角平分线与角的对称性

专题二角平分线与角的对称性

一、教学目标：

1、知识与技能：培养学生认识并能运用角平分线所在直线是角的对称轴这一特点,利用角的对称性解决相关题目.

2、过程与方法：培养学生观察图形,研究问题的能力,掌握等量变化的技巧.

3、情感态度与价值观：指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学，而且会学数学。

二、教学重点、难点：

1、教学重点：掌握角的对称性与角平分线的关系.

2、教学难点:如何利用这种对称性得到线段和角的等量关系.

三、教学方法：引导发现、练习提高

四、教学手段：多媒体电脑、黑板

五、具体内容：

（一）复习引入

（二）例题

例1 已知:如图1,在△ABC 中, AB=AC , ∠A =100°,BD 为∠B 的平分线, 求证:BC=BD+AD

设计思路:这道题要利用角平分线构造轴对称图形,截长补短是常用辅助线,可以借助这道题感受作辅助线的意义.

分析:容易想到在BC 上截BE ,使BE=BD ,再来证明AD=EC ．由已知可得∠DBC =20° , ∠DCE =40° ,连结DE ,那么∠DEB = (180°- 20°) ÷2= 80°,得DE=EC .只需证明DE=AD .观察图形,可以在BC 上截BF=BA ,便构造出△BDF 与△BDA 全等,得DF =AD ,接下来再证明DF =DE 即可.

证明:在BC 上取E 、F ,使BE = BD , BF = BA ,连结DF 、DE . ∵在△ABC 中, AB=AC , ∠A =100°,

∴∠ABC =∠C = (180°- 100°)÷2=40°. ∵BD 平分∠ABC ,

∴∠ABD =∠FBD=20°, 又BD=BD , BA= BF ,

∴△ABD ≌△FBD.

∴DF = AD, ∠BFD =∠BAD =100° .

∴∠DFE = 180°- 100° = 80°.

∵BD=BE,

∴∠DEF = (180°- 20°) ÷ 2= 80°. ∴∠DFE =∠DEF .

∴DE = DF = AD .

∵在△DEC 中, ∠EDC = 80°- 40° = 40°,

∴∠EDC =∠C.

∴DE=EC, ∴AD=EC .

∴BC=BE+EC=BD+AD.

点拨:这道题需要利用割补法,构造另一个三角形与之全等,再利用全等三角形对应元素相等的性质,证得命题成立.

图1

例2 如图1,在△ABC 中, AD 是∠BAC 的平分线,从△ABC 两顶点B 、C 分别向∠BAC 的平分线作垂线BE 和CF ,垂足分别是E 、F ,又BC 的中点为P .

求证: ∠PEF =∠PFE .

设计思路:融入角平分线和垂直共同构造轴对称图形.

分析:在这道题中,CF 、BE 分别是过角两边上的点向角平分线所作的垂线段,“垂直”和“角平分线”都是构造轴对称图形的基本元素.因此只要分别延长CF 、延长BE 都可构造轴对称图形.在得到的轴对称得到了中点,点F 、E 、P 分别是所在线段中点,因此再用中位线即可得到平行关系,最后利用平行关系代换等角即可得证.

证明:延长CF 交AB 于N ,延长BE 交AC 延长线于M .

∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠3=∠4.

在△ANF 和△ACF 中,

∵AF ⊥CN ,得∠AFN =∠AFC=90°,又AF =AF , ∴△AN F ≌△ACF .

∴NF=CF ,同理可得BE=ME. ∵点P 是BC 中点,

∴PF 、PE 分别为△CNB 和△BCM 的中位线. ∴PF ∥BN ,即PF ∥AB, ∴∠1=∠3.

同理,PE ∥CM ,即PE ∥AC . ∴∠2=∠4.

∴∠1=∠2,即∠PEF =∠PFE .

点拨:观察图形中的“垂直”和“角平分线”,这些都是构造轴对称图形的基本元素,在轴对称图形中我们可以利用对应线段等、角等的关系进行等量代换.

