量子力学12套内部模拟试题
561
模拟试题
试题1
一. （20分）设氢原子处于 ()()()()()()()?θ?θ?θ?θψ,Y R 2
1,Y R 2
1,Y R 2
1,,112110311021--
-
=
r r r r
的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。
二. （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H
+=μ
2??20时，
能级是0
n
E
，如果哈密顿算符变成μαp H H ??
?0+=（α
为实参数），求变化后
的能级n E 。
三. （20分）质量为μ的粒子处于如下的一维位势中 ()()()x V x c x V 0+-=δ 其中，
()???>≤
=0 ,0 ,01
0x V x x V 且
>c ，01>V , 求其负的能量本征值。
四.（20分）已知在2L 与z L 的共同表象中，算符y L ?
的矩阵形式为
562
????
? ??--=0i
i 0i 0i 0
2? y
L
求y L ?
的本征值和归一化的本征矢。
五.（20分）两个线谐振子，它们的质量皆为μ，角频率皆为ω，
加上微扰项21 ?x x W λ-=（2
1,x x 分别为两个谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
试题2
一.（20分）质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于
()kx
A x 2
sin
=ψ的状态 上，求其动量p
?与动能T ?的取值几率分布及平均值。
二. （20分）质量为m 的粒子处于如下一维势阱中
()???
??>>≤≤<∞=a x V a
x x x V )0(0 ,00
.0
若已知该粒子在此势阱中存在一个能量2
0V E =
的状态，试确定此势
阱的宽度a 。
三. （20
分）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢1u
、2
u
和3u 构成的，以其为基矢的两个算符H
?和B ?的矩阵形式如下
563
????
?
?
?=?????
?
?--=01
0100
001? ;10
0010
001?b B H ω 其中，ω,b 为实常数。证明算符H
?和B ?是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。
四. （20分）固有磁矩为s ?
γμ=的电子，0=t 时处于2
=x s 的
状态，同时进入z 方向均匀磁场
k
B B =中。求0>t 时测量x s
?得2
-
=x s 的几率是多少。γ
为已知常数，s
? 为自旋算符。
五.（20分）一个电荷为q 、质量为μ和角频率为ω的线谐振子，
受到恒定弱电场ε的作用，即x q W ?ε-=，求其能量近似到二级修正、
波函数到一级修正。
试题3
一.（20分）质量为m 的粒子，在阱宽为a 的一维无限深势阱中运动，当0
=t
时，粒子处于状态
()()()()x x x x 32141
41
21
0,???ψ+-= 其中，()x n ?为粒子的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的取值几率； （2） 求0
>t
时的波函数()t x ,ψ；
564
（3） 求0
>t
时能量的取值几率。
二.（20分）设体系的哈密顿算符为
()
22
221?21??21?z y x L I L L I H ++=
利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。 三. （20分） 自旋为
2
1、固有磁矩为s
γμ=（γ为实常数）
的粒子，处于均匀外磁场j
B B =中，设0=t 时，粒子处于2
=
z
s
的
状态，求出0>t
时的波函数，进而计算x s
?与z s
?的平均值。 四.（20分）若一维体系的哈密顿算符()x V p H +=
μ
2??2不显含时间，
在能量表象中证明： (1) ()mn m n mn x E E p -= i μ
(2) ()()mm
n
mn
n m
p x E E 2
2
22
2
μ
=
-∑
(3) ()()mm
n
mn
n m
x V x x E E ?
??
??=-∑d d 2
2
μ
五. （20分） 各向同性三维谐振子的哈密顿算符为
()
)(2
1???21?2222222z y x p p p H z y x +++++=μωμ 加上微扰()zx yz xy W ++-=λ?之后，用微扰论求第一激发态的一级能量
565
修正。
试题4
一.（20分）质为m 的粒子处于一维位势
()???
??>>≤≤<∞=a x V a
x x x V 00 ,00 ,)(0
中，导出其能量本征值00V E <<时满足的方程。
二.（20分）质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于
()kx A x 2
sin =ψ的状态 上，求其动量p
?与动能T ?的其中几率分布及平均值。
三.（20分）若一维体系的哈密顿算符()x V p H +=
μ
2??2不显含时间，
在能量表象中证明：
（1） ()mn m n mn x E E p -= i μ
（2） ()()mm
n
mn
n m
p x E E 22
22
2
μ
=
-∑
（3） ()()mn
n
mn
n m
x V x x E E ??? ??=-∑d d 2
2
μ
566
四.（20分）求自旋角动量在任意方向
n
（方向余弦为
γβαcos ,cos ,cos ）的投影算符
γβαc o s ?c o s ?c o s ??z y x n s s s s
++= 的本征值和相应的本征矢。
五.（20分）设有一量子体系，其能量算符0
?H 的本征矢记为() ,2,1,0=n n ，给定厄米特算符B A
?,?及[]
A B C ?,?i ?=。设体系受到微扰[]0
?,?i ?H A W λ=的作用，若已知0?0,0?00?00
00
C C B B A A
===，试在微扰
后的基态（无简并）下计算B
?的平均值，准确到λ量级。
试题5
一.（20分）氢原子在0
=t 时刻处于状态
()()()()??
