等比数列及其前n项和
等比数列及其前n 项和
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
2 项起，每一项与它的前一项的比等于________ (不为零 )，那么这个
如果一个数列从第
数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 ________
(2)等比中项：
如果 a、 G、 b 成等比数列，那么 ________叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项 ? a， G， b 成等比数列 ? _______
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式： a n＝ ________．
na1， q＝ 1，
(2)前 n 项和公式： S n＝
a1（1－ q n）
＝ a1
－ a
1－ q
n q， q≠ 1.
1－ q
3．等比数列的性质
已知数列 { a n} 是等比数列， S n是其前 n 项和． (m， n， p， q， r， k∈N* )
(1)若 m＋n＝ p＋ q＝ 2r ，则 a m· a n＝ ________=________
(2)数列 a m， a m＋k， a m＋2k， a m＋3 k，, 仍是等比数列；
(3)数列 S m， S2m－ S m， S3m－ S2m，, 仍是等比数列(此时 { a n} 的公比 q≠－ 1)．
[做一做 ]
1． (2014 ·考重庆卷高)对任意等比数列 { a n} ，下列说法一定正确的是()
A ． a1， a3， a9成等比数列B． a2， a3， a6成等比数列
C．a2， a4， a8成等比数列D． a3， a6， a9成等比数列
2． (2014 ·考江苏卷高)在各项均为正数的等比数列{ a n} 中，若 a2＝ 1， a8＝ a6＋ 2a4，则a6的值是 ________．
1．辨明三个易误点
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此 q 也不能为 0，但 q 可为正数，也可为负数．
(2)由 a n＋1＝ qa n，q≠ 0，并不能立即断言 { a n} 为等比数列，还要验证a1≠0.
(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q＝ 1与 q≠ 1分类讨论，防止因忽
略 q＝ 1 这一特殊情形而导致解题失
误．2．等比数列的三种判定方法
a n＋1*
(1)定义：a n＝ q(q 是不为零的常数， n∈N)? { a n} 是等比数列．
(2)通项公式： a n＝ cq n－1(c、 q 均是不为零的常数， n∈N* ) ? { a n} 是等比数列．
(3)等比中项法： a n2＋1 ＝a n ·a n＋ 2(a n·a n＋ 1·a n＋ 2≠0，n∈N*)? { a n}是等比数列．
3．求解等比数列的基本量常用的思想方法
a1，q，n，a n，
(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前 n 项和的公式中联系着五个量：
S n，已知其中三个量，可以通过解方程(组 )求出另外两个量；其中基本量是a1与 q，在解题中根据已知条件建立关于a1与 q 的方程或者方程组，是解题的关键．
(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q＝1 时， S n＝
a1（ 1－q n）
a1与 q 分类讨论．na1；当 q≠ 1 时， S n＝；在判断等比数列单调性时，也必须对
1－ q
[做一做 ]
)在数列 { a n} 中，“ a n＝ 2a n－1，n＝ 2，3，4，, ”是“ { a n} 3．(2015 海·淀区第二学期期中练习
是公比为 2 的等比数列”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若等比数列 { a n } 满足 a 1＋ a 4＝ 10， a 2＋a 5＝20，则 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ________．
考点一 __等比数列的基本运算 (高频考点 )________
等比数列的基本运算是高考的常考内容， 题型既有选择题、填空题，也有解答题， 难度适中，属中、低档题．
高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：
(1)求首项 a 1、公比 q 或项数 n ； (2)求通项或特定项； (3)求前 n 项和．
(1)(2015 ·江苏扬州中学期中测试 )设等比数列 { a n } 的各项均为正数， 其前 n 项和
为 S n ，若 a 1＝ 1，a 3＝ 4， S k ＝ 63，则 k ＝ ________．
(2)已知等比数列 { a n } 为递增数列，且 a 25＝ a 10，2(a n ＋ a n ＋2 )＝ 5a n ＋1，则数列 { a n } 的通项公
式 a n ＝ ________．
(3)(2014 高·考重庆卷节选 )已知 { a n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， S n 表示 { a n } 的前
n 项和．设 { b n } 是首项为 2 的等比数列，公比
2
－(a 4＋ 1)q ＋ S 4＝ 0，求 { b n } 的通项公
q 满足 q 式及其前 n 项和 T n .
