法：如图，先将点A 向右平移口个单位长度到点A '，作A '关于直线l 的对称点A "， 连结A "B ，与直线l 的交点就是点D ．连结A 'D ，过点A 作AC ∥A 'D ，交直线l 于点C ．则 此时AC '＋CD ＋DB 最小． 5．已知：在∠MON 内有一点P ，在边ON ，OM 上分别找点Q ，R ，使得PQ ＋QR ＋RP 最小． 作法：如图，分别作点P 关于射线OM 的对称点P '，P "，连结P 'P "，与射线ON ， OM 的交点就是点Q ，R ． 6．已知：在∠MON 内有一点P ，在边OM ，ON 上分别找点R ，Q ．使得PR ＋QR 最小 A l a l N N

利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4 讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识?轻松学 与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点?轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P. （1）AB与AP+PB相等吗为什么 （2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离 问题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律 思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。

教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。 一、三角形中的轴对称 题目1： 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上的一动点,则EC+ED 的最小值是 __ 点评：本题只要把点C 、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB 看成燃气管道a ，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。 二、四边形中的轴对称 题目:2： 如图，正方形ABCD 的边长为8， M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的动点，则DN+MN 的最小值为多少 点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D 关于直线AC 的对称点正好是点B ，最小值为MB ＝10。 A C 第1题图

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离 问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律 思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC ＝9（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋

PC 最小.由题意可知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋PA 最小.此时DP ＝DE ，PB ＋PA ＝AB.由∠ADF ＝∠FAE ，∠DFA ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC. EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝ 12AB ＝152，EF ＝9 2 .∴AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15.∴AD ＝10. Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8.∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝25 2 .∴当 x ＝25 2时，△PBC 的周长最小， y 值略。 数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。 一、 两条直线间的对称 题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A 出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。 点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A 作a1的对称点A ′，作a2的对称点A 〞,连接A ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A ′A 〞。 ∠ACB=90°,D 是的最小值是 __ A C

轴对称——最短路径问题精编版

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中考数学复习：轴对称之最短路径

中考数学复习：轴对称之最短路径 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题．常见的题型有： 1．已知：在直线l 同恻有A ． l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小． 作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结A 'B ，与直线，的交点就是点P 2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小 l 的交点就是点P 3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大 作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P A l A ' A l l A l

4．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点．在l 上找两点C ，D （其中CD 的长度固定，等于 所给线段d ），使得AC ＋CD ＋DB 最小， 作法：如图，先将点A 向右平移口个单位长度到点A '，作A '关于直线l 的对称点A "， 连结A "B ，与直线l 的交点就是点D ．连结A 'D ，过点A 作AC ∥A 'D ，交直线l 于点C ．则 此时AC '＋CD ＋DB 最小． 5．已知：在∠MON 内有一点P ，在边ON ，OM 上分别找点Q ，R ，使得PQ ＋QR ＋RP 最小． 作法：如图，分别作点P 关于射线OM 的对称点P '，P "，连结P 'P "，与射线ON ， OM 的交点就是点Q ，R ． 6．已知：在∠MON 内有一点P ，在边OM ，ON 上分别找点R ，Q ．使得PR ＋QR 最小 作法：如图，作点P 关于射线OM 的对称点P '，作P 'Q ⊥ON ，垂足为Q ，P 'Q 与射线ON 的交点就是R ． A l a l N N

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a a ·A ·B 图 ·A ·B a ·A ′ M 图·A ·B a ·A ′ M N 图

上，所以AM= A′M,AN= A′N。 ∴AM+BM= A′M+BM= A′B 在△A′BN中， ∵A′B＜A′N+BN ∴AM+BM＜AN+BN 即AM+BM最小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB ＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝1 2 AB ＝15 2，EF＝9 2 .∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶ 15.∴AD＝10. Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴ DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋9 2＝25 2 .∴当x＝25 2 时， △PBC的周长最小， y值略。 数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织