????+
+
=r r r C r
32121312
10,???ψ 式中，()r n
?为氢原子的第n
个本征态。
（1） 计算?=C ； （2） 计算0=t
时能量的取值几率与平均值；
（3） 写出任意时刻t
的波函数()t r ,
ψ。
二.（20分） 证明： （1）
若一个算符与角动量算符
J ? 的两个分量对易，则其必与J
?
567
的另一个分量对易；
（2）在2?J 与z J ?
的共同本征态JM 下，x J ?与y J ?的平均值为零，且当J
M =时，测量x J ?与y J ?的不确定性之积为最小。
三. （20分）有一质量为m 的粒子，在如下势场中运动
()???
??<<≤≤><∞=b x a V a
x b x x x V ,0 ,0,0
,0
试求出束缚能级所满足的方程。
四.（20分）由两个自旋为21
的粒子构成的体系，若两个粒子的自旋态分别处于
???
?
??=011χ；
????
??
?
???? ?????? ??-?=2i e x p 2s i n 2i e x p 2c o s 2
?θ?θχ
的态上，求体系分别处单态与三重态度几率。
五.（20分）一个质量为μ、角频率微0ω的线谐振子，受到微扰
2
?x W β=的作用，
（1） 用微扰论求能量的一级修正；
（2） 求能量的严格解，并与（1）的结果比较。
试题6
568
一. （20分）设氢原子处于 ()()()()()()()?θ?θ?θ?θψ,Y R 2
1,Y R 2
1,Y R 2
1,,112110311021--
-
=
r r r r
的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。
二.（20分）已知算符B A
?,?满足A A B A A
A A A ??? ,1???? ,0?2
+++
==+=，证明B B
??2=，并在B ?表象中求出A ?的矩阵表示。
三.（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H +=μ
2??20
时，
能级是0
n E ，如果哈密顿算符变成μαp H H ???0+=（α为实参数），求变
化后的能级n E 。
四. （20分） 两个自旋为
2
1的非全同粒子，自旋间的相互作用
是21??s s C ?，其中，C 是常数，1?s 与2?s 分别是粒子1和粒子2的自旋
算符。设0
=t
时，粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z
轴的负方向，求0
>t
时测量粒子2的自旋处于z 轴负方向的几率。
五．（20分）三维各向同性谐振子的能量算符为
()2
22
2
20
212??z
y x
m m
p H +++=ω
试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰
569
xy
W 2
2
?ωλ=()1<<λ的作用，用微扰论求基态能量到二级微扰修正，
并与精确解比较。
试题7
一. （20分） 线谐振子在0=t 时处于 ()()()()x x x x 3102
12
32
10,???ψ+
+=
态上，其中()x n ?为线谐振子第n 个本征值对应的本征函数。 （1） 求在()0,x ψ态上能量的可测值、取值几率与平均值； （2） 写出0>t
时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。
二.（20分）对一维定态问题，若哈密顿量为
()x V p H
+=μ
2??2
且设其具有断续譜，即n
E n H n
=?，证明 （1） (
)k p
k x E E kn
n
n k
22
22
2?μ
=
-∑
（2） 若()x V 与μ无关，则
()μ
??-=-∑k kn
n
n k
E x E E
2
2
2
2
三.（20分）两个自旋为21
的粒子，它们之间的相互作用为是
570
2
1??s s ?γ，其中，γ是常数。设0=t 时，粒子1的自旋沿z 轴的正方
向，粒子2的自旋沿x 轴的正方向，求0
>t 时测量粒子1的自旋沿z
轴正方向的几率。
四.（20分）质量为μ、电荷为q 的粒子，在方向互相垂直的均
匀电场()0,0,εε=
和均匀磁场()B B ,0,0=
中运动，取电磁场的标势和
矢势分别为x εφ-=和()0,,0Bx A =
，其哈密顿算符为
φ
μq A c q p H +??
? ??-=2?21?
找出包括H
?在内的力学量完全集，并进而求出能量的本征值和本征矢。
五.（20分） 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为 ()r Ze
r V 2
-=（Ze 为核电荷）
当核电荷变为()e Z 1+时，相互作用能增加r
e
W
2
?
-
=，试用微扰论计算
它对能量的一级修正，并与严格解比较。
试题8
一. （20分）质量为m 的粒子，在如下势场
()()()x V x V x V ~0+-=δ
571
中运动，其中，
()??
