利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

基本题引入:如图(1),要在公路道a 上修建一个加油站,有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方,可使两人到加油站的总路程最短

你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律?

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思路分析:如图2,我们可以把公路a 近似看成一条直线,问题就是要在a 上找一点M ,使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点,本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中,线段A ′B 最短。因此,线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。

如图3,为了证明点C 的位置即为所求,我们不妨在直线a 上另外任取一点N ,连接AN 、BN 、A ′N 。

因为直线a 是A ,A ′的对称轴,点M,N 在a 上,所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中, ∵A ′B <A ′N+BN ∴AM+BM <AN+BN 即AM+BM 最小。

教师要充分关注学生的学习过程,遵循学生认知规律,使学生不仅获得数学

基础知识、基本技能,更要获得数学思想和观念,形成良好的数学思维品质。同

时每年的中考题也千变万化,为了提高学生的应对能力,除了进行专题训练外,还要多归纳多总结,将一类问题集中呈现给学生。

一、三角形中的轴对称

题目1: 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上的一动点,则EC+ED 的最小值是

__

点评:本题只要把点C 、D 看成基本题中的A、B两镇,把线段AB 看成燃气管道a ,问题就可以迎刃而解了,本题只是改变了题目背景,所考察的知识点并没有改变。

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二、四边形中的轴对称

题目:2: 如图,正方形ABCD 的边长为8, M 在DC 上,且DM=2,N 是AC 上的动点,则DN+MN 的最小值为多少

点评:此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质,点D 关于直线AC 的对称点正好是点B ,最小值为MB =10。

利用轴对称求最短距离问题

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三、圆中的轴对称

A

C

第1题图

利用轴对称求最短距离问题

h

A B

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4题图1 题目3:已知:如图,已知点A 是⊙O 上的一个六等分点,点B 是弧AN 的中点,点P 是半径ON 上的动点,若⊙O 的半径长为1,求AP+BP 的最小值。

点评:这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B 的对称点B ′在圆上,AB ′交ON 于点p ′,由∠AON ﹦60°, ∠B ′ON ﹦30°,∠AOB ′﹦90°,半径长为1可得AB ′﹦2。当点P 运动到点p ′时,此时AP+BP 有最小值为2

四、立体图形中的轴对称

题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒,一只蚂蚁在盒外表面的A 处,它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物,已知盒高h =10cm ,底面圆的周长为32cm ,A 距离下底面3cm .请你帮小蚂蚁算一算,为了吃到食物,它爬行的最短路程为 cm .

点评:如图2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决,将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B 关于EH 的对称点B ′,作AC ⊥GH 于点C,连接A B ′。在Rt △A B ′C 中,AC ﹦16, B ′C ﹦12,求得A B ′﹦20,则蚂蚁爬行的最短路程为20cm 。 综上所述,引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上,进行科学的变式训练,对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是,变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维,进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力,有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

E

F G

B ′

A C ·B

H

第4题图2

第3题图

11.(2015南宁)如图6,AB 是⊙O 的直径,AB=8,点M 在⊙O 上,O

MAB 20=∠,

N 是弧MB 的中点,P 是直径AB 上的一动点,若MN=1, 则PMN ?周长的最小值为( )

(A )4 (B )5 (C )6 (D )7

利用轴对称求最短距离问题

9.(2015资阳)如图5,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ,底面周长为10cm ,在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm 的点A 处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是

A .13cm

B .261cm

C .61cm

D .234cm

跟踪练习1: 如图7,已知点A 是半圆上一个三等分点,点B 是弧AN 的中点,点P 是半径ON 上的动点,若⊙O 的半径长为1,则AP+BP 的最小值为_______________。

图7

3、变形3: 点A 的坐标为(0,2)点,点B 是半径为的⊙B 的圆心,点B 的坐标为(4,2),

请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ,使得AC+CD 最小,若存在,请你在图中作出点C 和点D ,并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值;若不存在请说明理由。

理解转化题意:点A 点B 在X 轴的同旁,作点A 关于x 轴的对称点E ,连结BE 交X 轴于点C, ,交⊙B 于点D ,点C 点D 即为所求。

解:作点A 关于x 轴的对称点E ,作直线BE 交x 轴于点C ,交⊙B 于点D ,连接AC ,则点C 、D 即为所求

∵A (0,2)∴E (0,-2) 设BE 的数学表达式为y=kx+b ,则

∴k=1

图6

P

O

N

M B

A

图5

∴y=x-2

∴C(2,0)

过点B作BG⊥x轴于点 G

则CG=4-2=2 BG=2

∴BC=2 BD=

∴CD=

∴AC+CD= 2+=3。

五、延伸拓展双重对称

24.(12分)(2015?德州)已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0),B(β,0),且=﹣2,

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小若存在,请画出图形(保留作图痕迹),并求出周长的最小值;若不存在,请说明理由.

(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.

二次函数综合题.

点:

(1)利用根据与系数的关系得出α+β=,αβ=﹣2,进而代入求出m的值即可得出答案;析:

(2)利用轴对称求最短路线的方法,作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,得出四边形DNME的周长最小为:D′E′+DE,进而利用勾股定理求出即可;

(3)利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4,进而分别求出即可.

