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第一章 误差

1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.

解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2

4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生

的误差即为模型误差.

在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:

12

222...q q π=?

?? 其中

11

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2,3,...

n q q n +?=??

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==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得

3.141587725...π≈

这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.

2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:

816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236

3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位

4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位

5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字?

解: 已知4311

d 10,d 1022

a b --

()4332111

10100.551010222

d a b da db da db ----+=+≤+=?+?=?

所以a b +有三位有效数字;

因为0.1047571410a b ?=?,

()4332111

0.94710 1.1062100.600451010222

d a b b da a db ----?=+=??+??=?

所以a b ?有三位有效数字.

6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求12

11

,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ?与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211

d ,d ,d =

10,d 1022

x y x x y x x x =+=+?=?, ()4

4111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x x

x x x y --???==≈=≈? ???

;

()4

2222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x x

x x x y --???==≈=≈? ???

;

()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---?=+≈?+?≈?.

7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.

解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2

d d 2d 1s a a a ==≤,则要求

211d 0.5102200

a a -≤

==?.所以边长的误差不能超过20.510-?cm.

8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''

(读到秒),试问:计算sin ?将有多大误差?

解: ()()1d sin cos d cos 45022???*

''?

?'''== ???

.

9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式2

12

s gt =

确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122

s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ??

=====

??? d s 与

t 成正比,

d s s

与t 成反比,

所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x

δ=,所以ln x 的绝对误差()d d

ln x x x

δ=

=.

11. 设x 的相对误差为%α,求n

x 的相对误差.

解: 1d d d %n n n n x nx x n x

n x x x

α-=

==.

12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=

,设()d dr R R a R

==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V

V V R R R R a V

=

=======,则11%3a =?.

第二章 插值法与数值微分

1.

设y ,在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,

试以这三个点建立y =的

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二次插值多项式,

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,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,

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,并分析其结果不同的原因.

解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,

建立二次Lagrange 插值函数可得:

()()()()()()()()()

()()()()

21211441001441011100121100144121100121144121100 12

144121144100x x x x L x x x ----=

+------+

--

()211510.7228L ≈=.

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误差()()

()()()()2

012012,,,,3!

f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=

---∈,所以

2

0.00065550.001631R <<

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利用前两个节点建立线性插值函数可得:

()()()

()()

11211001011100121121100x x L x --=

+

--

()111510.7143L ≈=.

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利用后两个节点建立线性插值可得:

()()()

()()

11441211112121144144121x x L x --=

+

--

()111510.7391L ≈=.

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利用前后两个节点建立线性插值可得:

()()()

()()

21441001012100144144100x x L x --=

+

--

()111510.6818L ≈=.

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,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值

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效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.

2. 利用(2.9)式证明

()()

()

01

2

1001max ,8

x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤

证明: 由(2.9)式

()()()()0101,2!

f R x x x x x x x ξξ''=--<<

当0

1x x x <<时,

()()01

max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01

201101max 4

x x x x x x x x x ≤≤--≤

- 所以

()()

()

01

2

1001max ,8

x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤

3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有

()()()()()

()()()()

011011............j j n j j

j j j j j n x x x x x x x x l x x

x x x x x x x -+-+----=

----

证明

()0

,0,1,...,n

k k j j j x l x x k n =≡=∑ 证明: 由于

() 1 ;

0 .

j i ij i j l x i j δ=?==?

≠? 且

()0

n

k

j j

j x l x =∑和k x 都为k 次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同 0,1,...,k n =, 所以马上有

()0

,0,1,...,n

k

k

j j

j x l x x k n =≡=∑.

4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于5

10-,问函

数表的步长最大能取多少? 解: 记插值函数为p(x),则

()

()()()()11sin sin 3!

i i i x p x x x x x x x ξ-+'''-=

--- 所以

()()()()11cos max sin 3!

i i i x x p x x x x x x ππ

ξ-+-≤≤--=

---

()cos 1ξ-≤;令()()()()11i i i g x x x x x x x -+=---,设1i x x th -=+,得

()()()[]3112,0,2i g x th h t t t t -+=--∈

又()()()[]12,0,2t t t t t ?

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=--∈的最大值为10.3849??= ?

?,所以有 3

50.3849max sin 106

x x p h ππ

--≤≤-≤

< 所以 0.0538h ≤.

5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()123023301

01020310121301301223202123303132 310331016227

31033 .

2781/5

x x x x x x x x x x x x L x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=

+------------+

+--------+--=+

+-+-++

牛顿插值: 首先计算差商

3 1

0 2 1

3 2 1.333 0.38896 10

4 0.8889 0.1420

-----

()()()()()3130.38893 1.142033.N x x x x x x x =-++-+++-

也可以利用等距节点构造,首先计算差分

3 1

0 2 3

3 2

4 76 10 12 16 23

-----

可得前插公式

()()()()30723

13112;26N x th t t t t t t -+=-++

-+-- 和后插公式

()()()()331623

1012112.26

N x th t t t t t t +=++

-+--

6. 确定一次数不高于4的多项式()x ?,使()()()()()00,00,111,21?????''=====. 解: 利用重节点计算差商

0 00 0 01 1 1 11 1 1 0 12 1 0 1 1/2 1/4

---

则可构造Hermite 插值函数满足题设条件:

()()()()()()()()()()()443200010010011

00114

139.424H x x x x x x x x x x x x x x =+-+------+

----=-+

7. 寻找过1n +个点01,,...,n x x x 的21n +次多项式()21n H x +,满足条件:

()()()()()()()()()()()()21002111212

100211121,,...,,,,..,.n n n n n n n n n n H x f x H x f x H x f x H x f x H x f x H x f x ++++++===''''''===

解: 和Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成

()() ()(),21,0

n

n i n n i i i

i H x h x y h x y +='=+∑

其中,基函数满足条件 (1)() ()(),,,21n i n i h x h

x P n ∈+;

(2)()() () (),,,,,0;,0n i n i n i

j

ij

n i j j ij j

h x h x h x h x δ

δ''==== 则可由已知条件,可得

()()()()2

,,,12n i n i i i n i h x l x x x l x '??=--??;

()()()2,,n i i n i

h x x x l x '=-. 所以可得

()()()()()()()22

21,,,012n

n n i i i n i i i n i i i H x l x x x l x y x x l x y +=''

??=--+-??∑

8. 过0,1两点构造一个三次Hermite 插值多项式,满足条件:

()()()()11

01,0,12,122

f f f f ''====

解: 计算重节点的差商

0 1

0 1 1/2

1 2 1 1/21 2 1/2 -1/2 1

-

马上可得

()()()()()()()33211

1000100122

31

1

22H x x x x x x x x x x =+

-+------=-+++

9. 过给定数组

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(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.

(3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3x x ==的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得:

()()()()()()()50123452.768 2.833 2.903 2.979 3.062 3.153I x l x l x l x l x l x l x =+++++ 其中, ()[][]076 75,76;

0 75,76.x x l x x ?-∈?=????

()[]

[][]175 75,7677 76,77;0 75,77.

x x l x x x x ?-∈?=-∈????

()[][][]276 76,7778 77,78;0 76,78.x x l x x x x ?-∈?=-∈????()[][][]377 77,7879 78,79;0 77,79.

x x l x x x x ?-∈?

=-∈????

()[]

[][]478 78,7980 79,80;0 78,80.

x x l x x x x ?-∈?=-∈????()[][]580 79,80;

0 79,80.

x x l x x ?-∈?=?

??? (2)把已知节点值带入M 关系式可得:

12123

234

3451

120.01522

11 20.018

2211 20.014

2211

20.01622

M M M M M M M M M M M M ?++=??

?++=??

?++=???++=? 由边界条件可得0

50M M ==,所以上面方程组变为可求解方程组

12123

234

34120.01521120.018

2211 20.014

221

20.0162

M M M M M M M M M M ?

+=??

?++=??

?++=???+=? 解得12340.0058,0.0067,0.0036,0.0071M M M M ====.

所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式:

()()()()()3

3111116

666j j

j j j j j j j j M M M M s x x x x x y x x y x x -----???

?=

-+

-+--+-- ? ????

?

(3)当75.5x

=时, ()()()50175.5 2.76875.5 2.83375.5 2.8005I l l =+=;

()()()()()30.00580.005875.575.576 2.7687675.5 2.83375.575 2.79966s ?

?=

-+-+--= ??

?当78.3x

=时, ()()()53475.5 2.97978.3 3.06278.3 3.0039I l l =+=;

()()()()()33

0.00360.007178.37978.378.37866

0.00360.0071 2.9797978.3 3.06278.378 3.0034.

66s =

-+-???

?+--+--= ? ?????

10. 若给出sin ,cos ,tan x x x 的函数表:

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用表上的数据和任一插值公式求:

(1) 用tan x 表格直接计算tan1.5695.

(2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用Lagrange 插值直接用tan 表计算得

tan1.5695819.0342874999274≈;

利用Lagrange 插值计算sin 得

sin1.56950.99999917500000≈;

利用Lagrange 插值计算cos 得

cos1.56950.00129630000000≈;

最后利用sin/cos 计算tan 得

tan1.5695771.4257309264500≈.

出现小除数,误差被放大.

11. 求三次样条函数()s x ,已知

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和边界条件

()()0.25 1.0000,0.530.6868s s ''==

解: 把表中数据带入M 关系式可得

121232345

92 4.31431414

32 2 3.2643

5534 2 2.428677M M M M M M M M M ?++=-??

?

++=-??

?

++=-??

由边界条件还可得到两个方程:

013

42 5.5200

2 2.1150M M M M +=-??

+=-? 联立两个方程组可解得:

012342.0284, 1.4632, 1.0319,0.8062,0.6544M M M M M =-=-=-=-=-

带入M 表达式便可得所求三次样条函数.

12. 称n 阶方阵()

ij A a =具有严格对角优势,若

1,1,2,...,n

ij ij j j i

a a i n =≠>=∑

(1) 试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆. (2) 证明:方程组(2.62)解存在唯一.

证明: (1)设矩阵A 按行严格对角占优,如果A 奇异,则存在非零向量x 使得Ax=0,写成分量形式为

1

0,1,2,...,n

ij j

j a x

i n ===∑

令指标0i 使得00i x x

=≠,则

0000000

00

1111n

n

n

n

i i i i j j i j j i j

i i j

j j j j j i j i j i j i a x a x a x x

a

x a

====≠≠≠≠=-≤≤=∑∑∑∑

因此

0000010n i i i i j j j i x a a =≠??

?-≤ ? ??

?

∑ 即

0000

10n

i i i j j j i a a =≠-≤∑

上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异. (2)方程组(2.62)

()()()()0010101121

212232

121111 212 12 ............ 12 12n n n n n n n n M M M M M M M M M M M M M αβααβααβααβα------+=-++=-++=-++=-+n n

β??

????

?

???=? 由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.

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