初中数学——方程思想解题实例

方程思想解题实例

一、知识梳理

方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法

方程思想的独特优势是使问题简单化,方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组),分式方程,一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用,我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具方程思想的本质是用设未知数用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。

二、课堂案例讲练

几何中的方程思想

在几何中建立等量关系的常用方法有

错误!利用勾股定理建立等量关系；

错误!利用图形中的线段相等建立等量关系；

错误!利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。

○，4利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式

(一)利用勾股定理建立等量关系

例1如图所示，折叠长方形(四个角都是直角)的一边AD使点Ｄ落在BC边的点Ｆ处,已知AB=Ｄ

C=8cm,AＤ=BC＝10cm，求EC的长．

解析:想求得EC长,利用勾股定理计算，需求得FC长,那么就需求出BＦ的长，利用勾股定理即可求得B Ｆ长

解：设EC的长为xcm,

∴DE=(8－x）ｃm．

∵△ＡDE折叠后的图形是△AFＥ,

∴AＤ=AＦ,∠D＝∠ＡＦE，DE＝ＥF.?∵AD=BC=1０cm，?∴ＡF=AＤ=１０cm.

又∵AB=8cm，在Rｔ△ABF中,根据勾股定理，得AB２+BＦ２=AF2?∴82+BF２=102

∴BF＝6cm．

∴FC=ＢC-BF=1０-６=4ｃm.?在Rt△EFC中，根据勾股定理,得:FＣ2+EC2＝ＥF2?∴４2+ｘ2=（8-x)2,即１6+ｘ２=64-16x+ｘ２,?化简，得1６x=48．

∴x=3.

故ＥＣ的长为３cｍ．

前思后想：翻折中较复杂的计算,需找到翻折后相应的直角三角形,利用勾股定理求解所需线段,另本题也可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决.

课堂训练:

1．有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和８,若将两张纸片交叉重叠,则得到重叠部分面积最小是

__＿＿_＿，最大的是_____＿＿_＿.

2.动手操作：在一张长１2cm、宽５cm的矩形纸片内,要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EＦGＨ（见方案一),小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CＡＤ,∠ACF=∠AＣＢ的方法得到菱形AＥＣＦ(见方案二).?(１)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗?

(2)请你通过计算,比较小颖和小明同学的折法中,哪种菱形面积较大?

（二）利用三角形相似的性质建立等量关系

例1:有一块两直角边长分别为３cm和4cm的直角三角形铁皮,要利用它来裁剪一个正方形,有两种方法:一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图(1）;另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上,另一个顶点在斜边上，如图（２）.两种情形下正方形的面积哪个大？

解析:(１)利用三角形的面积关系求出ＡB边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长;

(2）设出正方形的边长,再利用相似三角形的性质求出正方形的边长.

前思后想:(1)利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键； (2）也可根据△ADE ∽△ＡCB 或△BF Ｅ∽△ＢＣA 来解答．

课堂训练：

1. 如图，铁道口的栏杆AB 的短臂OA=１．２5ｍ,长臂O Ｂ=16．5m,?当短臂端点A?下降０.85m 时,长臂端点B 升高多少？ 下面是小明的解题过程：

“如图,连接AA ′,B Ｂ′，因为AO=A ′Ｏ，BO=Ｂ′O ，所以''AO A O

BO B O

=

.又∠1＝∠2,所以△A Ａ?′O ∽△BB ′Ｏ，有'

'

AO AA BO BB =

,因为AO=1.2５，ＢO ＝１6.5,AA ′=0.85,所以

1.250.85

16.5'

BB =

,解得BB ′＝11.22，?即长臂端点B 升高了11.２2ｍ”． 你认为小明的解题过程正确吗?如果不正确,请写出你的答案．

2.如图，在矩形FG ＨN 中,点Ｆ、G 在边BC 上,点N 、H 分别在边AB 、AC 上,且AD ⊥BC ，垂足为D,A Ｄ交ＮH 于点E,AD ＝8c ｍ，B Ｃ=24cm,NF ：NH ＝1：２,求此矩形的面积．

3. 如图３，在梯形ABCD 中,354245AD BC AD DC AB B ====?∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒. （1）求BC 的长.

(2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

A

D

（三）利用线段相等建立等量关系

例1.如图，等腰梯形AＢCD中，ＡＤ∥BC，ＡB=CD，AＤ=10ｃm，ＢC=３0cｍ,动点P从点Ａ开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度运动,同时动点Ｑ从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动,当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ｔ秒．

（1)ｔ为何值时，四边形ＡBＱP是平行四边形?

（2）四边形ＡBQP能成为等腰梯形吗?如果能，求出t的值；如果不能,请说明理由.