解解:(1)由题意可得:α,β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根,由根与系数的关系可得,

答:α+β=,αβ=﹣2,

∵=﹣2,

∴=﹣2,即=﹣2,

解得:m=1,

故抛物线解析式为:y=﹣x2+4x+2;

(2)存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,∵y=﹣x2+4x+2=﹣(x﹣2)2+6,

∴抛物线的对称轴l为x=2,顶点D的坐标为:(2,6),

又∵抛物线与y轴交点C的坐标为:(0,2),点E与点C关于l对称,∴E点坐标为:(4,2),

作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,

则D′的坐标为;(﹣2,6),E′坐标为:(4,﹣2),

连接D′E′,交x轴于M,交y轴于N,

此时,四边形DNME的周长最小为:D′E′+DE,如图1所示:

延长E′E,′D交于一点F,在Rt△D′E′F中,D′F=6,E′F=8,

则D′E′===10,

设对称轴l与CE交于点G,在Rt△DGE中,DG=4,EG=2,

∴DE===2,

∴四边形DNME的周长最小值为:10+2;

(3)如图2,P为抛物线上的点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,

若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,则△PHQ≌△DGE,∴PH=DG=4,

∴|y|=4,

∴当y=4时,﹣x2+4x+2=4,

解得:x1=2+,x2=2﹣,

当y=﹣4时,﹣x2+4x+2=﹣4,

解得:x3=2+,x4=2﹣,

故P点的坐标为;(2﹣,4),(2+,4),(2﹣,﹣4),(2+,﹣4).

点评:此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识,利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键.

六、延伸拓展能力提高

22.(14分)(2015?日照)如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A,B两点,交

x轴与D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:

(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在

点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;

若不存在,请说明理由.

(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每

秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的

坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少

考点:二次函数综合题;线段的性质:两点之间线段最短;矩形的判定与性质;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.

专题:压轴题.

分析:

(Ⅰ)只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n,就可得到抛物线的解析式,然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标,过点B作BH⊥x轴于H,如图1.易得∠BCH=∠ACO=45°,BC=,AC=3,从而得到∠ACB=90°,然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值;

(Ⅱ)(1)过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若点G在点A的下方,①当∠PAQ=∠CAB时,△PAQ∽△CAB.此

时可证得△PGA∽△BCA,根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x.则有P(x,3﹣3x),然后把P(x,3﹣3x)代入抛物线的解析式,就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时,△PAQ∽△CBA,同理,可求出点P的坐标;若点G在点A的上方,同理,可求出点P的坐标;(2)过点E作EN⊥y轴于N,如图3.易得AE=EN,则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN.作点D关于AC的

对称点D′,连接D′E,则有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,从而可得∠D′CD=90°,

DE+EN=D′E+EN.根据两点之间线段最短可得:当D′、E、N三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.此时可证到四边形OCD′N是矩形,从而有ND′=OC=3,ON=D′C=DC.然后求出点D的坐标,从而得到OD、ON、NE的值,即可得到点E的坐标.

解答:

解:(Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得

解得:.

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3.

联立,

解得:或,

∴点B的坐标为(4,1).

过点B作BH⊥x轴于H,如图1.

∵C(3,0),B(4,1),

∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4﹣3=1,

∴BH=CH=1.

∵∠BHC=90°,

∴∠BCH=45°,BC=.

同理:∠ACO=45°,AC=3,

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,

∴tan∠BAC===;

(Ⅱ)(1)存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似.过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.

设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x.

∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,

∴∠APQ=∠ACB=90°.

若点G在点A的下方,

①如图2①,当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB.

∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,

∴△PGA∽△BCA,

∴==.

∴AG=3PG=3x.

则P(x,3﹣3x).

把P(x,3﹣3x)代入y=x2﹣x+3,得

x2﹣x+3=3﹣3x,

整理得:x2+x=0

解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去).

②如图2②,当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA.

同理可得:AG=PG=x,则P(x,3﹣x),

把P(x,3﹣x)代入y=x2﹣x+3,得

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利用轴对称求最短距离问题

整理得:x2﹣x=0

解得:x1=0(舍去),x2=,

∴P(,);

若点G在点A的上方,

①当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB,

同理可得:点P的坐标为(11,36).

②当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA.

同理可得:点P的坐标为P(,).

综上所述:满足条件的点P的坐标为(11,36)、(,)、(,);(2)过点E作EN⊥y轴于N,如图3.

在Rt△ANE中,EN=AE?sin45°=AE,即AE=EN,

∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN.

作点D关于AC的对称点D′,连接D′E,

则有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,

∴∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.

根据两点之间线段最短可得:

当D′、E、N三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.

此时,∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°,

∴四边形OCD′N是矩形,

∴ND′=OC=3,ON=D′C=DC.

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当y=0时,有x2﹣x+3=0,

解得:x1=2,x2=3.

∴D(2,0),OD=2,

∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1,

∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2,

∴点E的坐标为(2,1).

点评:本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识,综合性强,难度大,准确分类是解决第(Ⅱ)(1)小题的关键,把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第(Ⅱ)(2)小题的关键.

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