例3 （09海淀二模）△ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若0

＜∠PBC ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，

图1

（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；

（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应

的图形．

设计思路:加入旋转,使得这道题目中的对称性不是那么好找了,但如果有前面的铺垫,这道题可以很好的使学生体会角平分线的作用.

分析：由于∠BPD 并不在一个特殊三角形中，直接求它的度数是很困难的，因此想到可以转移角，它所在的△BPD 各个角中，只有∠PBD 由于BD 是∠PBC 角平分线的缘故与其它角有等量关系，因此这就是这道题的突破口.当角平分线与“三角形”结合时，可以构造轴对称图形,容易想到连接CD,接下来再结合边的等量关系证明全等即可. 解：（1）∠BPD=30 °.

（2）如图2-1，连结CD ． 解法一：∵ 点D 在∠PBC 的平分线上， ∴ ∠1=∠2．

∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ． ∵ BD= BD ，

∴ △PBD ≌△CBD ． ∴ ∠BPD=∠3．

∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ， ∴ △BCD ≌△ACD ．

∴

1

34302

ACB ∠=∠=∠=?．

∴ ∠BPD =30°． 解法二：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA =BC=AC ． ∵ DB=DA ，

∴ CD 垂直平分AB ．

∴

1

34302

ACB ∠=∠=∠=?． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ．

∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，

∴ △PBD 与△CBD 关于BD 所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°．

（3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图3-1、图3-2．

点拨:当我们遇

多等量关系的情况时,等量

关系的桥梁,在这道题目中,有三组等量关系:

关于等边△ABC 的,关于BP=BA 的,关于DA=DB 的,而找到AB 这

座“桥”却是很重要的,它是等量代换的重要元素.另外,在第三问画图时,需要注意全面考虑点P 、点D 的可能性.有规律的是,点D 一定在线段AB 的垂直平分线上.

例4 （08上海）正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点（不与点D 重合），直线AE 交直线BC 于点G ，∠BAE 的平分线交射线BC 于点O ． （1）如图1，当CE =

3

2

时，求线段BG 的长；

（2）当点O 在线段BC 上时，设

x ED

CE

=，BO=y ，求y 与x 的函数解析式；（3）当CE=2ED 时，求线段BO 的长．

设计思路:到了例4,构造轴对称图形已经不是难度,而需要适度提升找数量关系的难度.

分析:在这道题目中,有这样的字眼: E 是“射线”CD 上的动点，这本身就意味着关于点E 的位置是由两种可能性的,需要依题意探究位置可能性.第(1)问可以直接从CE 入手,自然得到DE 的长,用相似得BG 长度.第(2)问中的x 就比较不常规,是比值的形式,但线段量的关系一直用比表示,并不便利,因此可以将一条线段长用含x 和另一条线段长的式子来表示.接下来,将BO 代换到角平分线的另一边,就可以把x 、y 都放到一组相似三角形中去了.第(3)问显然要结合点E 的位置进行讨论. 解：（1）在边长为2的正方形ABCD

中，3

2=CE ，得3

4

=

DE ， 又∵//AD BC ，即//AD CG ， ∴△ADE ∽△GCE , ∴

1

2

CG CE AD DE ==，得1CG =． ∵2BC =， ∴3BG =

（2）当点O

在线段BC 上时，过点O 作

AG

OF ⊥，垂足为点F

，

∵AO 为BAE ∠的角平分线，

90=∠ABO ，

∴y BO OF ==． 在正方形ABCD

中，BC

AD //，

备用图

∴

CG CE

x AD ED

==． ∵2

=AD ，

∴x CG 2=． 又∵

CE

x ED

=，2

CE ED +=，得x

x

CE +=

12． ∵在Rt △ABG 中,AB =2,BG =2+2x,∠B =90°,

∴AG =． ∵2

AF AB ==，

∴2FG AG AF =-=． 易证△FOG ∽△BAG , ∴

OF AB

FG BG

=，即AB

y FG BG

=

?， 得1

22222+-++=x x x y ，)

0(≥x ；

（3）当ED CE 2=时， ①当点O

在线段BC 上时，如图3-1,即2

=x ，

由（2）得3

2

102-=

=y OB ；

②当点O

在线段BC 延长线上时,如图3-2，

CE =4,ED=DC =2,

在R t △ADE 中,AE =22.