解析：(1）当AＰ=ＢQ时,四边形ABQP是平行四边形；

(2)若四边形ABQP能成为等腰梯形，则一定要满足PD＝ＣQ.

解：（1)当AP＝ＢQ时,四边形ABＱＰ是平行四边形,而AP＝t×1=t；BQ=BC－CQ=30-t×3=30－3t

∴t=30－3t解之得：t=7.５

（2)四边形ABQＰ能成为等腰梯形.∵四边形AＢCD为等腰梯形

∴AB=CD,∠B=∠Ｃ．

若四边形ABQＰ是等腰梯形.则AＢ=PQ，∠B=∠PQB，

∴ＣD=ＰQ,∠C=∠ＰＱB∴CD∥PＱ

∴四边形PQＣD为平行四边形∴PＤ=CQ ．

而ＰD=AD-AP=10-ｔ×1=1０-t；CQ＝t×3=3t,则１0-ｔ=3ｔ,

解得t=2.5．

前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象,然后设出未知量，根据题意寻找等量关系，第(2）问可这样思考：先逆向假设四边形AＢQＰ能成为等腰梯形，则P Ｄ=CQ,建立相关的等式,若能解出符合题意的值,则存在，然后再顺向写出过程

课堂训练:

1. 如图,在直角梯形A ＢCD 中,A Ｄ∥B Ｃ，∠C=９0°,B Ｃ＝1６，DC=12,ＡD=21。动点

Ｐ从点D 出发，沿射线ＤA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点Ｃ出发,在线段CB 上以每秒１个单位长的速度向点B 运动，点P,Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点Ｂ时，点Ｐ随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。当ｔ为何值时,以B ，P ，Ｑ三点为顶点的三角形是等腰三角形？

２. 如图，直角梯形AB ＣD 中,ＡD ∥ＢＣ，∠ABC ＝90°,已知ＡD =AB ＝3，BC =４,动点P 从Ｂ点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动;动点Q 从点D 出发,沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交A Ｃ于点Ｍ,交ＢC 于点Ｎ．P 、Ｑ两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，Ｐ、Q 两点同时停止运动.设点Q 运动的时间为t 秒．

(1)求NC 、ＰＮ的长(用ｔ的代数式表示);

(2）当t 为何值时，四边形ＰCD Ｑ构成平行四边形？ (３） 当t 为何值时，四边形ＰＣDQ 构成等腰梯形?;

(４) 是否存在某一时刻，使射线Q Ｎ恰好将梯形ABCD 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时ｔ的值;若不存在,请说明理由

（四）设未知量求角度

例1：已知：如图所示,在△ＡBC 中,AB ＝ＡＣ,D 为AC 上一点,且ＢD ＝ＢC,E 为AB 上一点，且

AD=DE=EB,那么∠A 的度数是___＿__＿＿_度．

解析：设∠EBD ＝x ，根据等边对等角得出∠A=２x ，∠C=∠ABC=３ｘ,根据三角形内角 和定理得出2x ＋３x+３x=180°,所以∠A ＝45° 前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时,通常都可以根据“三角形内角 和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质”,找出相应的等量关系，通过列 方程解决此类问题。

课堂练习:

A

D

C

P

1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__＿

__＿_.

2.等腰三角形两角的度数之比为4:１,其内角的度数分别为＿______.

３.如图,在△ABＣ中,AＢ=AC，点D在ＡC上,且BD=ＢC=AＤ,则∠A＝__＿_＿

__．

4．如图，点O是等边△ABC内一点，连接OＡ、ＯB、OC，将△BOC绕点C按顺时

针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(1)求证：△ＣOD是等边三角形；（2)若OA=3,OＣ＝

4，OB=5，试判断△AOD的形状,并说明理由.（3）若∠AOＢ=１10°,∠BOＣ=α,请探究：当α为多少度时,△AＯD是等腰三角形?

函数中的方程思想

函数中的方程思想主要体现在:１.求两个函数图象的交点问题；2．已知y的值,求相应x 的值。

例

1:

___＿_＿＿___.

解析：根据题意分别求出A,B,C,D的坐标，再用S△

－S△BCD即可求出△ABC的面积.