?>≤=0
,0 ,0~
1x V x x V
0V 、1V 为两个正实数, 求能量本征值E ()0 二.（20分） 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场()() 0,2 12 1 >= k kx x V 的基态， （1） 若弹性系数 k 突然变成k 2，即势场变成()2 2kx x V =，随即 测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场()x V 2基态度几率； （2） 势场突然由()x V 1变为()x V 2后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成()x V 1，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来()x V 1势场的基态（几率为100％）。 三.（20 分） 若一维体系的哈密顿算符为 ()x V p H +=μ 2??2，且假设其 具有断续谱，即n E n H n =?，试证明： ()()mm n mn n m x V x x E E ??? ??=-∑d d 2 2 μ 四.（20分） 由三个自旋为21 的非全同粒子组成的体系，哈密顿算符为 () 32121?????? s s s B s s A H ?++?= 其中，B A ,为实常数，321? ,?,?s s s 分别为三个粒子的自旋算符。试求出 572 体系的守恒量，确定体系的能级和与简并度（取1= ）。 五.（20分） 氢原子受到均匀电场z e 0 εε=和均匀磁场z B B e 0 =的 扰动，在非旋的情况下，证明在第一激发态的一级近似计算中，微扰的矩阵形式（在未受微扰的能量表象中）为 ?????? ? ? ?-βαβα 0000000000 并给出常数βα,的表达式（基矢是按量子数从小到大的顺序排列），进而讨论能级的劈裂情况。 试题9 一.（10 分）设 n 是粒子数算符 a a N ???+=的本征函数，相应之本征值为()0≥n ，算符+a ?和a ?满足对易关系1????=-+ +a a a a 。证明：n a ?（其中1≥n ）和n a + ?也是征值分别为()1-n 和()1+n 。 二. （15分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00 >V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 0V E - =的状 573 态，试确定此势阱的宽度a 。 三. （15分）设作一维自由运得粒子0=t 时处于 ()()kx kx A x cos sin 0,2 +=ψ 态上，求0=t 和0>t 时粒子动量与动能的平均值。 四. （20分）对于类氢离子的任何一个本征态)(r nlm ψ，利用维里 定理、费曼-海尔曼定理计算r 1 与21 r 。 五.（20分）设两个自旋为 2 1粒子构成的体系，哈密顿量 2 1???s s C H ?=， 其中，C 为常数，1?s 与2?s 分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知0 =t 时，粒子1的自旋沿z 轴的负方向，粒子2的自 旋沿z 轴的正方向，求0 >t 时测量粒子1的自旋处于z 轴负方向的几 率。 六．（20分）粒子在一维势场()x V 中运动，非简并能级为 () ,3,2,10=n E n ，如受到微扰x p W ??μλ=的作用，用微扰论求能量到二级 修正，并与精确解比较。 试题10 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 574 ()?? ?><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0 =t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 13 12 10,???ψ+ - = 状态上，其中，()x n ?为粒子的第n 个本征态。 (1) 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； (2) 求0 >t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几 率 二. （20分）一个电子被禁闭在线谐振子基态，若在此态上有 () m 10 10 2 -=-x x 求激发此电子到其第一激发态所需要的能量（用eV 表示）。提示：利 用维里定理。 三. （ 20分）设厄米特算符H ?的本征矢为n ?，{n ?构成正交归一完备系，定义一个算符 ()n m n m U ??=,? （1） 计算对易子 ()[]n m U H ,?,?； （2） 证明 ()()()p m U q p U n m U nq ,?,?,?δ=+； （3） 计算迹 (){}n m U ,?Tr ； （4） 若算符A ?的矩阵元为n m mn A A ???=，证明 575 ()n m U A A n m mn ,??,∑ = (){} q p U A A pq ,??Tr += 四. （20分）自旋为 2 1、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数） 的粒子，处于均匀外磁场k B B =中，设0=t 时，粒子处于2 = z s 的 状态， （1） 求出0>t 时的波函数； （2） 求出0>t 时x s ?与z s ?的可测值及相应的取值几率。 五.（20分）两个质量皆为μ的非全同粒子处于线谐振子位中，若 其角频率都是ω，加上微扰项 21 ?x x W λ-=（21,x x 分别为第一个粒子 与第二个粒子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 试题11 一.（20分）证明： （1）若一个算符与角动量算符J ? 的两个分量对易，则其必与J ? 的 另一个分量对易； （2）在2?J 与z J ? 的共同本征态JM 下，x J ?与y J ?的平均值为零， 576 且当J M =时，测量x J ?与y J ? 的不确定性为最小。 二.（20分）粒子作一维运动，当总能量算符为()x V p H +=μ 2??20 时， 能级是0 n E ，如果总能量算符变成μ αp H H ?? ?0+=（α为实参数），求粒 子能级的严格解n E 。 三. （20分）一维谐振子的哈密顿算符为 2 222 12??x m m p H ω+ = 引入无量纲算符， x m Q ω=?；p m P ?1? ω=；( ) P Q a ?i ?2 1?+= ；()P Q a ?i ?2 1?-= + （1） 计算 {}P Q ?,?，[]+ a a ?,?，[]a a a ??,?+ ，[]a a a ??,?++ ； （2） 将H ?用a ?与+ a ?表示，并求出全部能级。 四.（20分） 有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道 运动）受到均匀磁场B 的作用，磁场B 指向x 轴电正方向，磁作用为 x x c eB s c eB H σμμ? 2? ? ==。设0=t 时，电子的自旋向上，即2 =z s ，求0>t 时s ? 的平均值。 五.（20分）有一量子体系由哈密顿量W H H ???0 +=描述，其中，[] 0?,?i ?H A W λ=可视为微扰，B A ?,?