设AO 交线段DC 于点H

，

∵AO 是BAE ∠的平分线，即HAE BAH ∠=∠， 又∵CD AB //， ∴AHE BAH ∠=∠． ∴AHE HAE ∠=∠． ∴22==AE EH ． ∴224-=CH ．

∵CD AB //， ∴

BO CO AB CH =，即BO

BO 2

2224-=-，得222+=BO ．

点拨:找到边的关系是这道题的关键,可利用的条件很多,有相似、角平分

图3-2

图3-1

线性质、勾股定理和正方形性质,只要找到中心量，用它将需要的线段表示出来就可以了。

（三）练习

练习1.（09嘉兴中考）如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，?=∠36A ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于

E ，设2

15-=k ，则=DE （ ）A

A ．a k 2

B ．a k 3

C ．

2

k a D ．

3

k a

练习2．（09陕西）如图，在锐角ABC

△中

，

45AB BAC =∠=°，BAC

∠的平分线交BC 于点

D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是

___________ ．4

练习3. 如图, AD 是△ABC 的角平分线, EF 是AD 的垂直平分线,交BC 的延长线于点F ,连接AF 。求证:∠BAF =∠ACF .

练习4.已知,如图,△ABC 中，∠ABC=3∠C , AE 平分∠BAC, BE ⊥AE 于E .

求证：AC-AB=2BE .

证明: 延长BE 交AC 于点F . ∵AE 平分∠BAC

A

D C

E

B

A

B

C

D

N

M

∴∠1=∠2.

又∵∠AEB =∠AEF = 90°,AE=AE . ∴△ABE ≌△AFE . ∴AB=AF , ∠3=∠4 , BE=FE .

∵∠ABC=3∠C,又∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5=∠C+∠5+∠C=2∠C+∠5. ∴3∠C=2∠C +∠5. ∴∠C =∠5. ∴BF=FC .

∴AC- AB =AF +FC -AB =FC =BF =2BE . ∴AC -AB = 2BE.

练习5.（09宣武二模）如图，在△ABC 中，∠CAB 、∠ABC 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC 于点F ． 求证：四边形DECF 为菱形．

证明：证法一：连结CD. ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC ，

∴ 四边形DECF 为平行四边形. ∵∠CAB 、∠ABC 的平分线交于点D, ∴点D 是△ABC 的内心.

∴ CD 平分∠ACB ，即∠FCD ＝∠ECD ， ∵DF ∥BC,

∴∠FDC ＝∠ECD ， ∴ ∠FCD ＝∠FDC ∴ FC ＝FD ，

∴ 平行四边形DECF 为菱形．

证法二：过D 分别作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，DI ⊥AC 于I ． ∵AD 、BD 分别平分∠CAB 、∠ABC ， ∴DI =DG ，DG =DH ． ∴DH =DI ．

∵DE ∥AC ，DF ∥BC ，

∴四边形DECF 为平行四边形，

H

G

I F E

D C B

A

F E

D

C B A

∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，

∴CE=CF．

∴平行四边形DECF为菱形．

（四）总结

角平分线所在直线是角的对称轴,利用这个特点构造和利用轴对称图形是我们的常用思路,本节课通过一系列提升例题、练习题可以培养学生观察图形，构造对称的能力.

（五）反思

虽然本节课列举了一些轴对称图形的构造情况以及基本方法,但仍不可能盖全,应该让学生从根本的图形关系上掌握这种构造技巧.