AＣＤ

前思后想：本题也可将△ＡBC 的面积分成两个三角形面积的和来求解 例２

(2012南京）若反比例函数ｙ＝

x

k

与一次函数ｙ=ｘ+2的图象没有交点，则ｋ的值可以是（ ）

A.-2 Ｂ.-1 C.1 D.２

解析:函数图象交点问题都可以通过联立方程组（也就是利用两个函数值相等）来解决,此题联立方程后会得到一个一元二次方程，没有交点就意味着此方程无解，也就是判别式小于0． 解：令

x

k

=x ＋２，得x ２

+2x-k=0,由两图象没有交点，可得此方程无解，即ｂ2-４ａｃ=4+4ｋ<０,

解得k ＜-１,故选Ａ

点评：用方程思想解函数图象交点问题,适应面更广，方法更简单,只需令ｙ１=y2，在所形成的一元二次方程中,若求两函数图象交点,解出方程即可,若图象无交点,则判别式<0，若图象有交点，则判别式≥ 0,若图象有两个不同的交点，则判别式>0

课堂练习: 1.

(2011黄石)若一次函数y ＝kx+1的图象与反比例函数y=

x

1 的图象没有公共点，则实数k 的取值

范围是_＿______．

2.一次函数图象y=k ｘ＋2与抛物线ｙ=2x 2＋3x+１的交点个数为__＿___.

３.已知，如图,一次函数ｙ=２x+1与反比例函数y=x

k

交于A,B 两点,其中点A 的横坐标为１. (1）求反比例函数ｙ=

x

k

的解析式； (2）过点A 作y 轴的平行线，过点Ｂ作ｘ轴的平行线,两平行线相交于点Ｃ，求△A ＢC 的面积.

课后作业检测

１.在△A ＢＣ中，∠Ａ－∠Ｃ=35°,∠B-∠A=5°,求∠Ｂ=______.

2．在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC 交AC 边于点Ｄ，∠BD Ｃ=７５°，则∠A 的度数是__＿_＿＿.

3．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=D Ｅ=EF,则∠D ＥF=_________.

4．如图,已知第一象限内的图象是反比例函数

图象的一个分支,第二象限内的图象是

反比例函数

图象的一个分支，在轴上方有一条平行于轴的直线与它们分别交

于点A 、B ,过点A 、B 作轴的垂线,垂足分别为Ｃ、D .若四边形ACDB 的周长为8且

AB ＜AC ,则点A 的坐标是 .

y

x

l

B

A

C D O B C D P

A

33

4

2x

y

O

（第4题） （图①）

（图②)

5.如图①，在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A =60°,动点P 从Ａ点出发,以1cm ／s 的速度沿着

Ａ→Ｂ→C →Ｄ的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止.已知△PA Ｄ的面积Ｓ

（单位:

)与点Ｐ移动的时间t （单位:ｓ)的函数关系式如图②所示，则点P 从开始

移动到停止移动一共用了 秒(结果保留根号）.

6.如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．(1）如果点Ｐ在线段BC 上以３厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时,点Q 在线段CA 上由C 点向

Ａ点运动.

（１）①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过１秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点Ｐ的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使

BPD △与CQP △全等？

（2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇?

7.(２012江宁二模)数学实验室：小明取出一张矩形纸片ＡBＣD，ＡD=BC=５,AB＝CＤ＝

25.他先在矩形ABＣＤ的边ＡB上取一点M,接着在CD上取一点Ｎ，然后将纸片沿MＮ

折叠,使ＭB′与D N交于点K，得到△MＮK(如图①).

(1）试判断△MNK的形状,并说明理由.

(2)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大值.

8．全国第十届数学教育方法论暨MM课题实施20周年纪念活动于9月2７在无锡市一中拉开帷幕．与会期间全国数十位老师上了精彩纷呈的展示课,其中青岛一位老师的“折纸”课,武汉的裴光亚教授评价是：“栩栩如生，五彩缤纷”．课堂上老师提出这样一个问题:你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗?有两位同学很快折出了各自不同的菱形,如下图：

??(１）如果该矩形纸片的长为4,宽为3，则图１、图2两图中的菱形面积分别为__＿_＿___.

(2)这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如图3所示:在矩形ABCD中,设ＡB=3,AＤ＝4,请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注上适当的字母,并求出这个菱形的面积．

(3）借题发挥：如图4，在矩形AＢＣD中，AB＝2，AD=３,若折叠该矩形,使得点Ｄ与AＢ边的中点E重合,折痕交AＤ于点F，交BC于点G,边ＤＣ折叠后与BC交于点M．试求△EBM的面积.

