13常微分方程试卷A及答案

盐城师范学院考查试卷

2014 - 2015 学年 第 一 学期

数学科学学院 金融数学专业《常微分方程》试卷A

班级 学号 姓名

一、单项选择题（在每小题的4个备选答案中，选出一个最佳答案，共5小题；每小题3分，共15

分）

1. 方程

y

x

x y dx dy +=不是 （ ） （A ）齐次微分方程. （B ）贝努利微分方程. （C ）变量分离方程. （D ）非线性微分方程.

2. 微分方程0=+'+''y y x y 满足条件0)0(=y 的解有 （ ） （A ）1个. （B ）2个. （C ）3个. （D ）无穷多个.

3. 微分方程02=-'+''y y y 的基本解组x x e e 2,-的朗斯基行列式的值为 （ ） （A ）x e --3. （B ）x e 3. （C ）x e . （D ）x e --.

4. 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有形式 （ ） （A ）b axe x +. （B ）b ae x +. （C ）bx ae x +. （D ）bx axe x +.

5. 可以成为微分方程组x x ???

???='2012的基解矩阵是 （ ） （A ）??????10012t e . （B ）??????1012t e t . （C ）??????1012t e t . （D ）?

?

????t e t 1102. 二、填空题（本大题5空 ,每空3分,共15分）

1. 当=k ____________时，x x y sec 2=是微分方程x k x y y sec tan =-'的解.

2. 微分方程0)(22=+++xydy dx x y x 有积分因子____________________________.

3. 微分方程x dx

dy

2=与直线32+=x y 相切的解是_______________ ______. 4. 通解为x x e c e x c c 2321)(--++的三阶常系数齐线性微分方程为___________________. 5. 证明微分方程组],[),()(b a t t f x t A x ∈+='满足初值条件η=)(0t x 的解的存在唯一性定

理时所构造的皮卡逐步逼近向量函数序列为_______________________________。

三、计算题（本大题共5小题,每小题10分,共50分）

1. 设)(x f 连续，且满足x x

e dt t

f x f +=?0)()(，求)(x f .

2. 利用解的存在唯一性定理确定初值问题??

???=-∈-=0)1(,

),(,22y R y x y x dx dy

的解的存在区间，

并求第二次近似解,}1,11|),{(≤≤+=y x y x R 这里. 3. 解方程 0)(12

2='-+

''x x

x . 4．求解方程x xe y y y -=++'2".

5．解方程组 ?????????+-=-+-=+-=.3,5,3z y x dt

dz z y x dt

dy

z y x dt dx

四、应用题（本大题共1题，共10分）

求一曲线，使其具有性质：曲线上每一点处的切线，切点到原点的向径以及x 轴围成一个等腰三角形(以x 轴为底)，且通过点(1，2).

五、证明题（本大题共1题，共10分）

设A 为n n ?常数矩阵,)(t Φ为微分方程组Ax x ='的定义在),(+∞-∞上的标准基解矩阵,所谓标准是指)(t Φ还满足E =Φ)0(，试证明: ),(+∞-∞∈?t ,有)()()(010t t t t -ΦΦ=-Φ，其中

),(0+∞-∞∈t 为某一确定的值.

诚 信 考 试 承 诺

我承诺：追求真知，展示真我，诚实守信，杜绝作弊。

承诺人：

盐城师范学院2014—2015学年第一学期期末考查

《常微分方程》试卷A 答题纸

学院 班级 姓名 学号

一、单项选择题（本大题共5题，每题3分，共15分）

二、填空题(本大题共5空，每空3分，共15分)

1. 。

2. 。

3. 。

4. 。

5. 。

三、计算题（本大题共5题，每题10分，共50分）

1．解:

2．解:

3．解:

4．解:

5．解:

四、应用题（本大题共1题，共10分）解:

五、证明题（本大题共1题，共10分）证明:

盐城师范学院2014—2015学年第一学期期末考查

《常微分方程》试卷A参考答案及评分标准一、单项选择题(本大题共5题，每题3分，共15分)

二、填空题(本大题共5空，每空3分，共15分)

1. 2；

2. )1,01(都对或等于≠c c cx ；

3. 42+=x y ;

4. 0254=+'+''+'''y y y y ；

5. []?????++==?-t t k k

ds s f s s A t t 0,)()()()(,)(10?η?η? b t a ≤≤, ,2,1=k . 三、计算题（本大题共5题，每题10分，共50分）