新北师大版七年级数学下线段、角的轴对称性练习及答案

线段、角的轴对称性 [趣题导学] 如图1.4-1，初二（1）班与初二（2）班这两个班的学生分别在M、N两处参加劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，你能找出符合条件的点P，并简要说明理由吗？ 图1.4-1 图1.4-2 解答：P点如图1.4-2所示，作∠BAC的角平分线AD，作线段MN的垂直平分线EF，AD 与EF交于点P，因为AD平分∠BAC，所以点P到两条道路AB、AC的距离相等，又因为点P在线段MN的中垂线上，所以PM=PN。 [双基锤炼] 一、选择题 1、下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. 两条相交直线 B. 线段 C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段 2、到三角形的三个顶点距离相等的点是（） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 3、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。其中轴对称图形共有（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 4、已知：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线上，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=1000，则（） A.DE>DF B.DE

线段、角的轴对称性单元练习1

第二章线段、角的轴对称性 一．选择题（共10小题） 1．（2016湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2016淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分 别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2016德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（） A．65°B．60°C．55°D．45° 4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（） A．2 B．2C．4 D．4 5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）

A．90°B．95°C．100°D．105° 6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（） A．24°B．30°C．32°D．42° 7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（） ①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等 ②三角形的三条内角平分线交于一点 ③三角形的内角平分线位于三角形的内部 ④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分． A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11 B．5.5 C．7 D． 10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（） A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对 二．填空题（共6小题） 11．（2016西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______． 12．（2016遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____ _度．

2.4线段、角的轴对称性(4)

2.4 线段、角的轴对称性（4） 教学目标: 1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题； 2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据； 3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 教学重点: 综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题． 教学难点: 学会证明点在角平分线上． 教学过程: 开场白 同学们，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能用来解决什么问题呢？ 例2 已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上． 分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证． 通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？ 例3 已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．

分析：要证AD垂直平分EF， 只要证：，． 已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC， 只要证， 只要证． …… 指导学生完成练习． 解完题后，说说你的发现，提出你的问题． 练习：课本P56练习． 学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”． 布置作业 课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．

2.4线段-角的对称性

l Q A B P §线段，角的轴对称性（1）教学案 主备人：赵廷尧 自主学习 问题1：如图，线段AB ，通过折叠，能否是使点A 与点B 重合 问题2：线段是轴对称图形吗上面操作中的折痕是什么 < 问题3：在折痕上任意取一点C ，连接AC 、BC ，AC 与BC 的数量关系怎样你能证明吗 通过以上三个问题的解决你知道了什么 几何语言：∵MN ⊥AB ，AC ＝BC ， ∴_______（线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等）． " 探究活动 例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗为什么 变形:在例1的条件下： 1、若AP=6，BP=4，求△QPB 的周长； 2、若△QPB 的周长为12，△APB 的周长为17，求AB ； % 3、若△QPB 的周长为12，AB ＝7，求△APB 的周长。 4、若△QCB 的周长为24,△APB 的周长与四边形BPQC 的周长之差为12，求CQ A B C

例2、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC 于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G， 若BC=25cm ，求△AEG的周长 D F C · 例3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE＝AF． ( 【课堂练习】： 已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于 D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.

\ §线段，角的轴对称性（1）达 标 自 测 班级 学号 姓名 自测内容 1.线段垂直平分线上的点到 距离相等。 2、如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点．若AB ＝10 cm ，则BD ＝_______cm ；若PA ＝10 cm ，则PB ＝_______cm ． 3.如图，在ΔABC 中，AB 的中垂线交AC 与点E ，若AC=9,AE:CE=2：1，则B 、E 两点间的距离是 。 4、已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC ＝5 cm ，则AB ＋BD ＋AD ＝_______cm ，AB ＋BD ＋DC ＝_______cm ，△ABC 的周长是_______ cm ． 6、如图，在△ABC 中，边BC 上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ， 交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为_______． — 7. 如图，若AC 是BD 的垂直平分线，AB=5cm,BC=3cm, 求四边形ABCD 的周长。 A E \ C B D E D B A C