9.如图，在等腰梯形AB ＣD 中,AD ∥ＢC ，AB ＝CD=10,A Ｄ=6,BC=１8,M 是ＣD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合),连接P Ｍ并延长交AD 的延长线于Q.?(1)当P 在B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？请说明理由． (2)当四边形AB ＰＱ是直角梯形时,点P 与C

距离是多少？

10.如图，在直角梯形ＡBCD 中,∠Ａ＝90°，ＡB ∥CD ，ＡB=1，C Ｄ＝6 。

(1）若AD=５，在线段ＡD 上是否存在点P ，使得以点P 、A 、B 为顶点的三角形和以点P 、C 、Ｄ为顶点的三角形相似？若存在，这样的点P 有几个?它们到点A 的距离是多少?若不存在,请说明理由。 (2）若设ＡD ＝m,在线段AD 上存在唯一的一个点P ,使得以点Ｐ、A 、B 为顶点的三角形和以点P 、C 、Ｄ为顶点的三角形相似？求m 的值。

11．如图，已知直线1

12

y x =

+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ，抛物线2

12

y x bx c =

++与直线交于Ａ、E 两点,与x 轴交于B 、Ｃ两点,且Ｂ点坐标为 (1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

D

C

B

A P

12.（２０12?扬州)已知抛物线y=aｘ2+bx+c经过Ａ(-１，0)、B（３，0）、C(０,3)三点，直线l是抛物线的对称轴.（1)求抛物线的函数关系式;(２)设点Ｐ是直线l上的一个动点，当△ＰAC的周长最小时，求点P 的坐标；(３)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由．

答案:

(一）利用勾股定理建立等量关系 １.４,

217

2.（１)略 （２)方案一:3０ｃm 2

方案二:35.21 cm 2

， 方案二小明同学所折的菱形面积较大。

(二）利用三角形相似的性质建立等量关系 1． 不正确．作A ′C ⊥ＡB,B ′D ⊥ＡB, 所以∠Ａ′CO=∠Ｂ′ＤO ＝90°,

又∠１＝∠2,所以△ＯCA ′∽△ODB ′ 所以

''''A C A O

B D B O

=

． 因为Ａ′O ＝ＡO=1.25,B ′O=B Ｏ=１6.5,A ′Ｃ=0.85, 所以

0.85 1.25

'16.5

B D =

,解得B ′D=１１.2２， 即长臂端点B 升高了11.22m

2．46.08 cm 2

3.（1）BC=1０ （２)分三种情况讨论:①当NC MC =时,如图1，由

102t t =-得10

3t =

，

②当MN NC =时，如图2,过N 作NE MC ⊥于E

由等腰三角形三线合一性质得()11

102522

EC MC t t =

=-=- ∵90C C DHC NEC =∠=∠=?∠∠， ∴NEC DHC △∽△

∴

NC EC

DC HC

=

即553t t -= ∴258

t =

③当MN MC =时,如图3,过M 作MF CN ⊥于F 点.1122

FC NC t == ∵90C C MFC DHC =∠=∠=?∠∠，

A

D

C

B M

N

图1

图2

A

D C

B

M N

H E

∴MFC DHC △∽△ ∴

FC MC

HC DC

= 即1

102235t t -= ∴6017

t = 综上所述，当103t =、25

8

t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形。

（三)利用线段相等建立等量关系 1． 分三种情况:

①若PQ=BQ 。在Rt △PMQ 中，22212PQ t =+，由PQ 2

=B Ｑ2

得222

12(16)t t +=-，

解得t ＝

7

2

； ②若BP ＝BQ 。在Rt △P ＭB 中，2

2

2

(162)12BP t =-+。由BP 2

＝ＢＱ2

得:

222(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=。

由于Δ=－704＜0

∴23321440t t -+=无解，∴PB ≠BQ

③若PB ＝ＰＱ。由PB 2

=ＰQ ２

,得2222

12(162)12t t +=-+

整理,得23642560t t -+=。解得1216

163

t t ==，（不合题意，舍去） 综合上面的讨论可知：当t ＝716

2

3

t =秒或秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。

2．(1）NC ＝ｔ+1，ＰN=３-２t ，(2）t=2,（3）ｔ=1, （４）不能，原因略 （四)设未知量求角度

1. 60°或1２0° 2． 12０°,３0°，30°或 2０°,80°,８0° 3. 36° 4.（1)略 (2）略（3)125°或1１0°或140° 函数中的方程思想

课后作业检测

图3 A

D

C B H N M F D

Q

图2

1.75° 2．4０° 3.６０° 4. ５. ６. （１)①

略 ②

4

15cm/ｓ（２）803ｓ

7.(1)略 (２)分两种情况:

情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合,此时点Ｋ也与点D 重合． 设ＭK ＝MD =x ,则A Ｍ=２5-ｘ,在Rt △ＤＮM 中，由勾股定理，得

()22

2525+-=x x ,解得，13=x .