是厄米特算符，且有[] A B C ?,?i ?=。 577 （1）若算符C B A ?,?,?在0 ?H 的非简并基态上的平均值已知，且分别记为000,,C B A ，求B ?在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到λ量 级。 （2） 将上述结果用在如下三维问题上， ∑=?? ? ? ??+=3 12220212??i i i x m m p H ω 3? x W λ= 计算在微扰后非简并基态上i x ()3,2,1=i 的平均值，准确到λ量级。 习题12 一、（30分）回答下列问题 1、何谓微观粒子的波动-粒子两象性？ 2、波函数()t r , ψ是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条 件？() 2 ,t r ψ的物理含义是什么？ 3、分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 4、物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 5、坐标x 分量算符x 与动量x 分量算符x p ?的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 6、线性厄米特算符F ?的本征值n f 与本征矢n 分别具有什么性质？ 578 二、（20分）设氢原子处于 ()()()()()()()?θ?θ?θ?θψ,Y R 2 1 ,Y R 21 ,Y R 21 ,,1 12110311021---= r r r r 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。 三、（25分）有一质量为m 的粒子，在如下势场中运动 ()??? ??<<≤≤><∞=b x a V a x b x x x V ,0 ,0,0 ,0 试求出束缚能级所满足的方程。 四、（25分）设厄米特算符H ? 的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符 ()n m n m U =,? （1） 计算对易子 ()[]n m U H ,?,?； （2） 证明 ()()()p m U q p U n m U nq ,?,?,?δ=+； （3） 计算迹 (){}n m U ,?Tr ，其中，算符F ?的迹定义为 ∑ =k k F k F ??Tr ； （4） 若算符A ?的矩阵元为n A m A mn ?=，证明 ()n m U A A n m mn ,??,∑ =；(){}q p U A A pq ,??Tr + = 579 五、（25分）自旋为2 1 、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数） 的粒子，处于z 方向均匀外磁场 k B B =中，设0=t 时，粒子处于 2 = x s 的状态， （1） 求出0 >t 时的波函数； （2） 求出0>t 时x s ?与z s ?的可测值及相应的取值几率。 六、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为()2 2 2 20 2 12??y x p H ++=μω μ， 在对其施加微扰xy W ?λ-=后，利用微扰论求W H H ???0 +=基态能量至 二级修正、第二激发态能量至一级修正。 提示： ?? ????++=+-1,1,21 2 1n m n m n m n n x δδα??，其中， μω α=， 而n ?为 线谐振子的第n 个本征矢。 量子力学自测题5 一、填空题（本题20分） 1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子 特性，Einstein 的光量子假说揭示了光的 性。Bohr 的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了原子的 的起源问题。 2．力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是 。 二、（本题15分） 1．设算符a ?具有性质{} 1?,?,0?2==+a a a 。求证： （1）a a N ???+ ≡本征值必为实数。 （2）N N ??2= （3）N ?的本征值为0或者1。 2．利用对易式σσσi 2=?，求证： {}0,=j i σσ，),,,(z y x j i =，其中，j i σ σ,为 Pauli 矩阵。 三、（本题15分） 1．设氦原子中的两个电子都处于1s 态，（不简并）两个电子体系的空间波函数为 )()(),(2100110021r r r r ψψψ= （1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数4321,,,χχχχ。 （2）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数),,,(2121z z s s r r ?（同时考虑空间自 由度和自旋自由度）。 2．一电子处于自旋态)(2 1z z ↓+↑= ψ，求： （1）在自旋态ψ下，z S ?的可能测值与相应的几率。 （2）在自旋态ψ下，x S ?的可能测值与几率。 四、（本题15分） 设一个类氢离子的电荷数由Z 变成Z+1，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为 a e Z E n 222-=，a Zr e a Z - ? ? ? ??=2 /31001πψ 一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ） 第二章 一维势场中的粒子 §2.2 方 势 一、一维运动 当粒子在势场V (x ,y ,z )中运动时，其 Schrodinger 方程为： 22 [(,,)](,,)(,,)2V x y z x y z E x y z m ψψ-?+= 若势可写成： V (x ,y ,z ) = V 1(x ) + V 2(y ) + V 3(z ) 形式， 2212 [()]()()2x d V x X x E X x m dx -+= 2222 [()]()()2y d V y Y y E Y y m dy -+= 2232 [()]()()2z d V z Z z E Z z m dz -+= ψ(x ,y ,z ) = X (x ) Y (y ) Z (z ) ψ1(x ) x y z E E E E =++ 二、一维无限深势阱 0(0)()(0,) x a V x x x a ?<?? 这是定态问题 一维无限深势阱（0~a ）的求解 解：（1）列出各势域的 S — 方程 22 2 [()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+= 20222 2 2202 22()0202()0I I II II III III d m V E dx d mE dx d m V E dx ψψψψψψ?--=???+=???--=?? 00E V << 0()V →∞ ，令k = )(0>k ，β=方程可简化为：22 2 222 222 000I I II II III III d dx d k dx d dx ψβψψψψβψ?-=????+=???-=?? 