八年级数学——线段和角的轴对称性

线段、角的轴对称性 [知识要点] 1.线段的垂直平分线 性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 判定定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 2.角平分线 性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3.尺规作图 作线段的垂直平分线和角的平分线 [点睛例题] 例1.如图，C是∠AOB内一点，C1、C2分别是点C关于OA、OB的对称点，若C1、C2的连线交OA于D，交OB于E，C1C2＝4.5cm，则△CDE的周长为（） A．4.5cmB．6.5cmC．5.5cmD．无法求 例2.如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是（） A．OB＝OCB．OD＝OFC．OA＝OB＝OCD．BD＝DC 例3.如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校，现规划修建居民小区D，其要求是： （1）到学校的距离与其它小区到学校的距离一样； （2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试确定居民小区D的位置． [点睛习题] 1、如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（） A．13 B．14C．15D．16 2、已知，如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P， 那么点P是否在∠BAC的平分线上？为什么？

3、下列说法：（1）若直线PE是线段AB的中垂线，则EA＝EB，PA＝PB；（2）若EA＝EB，PA＝PB，则直线PE垂直平分线段AB；（3）若PA＝PB，则点P必是线段AB的中垂线上的点；（4）若AE＝BE，则经过点E的直线垂直平分线AB，其中正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4、已知，如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，那么点P是否在∠BAC的平分线上？为什么？ 5.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____°。 6.小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）。小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。 （2）实践与运用 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）。求图⑤中∠α的大小。

1.4 线段、角的轴对称性 练习(1)

学案1.4 线段、角的轴对称性 知识与基础 1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A 、一条线段 B 、两条相交直线 C 、有公共端点的两条相等的线段 D 、有公共端点的两条不相等的线段 2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。其中轴对称图形共有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 3、如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，若∠1＝20o，则∠3＝______o；若PD ＝1cm ，则PE ＝_________cm. A A D C D P O E B B E C 4、如图，在△ABC 中， AB 的垂直平分线DE 交 BC 于点E ，交AB 于点D ，△ACE 的周长为11cm ，AB ＝4cm ，则△ABC 的周长为__________cm. 5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°,BD 平分∠ABC CD ：AD ＝2：3，则点D 到AB 的距离为A D C P A B 6、如图，直线交于点O ，点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 、P 。 （1）若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB ＝60°，则∠P 1OP 2＝_________； （2）若OP ＝3，P 1P 2＝5，则△P 1OP 2的周长为_________。 7、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的垂直平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。 （1）AD 是∠BAC 的角平分线吗？为什么？ （2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。 应用与拓展 8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直 平分，交点为O ，写出图中所有相等的线段和相等的角，A O C 并说明理由。 B 9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如 1 2 3

2.4线段、角的轴对称性(4)

2.4线段、角的轴对称性（4） 教学目标 1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题； 2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 教学重点综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题． 教学难点学会证明点在角平分线上． 教学过程 开场白 同学们，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能用来解决什么问题呢？ 例2 已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上． 分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证． 通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？

例3 已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． 分析：要证AD垂直平分EF， 只要证：，． 已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC， 只要证， 只要证． …… 指导学生完成练习． 解完题后，说说你的发现，提出你的问题． 练习：课本P56练习． 学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”． 布置作业 课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．

线段角的轴对称性单元练习

第二章 2.4 线段、角的轴对称性 一．选择题（共10小题） 1．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2016?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧， 分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2016?德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大 于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（） A．65° B．60° C．55° D．45° 4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（） A．2 B．2C．4 D．4 5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）

A．90° B．95° C．100°D．105° 6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（） A．24° B．30° C．32° D．42° 7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（） ①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等 ②三角形的三条内角平分线交于一点 ③三角形的内角平分线位于三角形的内部 ④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分． A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（） A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对 二．填空题（共6小题） 11． （2016?西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______． 12．（2016?遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____ _度．

初中数学《线段、角的轴对称性》教案

初中数学《线段、角的轴对称性》教案 教学课题：§1.4线段、角的轴对称性(一) 教学时间（日期、课时）： 教材分析： 学情分析： 教学目标： 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质； 3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合； 4 在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。 探索并掌握线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合 教学准备 《数学学与练》 集体备课意见和主要参考资料 页边批注 加注名人名言 苏州市第二十六中学备课纸第页 教学过程

一．新课导入 问题1：线段是轴对称图形吗？为什么？ 探索活动： 活动一对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 二．新课讲授 结论：1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(投影) 例题：例1P21(投影) 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？ 活动二用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？ 问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 加注名人名言