即MD=ND ＝13. ∴S △MNK =32.5．

情况二：将矩形纸片沿对角线A Ｃ对折,此时折痕为AC ． 设MK =AK = C Ｋ=x ,则DK =２5-x ，同理可得 即M Ｋ=N Ｋ＝１3. ∴S △ＭNK ＝32.5．

8. 解：（１)第一个菱形的面积＝３×4÷2＝6,?第二个菱形也是正方形，边长为3，则其

面积=3×３＝9;?(２)如图:（以BD 或A Ｃ为对角线,E 、F 在ＡD,BC 上,且EF 垂直平分BD 或A Ｃ）

如图,设线段E Ｄ的长为ｘ．?∵四边形ＢFDE 是菱形∴ED=BE=x ?又∵矩形ＡBCD 中

AB=3,AD=4?∴A Ｅ=4-x ?在R ｔ△ABE 中AE 2+A Ｂ2＝B Ｅ2２+32=x ２

（5分） 解之得:x=8

25 ∴ＥD=

8

25 ∴S 菱形EAF Ｄ=DE?AＢ=

8

75 (３)如图:?∵对折?∴DF=ＥF ?设线段ＤF 的长为x,则E Ｆ=x ?∵ＡD=３ ∴A Ｆ=3-x

∵点Ｅ是AB 的中点,且AB=2?∴AE=BE=1

在R ｔ△A ＥF 中有AE ２+AF 2=EF 2２+（３-x)2＝x 2

解之得：x ＝

35 ∴A Ｆ=3-x=3

4

在矩形A ＢCD 中由于对折

∴∠D=∠FEM ＝９0°∴∠1＋∠2=90°?又∵∠Ａ=∠Ｂ=90° ∴∠１+∠3=90°

∴∠2=∠3?∴△AEF ∽△ＢＭＥ，

∴

BE

AF

＝

BM

AE

,

∴ＢM=

4

3

∴S△EBM=

2

1

BE*ＢM=

8

3

９.（1）当CP=6时,四边形ABＰQ是平行四边形

（２)当四边形AＢPQ是直角梯形时，点P与C距离是3

1０.(１）２个，ＡP＝2或３(2）２6

１１.(1）将Ａ（0，1)、Ｂ（1,0）坐标代入2

1

2

y x bx c

=++得

1

1

2

c

b c

=

?

?

?

++=

??

解得

3

2

1

b

c

?

=-

?

?

?=

?

∴抛物线的解折式为2

13

1

22

y x x

=-+

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为2

13

1

22

m m

-+

即 E点的坐标（m,2

13

1

22

m m

-+)又∵点Ｅ在直线

1

1

2

y x

=+上∴2

131

11

222

m m m

-+=+解得

1

m=（舍去），

2

4

m=

∴E的坐标为(4，3)（Ⅰ）当A为直角顶点时

过A作AＰ1⊥DE交x轴于Ｐ1点,设P1(a,0）易知Ｄ点坐标为(－2,０)

由Rｔ△AOD∽Rt△Ｐ1ＯA得

1

DO OA

OA OP

=

即21

1a

=，∴a=

2

1

∴P1（

2

1

，0)

（Ⅱ)同理，当E为直角顶点时，Ｐ2点坐标为（

11

2

,０）

(Ⅲ)当Ｐ为直角顶点时,过E作EF⊥ｘ轴于F,设P3(b，3)由∠OP3Ａ+∠FＰ3E＝９0°,得∠OP３Ａ=∠FＥP3Rt△AＯP３∽Rt△P3FE

由3

3

OP

AO

P F EF

=得

1

43

b

b

=

-

解得

1

3

b=,

2

1

b=

∴此时的点P3的坐标为（1，0)或(3,０)

综上所述，满足条件的点P的坐标为（

2

1

,0）或（1，0)或(3，0）或(

11

2

，0)

12.

初中数学解题思想方法

初中数学解题思想方法 数学解题思想方法有配方法、换元法、判别式法、待定系数法、消元法。以上是解题技 巧上的思想方法，比它们更具有普遍意义的思想方法有转化与化简思想方法、数学结合思想方法、归纳猜想、分类讨论、函数与方程思想等。在数学解题过程中我们要养成灵活运用数学思想方法的意义和习惯。 联想在解题中起着重要的作用，从自己的大脑知识仓库中找出与要解题目接 很相似 的原理、方法或结论，变通使用这些知识使问题得以解决。 一、配方法：是指将代数式通过配凑等途径，得到完全平方式或立方式，它广泛应用于 初中数学的各个方面，代数式的化简求值、解方程（组）、求最值等方面。 例1、求5245422 2-+-++y x y xy x 的最小值。 例2、设a ，b 为实数，求b a b ab a 222--++的最小值。 例3、在直角坐标中，有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6），已知b ax y +=上横 坐标为0，1，2的点分别为D 、E 、F ，试求：222CF BE AD ++的最小值。 例4、已知x ，y ，z 是实数，且 0))((4)2=----z y y x x z （，求y z x 2+的值。 例5．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）（2012） A ．18-. B ．0. C ．1. D ． 98. 例6 .已知a<0,动点11(,),(1,0),,A a a B A B AB a a +-定点则两点距离的最小值为 二、换元思想方法 根据问题的特征或关系适当引进辅助的元素，替换原问题中的数、字母或式子，从而使 原问题得以解决，这种通过引用变量替换来解决问题的思想方法叫做换元思想方法，它是数学解题的一种基本思想方法，有着广泛的应用。 例722011 例8、已知12433++=a ，求 32133a a a ++的值。 （其中0402≥-≠mq ，n m ）