[ 规律方法 ] 等比数列运算的通法：
样，
求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法． 从方程的观点看等na 1， q ＝ 1
比数列的通项公式
n －1 项和公式 S n ＝ 1 （1－ q n
） 中共有五个 a n ＝ a 1 ·q (a 1 q ≠ 0)及前 n
， q ≠1
1－ q
变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比 q 时，
要注意应用 q ≠ 0 验证求得的结果．
1.(1)(2015 北·京海淀模拟 )已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 1，
S 2＋ a 2，S 3 成等差数列，则数列 { a n } 的公比为 (
)
A ． 1
B ． 2
1
C.2
D ． 3
(2)(2015 河·北唐山高三统考
)在公比大于 1 的等比数列 { a n } 中， a 3a 7＝ 72， a 2＋a 8＝ 27，
则 a 12＝ ( )
A ．96
B ． 64
C ．72
D ． 48
(3)(2015 东·北三校第二次模拟 ) 已知数列 { a n } 满足 2a n ＋ 1＋ a n ＝ 0，a 2＝ 1，则数列 { a n } 的前
10 项和 S 10 为( )
4 10 － 1) 4 (2 10 ＋1) A. (2 B.
3 3
4 －10 4 －10 ＋ 1) C. (2 － 1) D. (2
3 3 考点二 __等比数列的判定与证明 ________________
(2015 ·东北三校联考 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n ＝ 2a n ＋ ( －
1)n (n ∈ N * )．
(1)求数列 { a n } 的前三项 a 1， a 2， a 3；
2
n
(2)求证：数列 { a n ＋ 3(－ 1) } 为等比数列，并求出 { a n } 的通项公式．
在本例条件下，若数列
{ b n } 满足 b 1＝ a 1， b n ＝ a n ＋ a n ＋ 1.证明： { b n } 是等比数
列．
[ 规律方法 ] 等比数列的判定方法
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法， 其他方法只用于选择题、 填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
考点三 __等比数列的性质 ______________________
(1)(2015 ·昆明三中、 玉溪一中统考 )等比数列 { a n } 中，a 1＝ 1，q ＝ 2，则 T n ＝ 1
a 1a 2 ＋ 1
＋,＋
1 的结果可化为 (
)
a 2a 3
a n a n ＋1
A ．1－
1
1
4 n
B ． 1－ n
2
2
1
2 1
C.3 1－ 4n
D.3 1－ 2n
(2)(2015 山·西省第三次四校联考 )等比数列 { a n } 满足 a n >0，n ∈ N * ，且 a 3·a 2n －3 ＝22n
(n ≥ 2)， 则当 n ≥ 1 时， log 2 a 1＋ log 2a 2 ＋, ＋ log 2a 2 n － 1＝ ( )
A ． n(2n － 1)
B ． (n ＋ 1)2
C ．n 2
D ． (n － 1)2
，且
S 4
＝ 5，则
S 8
＝
(3)(2015 山·西省第二次四校联考 )若等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n
S
S
________．
[ 规律方法 ] (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质 “若 m ＋n ＝ p ＋ q ，则 a m · a n ＝ a p · a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2) 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此
外，解题时注意设而不求思想的运用．
3 3.(1)在等比数列中，已知 a 1 a 38 a 15＝ 243，则 a
9 的值为 ( )
a 11
A ． 3
B ． 9
C ．27
D ． 81
(2)(2015 长·春调研 )在正项等比数列 { a n } 中，已知 a 1a 2a 3＝ 4，a 4a 5a 6＝ 12，a n － 1a n a n ＋ 1＝ 324，
则 n＝ ()
A．11B． 12
C．14D． 16
(3)设等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，若 S6∶S3＝1∶ 2，则 S9∶ S3等于 ()
A．1∶2B．2∶3
C．3∶ 4D．1∶3
方法思想——分类讨论思想在求数列前n 项和中的应用
(2015 ·江苏常州模拟 )如果有穷数列a1， a2，a3，, ， a m(m 为正整数 )满足
条件 a1＝ a m， a2＝ a m－1，, ， a m＝ a1，即 a i＝ a m－i＋1 (i＝ 1，2， , ， m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1， 2， 3，4， 3， 2，1 与数列 a， b， c，c， b， a 都是“对称数列”．
(1)设 { b n} 是 8项的“对称数列”，其中b1， b2，b3， b4是等差数列，且 b1＝ 1， b5＝ 13.