量子力学自测题（22）参考答案 1、（a ），（b ）各10分 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’ms’，n l m ms ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧F ψ＝λψ， ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G ) ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧ K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωνν ω -］ ∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］ （b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H ’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧ x S ∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 '11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21 E 1＝E 1（0）+'11H + )0(2)0(12'21E E H -＝-ω 21+0-ων 2241＝-ω 21-ων241 E 2＝E 2（0）+'22H +) 0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων241 4、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝?????0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a =?π x p ＝-i ?=a dx dx d 011ψψ-i ?=a a x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=a a a x d a x x a i dx dx d x 00 11)(sin sin 2ππψψ ＝ ?-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?a dx a x 02]sin π ＝0+?=a i dx ih 0 2122 ψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分 I.波函数与Schrodinger方程 1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？ 答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描 述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为 ，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动 状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入 上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ). 经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经 典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程． 2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ? 答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为， 则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空 间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对 整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化． 3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流 量子力学自测题8 一、填空题（本题25分） 1．自由粒子平面波函数ikx ce x =)(ψ的动量不确定度=?p ，坐标不确定度=?x 。 2．波函数kx x cos )(=ψ是否自由粒子的能量本征态？答： 。如果是，能量本征值是 。该波函数是否是动量本征态？答： ，因为 。 3．设B A ??是两个互为不对易的厄米算符。在下列算符 （1）B A ?,?； （2）B A ??—A B ??； （3）2 ?A ； （4）B A ??+A B ?? 中，算符 和 的本征值必为实数。 4．设两个电子散射波的自旋波函数()↓↑+↑↓= 2 1χ，则散射波的空间波函数应为 。因此微分散射截面 。 5．设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1和E 2，相应的本征矢量为21n n 和。则在能量表象中，体系Hamilton 量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。 二、（本题15分） 1．已知在坐标表象中，自由粒子的坐标本征函数为 )()(0x x x -=δψ 求在动量表象中坐标的本征函数。 2．氢原子中的电子在径向坐标dr r r +→的球壳内出现的几率为 dr r r R dr r P nl nl 22)()(=。已知，0/2/30 1012)(a r e a r R -???? ??=，求IS 电子的径向几率最大的 位置。 三、（本题15分） 1．求证：iz y +=1ψ，ix z +=2ψ，iy x +=3ψ分别为角动量算符z y x l l l ?,?,?的本征值为 的本征态。 2．试证明：在电子的任意自旋态??? ? ??=b a χ下，只要22b a =，则自旋角动量z S ?的平均值必为零。 四、（本题15分） 1．已知),())((B A i B A B A ??+?=??σσσ其中，A 、B 为与Pauli 矩阵z y x σσσ,,对易的任意两个矢量算符。试证明： 第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知 ()()0 ?H U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即 ()2004ze U r r πε=- ()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为 ()2 04ze U r r πε=- 在0r r <的区域, ()U r 可由下式 ()r U r e Edr ∞ =-? 其中电场为 () () 3023300000201 4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε?=≤?? =? ?>? ? 