中考专题--方程思想

方程应用试题 姓名___________ 应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点 一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想 1．已知25A x mx n =-+，2 321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为 2．单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项，则m n 的值为 （2）函数与方程思想 3．若函数2 1 5m m y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m = 4．已知反比例函数k y x = 与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 5．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为 二．方程思想在几何问题中的应用 在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程 （1）三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ． 34 C ．2 3 D ．2 7．如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ， 则CE 的长________. 8．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则 AD AC 的值为( ) ． A ． 1 2 B ．51- C ．1 D ．51+ 9．如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值 （3）圆与方程思想 通常以半径相等或者切线长相等为突破口 以“勾股定理”为等量关系列出方程 10．如图，ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，以BC 上一点O 为圆心作⊙O，与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点，则⊙O 的半径为 11．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。 A ′ G D C 6题 第7题 F A D O E B C E B O 第10题 O B A P D 第11题 第8题

初中数学思想方法总结模板计划模板汇总.doc

v1.0可编辑可修改 初中数学思想方法的概念、种类 及渗透策略分析 分类讨论思想 一、分类讨论思想的意义 当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究; 或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而 需对不同情况进行分类研究. 通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并 增加条件，“分类讨论” , 简言就是先分类，后讨论。阅读大纲和教材会发现, 初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则, 把“分类讨论思想” 分两个层次 , 即“分类思想” 和“讨论思想”。分类思想在初中数学占有相当要的地位, 通过教学应使学生确立类思想, 学会分类 方法 , 而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。分类讨论是一种逻辑方 法, 也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人的思维条理性和概括性, 所以在试题中占有重要的位置。 二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象, 确定对象的全体→确定分类标准, 正确进行分类 →逐步进行讨论, 获取阶段性结果→归纳小结, 综合得出结论。 三、分类讨论思想的分类原则： 分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下 4 大原则 : (1)同一性原则 (2) 互斥性原则 (3) 相称性原则 (4) 多层次性原则四、七年 级数学中体现分类讨论思想的知识点 上册： 1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面内的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。下册：1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面内点的坐标5、 P112第 10 题 6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。 五、典型例题 例 1. （ 2011 浙江中考）解关于x 的不等式组： a(x 2 )> x 3

初中数学思想方法主要有哪些

一、用字母表示数的思想，这是基本的数学思想之一 在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。例如： 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b） (2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b 二、数形结合的思想 “数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。实中数学教材中下列内容体现了这种思想。 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。 4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。 5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。 6、“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。 三、转化思想 在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想： 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。 2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。 3、“圆”这一章中，证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。 4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。 四、分类思想 集合的分类，有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。 五、特殊与一般化思想

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

初中数学解题的几种思路

初中数学解题的几种思路 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： 1.从理解题意中提取有用的信息，如数式特点，图形结构特征等; 2.从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式，定理，基本模式等; 3.将上述两组信息进行有效重组，使之成为一个合乎逻辑的和谐结构。 数学的表达，有3种方式： 1.文字语言，即用汉字表达的内容; 2.图形语言，如几何的图形，函数的图象; 3.符号语言，即用数学符号表达的内容，比如AB∥CD。 在初中学段中，不仅要学好数学知识，同时也要注意数学思想方法的学习，掌握好思想和方法，对数学的学习将会起到事半功倍的良好效果。其中整体与分类、类比与联想、转化与化归和数形结合等不仅仅是学好数学的重要思想，同时对您今后的生活也必将起重要的作用。 先来看转化思想： 我们知道任何事物都在不断的运动，也就是转化和变化。 在生活中，为了解决一个具体问题，不论它有多复杂，我们都会把它简单化，熟悉化以后再去解决。体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为 熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。 如方程的学习中，一元一次方程是学习方程的基础，那么在学习二元一次方程组时，可以通过加减消元和代入消元这样的手段把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决，转化(加减和代入)是手段，消元是目的;在学习一元二次方程时，可以通过因式分解把一元二次方程转化为两个一元一次方程，在这里，转化(分解因式)是手段，降次是目的。把未知转化为已知，把复杂转化为简