线段、角的轴对称性专题练习

线段、角的轴对称性 例1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，垂足为E ，若∠A=30°，CD=3． （1）求∠BDC 的度数． （2）求AC 的长度． 举一反三：如图，△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，垂足分别是M 、N ． （1）若△ADE 的周长是10，求BC 的长； （2）若∠BAC=100゜，求∠DAE 的度数． 例2.如图，已知∠AOB 及点C 、D ，求作一点P ，使PC=PD ，并且使点P 到OA 、OB 的距离相等。 例3.如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，连接AF ．求证：∠B=∠CAF · C B O A · D

举一反三：已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于F ． 求证：∠BAF=∠ACF ． 【课堂巩固】 1.在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ，下列说法不正确的是（ ） A 、BD 平分AC B 、AD ⊥BD C 、AD 垂直平分BC ， D 、BD 垂直平分AC 2.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC ，且CD = 5，则点D 到AB 的距离为 . 3.如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 说明：（1）CF=EB ． （2）AB=AF+2EB ． 4.如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD=CD 、BE=CF ． （1）求证：AD 平分∠BAC ； （2）直接写出AB+AC 与AE 之间的等量关系 C B A D

1.4 线段、角的轴对称性(1)教案

怀文中学2011---2012学年度第一学期教学设计 初 二 数 学（1.4线段、角的轴对称性1） 主备：陈秀珍 审核：曼玉 日期：2012-8-31 学习目标： 1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2．探索并掌握线段的垂直平分线的性质； 3．了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合； 4．在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力． 教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质． 教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合． 教学过程： 一．自主学习（导学部分） 1．按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 线段是轴对称图形吗？为什么？ 2．例1你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？ 题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？ 二．合作、探究、展示 活动一 对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 例题：P18 例1 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要作一定的 分析， 活动二 用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q ，使AQ ＝BQ 吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹）， 还能找出符合上述条件的点M 吗？ 问题2：观察点Q 、M ，与直线l 有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 活动三 用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同理可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.如图在直线MN 上求作一点P ，使PA ＝PB ． 4.已知：如图，AB ＝AC ＝12 cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△ABD 的周长等于29 cm ，求DC 的长． 三．巩固练 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点 D ．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，△ABC 中，D E 垂直平分AC ，与AC 交于 E ，与BC 交于D ，∠C ＝15°，∠BAD ＝60°，则△ABC 是 __________三角形． 3．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、 BC 于点F 、G ，若BC ＝25cm ，求△AEG 的周长． 4．在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N ， 若CD ＝5厘米，求ΔPMN 的周长． 5．滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何 处，才能使得它到三个小区的距离相等. 四．课堂小结 五．布置作业 六．预习指导 教学反思： · B O A C B A N M B D C

1.4 线段、角的轴对称性(2)教案

怀文中学2012---2013学年度第一学期教学设计 初二数学（1.4线段、角的轴对称性2） 主备：陈秀珍审核：陈曼玉日期：2012-8-31 学习目标： 1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2．探索并掌握角平分线的性质； 3．了解角的平分线是具有特殊性的点的集合； 4．在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力．教学重点：角平分线的性质． 教学难点：角的平分线是具有特殊性值的点的集合． 教学过程： 一．自主学习（导学部分） 1．同学们用纸片做过纸箭和纸飞机吗？说说你的方法． 2．试用如图所示的等腰三角形AOB纸片，折一只以点 头的纸箭，再展开纸箭，观察折痕，你有什么发现？ 二．合作、探究、展示 活动一画角、折纸，探索角的轴对称性和角平分线的性质 1．（1）画∠AOB，折纸使OA、OB重合， 折痕与∠AOB有什么关系？． （2）在折痕上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足为D、E，那么PD与PE有什么关系？ 得出结论： ． 2．在上面第二个结论中，有两个条件 （1）OC是∠AOB的平分线； （2）点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB．两者缺一不可． 结论是：PD＝PE， 3．讨论：点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA、OB的距离相等；反过来， 你能得到什么猜想？ 得出结论：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合． 4．例题：（投影展示） 三．巩固练习 1．练习：P25 1、2 2．P25 习题4、5 3．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M， PN垂直OB于N，且PM=2cm时，则PN＝__________cm．4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O， OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F． （1）OD与OF相等吗？为什么？ （2）OE与OF相等吗？为什么？ （3）OD与OE相等吗？为什么？ （4）OC平分∠ACB吗？为什么？ 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D． （1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是． （2）若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长 是． 理由： 6．如图，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？ 四．课堂小结 五．布置作业 六．预习指导 教学反思： B O A F E D C B A c b a