则有: ()()()() 2 2 3 2 000 22222 2200 033000000 1443848r r r r r r U r e Edr e Edr Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞ ∞ =--=- - =---=--≤??? ? 因此有微扰哈密顿量为 ()()()() 222 200300 031?220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ???--+ ≤? ?'=-=????>? 其中s e =类氢原子基态的一级波函数为 ()( 32 10010000032 02exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z e a ψ-==-?=?? 按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为 ()()()0 0*0011 11 100100 3 2222222000000?1 31sin 4422Zr r a s s E H H d Z e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ?θθπ -''==??????=--+?? ? ????????? ? ??? 3. 系综与密度算符 1）纯系综和混合系综 相同的物理体系构成系综，例如由具有自旋的粒子构成的系综。 一个自旋为1/2的粒子的自旋态（方位角,αβ） /2/2(,)(,)(,)cos sin 22i i c c e e ααβ β χαβαβχαβχχχ-++--+-=+=+， 其中,χχ+-是?z s 的本征态， cos(/2)sin(/2) i c c e αββ+-=。 如果所有粒子的自旋都取相同方向，则称体系是极化系统，构成的系综是纯系综。 如果粒子的自旋不在同一方向，则构成的系综叫混合系综。例如自旋向上的粒子数占70％，自旋向下的粒子数占30％，体系是部分极化。一个自旋方向完全随机的系综，其自旋向上，向下的几率各有50％，整的表现是相互抵销，自旋为零，完全没极化。 2）系综平均与态密度算符 系统的力学量平均值 ?A A ααα=， 这里态α是固定的，是量子平均。进入任意表象B ， ,' ?''b b A b b A b b ααα=∑， 对表象的维数求和。 系综平均 [ ]A w A ααα=∑ ， 这里w α是体系处于态α的几率，显然满足归一化条件 1w αα =∑， 是统计平均，求和指标不是对表象的维数，而是对态。例如自旋1/2的粒子构成的系综，自旋表象的维数为2，但不同粒子的自旋态可以有很多取向，求和就是对不同的取向。 [],,','??''''b b b b A w b b A b w b b b A b αααααααα??== ??? ∑∑∑。 定义态密度算符 ?w αα ρ αα=∑， 它在表象B 的矩阵元 '?''bb b w b b αα ρρ αα==∑， []() ,'??????''b b b A b b b A b b A b tr A ρ ρρ==≡∑∑。 这是量子统计力学的基本公式。注意：表象变换不改变矩阵的求迹，上式不依赖于表象的选取。 在连续表象，例如坐标表象，密度算符的矩阵元 *'?''()(')xx x x w x x w x x αααααα ρρααψψ===∑∑ ， 系综平均 []() 3????A tr A d x x A x ρρ==? 。 密度矩阵满足归一化条件 ,,? 1 b b tr w b b w b b w w αααααααα ρ ααα α=====∑∑∑∑完备性条件 态的量子归一化条件 态的统计归一化条件 这里用到了归一化条件1α=和表象的完备性条件1b b b =∑。 设密度算符?ρ的本征态为θ， 22 ?,??ρ θθθρθρθθθθ==＝ 对于纯系综，所有系统都取同一个态n ， 量子力学自测题（21） 1、已知一维运动的粒子在态)(x ψ中坐标x 和动量x p 的平均值分别为0x 和0p ，求在态 )()(0/0 x x e x x ip +=-ψ? 中坐标x 和动量x p 的平均值。 解：已知粒子在态)(x ψ中坐标x 和动量x p 的平均值分别为 0* )()(x dx x x x x == ?+∞ ∞-ψψ 0*)()(p dx x x i x p x =?? ? ? ???-= ?+∞ ∞ -ψψ 现粒子处在)(x ?态，坐标x 和动量x p 的平均值 )())(()()()()(000*00** =-=''-''=++==???∞ +∞ -+∞ ∞ -+∞ ∞ -x x x d x x x x dx x x x x x dx x x x x ψψψψ?? )()()]()()[()]([)()()(00*00/0/00*/0/0*/*00000=+-=''??? ?? '??-'+-=+??? ????-++-+= +??? ?? ??-+=??? ????-=????∞ +∞ -∞ +∞ ---+∞ ∞ --+∞∞-p p x d x x i x p dx x x x i e x x e p x x e dx x x e x i x x e dx x x i x p x ip x ip x ip x ip x ip x ψψψψψψψ?? 2、一体系服从薛定谔方程 ),(),(21)(22121221222 12r r E r r r r k m ψψ=?? ????-+?+?- （1）指出体系的所有守恒量（不必证明）； （2）求基态能量和基态波函数。 解：（1）体系的哈密顿量为 2 212222122 122r r k m m H -+?-?-= 引入质心坐标R 和相对坐标r ： )(2 121r r R += 21r r r -= 在坐标变换r R r r ,,21?下，体系的哈密顿量变为 2 22222 122kr M H r R +?-?-= μ 2/2m m M ==μ 第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-? ， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ? =-? 不对易 证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-? i x x ψ? =-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-? i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i -= ，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。 量子力学自测题（２） 一、填空题（本题20分） 1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。 2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。 二、（本题15分） 1．设全同二粒子的体系的Hamilton 量为H ?（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明 交换算符12 ?P 是一个守恒量。 2．设U ?是一个幺正算符，求证+?=U dt U d i H ??? 