单。同样，三元一次方程组可以通过加减和代入转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。在几何学习中，三角形是基础，可能通过连对角线等作辅助线的方法把多边形转化为多个三角形进行问题的解决。 所以，在数学学习和生活中都要注意转化思想的运用，解决问题，转化是关键。

函数与方程思想在初中数学解题中的应用

函数与方程思想在初中数学解题中的应用 张猛 【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。 关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例 数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。 一：函数与方程思想的地位与作用 函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。 目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用

的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。 本文例析函数与方程思想在解题中的应用: 二：函数与方程思想的应用案例 通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。 1 求代数式的值 例1 已知 22a b ==求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。 解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。 当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=； 当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得 ∴ 原式=1?11=11。 解题反思：此题若将a ,b 的值分别代入所求式中计算，显然运算过程很麻烦。观察发现，所求式中两个括号内的二次项系数之比与一次项系数之比相等，因此可先算出a +b =4,ab =1.利用根与系数的关系构建一元二次方程，这样解起来就简便多了，体现了方程思想的简捷性。 2 解应用问题 例2 某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂同时加工这批产品。已知甲厂单独完成加工任务比乙厂单独完成加工任务多用20天，而乙厂每天比甲厂多加工8件产品。公司每天需付甲厂加工费800元，每天需付乙厂加工费1200元。 （1）甲、乙两个工厂每天各加工多少件新产品？ （2）请你计算两厂合作完成加工任务公司所付费用。 解：（1）设甲厂每天加工x 件新产品，则乙厂每天加工（x +8）件。 依题意得方程 960960208x x -=+。

中考数学思想方法专题之整体思想

初中数学思想之整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想 【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式 四．几何与图形中的整体思想

浅谈初中数学中的方程教学与方程思想_1

浅谈初中数学中的方程教学与方程思想 方程是数学发展史上的一个重要里程碑.它可以包容和展示丰富的数量关系，使数学语言有了质的飞跃；用等式作为数学思维的工具，对不同结构形式的方程，人们逐步探索出一套分类处理解方程的方法.正是源于解决数学问题的需求意识发展，人类才创造出方程这一璀璨的数学明珠.今天，课改教材遵循知识的历史发展观：阐明形成方程知识的背景，强调数学思维发展依赖数学工具、语言的功能创新；重视等式变形意义：解方程所采用的数学法则、方法和程序，不仅是学生对方程类型辨识和结构分析，而且又是对数学本质和意义理解的感悟，更是数学化归思想、优化意识在解题对策中的思辨.教材编写意图，旨在让学生体验：方程建模是解决实际问题的有效手段，它是小学后数学新思维、新语言、新方法、新功能的发展. 一、重视方程解法的教学 （一）引导学生探究并理解方程的解法原理 要让学生把方程解法掌握得更好、更牢固，而不是空中楼阁，就必须让学生理解方程的解法原理。一元一次方程解法原理是等式基本性质；一元二次方程按其解法不同其解法原理有两个，直接开平方法、配方法，公式法的解法原理是平方根的定义即若则叫做的平方根，即；因式分解法的解法原理是若则；二元一次方程组解法原理是通过等量代换进行消元转化成一元一次方程来解 （二）进行适量的解方程（组）的训练，让学生形成较稳定的解方程（组）的能力

解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组的能力是新课程标准规定的初中阶段的学生必须掌握的一项基本技能，要形成熟练的解方程（组）的能力，适当的训练是必须的，而且在训练时，选题应该典型有代表性，全面有覆盖性。 （三）适时归纳解方程（组）基本步骤和基本思路。在训练的基础上，适时对解方程（组）的基本步骤和基本思路进行归纳，可以使学生站在更高的层次上理解方程解法和思路，掌握得会更好、更牢固。例如解一元一次方程的基本步骤是①有分母去分母；②有括号去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；处理方程或方程组的基本思路是：无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化，总而言之一句话，消元降次简单化。 二、重视方程应用题的教学 （一）用方程来解决问题是初中数学学习的重点、难点。《新课程标准》对方程提出了这样的要求“能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”，因此对于方程的应用，也应当成为教学的一大重点，对绝大多数学生来说学习方程的一个重要原因就是能够应用它解决问题，包括数学的问题和非数学的问题。列方程（组）解应用题，是初中数学的一个难点，许多学生怕应用题，主要是他们理不清纷繁复杂的数量及其关系，或者难以将实际问题数学化，因而列不出正确的方程，教学中要把握这个重点，设法破解这个难点。 （二）重视教会学生审题和寻找相等关系的方法