线段角的轴对称性教案

教案1．4线段、角的轴对称性(2) 【学习目标】： 1、让学生经历角的折叠过程探索角的对称性，并发现角平分线的性质和判定点在一个角的平分线上的方法； 2、使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题； 3、培养学生实践探索的科学习惯； 4、在“操作—探究—归纳—说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力. 【重点难点】：角平分线的性质和判定 【预习指导】： 1、在一张薄纸上任意画一个角（∠AOB ）,折纸，使两边OA、OB重合，你发现折痕与∠ AOB有什么关系？ 结论： 2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD,再 沿原折痕重新折叠，由此你能发现角平分线上的点有什么性质? 结论： 几何符号：∵ ∴ 3、反之，如果一个角内一点具备到这个角两边的距离相等，那么这个点的位置有何特征？结论： 几何符号：∵ ∴ 【典题选讲】： 例1、任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设两条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么? P B A 例2、已知:如图,在ΔABC中.O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？ F

【学习体会】： 【课堂练习】： 1、 画一画：已知∠AOB 和C 、D 两点，请在图中标出一点E ，使得点E 到OA 、OB 的距离相等，而且E 点到C 、D 的距离也相等. 2、 已知：在ΔABC 中，D 是BC 上一点,DF ⊥AB 于E,DE ⊥AC 于F,且DE=DF. 线段AD 与EF 有何关系?并说明理由. 3、 已知：在∠ABC 中，D 是∠ABC 平分线上一点,E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE=DF. 试判断∠BED 与∠BFD 的关系，并说明理由. （ 编写者：李晓红） O B A C D · · A C

轴对称的性质及线段角的对称性

轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角 【知识梳理】 知识点1、轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两 个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做． 知识点2、轴对称图形 定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别： 联系：1： 2; 【例题精讲】 例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正 方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形． 例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． 巩固练习 1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给 的六个格纸未必全用） 2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分 别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．

知识点3、线段的垂直平分线(重点) 1. 定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。 2. 线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②． 3. 轴对称的性质 （1） 关于某条直线成轴对称的两个图形全等． （2） 对称轴是对应点所连线段的垂直平分线． 知识点4、成轴对称的图形的画法 画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找 特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。 知识点5、线段的轴对称性(重点、难点) 线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是． 线段垂直平分线的性质：． 线段垂直平分线的判定：． 知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点) 用尺规作线段AB 的垂直平分线的方法： 1．分别以A 、B 为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C 、D ． 2．过C 、D 两点作直线．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．画图，理由如下： 知识点7、角的轴对称性(重点、难点) 角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是． 角平分线的性质：． 角平分线的判定：． 注：“距离”指垂直到直线的线段长度。 知识点8、角的平分线的作法 用尺规作∠AOB 的平分线的方法： 1．以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA 、OB 于点D 、E ． 2．分别以D 、E 两点为圆心，为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ． 3．画射线OC ．则射线OC 就是∠AOB 的平分线，画图，理由如下： 【例题精讲】 例1：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ⊥AC 交于点E ，DF ⊥BC 于点F ，且BC=4， DE=2，则△BCD 的面积是． 例1例2例3例4 例2：如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若△ABC 与△EBC 的周长分别是40cm ，24cm ，则AB=cm ． 例3：如图所示，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长 是cm ． 例4：如图所示，在△ABC 中，DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC ，交BC 于D 、E ，若∠DAE=50°，则 ∠BAC=度，若△ADE 的周长为19cm ，则BC=cm ． 例5：如图，已知AOB ∠与线段CD ，求作一点P ，使点P 到CD 的两端点距离 相等，且到AOB ∠两边的距离也相等. 巩固练习 1.如图，在ABC ?中，45ABC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分 AD ，交BC 的延长线于F ，试求CAF ∠的大小.