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵， （1）求证：θσθθσsin cos y i i e y += （2）试求：y i Tre θσ 三、（本题10分） 求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2?l 的本征值为2 2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 ),(θθπ?θψ?+=i e 所描述的量子态。 求：（1）在该态下，z l ?的可能测值和各个值出现的几率。 （2）z l ?的平均值。 如有必要可利用， θπcos 4310=Y ，?θπ i e Y ±±=sin 8311 。 五、（本题20分） 已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为 22 222m a n E n π=，a x n a n πψsin 2=， （n=1，2，3…） 设粒子受到微扰： ???????-='),(2,2)(?x a a k x a k x H a x a a x <<<<220 求基态（n=1）能量的一级近似值。 如有必要，可利用积分公式? +=y y y ydy y sin cos cos 。 六、（本题20分） 设),3,2,1( =n n 表示一维谐振子的能量本征态，且已知 ??????-+++= 121211n n n n n x α， ωαm = （1）求矩阵元n x m 2。 （2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t>0开始受微扰kt e x H 22-='的作用。 求：经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。 第五章 多电子原子:泡利原理（YCS ） §5-1 氦光谱和能级 氦原子是1868年分析日全蚀光谱时发现的,30年后在地球矿物中找到.实验表明,氦及元素周期表第二族元素铍、镁、钙、锶、钡、镭、锌、镉、汞的光谱结构相仿.氦原子光谱的特点（详见P.213氦原子能级图）（氦能谱的以上4个特点分别包含着4个物理概念）: 1）明显地分成两套谱线系,左边一套为单层,右边一套多为三层;两套能级间无跃迁,各自内部的跃迁产生了两套独立的光谱.每一套都象碱金属原子光谱一样含有主线系,辅线系和伯格曼系等.但两套线系的构成截然不同. 2）存在几个亚稳态,表明某种选择规则限制了这些态以自发辐射的形式发生衰变; 3）基态01 S 1与第一激发态13 S 2 间能量相差很大,为eV .7719;电离能也是所有元素中最大的,为eV .5824; 4）在三层结构那套能级中没有来自2 (1S)的能级. §5-2 电子组态和原子态 1.电子组态:原子中各电子状态的组合 描述一个电子的状态可用s l m m l n 、、、四个量子数. 考虑电子的自旋－轨道相互作用,s l m m 、不再有确定值,则电子的状态用j j m l n 、、、描述. 氢原子只有一个电子,在不考虑原子核运动时,电子状态就表示原子状态. 对于碱金属原子,理论上可证明原子实的总角动量为0且不易被激发,被激发的只是价电子,可认为价电子的状态就表示碱金属原子状态. 多电子原子则必须考虑电子间的相互作用,原子的状态是价电子运动状态的耦合. 由于轨道运动的能量只取决于量子数l n 、,所以常用nl 来标记电子状态. 例如:氢原子处于基态时,电子处于01＝、＝ l n 的状态,记为s 1;氦原子处于基态时,两个电子都处于s 1态,则用两个电子状态的组合s 1s 1或21s 来表示;若一个原子有 3个电子,其中两个处在0,2==l n 的状态,另一个处在1,2==l n 的状态,则电子 组态为p s 222 . 在给定的电子组态中,各电子的轨道角动量大小是确定的,但其轨道角动量和自旋角动量的方向不确定.因此每一个电子组态 可耦合成若干原子态,由同一电子组态耦合成的不同原子态将且具有不同的能量,因为不同的角动量耦合产生的附加能量不同. 2.价电子间的相互作用 价电子间的相互作用除电子自身的轨道与自旋耦合外,电子间的轨道与轨道、自旋与自旋、轨道与自旋等角动量都要发生耦合作用.如两个价电子间可有6种耦合方式（如图示）:),(),(),(),(),(),(126215224113212211s l G s l G s l G s l G s s G l l G 、、、、、. 这6种耦合的强弱不等,一般情况下,65G G 、较弱可不考虑.下面考虑两种极端情况. 1）S L －耦合:21G G 、较43G G 、强得多,将两个轨道角动量和两个自旋角动量分别合 成总轨道角动量L 和总自旋角动量S ,再将L 和S 合成总角动量J .（S L -耦合对于较轻元素 的低激发态成立,适用性较广） 2）j j －耦合:43G G 、较21G G 、强得多,将各个电子的轨道与自旋耦合成各个电子的总 角动量1j 和2j ,再将其耦合成原子的总角动量J .（j j -耦合则较少见,只在较重元素的激发态中出现） 对于多电子耦合的情况可记为:? ??==-==-J j j j l s l s l s j j J L S l l l s s s S L )())()((:),(),,)(,,(:323322113213211 3.S L －耦合的原子态 21l l L +=.L 的大小为: 212121,,1,,)1(l l l l l l L L L L --++=+= 21s s S +=.S 的大小为:???=±=+=0 1,)1(21s s S S S S 原子的总角动量S L J +=,量子数S L S L S L J --++=,,1, 对于具有两个价电子的原子,当L 给定时,对应于0,1==S S 的两种情况,J 的取值分别 为: 1）0=S 时,L J =,表示原子只有一个可能的角动量状态,所以是单态. 2）1=S 时,1,,1-+=L L L J ,所以原子是三重态. 由以上分析知,具有两个价电子的原子都有单态和三重态的能级结构. 例:原子有两个价电子,其角动量状态分别为 2 1 ,2;21,12211= ===s l s l ,用 量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统 第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze r U 02 4πε- =）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02 4)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102 00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2??022)0(r U H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z e a Z 02/130 3) 0(1)(-=πψ） 量子力学理论处理问题的思路 ① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schr?dinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点； ④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质； ⑤ 联系实际问题，应用所得结果。 