化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定

初中数学解题思维方法大全

初中数学解题思维方法大全 还在为初中数学解题而烦恼？还在为数学低分而烦躁？那是你没有全面理解初中数学 的解题思维和解题方法。暑假不出门，了解，助你在新学期解决数学难题。 一、选择题的解法 1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。 2、特殊值法：特殊值淘汰法有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关， 在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然 后淘汰错误的，保留正确的。 3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既 采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这 样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义， 又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求 解题思路，使问题得到解决。 二、常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数 含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数 学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之 间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊 与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不 同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要 的解题策略。

初中数学专题复习方程思想想 专题训练(含解答)

方程思想 在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。 1. 要具有正确列出方程的能力 有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。 2. 要具备用方程思想解题的意识。 有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。 3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点。 除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。 例题分析 例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k 元的价格全部出售可得到所投资的20％的收益，求k 的值。 分析：可以设商店第一次购进x 盘录音带，则第二次购进2x 盘录音带。根据题意，列出方程： ()()(x x k x x x k x x x k +? =?+?+?= +??≠=23163221 4 120%)326366 5 019 解这个方程：两边除以，得： 答：k 的值是19。 小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。其中所设的x 是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。从本题可以看出，设辅助元x 以后可以方便我们解题。 例2：?ABC AB AC 中，，=以AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于F ，DE 切半圆于D ，交AC 于E ，若AB ：BC ＝5：6，且AF ＝7，求CE 的长。 解：连结AD 、FD 。 AB 是直径 ∴∠=? =∴∴=ADB AC AB D BC CD BD 90 是中点

初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

初中数学解题技巧-常用的数学思想方法

初中数学解题技巧:常用的数学思想方法 初中数学解题技巧:常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。 4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。 5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。 6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。 7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然，则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。这种思维过程通常称为“执果寻因” 8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果” 9、演绎法：由一般到特殊的推理方法。

函数及方程思想习题

函数与方程习题 1.下列函数中有2个零点的是 ( ) (A) lg y x = (B) 2x y = (C) 2 y x = (D) 1y x =- 2.若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( ) (A)至少有一个零点 (B)只有一个零点 (C)没有零点 (D)至多有一个零点 3.若[],a b 函数()f x 在上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( ) (A)一定没有零点 (B)至少有一个零点 (C)只有一个零点 (D)零点情况不确定 4.若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <，()02a b f a f +?? > ??? ．则 ( ) (A) ()f x 在, 2a b a +? ?????上有零点 (B) ()f x 在,2a b b +?? ???? 上有零点 (C) ()f x 在, 2a b a +? ?????上无零点 (D) ()f x 在,2a b b +?? ???? 上无零点 5.已知12,x x 是二次方程()f x 的两个不同实根，34,x x 是二次方程()0g x =的两个不同实根，若()()120g x g x <，则 ( ) (A) 1x ，2x 介于3x 和4x 之间 (B) 3x ，4x 介于1x 和2x 之间 (C) 1x 与2x 相邻，3x 与4x 相邻 (D) 1x ，2x 与3x ，4x 相间相邻 6.设函数???-∞∈-+∞∈-=) 1,(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，则函数41 )(-x f 的零点是____________ 7.已知关于x 的一元二次方程2x 2 +px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是____________ 8.函数y=-x 2 +8x-16在区间[3,5]上零点个数是__________ 9.已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x 与f(x)的对应值表：

初中数学解题技巧(史上最全)

初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。当然这两类填空题也是互相渗透的，对于具体知识的理解和熟练程度

初中数学解题思维与思想

《初中数学解题思维与思想》 中数学解题思维与思想》 导 读
数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学 教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维 品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教 学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、 对一个对象从多种角度 观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变，从而培养他们的思维能力。 《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在 教学实践中得到了全面验证。

二、《解密数学思维的内核》 、《解密数学思维的内核》 解密数学思维的内核 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至 解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清 问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八 个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝 试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技 能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段： 反思问题往往容易为人们所忽视， 它是发展数学思维的一个重要方面， 是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索 的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道 或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到 解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、 一般化、整体化、间接化等。 一、 熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时， 要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验 或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从 结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此， 要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的 联系方式上多下功夫。 常用的途径有： ）、充分联想回忆基本知识和题型 充分联想回忆基本知识和题型： （一）、充分联想回忆基本知识和题型 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题 相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论， 从而解决现有的问题。 全方位、 （二）、全方位、多角度分析题意 全方位 多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己 的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟 悉的解题方向。 恰当构造辅助元素： （三）恰当构造辅助元素 数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或 问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题 目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