河南省鹤壁市淇滨高级中学高中平面向量及其应用知识点和相关练习试题
一、多选题
1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0?=?=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ?=，则a b a b +=- 2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6
A a c π
===则角C 的大小
是( ) A ．
6
π B ．
3
π C ．
56
π D ．
23
π 4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ．
sin sin sin +=+a b c
A B C
5．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积S = 6．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，
E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ?=- B ．0OE O
C +=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
7．在ABC 中，若30B =?，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
8．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C =
B ．AB
C ?是钝角三角形
C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ?外接圆半径为
7
9．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+?与b 方向相同
C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 10．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等
11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的
坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
12．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A ．0AB
BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=
13．已知ABC ?中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3
B a c π
=+=,则
a
c
=( ) A ．2
B ．3
C ．
12 D ．
13
14．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同 15．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．23
17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin 2a c B -==-，且0,2B π??
∈ ???
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，
，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则
ABC 一定为直角三角形；④若3
B π
=
，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是
)
3+∞.以上结论中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
19．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???
，且1
||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
20．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边
AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大
的数），则m 的最小值为（ ） A ．M
B ．N
C ．22
D ．1
21．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）
A ．30
B ．45?
C ．60?
D ．90?
22．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ?===D 在边BC 上，且
27
sin BAD ∠=
CD 等于（ ）
A ．23
3
B．
3
3
C
．
33
2
D．
43
3
23．在△ABC中，M为BC上一点，60,2,||4
ACB BM MC AM
∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（）
A．123B．63C．12 D．183
24．已知非零向量AB与AC满足0
AB AC
BC
AB AC
??
?
+?=
?
??
且
1
2
AB AC
AB AC
?=，则ABC
的形状是（）
A．三边均不相等的三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．以上均有可能
25．ABC中，5
AB AC
==，6
BC=，则此三角形的外接圆半径是（）
A．4 B．
7
2
C．
25
8
D．
25
9
26．题目文件丢失！
27．在ABC中，()2
BC BA AC AC
+?=，则ABC的形状一定是（）
A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形28．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若
()
,
DE AB AD R
λμλμ
=+∈，则λμ?等于（）
A．
3
16
-B．
3
16
C．
1
2
D．
1
2
-
29．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A ．5
B ．10
C ．4
D ．5
30．在ABC ?中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ?的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
31．如图，在ABC 中，14AD AB →
→=，12
AE AC →→
=，BE 和CD 相交于点F ，则向量
AF →
等于（ ）
A ．1277A
B A
C →→
+
B ．1377AB A
C →→
+
C ．121414
AB AC →→
+ D ．131414
AB AC →→
+ 32．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
?=?=?，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
33．已知ABC 中，1,3,30a b A ?===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
34．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点
C ，
D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）
A ．10,2??
???
B ．10,3?? ???
C ．1,02??
-
??? D ．1,03??- ???
35．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ?等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
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一、多选题 1．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0?=?=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ?=，则()
2
2
2
2
2
2a b a b a b a b a b
+=+=++?=
+，
(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b -=
-=+-?=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
2．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【
解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >?>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==???=，故C 错
误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--?，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
3．BD 【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握
解析：BD 【分析】
由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得
sin sin a c
A C
=,
∴ sin sin 2
c C A a ==,而a c <,
∴ A C <, ∴
566
C π
π<<, 故3C π
=
或
23
π. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
4．ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角
解析：ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在ABC ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；
对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错
误；
对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以
A B >，故C 正确；
对于D ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 5．AB
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >?>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=?，即A B =或90A B +=?，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；
ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积S =11
sin 3sin 6022
S bc A c ==??=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
a =，
∴2sin sin 603a R A =
==
?，3
R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
6．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123
(0,),3),(1,),(,3
O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3
2
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
22
OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；
123(,33
ED =，(1,3)BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +?==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
7．BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】
由正弦定理可得，所以，
所以或. 故选：BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
解析：BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈??即可得解. 【详解】
由正弦定理可得sin sin AB AC C B =
，所以1
sin 2sin 2AB B C AC ?===， 又30B =?，所以()0,150C ∈??， 所以60C =?或120C =?. 故选：BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
8．ACD 【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为
所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为
解析：ACD 【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=??
+=??+=?
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，
又222222(4)(5)(6)1
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错
误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，
又222222(6)(5)(4)3
cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===??，
所以2
1
cos22cos 18
A A =-=
，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??
∈ ??
?
所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin C ==
所以
2R =
，解得：R =D 正确. 故选:ACD. 【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
9．C 【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C 【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ?=?，得||||(1cos )0a b θ?-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
10．BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
11．ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得
解析：ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
12．AB 【解析】 【分析】
根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；
，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B. 【点睛】
本题主要考查了向量加法的
解析：AB 【解析】 【分析】
根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0AB
BA AB AB
，正确；
AB BC
AC ，由向量加法知正确；
AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；
0,AB AB +=，所以00AB +=错误.
故选：A B .
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.
13．AC 【分析】
将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，
由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】
本题考查余弦定理的应
解析：AC 【分析】
将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】
∵,3
B a c π
=
+=，
∴2
2
2
2
()23a c a c ac b +=++=①， 由余弦定理可得，2
2
22cos
3
a c ac
b π
+-=②，
联立①②，可得222520a ac c -+=，
即2
2520a a c c ????-+= ? ?????
， 解得
2a
c =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.
14．ABD 【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时
解析：ABD 【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-
故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.
15．ABD 【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对
解析：ABD 【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：
()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确．
对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得
()21
13
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以11
33
DF DC AB ==， 所以()21
13
m AP AB m AD +=
+-. 因为E 是BC 的中点， 所以11
22
AE AB BC AB AD =+
=+. 因为AP AE λ=， 所以
()211132m AB m AD AB AD λ+??+-=+ ???
， 则213
112m m λλ
+?=????-=??
，
解得3
4
λ=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 17．C 【分析】
化简条件可得sin 2
a B c ==
，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin 2
a B c ∴==.0,2B π??∈ ???，
4
B π
∴=
.
由正弦定理，得
sin sin 2
a A c C ==
，
3
sin 4C A C C C π???
∴==-=+? ?????
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈， 2
C π
∴=
， 则4
A B C π
π=--=
，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 18．B 【分析】
由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】
①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2
A B π
+=
，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；
③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =， 因为0A π<<，所以2
A π
=
，因此③正确；
④由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A
==，
因为三角形有两解，所以
2,332
A B A πππ>>=≠
所以sin A ?
∈????
，即)
b ∈，故④错误.
故选：B 【点睛】
本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 19．D 【分析】
先根据0||||AB AC BC AB AC ??
+= ? ???
，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】
解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，
1
cos ||||2
AB AC A AB AC =
=，
3
A π∴∠=
， 3
B C A π
∴∠=∠=∠=
，
∴三角形为等边三角形．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 20．C 【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，
1ab c =?，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=?，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得
1ab c =?，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以+M a b ==
=≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=?，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，
所以+N a b ==
=≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 21．C 【分析】
首先根据题的条件27a b +=
，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得
1
2a b ?=
，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=
，所以2()7a b +=，
即2
2
447a a b b +?+=， 因为2
2
1a b ==，所以12
a b ?=， 所以1
cos ,2
a b <>=
，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]??， 所以向量a ，b 夹角的范围为60?， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 22．A 【分析】
首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值. 【详解】
AB =