1．解: 所给积分方程两边关于x 求导,得

x e x f x f +=')()(, (4分)

由积分方程还可以得到1)0(=f .上述方程为一阶线性微分方程,它的通解为

)()()(x c e dx e e c e x f x dx

x dx +=?+?=?-, (8分)

由(0)11f c ==知，故x

e x x

f )1()(+=. (10分)

2．解: 这里4

1

}41,1min{},min{4),(max ),(=====∈M b a h y x f M R y x ，. 由解的存在唯

一性定理知该初值问题的解的存在区间为???

??

?--4345，。 (5分)

我们可以作如下的近似解表达式：

[

]

[]

,

42

11931863)()(,

3

1

)()(,0)(3

4712

122312

0210+-+--=-=+=-==??--x x x x d y x y x d y x y x y x x

ξξξξξξ (10分) 3．解: 令,y x ='直接计算可得dx

dy

y x =''，代入原方程,得

0122=-+y x

dx dy y , (4分) 即y x dx dy y 1

20-==或

，由后一方程积分后得 2)1(-=x c y ,

即数为不同时为零的任意常其中积分得212

12,,1

1,)1(c c c c t c x x c x =+-

=-='.(8分)

由c x x y =='=积分得得,00, 而当得到可由时2

11

11c t c x c x c +-

==≠. 于是,

12

1

1.x c t c =-

+原方程的通解为 (10分) 4．解: 所给方程的特征方程为0122=++k k ，解之得特征根为12,1-=k .(3分) 因1-=λ是特征根,所以可设特解为

()x e b ax x y -+=2, (5分)

求导得

()x e bx x b a ax y -+-+-='2)3(23， ()

x e b x b a x b a ax y -+-++-+=''2)46()6(23. 代入所给方程得

()x x xe e b ax --=+26. 比较系数得 61=

a ，0=

b ，则特解为x e x y -=36

1

. (7分) 于是原方程通解为 ??? ?

?

++=-32161x x c c e y x . (10分)

5．解：所给方程组的特征方程为

()()()06)(323

1

1

15

1

1

13

det =---=-----=

-λλλλλλλA E . 解之得特征根为21=λ，32=λ，63=λ. (3分)

解方程组0)(1=-u A E λ得与1λ对应的特征向量为0,101≠???

?

? ??-=ααu ;

解方程组0)(2=-u A E λ得与2λ对应的特征向量为0,111≠???

?

? ??=ββu ;

解方程组0)(3=-u A E λ得与3λ对应的特征向量为0,121≠???

?

? ??-=γγu . (9分)

于是所求方程组的通解为

236123*********t t t x y c e c e c e z ???????? ? ? ? ?

=++- ? ? ? ? ? ? ? ?-????????

(10分)

四、应用题（本大题共1题，共10分）

解：设所求曲线方程为)(x y y =，),(y x 为其上的任一点，则过该点曲线的切线方程为

)(x X y y Y -'=-， (3分)

它与x 轴的交点的坐标为)0,(y y

x '

-

，由题意有 22

22)(y y y y x +'

=+,即x y y ±='.

因所求曲线经过点(1,2), 显然x

y

y =

'不合题意, 事实上,曲线)(x y y =上过点(1,2)处的切线为x y 2=和点(1,2)处的向径所在的直线重合, 这与题设相矛盾. 所以有 x

y

y -

='， （7分） 它的通解为c xy =，将条件2)1(=y 代入得所求曲线方程为2=xy 。 （10分）

五、证明题（本大题共1题，共10分）

证明: 因为)(t Φ为所给方程组的解,所以),(+∞-∞∈?t ,有 )()(t A t Φ=Φ', 又矩阵A 为n n ?常数矩阵,所以),(+∞-∞∈?t ,有

)()(00t t A t t -Φ=-Φ', (4分) 且有01)(det 00≠==-ΦE t t , 则)(0t t -Φ也是所给方程组的基解矩阵. 因而存在常数方

阵C 使),(+∞-∞∈?t ,有

C t t t )()(0Φ=-Φ. （7分） 又E =Φ)0(, 故在上式中令0t t =, 得)(01t C -Φ=. 因而有

)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-,),(+∞-∞∈?t . （10分）