依次写出 { b n} 的每一项；
c m＋1，c m＋2，, ， c2m＋1是首项为 a，公比为
(2)设 { c n} 是 2m＋ 1 项的“对称数列”，其中
q 的等比数列，求 { c n } 的各项和 S n.
[解 ] (1) 设数列 { b n} 的公差为 d， b4＝b1＋3d＝ 1＋ 3d.
又因为 b4＝ b5＝ 13，解得 d＝ 4，
所以数列 { b n} 为 1， 5，9， 13， 13， 9， 5，1.
(2)S n＝ c1＋ c2＋ , ＋ c2m＋1＝ 2(c m＋1＋ c m＋2＋ ,＋ c2m＋1)－ c m＋1＝ 2a(1 ＋q＋ q2＋ , ＋ q m)－ a
1－q m＋ 1
＝2a·－ a(q≠ 1)．
1－q
而当 q＝ 1 时， S n＝(2m＋ 1)a.
（ 2m＋1） a（q＝ 1）
∴ S n＝m＋1.
1－ q
（ q≠ 1）
－ a
2a·1－q
[名师点评 ] (1) 本题是新定义型数列问题，在求等比数列{ c n} 前 n 项和时用到了分类讨
论思想．
(2)分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有：
①已知 S n与 a n的关系，要分n＝ 1， n≥ 2 两种情况；
②项数的奇、偶数讨论；
③等比数列的单调性的判断注意与a1，q 的取值的讨论．
(2014 ·高考山东卷 )在等差数列 { a n} 中，已知公差d＝ 2，a2是 a1与 a4的等比中项．
(1)求数列 { a n} 的通项公式；
(2)设 b n＝ a n（n＋1），记 T n＝－ b1＋ b2－ b3＋b4－, ＋ (－ 1)n b n，求 T n.
2
1．已知等比数列 { a n} 的前三项依次为a－1， a＋ 1， a＋ 4，则 a n＝ ()
A ．
3 n B．4× 2 n 4×23
3 n－ 12n － 1
C．4×2D．4×3
a3a9＝2a52， a2＝ 2，则 a1 2． (2015 山·东淄博期末 )已知等比数列 { a n} 的公比为正数，且
＝()
12
A. 2
B. 2
C.2D． 2
3．已知数列 { a n} 满足 1＋ log 3a n＝ log 3a n＋1(n∈N* )且 a2＋ a4＋ a6＝9，则 log1 (a5＋ a7＋ a9)
3
的值是()
11
A. 5B．－5
C．5D．－ 5
4．(2015 四·川广元质检 )等比数列 { a n } 的公比 q>0 ，已知 a2＝ 1，a n＋2＋ a n＋1＝ 6a n，则 { a n}的前 4 项和 S4＝()
A．－ 20B． 15
1520
C. 2
D. 3
5．已知数列 { a n} ，则有 ()
A ．若 a n2＝ 4n， n∈N*，则 { a n} 为等比数列
2*
，则 { a n} 为等比数列
B．若 a n· a n＋2＝a n＋1， n∈N
C．若 a m·a n＝ 2m＋n， m， n∈N*，则 { a n} 为等比数列
D．若 a n· a n＋3＝ a n＋1· a n＋2， n∈N*，则 { a n} 为等比数列
6．(2013 高·考北京卷 )若等比数列 { a n} 满足 a2＋ a4＝ 20，a3＋ a5＝ 40，则公比 q＝ ________；前 n 项和 S n＝________.
7． (2014 高·考广东卷 )若等比数列 { a n} 的各项均为正数，且a10a11＋ a9a12＝ 2e5，则 ln a1＋ln a2＋, ＋ ln a20＝ ________.
8．已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，满足 a n＋ S n＝ 1(n∈N* )，则通项公式a n＝ ________．9．已知等差数列 { a n} 满足 a2＝ 2，a5＝8.
(1)求 { a n} 的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{ b n} 中， b1＝ 1， b2＋ b3＝ a4，求 { b n} 的前 n 项和 T n.