有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动 量算符?p 和坐标算符?x 之间的关系是?x p i x ?=-?，在动量表象中它们之间的关系为??x x i p ?=?，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。 这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！ 针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。 第一部分 薛定谔方程与波函数 在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。所以说薛定谔方程和波函数是学好量子力学的基础！ 一．波函数（基本假设I ） 在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(,)r t ψ表示，2(,)r t d ψτ表示t 时刻粒子处于空间r 处d τ体积元内的几率，即2(,)r t ψ代表粒子的几率密度。 1. 根据波函数的物理意义，波函数(,)r t ψ应具有的性质为： ⑴有限性－在全空间找到粒子的几率2 (,)r t d ψτ?取有限值，即(,)r t ψ是平方可积的； 粒子在全空间出现的几率和等于1，假如2 (,)1r t d ?τ∞≠?，我们找到一个比例系数 曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解完整版>精研学习网>免费在线试用20％资料 全国547所院校视频及题库资料 考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试 目录 隐藏 第1章波函数与Schr?dinger方程 1.1复习笔记 1.2课后习题详解 1.3名校考研真题详解 第2章一维势场中的粒子 2.1复习笔记 2.2课后习题详解 2.3名校考研真题详解 第3章力学量用算符表达 3.1复习笔记 3.2课后习题详解 3.3名校考研真题详解 第4章力学量随时间的演化与对称性 4.1复习笔记 4.2课后习题详解 4.3名校考研真题详解 第5章中心力场 5.1复习笔记 5.2课后习题详解 5.3名校考研真题详解 第6章电磁场中粒子的运动 6.1复习笔记 6.2课后习题详解 6.3名校考研真题详解 第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记 7.2课后习题详解 7.3名校考研真题详解 第8章自旋 8.1复习笔记 8.2课后习题详解 8.3名校考研真题详解 第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记 9.2课后习题详解 9.3名校考研真题详解 第10章微扰论 10.1复习笔记 10.2课后习题详解 10.3名校考研真题详解 第11章量子跃迁 11.1复习笔记 11.2课后习题详解 11.3名校考研真题详解 第12章其他近似方法 12.1复习笔记 12.2课后习题详解 12.3名校考研真题详解 内容简介 隐藏 本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主要包括以下内容： （1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。 （2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详 第五章： 对称性及守恒定律 ［１］证明力学量A ?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2 22 H H A A dt d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ? 不显含t ，有 ]?,?[1H A i dt A d = （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]?,?[1H A i 的平均值，则有： ]?],?,?[[1]?],?,?[1 [ 1222 H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2 即得待证式。 ［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。 （证明）设A ?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有： ???= τ τψψ d A A ?* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1） ???-≡= τ τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*1]?,?[1 （１） 今ψ代表H ?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =? （E 为本征值） （２） 又因为H ?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ??????=)? (*)?()~ (?* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得： τψψτψψd A H i d H A i dt A d )? (*)?(1)?(?*1?????? -= ??? ???-= τψψ τψψd A i E d A i E ?**?* 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2 。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r d t d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21,??????[2 22z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21],??????[2 2 2z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式 可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[2122 2 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x ++++ + = μ μ μ （３）第5套量子力学自测题
第1章 量子力学基础-习题与答案
量子力学讲义第二章讲义
第22套量子力学自测题参考答案
量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程
第8套量子力学自测题
量子力学第五章习题
清华大学量子力学讲义Lecture14[1]
第21套量子力学自测题参考答案
量子力学讲义第三章讲义
第2套量子力学自测题
原子物理讲义 第五章 多电子原子
量子力学讲义
量子力学周世勋习题解答第五章范文
中国科学技术大学量子力学考研内部讲义一(01-06)
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题复习答案考研资料
量子力学曾谨言习题解答第五章