1.4线段、角的轴对称性(1)

1．4线段、角的轴对称性(1) 【学习目标】： 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质. 【重点难点】：线段中垂线的性质和判定 【预习指导】： 自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要 问题1：线段是轴对称图形吗？为什么 问题2线段的对称轴是什么？ 问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系? 课堂活动 活动一对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 例题：P18 例1 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？

活动二用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？ 问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【典题选讲】： 已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，. 求DC的长 【学习体会】： 【课堂练习】： 1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？ E

线段、角的轴对称性

线段、角的轴对称性—知识讲解 责编：陆海霞 【学习目标】 1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题． 2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线 的性质解决问题． （2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 若PE⊥AD于点E， 角平分线的画法 角平分线的尺规作图

【典型例题】 类型一、线段的轴对称性 1、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（） A．13 B．15 C．17 D．19 【变式】（2015?黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置． 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q， 然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短． 类型二、角的轴对称性 3、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( ) A. 4cm B. 6cm C.10cm D. 以上都不对

八年级数学线段和角的轴对称性

八年级数学线段和角的轴 对称性 Prepared on 21 November 2021

线段、角的轴对称性 [知识要点] 1.线段的垂直平分线 性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 判定定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 2.角平分线 性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3.尺规作图 作线段的垂直平分线和角的平分线 [点睛例题] 例1.如图，C是∠AOB内一点，C1、C2分别是点C关于OA、OB的对称 点，若C1、C2的连线交OA于D，交OB于E，C1C2＝4.5cm，则△CDE的周长为（） A．4.5cm B．6.5cm C．5.5cm D．无法求 例2.如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是（） A．OB＝OC B．OD＝OF C．OA＝OB＝OC D．BD＝DC 例3.如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校，现规划修建居民小区D，其要求是： （1）到学校的距离与其它小区到学校的距离一样； （2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试确定居民小区D的位置． [点睛习题] 1、如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（） A．13 B．14 C．15 D．16 2、已知，如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，那么点P是否在∠BAC的平分线上为什么 3、下列说法：（1）若直线PE是线段AB的中垂线，则EA＝EB，PA＝PB；（2）若EA＝EB，PA＝PB，则直线PE垂直平分线段AB；（3）若PA＝PB，则点P必是线段AB的中垂线上的点；（4）若AE＝BE，则经过点E的直线垂直平分线AB，其中正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4、已知，如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，那么点P是否在∠BAC的平分线上为什么 5.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝ ____°。 6.小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）。小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。

1.4 线段、角的轴对称性(1)

课题：1．4 线段、角的轴对称性（1） 教学目标： 1、经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2、探索并掌握线段的垂直平分线的性质； 3、了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合； 4、在“操作――探究――归纳――说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。 教学重点： 探索并掌握线段的垂直平分线的性质。 教学难点： 线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合。 教学方法： 探索交流、讲练结合 教学过程： 一、创设情境： 问题：线段是轴对称图形吗？为什么？ （从轴对称的定义出发，让学生说明线段是轴对称图形的理由，一方面直接提出了本课研究的主题，另一方面以为后面的操作活动提供依据。） 二、探索活动一： 活动一对折线段。 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？（学生操作） 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？（学生操作） （这个活动学生不会有困难，易做易得出结论。教师要关注的是学生参与活动的态度是否认真，与同学交流是否积极。） 学生先思考1分钟后，再小组讨论。然后由小组中的一位同学说出讨论结果. 结论： 三、例题教学： 例1：线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离会相等吗？为什么？ 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解， 但不容易叙述，因此要做一定的分析，引导学生展开讨论： ⑵题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？ ⑶根据图形你能说明道理吗？ 已知：直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l外， 说明：线段PA、PB会相等吗？ （注意引导学生用几何语言说理）